Căn bậc 3: Tổng quan lý thuyết và các dạng toán đặc trưng - Edu

Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu chi tiết về căn bậc 3 trong toán học. Từ đó ứng dụng vào các dạng toán như tìm căn bậc 3 của một số, so sánh các biểu thức, thực hiện phép tính chứa căn bậc 3 và rút gọn biểu thức phức tạp.

Tổng quan lý thuyết

[content_1]

Khái niệm căn bậc ba

Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ = a

$\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow {x^3} = a$

Như vậy, ${\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = \sqrt[3]{{{a^3}}} = a$

Nhận xét

– Căn bậc ba của một số dương là số dương;

– Căn bậc ba của một số âm là một số âm;

– Căn bậc ba của số 0 là số 0;

Tính chất

$\begin{gathered} \bullet {\text{ }}a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b} \hfill \\ \bullet {\text{ }}\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \bullet {\text{ }}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}{\text{ }}\left( {b \ne 0} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm căn bậc ba của một số

[content_2]

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa căn bậc ba của một số: $\sqrt[3]{a} = a$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy tìm:

a) $\sqrt[3]{{216}}$

b) $\sqrt[3]{{729}}$

c) $\sqrt[3]{{1331}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{{216}} = \sqrt[3]{{{6^3}}} = 6$

b) $\sqrt[3]{{729}} = \sqrt[3]{{{9^3}}} = 9$

c) $\sqrt[3]{{1331}} = \sqrt[3]{{{{11}^3}}} = 11$

Câu 2. Hãy tìm:

a) $\sqrt[3]{{ - 343}}$

b) $\sqrt[3]{{ - 1000}}$

c) $\sqrt[3]{{ - 1728}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{{ - 343}} = \sqrt[3]{{ - {7^3}}} = - 7$

b) $\sqrt[3]{{ - 1000}} = \sqrt[3]{{ - {{10}^3}}} = - 10$

c) $\sqrt[3]{{ - 1728}} = \sqrt[3]{{ - {{12}^3}}} = - 12$

Câu 3. Hãy tìm:

a) $\sqrt[3]{{\frac{8}{{27}}}}$

b) $\sqrt[3]{{ - \frac{{125}}{{512}}}}$

c) $\sqrt[3]{{ - 0,064}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{{\frac{8}{{27}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3}}} = \frac{2}{3}$

b) $\sqrt[3]{{ - \frac{{125}}{{512}}}} = 3\sqrt[3]{{27 \cdot 12}} - 1$

$= \sqrt[3]{{324}} - 1 < \sqrt[3]{{343}} - 1 = 7 - 1 = 6$

c) $\sqrt[3]{{ - 0,064}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 0,4} \right)}^3}}} = - 0,4$

Dạng 2. So sánh

[content_3]

Phương pháp giải

– Đưa các thừa số vào trong dấu căn: $a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{{a^3}b}}$

– So sánh hai số trong dấu căn: $a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$

Bài tập vận dụng

Câu 1. So sánh

a) 7 và $\sqrt[3]{{345}}$

b) $2\sqrt[3]{6}$ và $3\sqrt[3]{2}$

Hướng dẫn giải

a) $7 = \sqrt[3]{{343}} < \sqrt[3]{{345}}$

b) $2\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{{2^3} \cdot 6}} = \sqrt[3]{{48}}$

$3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{{3^3} \cdot 2}} = \sqrt[3]{{54}}$

48 < 54 nên $2\sqrt[3]{6} < 3\sqrt[3]{2}$

Câu 2. So sánh

a) $\frac{2}{3}\sqrt[3]{{18}}$ và $\frac{3}{4}\sqrt[3]{{12}}$

b) $\sqrt[3]{{130}} + 1$ và $3\sqrt[3]{{12}} - 1$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\begin{gathered} \frac{2}{3}\sqrt[3]{{18}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} \cdot 18}} = \sqrt[3]{{\frac{{16}}{3}}} = \sqrt[3]{{5\frac{1}{3}}} \hfill \\ \hfill \\ \frac{3}{4}\sqrt[3]{{12}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^3} \cdot 12}} = \sqrt[3]{{\frac{{81}}{{16}}}} = \sqrt[3]{{5\frac{1}{{16}}}} \hfill \\ \end{gathered}$

Vì $5\frac{1}{3} > 5\frac{1}{{16}}$ nên $\frac{2}{3}\sqrt[3]{{18}} > \frac{3}{4}\sqrt[3]{{12}}$

b) Ta có:

$\begin{gathered} \sqrt[3]{{130}} + 1 = \sqrt[3]{{125}} + 1 = 5 + 1 = 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 3\sqrt[3]{{12}} - 1 = 3\sqrt[3]{{27 \cdot 12}} - 1 = \sqrt[3]{{343}} - 1 = 7 - 1 = 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $\sqrt[3]{{130}} + 1 > 3\sqrt[3]{{12}} - 1$

Câu 3. Cho a < 0, hỏi số nào lớn hơn trong hai số $\sqrt[3]{{2a}}$ và $\sqrt[3]{{3a}}$

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 < 3 nên 2a > 3a (vì a < 0).

Do đó: $\sqrt[3]{{2a}} > \sqrt[3]{{3a}}$

Dạng 3. Thực hiện các phép tính

[content_4]

Phương pháp giải

Vận dụng định nghĩa căn bậc hai của một số, các tính chất nhân các căn bậc ba, chia các căn bậc ba.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn các biểu thức

a) $\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{{ - 27}} + \sqrt[3]{{ - 64}}$

b) $\sqrt[3]{{54}} - \sqrt[3]{{ - 16}} + \sqrt[3]{{128}}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{{ - 27}} + \sqrt[3]{{ - 64}}$

$= 2 + \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = - 5$

b) Ta có: $\sqrt[3]{{54}} - \sqrt[3]{{ - 16}} + \sqrt[3]{{128}}$

$\begin{gathered} = \sqrt[3]{{{3^3} \cdot 2}} - \sqrt[3]{{{{\left( { - 2} \right)}^3} \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{4^3} \cdot 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 3\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{2} = 9\sqrt[3]{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Tính

a) $\sqrt[3]{{16}} \cdot \sqrt[3]{{13 \cdot 5}} - \sqrt[3]{{120}}:\sqrt[3]{{15}}$

b) $\left( {\sqrt[3]{2} + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1} \right)$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{{16}} \cdot \sqrt[3]{{13 \cdot 5}} - \sqrt[3]{{120}}:\sqrt[3]{{15}}$

$\begin{gathered} = \sqrt[3]{{16 \cdot 13 \cdot 5}} + \sqrt[3]{{120:15}} \hfill \\ = \sqrt[3]{{216}} - \sqrt[3]{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 6 - 2 = 4 \hfill \\ \end{gathered}$

b) $\left( {\sqrt[3]{2} + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1} \right)$

$\begin{gathered} = \sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 2 + 1 = 31\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Nhận xét: Để tính tích trên có thể sử dụng hằng đẳng thức:

(a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³

Ta có: $\left( {\sqrt[3]{2} + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1} \right)$

$= {\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^3} + {1^3} = 2 + 1 = 3$

Câu 3. Tính

a) ${\left( {\sqrt[3]{5} + 1} \right)^3} - 3\sqrt[3]{5}\left( {\sqrt[3]{5} + 1} \right)$

b) ${\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3}} \right)^3} + 6\sqrt[3]{2}\left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)$

Hướng dẫn giải

a) ${\left( {\sqrt[3]{5} + 1} \right)^3} - 3\sqrt[3]{5}\left( {\sqrt[3]{5} + 1} \right)$

$= 5 + 3\sqrt[3]{{25}} + 3\sqrt[3]{5} + 1 - 3\sqrt[3]{{25}} - 3\sqrt[3]{5} = 6$

b) ${\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3}} \right)^3} + 6\sqrt[3]{2}\left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)$

$\begin{gathered} = 4 - 3\sqrt[3]{{32}} + 3\sqrt[3]{{16}} - 2 + 6\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 6 - 6\sqrt[3]{4} + 6\sqrt[3]{2} - 2 + 6\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{2} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 4. Tính $A = \sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}} - \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}}$

Hướng dẫn giải

Để tính giá trị của A, ta tính A³ sau đó suy ra A.

Bạn nên nhớ hằng đẳng thức (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b).

Ta có:

$\begin{gathered} {A^3} = {\left( {\sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}} - \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}}} \right)^3} \hfill \\ \hfill \\ {A^3} = {\left( {\left( {\sqrt 5 + 2} \right) - \left( {\sqrt 5 - 2} \right)} \right)^3} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ - 3\sqrt[3]{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}} - \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {A^3} = 4 - 3A \Rightarrow {A^3} + 3A - 4 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {A - 1} \right)\left( {{A^2} + A + 4} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow A - 1 = 0\left( {do{\text{ }}{A^2} + A + 4 > 0} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy A = 1

Câu 5. Rút gọn biểu thức.

a) $\sqrt[3]{{{x^3} + 1 + 3x\left( {x + 1} \right)}}$

b) $\frac{{x + 1}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{{{x^3} + 1 + 3x\left( {x + 1} \right)}} = \sqrt[3]{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = x + 1$

b) $\frac{{x + 1}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt[3]{x} + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1} \right)}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}} = \sqrt[3]{x} + 1$

Dạng 4. Giải phương trình

[content_5]

Phương pháp giải

– Nếu x³ = a thì $x = \sqrt[3]{a}$

– Nếu x³ = b thì x = b³

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải phương trình

a) $\sqrt[3]{{x + 7}} - 3 = 1$

b) $\sqrt[3]{{1 - {x^2}}} + 2 = 0$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt[3]{{x + 7}} - 3 = 1$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 7}} = 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x + 7 = 64 \Leftrightarrow x = 57\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có: $\sqrt[3]{{1 - {x^2}}} + 2 = 0$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{1 - {x^2}}} = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 1 - {x^2} = - 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Giải phương trình

$\sqrt[3]{{1000x}} - \sqrt[3]{{64x}} - \sqrt[3]{{27x}} = 15$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\sqrt[3]{{1000x}} - \sqrt[3]{{64x}} - \sqrt[3]{{27x}} = 15$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 10\sqrt[3]{x} - 4\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[3]{x} = 15\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{x} = 15\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{x} = 5\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 125\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 5. Chứng minh đẳng thức

[content_6]

Phương pháp giải

Biến đổi hai vế của đẳng thức cùng bằng một biểu thức.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Chứng minh rằng nếu:

ax³ = by³ = cz³ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ thì $\sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}$

Hướng dẫn giải

Ta đặt ax³ = by³ = cz³ = t suy ra

$a = \frac{t}{{{x^3}}},b = \frac{t}{{{y^3}}},c = \frac{t}{{{z^3}}}$

Ta có:

$\begin{gathered} \sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}} \hfill \\ \hfill \\ = \sqrt[3]{{\frac{t}{{{x^3}}}{x^2} + \frac{t}{{{y^3}}}{y^2} + \frac{t}{{{z^3}}}{z^2}}} \hfill \\ \hfill \\ = \sqrt[3]{{\frac{t}{x} + \frac{t}{y} + \frac{t}{z}}} \hfill \\ \hfill \\ = \sqrt[3]{{t\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}} = \sqrt[3]{t}{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Ta lại có:

$\begin{gathered} \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} \hfill \\ \hfill \\ = \sqrt[3]{{\frac{t}{{{x^3}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{t}{{{y^3}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{t}{{{z^3}}}}} \hfill \\ \hfill \\ = \frac{{\sqrt[3]{t}}}{x} + \frac{{\sqrt[3]{t}}}{y} + \frac{{\sqrt[3]{t}}}{z} \hfill \\ \hfill \\ = \sqrt[3]{t}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \sqrt[3]{t}{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) ta có:

$\sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}$ (đpcm)

Câu 2. Chứng minh đẳng thức:

$x + y + z - 3\sqrt[3]{{xyz}} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)$ $\times \left[ {{{\left( {\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{z}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{z} - \sqrt[3]{x}} \right)}^2}} \right]$

Từ đó suy ra bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm x, y, z: $\frac{{x + y + z}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{xyz}}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} VT = \left( {x + y} \right) + z - 3\sqrt[3]{{xyz}} \hfill \\ \hfill \\ = {\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right)^3} - 3\sqrt[3]{{xy}}\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right) + z - 3\sqrt[3]{{xy}} \hfill \\ \hfill \\ = {\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)^3} - 3\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right)\sqrt[3]{z}\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right) - 3\sqrt[3]{{xy}}\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right) \hfill \\ \hfill \\ = \left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)}^2} - 3\left( {\sqrt[3]{{xy}} + \sqrt[3]{{yz}} + \sqrt[3]{{zx}}} \right)} \right] \hfill \\ \hfill \\ = \left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} - \sqrt[3]{{xy}} - \sqrt[3]{{yz}} - \sqrt[3]{{zx}}} \right) \hfill \\ \hfill \\ = \left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)\frac{1}{2}\left( {2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{{{y^2}}} + 2\sqrt[3]{{{z^2}}} - 2\sqrt[3]{{xy}} - 2\sqrt[3]{{yz}} - 2\sqrt[3]{{zx}}} \right) \hfill \\ \hfill \\ = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{z}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{z} - \sqrt[3]{x}} \right)}^2}} \right] \hfill \\ \hfill \\ = VP \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy ta có đẳng thức

Suy ra với 3 số không âm x, y, z:

Do đó:

$x + y + z \geqslant 3\sqrt[3]{{xyz}} \Leftrightarrow \frac{{x + y + z}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{xyz}}$

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z.

Dạng 6. Giải phương trình

[content_7]

Phương pháp giải

Áp dụng: $\sqrt[3]{A} = B \Leftrightarrow A = {B^3}$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải các phương trình

a) $\sqrt[3]{{2x + 1}} = 2$

b) $\sqrt[3]{{1 - 2x}} = - 2$

c) $\sqrt[3]{{x - 2}} + 2 = x$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{{2x + 1}} = 2 \Leftrightarrow 2x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = \frac{7}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{7}{2}$

b) $\sqrt[3]{{1 - 2x}} = - 2 \Leftrightarrow 1 - 2x = - 8 \Leftrightarrow x = \frac{9}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{9}{2}$

c) $\sqrt[3]{{x - 2}} + 2 = x$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x - 2}} = x - 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x - 2 = {\left( {x - 2} \right)^3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 2 = 0 \hfill \\ {\left( {x - 2} \right)^2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 1; x = 2; x = 3

Câu 2. Giải phương trình:

a) $\sqrt[3]{{{x^3} + 9{x^2}}} = x + 3$

b) $\sqrt[3]{{5 + x}} - x = 5$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{{{x^3} + 9{x^2}}} = x + 3$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^3} + 9{x^2}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^3} + 9{x^2} = {\left( {x + 3} \right)^3} = {x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 27x + 27 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) $\sqrt[3]{{5 + x}} - x = 5$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{5 + x}} = x + 5\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x + 5 = {\left( {x + 5} \right)^3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left[ {{{\left( {x + 5} \right)}^2} - 1} \right] = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + 5 = 0 \hfill \\ {\left( {x + 5} \right)^2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + 5 = 0 \hfill \\ x + 5 = 1 \hfill \\ x + 5 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 5 \hfill \\ x = - 4 \hfill \\ x = - 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

eduverbalearn0313