Căn bậc 2: Tổng hợp lý thuyết và các dạng toán thường gặp

Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về căn bậc 2 bao gồm: Căn bậc hai số học và căn thức bậc 2. Qua đó vận dụng vào các dạng toán đặc trưng của chương trình như: Tìm căn bậc hai số học của một số, so sánh các căn bậc hai số học, ứng dụng giải phương trình – bất phương trình chứa căn bậc 2, điều kiện căn thức có nghĩa và rút gọn biểu thức.

Định nghĩa, khái niệm và tính chất của căn bậc 2 số học

Lý thuyết

[content_1]

Căn bậc hai số học

Với số dương a, số $\sqrt a$ được gọi là căn bậc hai số học của a.

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Với a ≥ 0, ta có:

$\sqrt a = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ {x^2} = a \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Với hai số a và b không âm, ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b$

Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt A$ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt A$ xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ta có:

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm căn bậc hai số học của một số

[content_2]

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa căn bậc hai số học của một số không âm:

$\sqrt a = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ {x^2} = a \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm căn bậc hai số học rồi tìm căn bậc hai của:

a) 121

b) ${\left( { - \frac{2}{5}} \right)^2}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt {121} = 11 \times 11 \geqslant 0$ và 11² = (–11)²

Do đó số 121 có hai căn bậc hai là 11 và –11.

b) $\sqrt {{{\left( { - \frac{2}{5}} \right)}^2}} = \frac{2}{5}$ vì $\frac{2}{5} \geqslant 0$ và ${\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} = {\left( { - \frac{2}{5}} \right)^2}$

Do đó số ${\left( { - \frac{2}{5}} \right)^2}$ có hai căn bậc hai là $\frac{2}{5}$ và $- \frac{2}{5}$

Câu 2. Tính giá trị của biểu thức: $\sqrt {0,09} + 7\sqrt {0,36} - 3\sqrt {2,25}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \sqrt {0,09} + 7\sqrt {0,36} - 3\sqrt {2,25} \hfill \\ = 0,3 + 7 \cdot 0,6 - 3 \cdot 1,5\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 0,3 + 4,2 - 4,5 = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 3. Giá trị của biểu thức sau là số vô tỉ hay hữu tỉ: $\sqrt {\left( {\sqrt {1\frac{9}{{16}}} - \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right) \cdot 18}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \sqrt {\left( {\sqrt {1\frac{9}{{16}}} - \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right) \cdot 18} = \sqrt {\left( {\sqrt {\frac{{25}}{{16}}} - \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right) \cdot 18} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \sqrt {\left( {\frac{5}{4} - \frac{3}{4}} \right) \cdot 18} = \sqrt 9 = 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số hữu tỉ, hơn nữa còn là một số tự nhiên.

Dạng 2. So sánh các căn bậc hai số học

[content_3]

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất: Nếu a, b ≥ 0 thì $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Không dung máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 8 và $\sqrt {65}$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có $8 = \sqrt {64}$ . Vì $\sqrt {64} < \sqrt {65}$ nên $8 < \sqrt {65}$ .

Cách 2: Vì 8² = 64; ${\left( {\sqrt {65} } \right)^2} = 65$

Nên ${8^2} < {\left( {\sqrt {65} } \right)^2}$ , suy ra $8 < \sqrt {65}$ .

Cách giải này dựa vào tính chất: Nếu a, b > 0 và a² < b² thì a < b.

Như vậy, để so sánh hai số dương ta có thể so sánh các bình phương của chúng.

Câu 2. Không dung máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh $\sqrt {15} - 1$ và $\sqrt {10}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\sqrt {15} - 1 < \sqrt {16} - 1 = 4 - 1 = 3$

$\sqrt {10} > \sqrt 9 = 3$

Vậy $\sqrt {15} - 1 < \sqrt {10}$

Câu 3. Với a < 0 thì số nào lớn hơn trong hai số $\sqrt { - a}$ và $\sqrt { - 2a}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có: –1 > –2 nên –a < –2a (vì a < 0).

Do đó: $\sqrt { - a} < \sqrt { - 2a}$

Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình

[content_4]

Phương pháp giải

Với a ≥ 0:

+) x² = a khi $x = \pm \sqrt a$

+) $\sqrt x = a$ khi x = a².

+) $\sqrt x < a$ khi 0 ≤ x < a².

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải phương trình: 3x² = 0,75.

Hướng dẫn giải

Ta có: 3x² = 0,75 ⇔ x² = 0,25

Do đó: x = ±0,5.

Câu 2. Giải phương trình: $2\sqrt 3 x = 12$

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: x ≥ 0.

Ta có: $2\sqrt 3 x = 12 \Leftrightarrow \sqrt 3 x = 6$

$\Leftrightarrow 3x = 36 \Leftrightarrow x = 12$ (thỏa mãn điều kiện).

Câu 3. Tìm số x không âm, biết $\frac{1}{2}\sqrt {5x} < 10$ .

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0 ta có:

$\begin{gathered} \frac{1}{2}\sqrt {5x} < 10 \Leftrightarrow \sqrt {5x} < 20 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 5x < 400 \Leftrightarrow x < 80 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy 0 ≤ x < 80.

Câu 4. Tính tổng các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức $\sqrt {{x^2} + 25} = 13$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \sqrt {{x^2} + 25} = 13\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + 25 = 169 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} = 144\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \pm 12 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy tổng các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức đã cho là (–12) + 12 = 0.

Dạng 4. Tìm điều kiện để $\sqrt A$ có nghĩa

[content_5]

Phương pháp giải

+) $\sqrt A$ có nghĩa khi A ≥ 0;

+) $\frac{1}{{\sqrt A }}$ có nghĩa khi A > 0.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm x để căn thức $\sqrt {5 - 2x}$ có nghĩa.

Hướng dẫn giải

$\sqrt {5 - 2x}$ có nghĩa khi 5 – 2x ≥ 0 ⇔ –2x ≥ –5 ⇔ x ≤ $\frac{5}{2}$

Câu 2. Tìm x để căn thức $\sqrt {\frac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}}$ có nghĩa.

Hướng dẫn giải

$\sqrt {\frac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}}$ có nghĩa khi $\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}$ có nghĩa.

Điều đó xảy ra khi (x – 2)² > 0 ⇔ x ≠ 2

Câu 3. Với giá trị nào của x thì biểu thức $\sqrt {25 - {x^2}}$ có nghĩa?

Hướng dẫn giải

$\sqrt {25 - {x^2}}$ có nghĩa khi 25 – x² ≥ 0

⇔ –x² ≥ –25

⇔ x² ≤ 25

⇔ |x| ≤ 5

⇔ –5 ≤ x ≤ 5

Câu 4. Tìm các giá trị của x để biểu thức $\sqrt {\frac{1}{{{x^2} - 100}}}$ có nghĩa

Hướng dẫn giải

$\sqrt {\frac{1}{{{x^2} - 100}}}$ có nghĩa khi x² – 100 > 0

⇔ x² > 100

⇔ |x| > 10

⇔ x > 10 ∨ x < –10

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức ${\text{M}} = \sqrt {x + 4} + \sqrt {2 - x}$ có nghĩa?

Hướng dẫn giải

M có nghĩa khi $\left\{ \begin{gathered} x + 4 \geqslant 0 \hfill \\ 2 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 4 \hfill \\ x \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vì x ∈ ℤ nên x ∈ {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2}

Vậy có 7 giá trị nguyên của x để biểu thức M có nghĩa

Dạng 5. Rút gọn biểu thức dạng $\sqrt {{A^2}}$

[content_6]

Phương pháp giải

Vận dụng hằng đẳng thức:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn biểu thức $A = \sqrt {{x^2} - x + \frac{1}{4}}$

Hướng dẫn giải

$A = \sqrt {{x^2} - x + \frac{1}{4}} = \sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \left| {x - \frac{1}{2}} \right|$

Nếu $x \geqslant \frac{1}{2}$ thì $A = x - \frac{1}{2}$

Nếu $x < \frac{1}{2}$ thì $A = \frac{1}{2} - x$

Câu 2. Rút gọn biểu thức $B = \sqrt {{x^4}} + \sqrt {{x^6}}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} B{\text{ }} = \sqrt {{x^4}} + \sqrt {{x^6}} = \sqrt {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left| {{x^2}} \right| + \left| {{x^3}} \right| = {x^2} + \left| {{x^3}} \right| \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Nếu x ≥ 0 thì B = x² + x³

Nếu x < 0 thì B = x² – x³

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức $C = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 - 4\sqrt 2 }$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} C{\text{ }} = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 - 4\sqrt 2 } \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left| {\sqrt 2 - 1} \right| - \left| {2 - \sqrt 2 } \right| \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt 2 - 1 - \left( {2 - \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 3 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $D = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} + 3$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} D{\text{ }} = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} + 3 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} + 3 = \left| {2x - 1} \right| + 3 \geqslant 3,{\text{ }}\forall x \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy minD = 3 khi x = $\frac{1}{2}$

Câu 5. Tìm x, biết $\sqrt {{x^2} - 6x + 9} + 7x = 13$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \sqrt {{x^2} - 6x + 9} + 7x = 13 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} + 7x = 13\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {x - 3} \right| + 7x = 13{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Nếu x ≥ 3 thì |x – 3| = x – 3. Khi đó (1) trở thành

x – 3 + 7x = 13 ⇔ 8x = 16 ⇔ x = 2 (không thuộc khoảng đang xét)

Nếu x < 3 thì |x – 3| = 3 – x. Khi đó (1) trở thành

3 – x + 7x = 13 ⇔ 6x = 10 ⇔ x = $\frac{5}{3}$ (thuộc khoảng đang xét)

Vậy giá trị của x thỏa mãn đẳng thức đã cho là x = $\frac{5}{3}$

Câu 6. Cho biểu thức:

$P = 3x - \sqrt {{x^2} - 10x + 25}$

a) Rút gọn biểu thức P;

b) Tính giá trị của P khi x = 2.

Hướng dẫn giải

a) $P = 3x - \sqrt {{x^2} - 10x + 25}$

$= 3x - \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2}} = 3x - \left| {x - 5} \right|$

+) Nếu x ≥ 5 thì P = 3x – (x – 5) = 2x + 5;

+) Nếu x < 5 thì P = 3x + (x – 5) = 4x – 5.

b) Khi x = 2 < 5 thì giá trị của biểu thức là:

P = 4⋅2 – 5 = 3.

Lưu ý: Nếu bạn thay x = 2 vào biểu thức 2x + 5 để tính giá trị của P thì bạn sai lầm vì biểu thức P = 2x + 5 khi x ≥ 5.

Câu 7.. Cho biểu thức:

$Q = 2x - \sqrt {{x^2} + 2x + 1}$

a) Rút gọn biểu thức Q;

b) Tính các giá trị của x để Q = 7.

Hướng dẫn giải

a) $Q = 2x - \sqrt {{x^2} + 2x + 1}$

$= 2x - \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} = 2x - \left| {x + 1} \right|$

+) Nếu x ≥ −1 thì Q = 2x – (x + 1) = x – 1

+) Nếu x < −1 thì Q = 2x + (x + 1) = 3x + 1

b) Ta phải xét hai trường hợp:

+) Q = 7 ⇔ x – 1 = 7 ⇔ x = 8 (không thỏa mãn x ≥ −1)

+) Q = 7 ⇔ 3x + 1 = 7 ⇔ x = 2 (không thỏa mãn x < −1).

Vậy Q = 7 khi x = 8

Bài tập tự luyện

[content_7]

Câu 1. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh:

a) $\sqrt {26} + 3$ và $\sqrt {63}$

b) $\frac{1}{2}$ và $\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$

Đáp số

a) $\sqrt {26} + 3 > \sqrt {63}$

b) $\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} < \frac{1}{2}$

Câu 2. Tìm x, biết:

a) 5x² = 80

b) $2\sqrt x = 1$

c) $\sqrt 3 x \leqslant 6$

Đáp số

a) x = ±4

b) x = $\frac{1}{4}$

c) 0 ≤ x ≤ 12

Câu 3. Tìm x để các căn thức bậc hai sau có nghĩa:

a) $\sqrt {\frac{2}{{9 - x}}}$

b) $\sqrt {{x^2} + 2x + 1}$

c) $\sqrt {{x^2} - 4x}$

Đáp số

a) x < 9

b) x ∈ ℝ

c) x ≥ 4 hoặc x ≤ 0

Câu 4. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt {9 - {x^2}}$

b) $\sqrt {\frac{1}{{{x^2} - 4}}}$

c) $\frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

Đáp số

a) –3 ≤ x ≤ 3

b) x > 2 hoặc x < –2

c) x ≥ 0 và x ≠ 9

Câu 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {10} } \right)}^2}}$

b) $\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }$

c) $3x - \sqrt {{x^2} - 2x + 1}$

Đáp số

a) $\sqrt {10} - 3$

b) $\sqrt 5 - 2$

Câu 6. Giải phương trình:

a) $\sqrt {{x^2} - 10x + 25} = 2$

b) $\sqrt {{x^2}} = 3x - 2$

c) $\sqrt {4{x^2} - 12x + 9} = x + 7$

Đáp số

a) x = 3 hoặc x = 7

b) x = 1

c) $x \in \left\{ {10; - \frac{4}{3}} \right\}$

Câu 7. Tìm các giá trị của x sao cho $\sqrt x > x$ .

Hướng dẫn giải

$\sqrt x > x$ (1)

Điều kiện: x > 0. Khi đó:

(1) ⇔ x > x² (do hai vế của (1) đều dương)

⇔ x – x² > 0

⇔ x(1 – x) > 0

⇔ 0 < x < 1

eduverbalearn0313

Lý thuyết

Căn bậc hai số học

Căn thức bậc hai

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm căn bậc hai số học của một số

Phương pháp giải

Bài tập vận dụng

Dạng 2. So sánh các căn bậc hai số học

Phương pháp giải

Bài tập vận dụng

Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình

Phương pháp giải

Bài tập vận dụng

Dạng 4. Tìm điều kiện để có nghĩa

Phương pháp giải

Bài tập vận dụng

Dạng 5. Rút gọn biểu thức dạng

Phương pháp giải

Bài tập vận dụng

Bài tập tự luyện

Dạng 4. Tìm điều kiện để $\sqrt A$ có nghĩa

Dạng 5. Rút gọn biểu thức dạng $\sqrt {{A^2}}$