Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai: Phương pháp giải - Edu

Trong bài học này, VerbaLearn sẽ giúp bạn tìm hiểu phương pháp rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai thông qua một số dạng toán như: Rút gọn biểu thức chỉ chứa phép cộng trừ, biểu thức có dạng phân thức đại số, rút gọn rồi tìm giá trị của biểu thức, …

Phương pháp

[content_1]

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta có thể:

– Thực hiện các phép biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai nhằm làm xuất hiện các căn thức đồng dạng.

– Phối hợp thực hiện các phép tính với các biểu thức có dạng phân thức mà tử và mẫu có chứa căn thức bậc hai theo quy tắc thực hiện các phép tính về phân thức đại số.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Rút gọn biểu thức chỉ có cộng, trừ căn thức

[content_2]

Phương pháp giải

Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn rồi dùng công thức:

$m\sqrt A - n\sqrt A + p\sqrt A + q = \left( {m - n + p} \right)\sqrt A + q$

Trong đó: A ≥ 0

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {20} - \sqrt {80} + \sqrt {45}$

b) $\sqrt {18} - \sqrt {50} + \sqrt {98}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt {20} - \sqrt {80} + \sqrt {45}$

$= 2\sqrt 5 - 4\sqrt 5 + 3\sqrt 5 = \sqrt 5$

b) Ta có: $\sqrt {18} - \sqrt {50} + \sqrt {98}$

$= 3\sqrt 2 - 5\sqrt 2 + 7\sqrt 2 = 5\sqrt 2$

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {4,5} - \frac{1}{2}\sqrt {72} + 5\sqrt {\frac{1}{2}}$

b) $42\sqrt {\frac{{25}}{6}} - 10\sqrt {\frac{3}{2}} - 12\sqrt {\frac{{98}}{3}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {4,5} - \frac{1}{2}\sqrt {72} + 5\sqrt {\frac{1}{2}}$

$\begin{gathered} = \sqrt {\frac{{9 \cdot 2}}{{2 \cdot 2}}} - \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt 2 + \frac{5}{2}\sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{3}{2}\sqrt 2 - 3\sqrt 2 + \frac{5}{2}\sqrt 2 = \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) $42\sqrt {\frac{{25}}{6}} - 10\sqrt {\frac{3}{2}} - 12\sqrt {\frac{{98}}{3}}$

$\begin{gathered} = 42 \cdot \frac{5}{6}\sqrt 6 - 10 \cdot \frac{1}{2}\sqrt 6 - 12 \cdot \frac{7}{3}\sqrt 6 \hfill \\ = 35\sqrt 6 - 5\sqrt 6 - 28\sqrt 6 = 2\sqrt 6 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức

${\text{M}} = 2x\sqrt {16x{y^3}} + 7\sqrt {25{x^3}{y^3}} - 3y\sqrt {36{x^3}y}$ với x ≥ 0; y ≥ 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} {\text{M }} = 2x\sqrt {16x{y^3}} + 7\sqrt {25{x^3}{y^3}} - 3y\sqrt {36{x^3}y} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 8xy\sqrt {xy} + 35xy\sqrt {xy} - 18xy\sqrt {xy} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 25xy\sqrt {xy} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức

${\text{N}} = \sqrt {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} - \sqrt {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} {\text{N }} = \sqrt {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} - \sqrt {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} - \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt {\frac{{4 + 2\sqrt 3 }}{4}} - \sqrt {\frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{4}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} - \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\sqrt 3 + 1} \right) - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \right] = 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 5. Biến đổi biểu thức $5\sqrt {\frac{a}{b}} - 4\sqrt {\frac{a}{b}} - \sqrt {\frac{1}{{ab}}}$ về dạng $\left( {\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}} \right)\sqrt {ab}$ , trong đó a, b > 0; x, y, z ∈ ℤ. Tính tổng x + y + z.

Hướng dẫn giải

Ta có: $5\sqrt {\frac{a}{b}} - 4\sqrt {\frac{a}{b}} - \sqrt {\frac{1}{{ab}}}$

$\begin{gathered} = \frac{5}{a}\sqrt {ab} - \frac{4}{b}\sqrt {ab} - \frac{1}{{ab}}\sqrt {ab} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\frac{5}{a} - \frac{4}{b} - \frac{1}{{ab}}} \right)\sqrt {ab} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy x = 5, y = –4, z = –1 do đó x + y + z = 0.

Dạng 2. Rút gọn biểu thức có chứa các phép cộng, trừ, nhân, chia căn thức dưới dạng phân thức đại số

[content_3]

Phương pháp giải

– Xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa gồm: điều kiện để biểu thức lấy căn không âm và điều kiện để mẫu thức khác 0.

– Vận dụng các quy tắc của phép tính về phân thức đại số, kết hợp với các phép tính về căn thức để đưa biểu thức đã cho về dạng đơn giản nhất.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn biểu thức:

$P = \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {xy} - x}} - \frac{{\sqrt x }}{{y - \sqrt {xy} }}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0; y > 0; x ≠ y. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt x \left( {\sqrt y - \sqrt x } \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt y \left( {\sqrt y - \sqrt x } \right)}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{y - x}}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt y - \sqrt x } \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\left( {\sqrt y - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt y + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt y - \sqrt x } \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\sqrt y + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Rút gọn biểu thức:

$P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt y }} - 3} \right):\frac{{\sqrt {xy} }}{{x + 3\sqrt {xy} }}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0; y > 0. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt y }} - 3} \right):\frac{{\sqrt {xy} }}{{x + 3\sqrt {xy} }} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x - 3\sqrt y }}{{\sqrt y }} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3\sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x - 9y}}{y} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 3. Rút gọn biểu thức:

$P = \left( {\frac{{x\sqrt x - y\sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} + \sqrt {xy} } \right):\left( {x - y} \right)$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \left( {\frac{{x\sqrt x - y\sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} + \sqrt {xy} } \right):\left( {x - y} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left( {x + 2\sqrt {xy} + y} \right)\frac{1}{{x - y}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} = \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 4. Rút gọn biểu thức:

$P = \left( {1 + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x - 1}}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \left( {1 + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x - 1}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x + 2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} \cdot \frac{{x\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{x + \sqrt x + 1}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = x - 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 5. Rút gọn biểu thức:

$P = \left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x - 1}}{{1 - x}}} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt x }} - \frac{2}{x}} \right)$

Hướng dẫn giải

Điều kiện x > 0; x ≠ 1. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x - 1}}{{1 - x}}} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt x }} - \frac{2}{x}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{x} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x - 2\sqrt x + 1 + 2x + 2\sqrt x + 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{x} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{x} = \frac{6}{{\sqrt x }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức hoặc rút gọn rồi tìm giá trị của biểu thức để biểu thức có một giá trị nào đó

[content_4]

Phương pháp giải

Trước hết tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa rồi rút gọn biểu thức. Sau đó thay giá trị của biến vào biểu thức đã được rút gọn rồi thực hiện các phép tính.

Hoặc có thể phải sử dụng kết quả rút gọn, lập phương trình hoặc bất phương trình rồi Hướng dẫn giải ra để tìm giá trị của biến.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho biểu thức

$P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2 - 5\sqrt x }}{{4 - x}}$

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P với $x = \frac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2 - 5\sqrt x }}{{4 - x}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) - 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {2 - 5\sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 - 2x - 4\sqrt x - 2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{ - x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{ - \sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có:

$x = \frac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right) = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt x = \sqrt 3 + 1$

Do đó:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{2 - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{1 - \sqrt 3 }} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}}{{ - 2}} = \frac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{ - 2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = - \left( {2 + \sqrt 3 } \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Cho biểu thức

$P = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 2\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P, biết |x – 5| = 4

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x > 0; x ≠ 1. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 2\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left[ {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \cdot \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{4x}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{4x}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\left( {x + \sqrt x - 2} \right) - \left( {x - \sqrt x - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{4x}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{4x}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có:

$\left| {x - 5} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 5 = 4 \hfill \\ x - 5 = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 9 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Với x = 9, ta có: $P = \frac{{\sqrt 9 + 1}}{{2\sqrt 9 }} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Với x = 1, không thỏa mãn điều kiện đã nêu nên biểu thức P không có giá trị.

Câu 3. Cho biểu thức

$P = \left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{2\sqrt x - 2\sqrt y }}} \right) \cdot \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P, biết $\frac{x}{y} = \frac{4}{9}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x, y ≥ 0; x ≠ y. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{2\sqrt x - 2\sqrt y }}} \right) \cdot \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left[ {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}} \right] \cdot \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{4\sqrt {xy} - {{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} \cdot \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{ - \left( {x - 2\sqrt {xy} + y} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} \cdot \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{ - {{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} \cdot \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có: $\frac{x}{y} = \frac{4}{9} \Rightarrow y = \frac{{9x}}{4}$

Do đó:

$P = \frac{{ - \sqrt x }}{\begin{gathered} \sqrt x + \sqrt {\frac{{9x}}{4}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{ - \sqrt x }}{\begin{gathered} \sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt x \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{ - \sqrt x }}{\begin{gathered} \frac{5}{2}\sqrt x \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = - \frac{2}{5}$

Câu 4. Cho biểu thức:

$P = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{x + 4\sqrt x + 4}}} \right]:\left( {\frac{2}{{x - 4}} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm x để $P = - \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{x + 4\sqrt x + 4}}} \right]:\left( {\frac{2}{{x - 4}} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}} \right]:\left( {\frac{2}{{x - 4}} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x + 2 - 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}:\frac{{2 - \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có:

$\begin{gathered} P = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} = - \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \Leftrightarrow 2\sqrt x - 4 = \sqrt x + 2 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \Leftrightarrow \sqrt x = 6 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \Leftrightarrow x = 36{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 5. Cho biểu thức

$P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 3}} + \frac{1}{{x\sqrt x - 9\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{3\sqrt x - 3}}{{x + 3\sqrt x }}} \right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P > 1

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 9. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}:\frac{{x - 3\sqrt x + 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x - 3\sqrt x + 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{x - 3\sqrt x + 3}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt x - 3}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Để P > 1

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x - 3}} > 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x - 3}} - 1 > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x - 3}} < 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \sqrt x - 4 > 0 \hfill \\ \sqrt x - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \sqrt x - 4 < 0 \hfill \\ \sqrt x - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 9 < x < 16{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 4. Rút gọn biểu thức rồi chứng minh biểu thức có một tính chất nào đó hoặc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức

[content_5]

Phương pháp giải

Trước tiên tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.

Sau đó rút gọn biểu thức, biến đổi kết quả (nếu cần) rồi lập luận đi đến điều kiện phải chứng minh hoặc đến điều phải tìm.

Câu 1. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị thích hợp của x và y:

$A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {xy} - y}} + \frac{{2\sqrt x - \sqrt y }}{{\sqrt {xy} - x}}} \right) \cdot \frac{{x\sqrt y - y\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x, y ≥ 0; x ≠ y. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} A{\text{ }} = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt y \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}} + \frac{{2\sqrt x - \sqrt y }}{{\sqrt x \left( {\sqrt y - \sqrt x } \right)}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x - 2\sqrt {xy} + y}}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}} \cdot \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}} \cdot \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy giá trị của biểu thức A luôn là hằng số với mọi giá trị thích hợp x và y.

Câu 2. Cho biểu thức

$B = \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x + 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$

a) Rút gọn B.

b) Chứng minh rằng B luôn luôn có giá trị không âm với mọi giá trị thích hợp của x.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện x ≥ 0. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} B{\text{ }} = \frac{{x + 2 + \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x + 2 + x - 1 - x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có: x ≥ 0 nên $\sqrt x \geqslant 0$

$x - \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > x{\text{ }}\forall x$ với mọi x

Do đó: $x - \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > x{\text{ }}\forall x$ với mọi x ≥ 0

Câu 3. Cho biểu thức

$C = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{x\sqrt x - x + \sqrt x - 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x }}{{x + 1}} - 1} \right)$

a) Rút gọn C.

b) Chứng minh rằng C luôn luôn có giá trị âm với mọi giá trị thích hợp của x.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x > 0; x ≠ 1. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} C{\text{ }} = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{\sqrt x - x - 1}}{{x + 1}}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x + 1 - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{ - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có: x ≥ 0; x ≠ 1 nên $- \left( {\sqrt x + 1} \right) < 0$

$x - \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$

Do đó $C = \frac{{ - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0$ với mọi giá trị thích hợp của x.

Câu 4. Cho biểu thức

$D = \left( {2 - \frac{{\sqrt x - 1}}{{2\sqrt x - 3}}} \right):\left[ {\frac{{6\sqrt x + 1}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right]$

a) Rút gọn D.

b) Chứng minh rằng $D < \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ $\frac{9}{4}$ . Khi đó ta có:

$\begin{gathered} D{\text{ }} = \frac{{2\left( {2\sqrt x - 3} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x - 3}}:\frac{{6\sqrt x + 1 + \sqrt x \left( {2\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x + 1}}{{2\sqrt x - 3}}:\frac{{6\sqrt x + 1 + 2x - 3\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{3\sqrt x - 5}}{{2\sqrt x - 3}} \cdot \frac{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2x + 3\sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{3\sqrt x - 5}}{{2\sqrt x - 3}} \cdot \frac{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{3\sqrt x - 5}}{{2\sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Xét hiệu

$\begin{gathered} D - \frac{3}{2} = \frac{{3\sqrt x - 5}}{{2\sqrt x + 1}} - \frac{3}{2} = \frac{{6\sqrt x - 10 - 6\sqrt x - 3}}{{2\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{ - 13}}{{2\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $D - \frac{3}{2} < 0$

Nhận xét: Về mặt phương pháp, muốn chứng minh $D < \frac{3}{2}$ ta chứng minh $D - \frac{3}{2} < 0$

Câu 5. Cho biểu thức

$P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right):\left( {2 - \frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right) + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\sqrt x - 1}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có: $P = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \leqslant \frac{1}{1} = 1$ vì $\sqrt x \geqslant 0$

Do đó max P = 1 đạt được khi $\sqrt x \geqslant 0$

Câu 6. Cho biểu thức

$Q = \left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{14}}{{x - 9}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{2}$

a) Rút gọn Q.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 9. Khi đó ta có:

$\begin{gathered} Q{\text{ }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x + 3} \right)}^2} + 14}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x - 6\sqrt x + 9 + x + 6\sqrt x + 9 + 14}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{2x + 32}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 3}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có:

$\begin{gathered} Q{\text{ }} = \frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x - 9 + 25}}{{\sqrt x + 3}} = \sqrt x - 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt x + 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} - 6 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \geqslant 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 3} \right) \cdot \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}}} - 6{\text{ }}\left( {B\rlap{--} DT{\text{ }}Cauchy} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \geqslant 10 - 6 = 4 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

$\begin{gathered} \sqrt x + 3 = \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 3} \right)^2} = 25\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x + 3 = 5 \Leftrightarrow x = 4{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy minQ = 4 khi x = 4

Dạng 5. Chứng minh đẳng thức

[content_6]

Phương pháp giải

Biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức thứ ba.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Chứng minh đẳng thức sau với x, y ≥ 0 và x ≠ y

$\left( {\frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - \frac{{4\sqrt {xy} }}{{x - y}}} \right):\frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}$

Hướng dẫn giải

Xét vế trái T:

$\begin{gathered} T{\text{ }} = \left( {\frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - \frac{{4\sqrt {xy} }}{{x - y}}} \right):\frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{\sqrt x }} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{x + 2\sqrt {xy} + y - 4\sqrt {xy} }}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Ta thấy vế trái đúng bằng vế phải nên đẳng thức đã cho là đúng.

Câu 2. Chứng minh đẳng thức sau với x, y ≥ 0 và x ≠ y

$\left( {\frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \sqrt {xy} } \right):\left( {x - y} \right) = 1 - \frac{{2\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }}$

Hướng dẫn giải

Xét vế trái T:

$\begin{gathered} T{\text{ }} = \left( {\frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \sqrt {xy} } \right):\left( {x - y} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - \sqrt {xy} + y} \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \sqrt {xy} } \right]\frac{1}{{x - y}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Xét vế phải P:

$P = \frac{{\sqrt x + \sqrt y - 2\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }}$

Rõ ràng T = P, suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt 6 + 3\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} + 12\sqrt {\frac{1}{6}}$

b) $6\sqrt a + 3\sqrt {25{a^3}} - 2\sqrt {36a{b^3}} - 2\sqrt {9a}$ với a, b > 0

Đáp số

a) $2\sqrt 6$

b) $3\left( {5a - 4b} \right)$

Bài 2. Biến đổi biểu thức $\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} - \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}}$ về dạng $\frac{m}{{{x^2} - 1}}\sqrt {{x^2} - 1}$ , trong đó x > 1. Tính giá trị của m.

Hướng dẫn giải

Khử mẫu của biểu thức lấy căn ta được $\frac{2}{{{x^2} - 1}}\sqrt {{x^2} - 1}$ , suy ra m = 2.

Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức P với x = 0,36:

$P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{3}{{3 - \sqrt x }} - \frac{{6\sqrt x }}{{x - 9}}$

Hướng dẫn giải

$P = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$ với điều kiện x ≥ 0; x ≠ 9. Khi đó: x = 0,36.

Ta có: $P = - \frac{2}{3}$

Bài 4. Chứng minh đẳng thức sau với x, y ≥ 0 và x ≠ y:

$\left( {\frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - \frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }}} \right):\frac{{\sqrt y - 1}}{{y - \sqrt y }} = \frac{{4\sqrt x }}{{x - y}}$

Hướng dẫn giải

Rút gọn vế trái ta được:

$\frac{{4\sqrt {xy} }}{{x - y}} \cdot \frac{1}{{\sqrt y }} = \frac{{4\sqrt x }}{{x - y}}$

Bài 5. Cho biểu thức

$P = \left( {x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)$

a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.

Đáp số

a) $P = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}{\text{ }}\left( {x > 0} \right)$

b) $x \in \left[ {1;4} \right]$

Bài 6. Cho biểu thức

$P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{x - 36}} - \frac{{\sqrt x - 6}}{{x + 6\sqrt x }}} \right):\frac{{x\sqrt x - 36\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 3} \right)}}$

a) Rút gọn P.

b) Với giá trị nào của x thì P có giá trị lớn nhất? Giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?

Đáp số

a) $\frac{6}{{x - 2\sqrt x + 3}}$ với điều kiện x > 0; x ≠ 9; x ≠ 6

b) $P = \frac{6}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 2}} \leqslant \frac{6}{2} = 3$ $\left( {Do{\text{ }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} \geqslant 0} \right)$