Phương pháp biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc 2

Bởi

Trong bài học này, VerbaLearn sẽ giới thiệu đến độc giả cách biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc 2 bằng các phương pháp thường gặp theo mỗi biến thể bài tập như: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu. Bên cạnh đó là các dạng toán ứng dụng thường gặp có lời giải chi tiết.

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc 2
Một số phương pháp biến đổi biểu thức chứa căn bậc 2

Phương pháp giải

[content_1]

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có:

\[\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{gathered} A\sqrt B {\text{ }}khi{\text{ }}A \geqslant 0 \hfill \\ - A\sqrt B {\text{ }}khi{\text{ }}A < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Đưa thừa số vào trong dấu căn

\[\left| A \right|\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} \] tức là:

– Nếu A ≥ 0; B ≥ 0 thì \[A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} \]

– Nếu A < 0; B ≥ 0 thì \[A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} \]

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với các biểu thức A, B mà A⋅B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có:

\[\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\]

Trục căn thức ở mẫu

Trường hợp 1

Với các biểu thức B, C mà B > 0 thì

\[\frac{C}{{\sqrt B }} = \frac{{C\sqrt B }}{B}\]

Trường hợp 2

Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0; A ≠ B2 thì

\[\frac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A \pm B} \right)}}{{A - {B^2}}}\]

Trường hợp 3

Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B thì

\[\frac{C}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A \pm \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\]

Hai biểu thức \[\sqrt A + \sqrt B \] và \[\sqrt A - \sqrt B \] gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

[content_2]

Phương pháp giải

– Biến đổi biểu thức lấy căn thành dạng tích trong đó có thừa số là bình phương của một số hoặc một biểu thức.

– Khai phương thừa số này và viết kết quả ra ngoài dấu căn.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) \[\sqrt {45} \]

b) \[\sqrt {2400} \]

c) \[\sqrt {147} \]

d) \[\sqrt {1,25} \]

Hướng dẫn giải

a) \[\sqrt {45} = \sqrt {9 \cdot 5} = 3\sqrt 5 \]

b) \[\sqrt {2400} = \sqrt {400 \cdot 6} = 20\sqrt 6 \]

c) \[\sqrt {147} = \sqrt {49 \cdot 3} = 7\sqrt 3 \]

d) \[\sqrt {1,25} = \sqrt {0,25 \cdot 5} = 0,5\sqrt 5 \]

Câu 2. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) \[\sqrt {50 \cdot 6} \]

b) \[\sqrt {14 \cdot 21} \]

c) \[\sqrt {32 \cdot 45} \]

d) \[\sqrt {125 \cdot 27} \]

Hướng dẫn giải

a) \[\sqrt {50 \cdot 6} = \sqrt {100 \cdot 3} = 10\sqrt 3 \]

b) \[\sqrt {14 \cdot 21} = \sqrt {7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = 7\sqrt 6 \]

c) \[\sqrt {32 \cdot 45} = \sqrt {16 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 5} \]

\[ = \sqrt {16 \cdot 9 \cdot 10} = 4 \cdot 3\sqrt {10} = 12\sqrt {10} \]

d) \[\sqrt {125 \cdot 27} = \sqrt {25 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 3} \]

\[ = \sqrt {25 \cdot 9 \cdot 15} = 5 \cdot 3\sqrt {15} = 15\sqrt {15} \]

Câu 3. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) \[\sqrt {18x} \]

b) \[\sqrt {75{x^2}y} \]

c) \[\sqrt {605{x^3}{y^2}} \]

Hướng dẫn giải

a) \[\sqrt {18x} = \sqrt {9 \cdot 2x} = 3\sqrt {2x} \] (x ≥ 0)

b) \[\sqrt {75{x^2}y} = \sqrt {25{x^2} \cdot 3y} = 5\left| x \right|\sqrt {3y} \] (y ≥ 0)

\[ = \left\{ \begin{gathered} 5x\sqrt {3y} {\text{ }}khi{\text{ }}y \geqslant 0 \hfill \\ - 5x\sqrt {3y} {\text{ }}khi{\text{ }}y < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) \[\sqrt {605{x^3}{y^2}} = \sqrt {121{x^2} \cdot {y^2} \cdot 5x} = 11x\left| y \right|\sqrt {5x} \] (x ≥ 0)

\[ = \left\{ \begin{gathered} 11xy\sqrt {5x} {\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 0 \hfill \\ - 11xy\sqrt {5x} {\text{ }}khi{\text{ }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Câu 4. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) \[\sqrt {128{{\left( {x - y} \right)}^2}} \]

b) \[\sqrt {150\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \]

c) \[\sqrt {{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8} \]

Hướng dẫn giải

a) \[\sqrt {128{{\left( {x - y} \right)}^2}} \]

\[\begin{gathered} = \sqrt {64{{\left( {x - y} \right)}^2} \cdot 2} = 8\left| {x - y} \right|\sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ = \left\{ \begin{gathered} 8\left( {x - y} \right)\sqrt 2 {\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant y \hfill \\ 8\left( {y - x} \right)\sqrt 2 {\text{ }}khi{\text{ }}x < y \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\sqrt {150\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \]

\[\begin{gathered} = \sqrt {25 \cdot 6{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} = 5\left| {2x - 1} \right|\sqrt 6 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ = \left\{ \begin{gathered} 5\left( {2x - 1} \right)\sqrt 6 {\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 5\left( {1 - 2x} \right)\sqrt 6 {\text{ }}khi{\text{ }}x < \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

c) \[\sqrt {{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8} \]

\[\begin{gathered} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ = \left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 2} {\text{ }}\left( {khi{\text{ }}x \geqslant 2} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

Dạng 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

[content_3]

Phương pháp giải

– Nếu A ≥ 0 thì ta nâng A lên lũy thừa bậc hai rồi viết kết quả vào trong dấu căn:

\[A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} {\text{ }}\left( {A \geqslant 0;B \geqslant 0} \right)\]

– Nếu A < 0 thì ta coi A như là –(–A). Ta nâng (–A) lên lũy thừa bậc hai rồi viết kết quả vào trong dấu căn. Còn dấu “–” vẫn để đằng trước dấu căn:

\[A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} {\text{ }}\left( {A < 0;B \geqslant 0} \right)\]

Bài tập vận dụng

Ví dụ 1. Đưa thừa số vào trong dấu căn

a) \[3\sqrt 5 \]

b) \[5\sqrt 6 \]

c) \[\frac{2}{7}\sqrt {35} \]

Hướng dẫn giải

a) \[3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2} \cdot 5} = \sqrt {45} \]

b) \[5\sqrt 6 = \sqrt {{5^2} \cdot 6} = \sqrt {150} \]

c) \[\frac{2}{7}\sqrt {35} = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{7}} \right)}^2} \cdot 35} = \sqrt {\frac{{20}}{7}} \]

Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) \[ - 4\sqrt {\frac{1}{8}} \]

b) \[ - 0,06\sqrt {250} \]

Hướng dẫn giải

a) \[ - 4\sqrt {\frac{1}{8}} = - \sqrt {{4^2} \cdot \frac{1}{8}} = - \sqrt 2 \]

b) \[ - 0,06\sqrt {250} = - \sqrt {{{\left( {0,06} \right)}^2} \cdot 250} = - \sqrt {0,9} \]

Câu 3. Đưa thừa số vào trong dấu căn

a) \[x\sqrt x \]

b) \[y\sqrt {\frac{x}{y}} \]

c) \[\frac{x}{y}\sqrt {\frac{y}{x}} \]

Hướng dẫn giải

a) \[x\sqrt x = \sqrt {{x^2} \cdot x} = \sqrt {{x^3}} {\text{ }}\left( {x \geqslant 0} \right)\]

b) ĐK: x, y ≥ 0, y ≠ 0

Xét trường hợp x ≥ 0, y > 0, ta có:

\[y\sqrt {\frac{x}{y}} = \sqrt {{y^2} \cdot \frac{x}{y}} = \sqrt {xy} \]

Xét trường hợp x < 0; y < 0, ta có:

\[y\sqrt {\frac{x}{y}} = - \sqrt {{y^2} \cdot \frac{x}{y}} = - \sqrt {xy} \]

c) ĐK: xy > 0, ta có:

\[\frac{x}{y}\sqrt {\frac{y}{x}} = \sqrt {\frac{{{x^2} \cdot y}}{{{y^2} \cdot x}}} = \sqrt {\frac{x}{y}} \]

Câu 4. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) \[ - x\sqrt {\frac{3}{x}} \] với x > 0

b) \[ - x\sqrt {\frac{{ - 1}}{x}} \] với x < 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[ - x\sqrt {\frac{3}{x}} = - \sqrt {{x^2} \cdot \frac{3}{x}} = - \sqrt {3x} \] với x > 0

b) Ta có: \[ - x\sqrt {\frac{{ - 1}}{x}} = \sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{x}} \right)} = \sqrt { - x} \] với x < 0

Câu 5. Chỉ ra chỗ sai trong các biến đổi sau:

a) \[x\sqrt {\frac{3}{7}} = \sqrt {\frac{{3{x^2}}}{7}} \]

b) \[xy\sqrt {\frac{y}{x}} = y\sqrt {{x^2} \cdot \frac{y}{x}} = y\sqrt {xy} \]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi \[x\sqrt {\frac{3}{7}} = \sqrt {\frac{{3{x^2}}}{7}} \] chỉ đúng khi x ≥ 0

Nếu x < 0 thì \[x\sqrt {\frac{3}{7}} = - \sqrt {\frac{{3{x^2}}}{7}} \]

b) Biến đổi \[xy\sqrt {\frac{y}{x}} = y\sqrt {{x^2} \cdot \frac{y}{x}} = y\sqrt {xy} \] chỉ đúng khi x > 0

Nếu x < 0 thì \[xy\sqrt {\frac{y}{x}} = - y\sqrt {{x^2} \cdot \frac{y}{x}} = - y\sqrt {xy} \]

Dạng 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

[content_4]

Phương pháp giải

Vận dụng công thức:

\[\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt {AB} }}{B}\left( {A.B \geqslant 0;B \ne 0} \right)\]

Cụ thể gồm các bước sau:

– Biến đổi mẫu thành bình phương của một số hoặc một biểu thức (nếu cần);

– Khai phương mẫu và đưa ra ngoài dấu căn.

Bài tập vận dụng

Ví dụ 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn \[\sqrt {\frac{5}{{72}}} \]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\sqrt {\frac{5}{{72}}} = \sqrt {\frac{{5 \cdot 2}}{{72 \cdot 2}}} = \sqrt {\frac{{10}}{{144}}} = \frac{1}{{12}}\sqrt {10} \]

Nhận xét: Nếu bạn nhân cả tử và mẫu của phân số \[\frac{5}{{72}}\] với 72 thì vẫn ra kết quả nhưng biến đổi phức tạp hơn:

\[\sqrt {\frac{5}{{72}}} = \sqrt {\frac{{5 \cdot 72}}{{72 \cdot 72}}} = \sqrt {\frac{{360}}{{{{72}^2}}}} = \frac{6}{{72}}\sqrt {10} = \frac{1}{{12}}\sqrt {10} \]

Vậy tìm thừa số phụ như nào cho hợp lý?

Trước hết bạn phân tích mẫu số ra thừa số nguyên tố: 72 = 23⋅32. Bạn thấy ngay thừa số phụ là, lúc đó số mũ của các thừa số nguyên tố đều chẵn.

Ví dụ 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

a) \[\sqrt {\frac{{11}}{{27x}}} \]

b) \[\sqrt {\frac{{3x}}{{5{y^3}}}} \]

Hướng dẫn giải

a) ĐK: x > 0

\[\sqrt {\frac{{11}}{{27x}}} = \sqrt {\frac{{11 \cdot 3x}}{{27x \cdot 3x}}} = \sqrt {\frac{{33x}}{{81{x^2}}}} = \frac{1}{{9x}}\sqrt {33x} \]

b) ĐK: xy ≥ 0; y ≠ 0

\[\sqrt {\frac{{3x}}{{5{y^3}}}} = \sqrt {\frac{{3x \cdot 5y}}{{5{y^3} \cdot 5y}}} = \sqrt {\frac{{15xy}}{{25{y^4}}}} = \frac{1}{{5{y^2}}}\sqrt {15xy} \]

Câu 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

a) \[\sqrt {\frac{1}{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}} \]

b) \[\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} \]

Hướng dẫn giải

a) ĐK: x > –1

\[\begin{gathered} \sqrt {\frac{1}{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}} = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} \hfill \\ = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\sqrt {x + 1} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) ĐK: x ≥ 1 hoặc x < 0

\[\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{{x^3}}}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^4}}} = \frac{1}{{{x^2}}}\sqrt {x\left( {x - 1} \right)} \]

Dạng 4. Trục căn thức ở mẫu

[content_5]

Phương pháp giải

Cách 1: Rút gọn biểu thức (nếu có thể):

– Phân tích tử số thành tích có thừa số là căn thức ở mẫu.

– Chia cả tử và mẫu cho thừa số chung.

Cách 2: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu để làm mất dấu căn ở mẫu.

Bài tập vận dụng

Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu

a) \[\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{5\sqrt 3 }}\]

b) \[\frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{5\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{5\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{5}\]

b) \[\frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 + 1}} = \sqrt 2 \]

Ví dụ 2. Trục căn thức ở mẫu

a) \[\frac{3}{{\sqrt 7 }}\]

b) \[\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\]

c) \[\frac{3}{{\sqrt {15} + 4}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{3}{{\sqrt 7 }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{\sqrt 7 \cdot \sqrt 7 }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\]

b) \[\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{3 - 1}} = \sqrt 3 + 1\]

c) \[\frac{3}{{\sqrt {15} + 4}} = \frac{{3\left( {\sqrt {15} - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt {15} - 4} \right)\left( {\sqrt {15} + 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{3\left( {\sqrt {15} - 4} \right)}}{{15 - 16}} = 3\left( {4 - \sqrt {15} } \right)\]

Câu 3. Trục căn thức ở mẫu

a) \[\frac{{5\sqrt 3 - 3\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 5 }}\]

b) \[\frac{{\sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 + \sqrt 3 }}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{5\sqrt 3 - 3\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 5 }}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{{{\left( {5\sqrt 3 - 3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{\left( {5\sqrt 3 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {5\sqrt 3 - 3\sqrt 5 } \right)}} \hfill \\ = \frac{{75 + 45 - 30\sqrt {15} }}{{75 - 45}} = \frac{{30\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}}{{30}} = 4 - \sqrt {15} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\frac{{\sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 + \sqrt 3 }}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}} \hfill \\ = \frac{{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2} - 3}} = \frac{{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{1 - 2\sqrt 2 + 2 - 3}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{ - 2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 - 1}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]

Câu 4. Trục căn thức ở mẫu.

a) \[\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 + \sqrt a }}\] với a ≥ 0; a ≠ 1

b) \[\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b - 1}}\] với a > 0, b > 0; ab = \[\frac{1}{4}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 + \sqrt a }} = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}}}{{\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right)}} = \frac{{1 - 2\sqrt a + a}}{{1 - a}}\]

b) \[\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b - 1}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{1\left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b - 1} \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)}} \hfill \\ = \frac{{\sqrt a + \sqrt b + 1}}{{a + b + 2\sqrt {ab} - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\sqrt a + \sqrt b + 1}}{\begin{gathered} a + b + 2\sqrt {\frac{1}{4}} - 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{\sqrt a + \sqrt b + 1}}{{a + b}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Dạng 5. So sánh hai số

[content_6]

Phương pháp giải

Thực hiện các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai rồi so sánh hai kết quả.

Chẳng hạn:

– Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi dùng tính chất:

Nếu A > B > 0 thì \[\sqrt A > \sqrt B \]

– Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi dùng tính chất:

Nếu A, B, C > 0 thì \[A\sqrt C > B\sqrt C \]

Bài tập vận dụng

Câu 1. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh:

a) \[5\sqrt 6 \] và \[7\sqrt 3 \]

b) \[3\sqrt {2\frac{2}{3}} \] và \[5\sqrt {1\frac{1}{5}} \]

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\begin{gathered} 5\sqrt 6 = \sqrt {25 \cdot 6} = \sqrt {150} \hfill \\ \hfill \\ 7\sqrt 3 = \sqrt {49 \cdot 3} = \sqrt {147} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vì \[\sqrt {150} > \sqrt {147} \] nên \[5\sqrt 6 > 7\sqrt 3 \]

b) Ta có:

\[\begin{gathered} 3\sqrt {2\frac{2}{3}} = \sqrt {9 \cdot \frac{8}{3}} = \sqrt {24} \hfill \\ \hfill \\ 5\sqrt {1\frac{1}{5}} = \sqrt {25 \cdot \frac{6}{5}} = \sqrt {30} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vì \[\sqrt {24} < \sqrt {30} \] nên \[3\sqrt {2\frac{2}{3}} < 5\sqrt {1\frac{1}{5}} \]

Câu 2. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh:

a) \[\frac{5}{4}\sqrt 2 \] và \[\frac{2}{3}\sqrt 7 \]

b) \[ - 3\sqrt {11} \] và \[ - 2\sqrt {23} \]

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\begin{gathered} \frac{5}{4}\sqrt 2 = \sqrt {\frac{{25}}{{16}} \cdot 2} = \sqrt {\frac{{25}}{8}} = \sqrt {3\frac{1}{8}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{2}{3}\sqrt 7 = \sqrt {\frac{4}{9} \cdot 7} = \sqrt {\frac{{28}}{9}} = \sqrt {3\frac{1}{9}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vì \[\sqrt {3\frac{1}{8}} > \sqrt {3\frac{1}{9}} \] nên \[\frac{5}{4}\sqrt 2 > \frac{2}{3}\sqrt 7 \]

b) Ta có:

\[\begin{gathered} - 3\sqrt {11} = - \sqrt {9 \cdot 11} = - \sqrt {99} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ - 2\sqrt {23} = - \sqrt {4 \cdot 23} = - \sqrt {92} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vì \[ - \sqrt {99} < - \sqrt {92} \] nên \[ - 3\sqrt {11} < - 2\sqrt {23} \]

Câu 3. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần

a) \[6\sqrt 3 ,{\text{ }}7\sqrt 2 ,{\text{ }}15\sqrt {\frac{2}{5}} ,{\text{ }}9\sqrt {1\frac{2}{9}} \]

b) \[ - \sqrt {71} ,{\text{ }}\frac{2}{3}\sqrt {12} ,{\text{ }}\frac{1}{2}\sqrt {21} , - 5\sqrt 3 \]

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\begin{gathered} 6\sqrt 3 = \sqrt {36 \cdot 3} = \sqrt {108} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 7\sqrt 2 = \sqrt {49 \cdot 2} = \sqrt {98} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 15\sqrt {\frac{2}{5}} = \sqrt {225 \cdot \frac{2}{5}} = \sqrt {90} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 9\sqrt {1\frac{2}{9}} = \sqrt {81 \cdot \frac{{11}}{9}} = \sqrt {99} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vì \[\sqrt {90} < \sqrt {98} < \sqrt {99} < \sqrt {108} \]

Nên \[15\sqrt {\frac{2}{5}} < 7\sqrt 2 < 9\sqrt {1\frac{2}{9}} < 6\sqrt 3 \]

b) Ta có:

\[\begin{gathered} \frac{2}{3}\sqrt {12} = \sqrt {\frac{4}{9} \cdot 12} = \sqrt {\frac{{16}}{3}} = \sqrt {5\frac{1}{3}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{2}\sqrt {21} = \sqrt {\frac{1}{4} \cdot 21} = \sqrt {\frac{{21}}{4}} = \sqrt {5\frac{1}{4}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ - 5\sqrt 3 = - \sqrt {25 \cdot 3} = - \sqrt {75} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vì \[ - \sqrt {75} < - \sqrt {71} < \sqrt {5\frac{1}{4}} < \sqrt {5\frac{1}{3}} \]

Nên \[ - 5\sqrt 3 < - \sqrt {71} < \frac{1}{2}\sqrt {21} < \frac{2}{3}\sqrt {12} \]

Dạng 6. Rút gọn biểu thức

[content_7]

Phương pháp giải

Thực hiện các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai rồi thu gọn các căn thức đồng dạng hoặc rút gọn các thừa số chung ở tử và mẫu.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \[\sqrt {200} - \sqrt {50} + 4\sqrt {\frac{1}{8}} \]

b) \[\sqrt 3 \left( {\sqrt {72} + \sqrt {4,5} + \sqrt {12,5} } \right)\]

Hướng dẫn giải

a) \[\sqrt {200} - \sqrt {50} + 4\sqrt {\frac{1}{8}} \]

\[ = 10\sqrt 2 - 5\sqrt 2 + 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt 2 = 6\sqrt 2 \]

b) \[\sqrt 3 \left( {\sqrt {72} + \sqrt {4,5} + \sqrt {12,5} } \right)\]

\[\begin{gathered} = \sqrt {216} + \sqrt {13,5} + \sqrt {37,5} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 6\sqrt 6 + \sqrt {\frac{{27}}{2}} - \sqrt {\frac{{75}}{2}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 6\sqrt 6 + \frac{3}{2}\sqrt 6 - \frac{5}{2}\sqrt 6 = 5\sqrt 6 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \[12\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} - \sqrt {\frac{3}{2}} } \right)\]

b) \[4\sqrt {\frac{2}{9}} + \frac{1}{2}\sqrt 2 + \sqrt {\frac{1}{{18}}} \]

Hướng dẫn giải

a) \[12\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} - \sqrt {\frac{3}{2}} } \right)\]

\[ = 12\left( {\frac{1}{3}\sqrt 6 - \frac{1}{2}\sqrt 6 } \right) = 4\sqrt 6 - 6\sqrt 6 = - 2\sqrt 6 \]

b) \[4\sqrt {\frac{2}{9}} + \frac{1}{2}\sqrt 2 + \sqrt {\frac{1}{{18}}} \]

\[ = \frac{4}{3}\sqrt 2 + \frac{1}{2}\sqrt 2 + \frac{1}{6}\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \]

Câu 2. Rút gọn các biểu thức sau:

\[P = \sqrt {9ab} + 7\sqrt {\frac{a}{b}} - 5\sqrt {\frac{b}{a}} - 3ab\sqrt {\frac{1}{{ab}}} \]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} P{\text{ }} = \sqrt {9ab} + 7\sqrt {\frac{a}{b}} - 5\sqrt {\frac{b}{a}} - 3ab\sqrt {\frac{1}{{ab}}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 3\sqrt {ab} + \frac{7}{b}\sqrt {ab} - \frac{5}{a}\sqrt {ab} - 3ab \cdot \frac{1}{{ab}}\sqrt {ab} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left( {\frac{7}{b} - \frac{5}{a}} \right)\sqrt {ab} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Câu 3. Rút gọn các biểu thức

\[B = \frac{3}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }} + \frac{4}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 5 }}\]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} B{\text{ }} = \frac{3}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }} + \frac{4}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 5 }} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{5 - 2}} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{{6 - 2}} + \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{{6 - 5}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 6 - \sqrt 5 } \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 2\sqrt 6 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Nhận xét: Phương pháp giải này ví dụ này là trục căn thức ở mẫu rồi làm các phép cộng, trừ. Nếu quy đồng mẫu thì rất phức tạp.

Câu 4. Cho a > b > 0, chứng minh rằng

\[\frac{{{a^2}b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{8\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)}}{{75{a^4}b}}} = \frac{2}{{15}}\sqrt {6b} \]

Hướng dẫn giải

Ta có:

\[\begin{gathered} \frac{{{a^2}b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{8\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)}}{{75{a^4}b}}} \hfill \\ \hfill \\ = \frac{{{a^2}b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{8{{\left( {a - b} \right)}^2} \cdot b}}{{75{a^4}b \cdot b}}} \hfill \\ \hfill \\ = \frac{{{a^2}b}}{{a - b}} \cdot \frac{{2\left( {a - b} \right)}}{{5{a^2}b}} \cdot \sqrt {\frac{{2b}}{3}} \hfill \\ \hfill \\ = \frac{2}{5} \cdot \sqrt {\frac{{2b \cdot 3}}{9}} = \frac{2}{{15}}\sqrt {6b} \hfill \\ \end{gathered} \]

Ta thấy vế trái đúng bằng vế phải.

Bài tập tự luyện

Câu 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \[\sqrt {75{a^3}} \]

b) \[\sqrt {98{a^5}\left( {{b^2} - 6b + 9} \right)} \]

Đáp số

a) \[5a\sqrt {3a} {\text{ }}\left( {a \geqslant 0} \right)\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} 7{a^2}\left( {b - 3} \right)\sqrt {2a} {\text{ }}khi{\text{ }}b \geqslant 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 7{a^2}\left( {3 - b} \right)\sqrt {2a} {\text{ }}khi{\text{ }}b < 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Câu 2. Rút gọn biểu thức:

a) \[2\sqrt {125} - 5\sqrt {45} + 6\sqrt {20} \]

b) \[2\sqrt {75} - 4\sqrt {27} + \sqrt {12} \]

Đáp số

a) \[7\sqrt 5 \]

b) 0

Câu 3. So sánh các số sau:

a) \[3\sqrt 7 \] và \[2\sqrt {15} \]

b) \[ - 4\sqrt 5 \] và \[ - 5\sqrt 3 \]

Đáp số

a) \[3\sqrt 7 > 2\sqrt {15} \]

b) \[ - 4\sqrt 5 < - 5\sqrt 3 \]

Câu 4. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

a) \[\sqrt {\frac{3}{{80}}} \]

b) \[\sqrt {\frac{2}{{75}}} \]

Đáp số

a) \[\frac{1}{{20}}\sqrt {15} \]

b) \[\frac{1}{{15}}\sqrt 6 \]

Câu 5. Trục căn thức ở mẫu

a) \[\frac{{a - 2\sqrt a }}{{\sqrt a - 2}}\]

b) \[\frac{{13}}{{2\sqrt 3 - 5}}\]

c) \[\frac{{ - \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 + \sqrt 3 }}\]

Đáp số

a) \[\sqrt a \]

b) \[ - \left( {2\sqrt 3 + 5} \right)\]

c) \[\sqrt {35} - 6\]

Câu 6. Trục căn thức ở mẫu

a) \[\frac{8}{{\sqrt 5 - 3}}\]

b) \[\frac{1}{{5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 }}\]

c) \[\frac{{\sqrt 5 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }}\]

Đáp số

a) \[ - 2\left( {\sqrt 5 + 3} \right)\]

b) \[\frac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 }}{{30}}\]

c) \[\sqrt {35} - 6\]

Câu 7. Tính

a) \[{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}} \right)^2}\]

b) \[\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }}\]

Đáp số

a) \[5 + 2\sqrt 6 \]

b) Trục căn thức ở mẫu của mỗi số hạng rồi tính tổng được \[\sqrt {100} - \sqrt 1 = 9\]

Câu 8. Cho \[x = \frac{{\sqrt {75} + \sqrt {12} }}{{\sqrt {147} - \sqrt {48} }}\]. chứng minh rằng 3x là một số nguyên.

Hướng dẫn giải

Tính x được x = \[\frac{7}{3}\], do đó 3x = 7 ∈ ℤ

Bài 9. Biến đổi \[\frac{{26}}{{10 + 4\sqrt 3 }}\] về dạng \[a + b\sqrt 3 \]. Tính tích a⋅b.

Hướng dẫn giải

\[\frac{{26}}{{10 + 4\sqrt 3 }} = \frac{{13}}{{5 + 2\sqrt 3 }} = 5 - 2\sqrt 3 \]

Vậy a = 5, b = –2. Do đó: a⋅b = 5⋅(–2) = –10

Câu 10. Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) trong đó x < y sao cho \[\sqrt x + \sqrt y = \sqrt {539} \]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} \sqrt {539} = \sqrt {49 \cdot 11} = 7\sqrt {11} \hfill \\ \hfill \\ 7\sqrt {11} = \sqrt {11} + 6\sqrt {11} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 2\sqrt {11} + 5\sqrt {11} = 3\sqrt {11} + 4\sqrt {11} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ 7\sqrt {11} = \sqrt {11} + \sqrt {36 \cdot 11} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt {4 \cdot 11} + \sqrt {25 \cdot 11} = \sqrt {9 \cdot 11} + \sqrt {16 \cdot 11} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \sqrt x + \sqrt y = \sqrt {11} + \sqrt {396} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt {44} + \sqrt {275} = \sqrt {99} + \sqrt {176} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài toán có ba đáp số: (11; 396); (44; 275); (99; 176)