Số thực, trục số thực.
+) Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.
+) Tập hợp các số thực được kí hiệu là ℝ.
+) Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực. Vì vậy, người ta gọi trục số là trục số thực.
⨂ Chú ý:
+) Mỗi số thực a đều có một số đối kí hiệu là –a.
+) Tập số thực cũng có các phép toán với các tính chất như trong tập số hữu tỉ.
Thứ tự trong tập hợp các số thực.
+) Các số thực đều viết được dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn). Vì thế có thể có thể so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân.
+) Với a, b ∈ ℝ ta có a = b hoặc a < b hoặc a > b.
+) Cho a, b, c ∈ ℝ. Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu).
+) Nếu 0 < a < b thì ![\[\sqrt a < \sqrt b \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-1.svg)
Giá trị tuyệt đối của một số thực
Khoảng cách từ điểm a trên trục số đến gốc O là giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu |a|.
⋆ Nhận xét:
+) Giá trị tuyệt đối của 0 là 0.
+) Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó.
+) Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó.
⋆ Các tính chất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối
Với a ∈ ℝ thì:
⋄ |a| ≥ 0;
⋄ |a| = |–a|;
⋄ |a| ≥ a;
⋄ |a| = 0 khi a = 0;
⋄ |a| = a khi a ≥ 0;
⋄ |a| = –a khi a ≤ 0.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Tập hợp số thực – So sánh các số hữu tỉ
Phương pháp giải
Sử dụng kí hiệu của tập hợp số
+) Bạn cần nhớ: quan hệ giữa các tập hợp số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ và I ⊂ ℝ.
+) Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là ℕ;
+) Tập hợp các số nguyên kí hiệu là ℤ;
+) Tập hợp các số hữu tỉ kí hiệu là ℚ;
+) Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là I;
+) Tập hợp các số thực kí hiệu là ℝ;
So sánh các số thực
+) Việc so sánh các số thực được làm tương tự như so sánh các số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân.
+) Đặc biệt với a, b là hai số thực dương thì:
![\[a \leqslant b \Leftrightarrow \sqrt a \leqslant \sqrt b ;{\text{ }}a \leqslant b \Leftrightarrow {a^2} \leqslant {b^2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-2.svg)
Bài toán.
⋆ Nhận biết
Bài 1. Điền ký hiệu ∈, ∉, ⊂ vào ô trống để được khẳng định đúng.
a) –5 
ℚ
b) ![\[\frac{2}{{ - 3}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-3.svg)
I
c) ![\[\frac{3}{{ - 5}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-4.svg)
ℝ
d) ℕ ℤ ℚ ℝ
e) ![\[ - \sqrt {25} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-5.svg)
ℕ
f) ![\[\sqrt {17} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-6.svg)
ℝ
Hướng dẫn giải
a) –5 
ℚ
b) 
I
c) ℝ
d) ℕ 
ℤ ℚ ℝ
e) ℕ
f) ℝ
Bài 2. Điền các kí hiệu ∈, ∉, ⊂ vào các ô trống:
a) –0,33 ℚ
b) 0,5241 I
c) 1,4142135… ℝ
d) ℚ ℝ
Hướng dẫn giải
a) –0,33 ℚ
b) 0,5241 I
c) 1,4142135… ℝ
d) ℚ ℝ
Bài 3. Điền kí hiệu thích hợp vào ô trống để được khẳng định đúng?
a) 3 I
b) I ℝ
Hướng dẫn giải
a) 3 I
b) I ℝ
Bài 4. Tìm số đối của các số ![\[0,75; - \frac{8}{{13}};\sqrt 7 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-7.svg)
Hướng dẫn giải
Số đối của 0,75 là –0,75
Số đối của ![\[ - \frac{8}{{13}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-8.svg)
là ![\[\frac{8}{{13}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-9.svg)
Số đối của ![\[\sqrt 7 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-10.svg)
là ![\[ - \sqrt 7 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-11.svg)
Bài 5. So sánh các số thực:
a) 3,7373737373… với 3,7474747474…
b) –0,1845 và –0,184147…
c) 6,8218218… và 6,6218
d) –7,321321321…và –7,325
Hướng dẫn giải
a) 3,7373737373… < 3,7474747474…
b) –0,1845 < –0,184147…
c) 6,8218218… > 6,6218
d) –7,321321321… > –7,325
Bài 6. So sánh số 1,7(32) với số ![\[\sqrt 3 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-12.svg)
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\sqrt 3 = 1,732050808... < 1,7\left( {32} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-13.svg)
⋆ Thông hiểu
Bài 7. Tìm số lớn nhất trong các số sau:
![\[\sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2}} ;8,32;\sqrt {69} ; - \sqrt {100} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-14.svg)
Hướng dẫn giải
![\[\sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2}} = 8;{\text{ }}\sqrt {69} = 8,306623...; - \sqrt {100} = - 10\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-15.svg)
Vì –10 < 8 < 8,306623… < 8,32
Vậy số lớn nhất là 8,32.
Bài 8. Không dùng máy tính, cho biết trong hai khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) ![\[\sqrt {65} + 1 > \sqrt {63} - 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-16.svg)
b) ![\[\frac{1}{{\sqrt 8 }} < \frac{1}{{\sqrt 7 }}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-17.svg)
Hướng dẫn giải
a) Đúng
Vì ![\[\sqrt {65} > \sqrt {63} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-18.svg)
do đó
b) Đúng
Vì ![\[\sqrt 8 > \sqrt 7 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-19.svg)
do đó
Bài 9. So sánh (không dùng máy tính): ![\[\sqrt {34,9} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-20.svg)
và 6.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[6 = \sqrt {36} > \sqrt {34,9} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-21.svg)
Bài 10. So sánh các số thực sau:
a) ![\[\sqrt {24} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-22.svg)
và 5
b) ![\[\sqrt {81 \cdot 100} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-23.svg)
và ![\[\sqrt {81} \cdot \sqrt {100} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-24.svg)
c) ![\[\sqrt {0,16} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-25.svg)
và 0,4
d) ![\[4\sqrt 9 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-26.svg)
và ![\[\sqrt {145} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-27.svg)
Hướng dẫn giải
a) Vì ![\[\sqrt {24} < \sqrt {25} = 5\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-28.svg)
nên ![\[\sqrt {24} < 5\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-29.svg)
b) Ta có:
![\[\begin{gathered} \sqrt {81 \cdot 100} = \sqrt {8100} = \sqrt {{{90}^2}} = 90 \hfill \\ \sqrt {81} \cdot \sqrt {100} = 9 \cdot 10 = 90\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-30.svg)
Vậy ![\[\sqrt {81 \cdot 100} = \sqrt {81} \cdot \sqrt {100} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-31.svg)
c) Ta có: ![\[\sqrt {0,16} = \sqrt {{{\left( {0,4} \right)}^2}} = 0,4\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-32.svg)
Vậy ![\[\sqrt {0,16} = 0,4\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-33.svg)
d) Ta có: ![\[4\sqrt 9 = 4 \cdot 3 = 12\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-34.svg)
và ![\[\sqrt {145} > \sqrt {144} = 12\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-34a.svg)
Vậy ![\[4\sqrt 9 < \sqrt {145} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-35.svg)
Bài 11. Tìm các số thực không âm x, biết:
a) ![\[\sqrt x = 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-36.svg)
b) ![\[\sqrt x = 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-37.svg)
c) ![\[\sqrt x = 2\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-38.svg)
d) ![\[\sqrt x = 3\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-39.svg)
Hướng dẫn giải
a) ![\[\sqrt x = 0 \Rightarrow x = 0{\text{ }}\left( {TM} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-40.svg)
Vậy x = 0.
b) ![\[\sqrt x = 1 \Rightarrow x = 1{\text{ }}\left( {TM} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-41.svg)
Vậy x =1.
c) ![\[\sqrt x = 2 \Rightarrow x = 4{\text{ }}\left( {TM} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-42.svg)
Vậy x = 4.
d) ![\[\sqrt x = 3 \Rightarrow x = 9{\text{ }}\left( {TM} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-43.svg)
Vậy x = 9.
Bài 12. Thực hiện phép tính
a) ![\[\sqrt 4 + \sqrt 9 + \sqrt {16} + \sqrt {25} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-44.svg)
b) ![\[\sqrt {81} - \sqrt {64} + \sqrt {49} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-45.svg)
c) ![\[\sqrt {\frac{1}{4}} + \sqrt {\frac{1}{9}} - \sqrt {\frac{1}{{36}}} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-46.svg)
d) ![\[\sqrt {1,44} + \sqrt {1,69} - \sqrt {1,96} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-47.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[ = 2 + 3 + 4 + 5 = 14\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-48.svg)
b)
![\[ = 9 - 8 + 7 = 8\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-49.svg)
c)
![\[\begin{gathered} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \hfill \\ = \frac{{3 + 2 - 1}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-50.svg)
d)
![\[ = 1,2 - 1,3 - 1,4 = - 1,5\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-51.svg)
⋆ Vận dụng
Bài 13. Sắp xếp các số thực sau theo thứ tự tăng dần:
a) ![\[1,4142135;{\text{ }}0,\left( 3 \right);{\text{ }}\sqrt {10} ;{\text{ }}3;{\text{ }}\sqrt {25 \cdot 4} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-52.svg)
b) ![\[\sqrt {0,5} ;{\text{ }} - 0,\left( 4 \right);{\text{ }}3\sqrt 4 ;{\text{ }}0,3;{\text{ }}\sqrt {35} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-53.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
![\[\begin{gathered} 0,\left( 3 \right) = \frac{1}{3} \hfill \\ \sqrt {10} > \sqrt 9 = 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \sqrt {25 \cdot 4} = \sqrt {100} = 10 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-54.svg)
Mà ![\[\frac{1}{3} < 1,4142135 < 3 < \sqrt {10} < 10\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-55.svg)
![\[ \Rightarrow 0,\left( 3 \right) < 1,4142135 < 3 < \sqrt {10} < \sqrt {25 \cdot 4} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-56.svg)
c) Ta có:
![\[\begin{gathered} \sqrt {0,5} > \sqrt {0,09} = \sqrt {{{\left( {0,3} \right)}^2}} = 0,3 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {0,5} > 0,3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 3\sqrt 4 = 3 \cdot 2 = 6 = \sqrt {36} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-57.svg)
Mà ![\[\sqrt {36} > \sqrt {35} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-58.svg)
![\[ \Rightarrow 3\sqrt 4 > \sqrt {35} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-58a.svg)
Mà ![\[ - 0,\left( 4 \right) < 0,3 < \sqrt {0,5} < \sqrt {35} < \sqrt {36} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-59.svg)
![\[ \Rightarrow - 0,\left( 4 \right) < 0,3 < \sqrt {0,5} < \sqrt {35} < 3\sqrt 4 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-59a.svg)
Bài 14. Tìm x, biết:
a) ![\[\sqrt {x - 1} = 1,{\text{ }}\left( {x \geqslant 1} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-60.svg)
b) ![\[\sqrt {x + 2} = 2,{\text{ }}\left( {x \geqslant - 2} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-61.svg)
c) ![\[\sqrt {19 - x} = 19,{\text{ }}\left( {x \leqslant 19} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-62.svg)
d) ![\[\sqrt {{x^2} + 1} = 3\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-63.svg)
Hướng dẫn giải
a) ![\[\sqrt {x - 1} = 1 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2{\text{ }}\left( {TM} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-64.svg)
Vậy x = 2
b) ![\[\sqrt {x + 2} = 2 \Rightarrow x + 2 = {2^2} \Rightarrow x = 2{\text{ }}\left( {TM} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-65.svg)
Vậy x = 2.
c) ![\[\sqrt {19 - x} = 19\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-66.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow 19 - x = {19^2} \hfill \\ \Rightarrow 19 - x = 361\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = - 342{\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-66a.svg)
Vậy x = −342.
d)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow {x^2} + 1 = {3^2} \hfill \\ \Rightarrow {x^2} = 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = \pm \sqrt 8 {\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-67.svg)
Vậy x = ± 8.
Bài 15. Tìm x, biết:
a) x2 – 2 = 0
b) 5 – x2 = 1
c) (1 – x)2 = 3
d) ![\[{\left( {x - 1} \right)^2} + \frac{1}{7} = 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-68.svg)
Hướng dẫn giải
a) x2 – 2 = 0 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = ![\[ \pm \sqrt 2 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-69.svg)
b) 5 – x2 = 1 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2
c) ![\[{\left( {1 - x} \right)^2} = 3\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-70.svg)
![\[ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 1 - x = \sqrt 3 \hfill \\ 1 - x = - \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ x = 1 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-71.svg)
d) ![\[{\left( {x - 1} \right)^2} + \frac{1}{7} = 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = - \frac{1}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-72.svg)
Vì (x – 1)2 ≥ 0 mà ![\[ - \frac{1}{7} < 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-72a.svg)
⇒ Không có giá trị nào của x thỏa mãn đề bài
Vậy không có x thỏa mãn đề bài.
Bài 16. Thực hiện phép tính:
a) ![\[4\sqrt {25} - 2\sqrt {\frac{4}{9}} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-72b.svg)
b) ![\[ - 5\sqrt {16} + \sqrt {0,25} - 3\sqrt {\frac{{16}}{{25}}} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-72c.svg)
c) ![\[\sqrt {\frac{1}{4}} \cdot \sqrt {1,21} - \sqrt {0,09} + \sqrt {36} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-73.svg)
d) ![\[\left( {\frac{3}{2}\sqrt {\frac{4}{{25}}} + 3\sqrt {0,04} } \right):\sqrt {\frac{9}{{64}}} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-74.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} = 4 \cdot 5 - 2 \cdot \frac{2}{3} \hfill \\ = 20 - \frac{4}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{60}}{3} - \frac{4}{3} = \frac{{56}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-75.svg)
b)
![\[\begin{gathered} = - 5 \cdot 4 + 0,5 - 3 \cdot \frac{4}{5} \hfill \\ = - 20 + \frac{1}{2} - \frac{{12}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{ - 200}}{{10}} + \frac{5}{{10}} - \frac{{24}}{{10}} = \frac{{ - 219}}{{10}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-76.svg)
c)
![\[ = 0,5 \cdot 1,1 - 0,3 + 6 = 6,25\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-77.svg)
d)
![\[\begin{gathered} = \left( {\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5}} \right) \cdot \frac{8}{3} \hfill \\ = \left( {\frac{3}{5} + \frac{3}{5}} \right) \cdot \frac{8}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{{16}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-78.svg)
Bài 17. Thực hiện phép tính:
a) ![\[5\sqrt {81} - 6\sqrt {\frac{{49}}{4}} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-79.svg)
b) ![\[ - 5\sqrt {0,25} + \sqrt {196} - 5\sqrt {\frac{{36}}{{25}}} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-80.svg)
c) ![\[\sqrt {\frac{4}{9}} \cdot \sqrt {1,44} + \sqrt {0,81} + \sqrt {1,21} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-81.svg)
d) ![\[\left( {5 \cdot \sqrt {\frac{9}{{225}}} + \frac{7}{{20}} \cdot \sqrt {400} } \right):\sqrt {\frac{9}{{144}}} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-82.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot \frac{7}{2} \hfill \\ = 45 - 21\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 24 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-83.svg)
b)
![\[\begin{gathered} = - 5 \cdot 0,5 + 13 - 5 \cdot \frac{6}{5} \hfill \\ = - 2,5 + 13 - 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = - 4,5 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-84.svg)
c)
![\[\begin{gathered} = \frac{2}{3} \cdot 1,2 + 0,9 + 1,1 \hfill \\ = 0,8 + 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 2,8 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-85.svg)
d)
![\[\begin{gathered} = \left( {5 \cdot \frac{3}{{15}} + \frac{7}{{20}} \cdot 20} \right):\frac{3}{{12}} \hfill \\ = \left( {1 + 7} \right):\frac{3}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 32 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-86.svg)
Câu 18. Hai bạn Hoa và Mai chuẩn bị đi dã ngoại cùng một nhóm bạn lớp 7A. Để chuẩn bị cho chuyến đi dã ngoại hai bạn đã đi mua một số đồ. Hoa mua ![\[\frac{1}{3}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-87.svg)
gói dâu tây, biết một gói dâu tây có giá 400000 đồng. Một thùng nước ngọt giá 250000 đồng, Mai mua ![\[\frac{1}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-88.svg)
thùng nước này. Hỏi trong hai người, ai mua hết nhiều tiền hơn?
Hướng dẫn giải
Ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{{400000}}{3} > \frac{{390000}}{3} = 130000 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = \frac{{260000}}{2} > \frac{{250000}}{2} = 125000\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-89.svg)
Từ đó suy ra: ![\[\frac{{400000}}{3} > \frac{{250000}}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-90.svg)
Vậy Hoa mua hết nhiều tiền hơn Mai.
⋆ Vận dụng cao
Bài 19.
a) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: ![\[A = \frac{2}{{\sqrt x + 3}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-91.svg)
b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: ![\[A = \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-92.svg)
Hướng dẫn giải
a) Xét
Ta có:
![\[\begin{gathered} \sqrt x \geqslant 0,{\text{ }}\forall x \geqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt x + 3 \geqslant 3,{\text{ }}\forall x \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + 3}} \leqslant \frac{2}{3},{\text{ }}\forall x \geqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow A \leqslant \frac{2}{3},{\text{ }}\forall x \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-93.svg)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
A có giá trị lớn nhất bằng ![\[\frac{2}{3}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-94.svg)
khi x = 0
b) Xét
Ta có:
![\[\begin{gathered} \sqrt x \geqslant 0,{\text{ }}\forall x \geqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt x + 2 \geqslant 2,{\text{ }}\forall x \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 2}} \leqslant \frac{5}{2},{\text{ }}\forall x \geqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow A \leqslant \frac{5}{2},{\text{ }}\forall x \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-95.svg)
Dấu “=” xảy ra khi x = 0
Giá trị lớn nhất của A là ![\[\frac{5}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-96.svg)
khi x = 0
Bài 20.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ![\[D = \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-97.svg)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ![\[D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-98.svg)
Hướng dẫn giải
a) Xét
Ta có:
![\[\begin{gathered} - \sqrt x \leqslant 0,{\text{ }}\forall x \geqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2 - \sqrt x \leqslant - 2,{\text{ }}\forall x \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }} \geqslant \frac{3}{{ - 2}},{\text{ }}\forall x \geqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow D \geqslant - \frac{3}{2},{\text{ }}\forall x \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-99.svg)
Dấu “=”xảy ra khi x = 0
Vậy D có giá trị nhỏ nhất bằng ![\[ - \frac{3}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-100.svg)
khi x = 0
b) Xét
Ta có:
![\[\begin{gathered} - \sqrt x \leqslant 0,{\text{ }}\forall x \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow - 3 - \sqrt x \leqslant - 3,{\text{ }}\forall x \geqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }} \geqslant \frac{6}{{ - 3}},{\text{ }}\forall x \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow D \geqslant - 2,{\text{ }}\forall x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-101.svg)
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của D là 2 khi x = 0.
Bài 21. Tìm x nguyên để ![\[\frac{{x - 5}}{{x + 2}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-102.svg)
có giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
![\[\frac{{x - 5}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 7}}{{x + 2}} = 1 - \frac{7}{{x + 2}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-103.svg)
Để nhận giá trị nguyên thì ![\[\frac{7}{{x + 2}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-104.svg)
nguyên
Do đó: x + 2 ∈ Ư(7) = {–1; 1; –7; 7}
Vậy x ∈ {–3; –1; –9; 5}
Dạng 2. Giá trị tuyệt đối của một số thực.
Phương pháp giải
+) Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu là |x|
Được xác định như sau: ![\[\left| x \right| = \left\{ \begin{gathered} x{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ - x{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-105.svg)
+) Với x ∈ ℝ, |x| = a khi đó:
⋄ Nếu a = 0 thì x = 0;
⋄ Nếu a > 0 thì x = a hoặc x = –a;
⋄ Nếu a < 0 thì x ∈ ∅
⨂ Chú ý:
⋄ Ta có: |kx| ≥ 0 ⇒ |kx| + a ≥ a; –|kx| + a ≤ a
Dấu “=” xảy ra ⇔ kx = 0
⋄ Ta có: |kx + b| ≥ 0 ⇒ |kx + b| + a ≥ a; –|kx + b| + a ≤ a
Dấu “=” xảy ra ⇔ kx + b = 0
⋄ Ta có: |a| + |b| ≥ |a + b|
Dấu “=” xảy ra khi ab ≥ 0
Bài toán.
⋆ Nhận biết
Bài 1. Tìm |x| biết:
a) ![\[x = \frac{{ - 4}}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-106.svg)
b) ![\[x = \frac{{ - 3}}{{ - 11}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-107.svg)
c) ![\[x = - 0,749\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-108.svg)
d) ![\[x = - 5\frac{1}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-109.svg)
Hướng dẫn giải
a) ![\[\left| {\frac{{ - 4}}{7}} \right| = \frac{4}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-110.svg)
b) ![\[\left| {\frac{{ - 3}}{{ - 11}}} \right| = \frac{3}{{11}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-111.svg)
c) ![\[\left| { - 0,749} \right| = 0,749\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-112.svg)
d) ![\[\left| { - 5\frac{1}{7}} \right| = 5\frac{1}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-113.svg)
Bài 2. Tính:
a) |–0,17|
b) |12,5 – 16,5|
Hướng dẫn giải
a) |–0,17| = 0,17
b) |12,5 – 16,5| = |–4| = 4
Bài 3. Tính:
a) |2,5| + |7,5|
b) 1,2⋅|–3| + 6,4
c) ![\[\left| {\frac{{ - 7}}{2}} \right| + \left| {\frac{{15}}{2}} \right|\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-114.svg)
Hướng dẫn giải
a) |2,5| + |7,5| = 2,5 + 7,5 = 10
b) 1,2⋅|–3| + 6,4 = 1,2⋅3 + 6,4 = 10
c) ![\[\left| {\frac{{ - 7}}{2}} \right| + \left| {\frac{{15}}{2}} \right| = \frac{7}{2} + \frac{{15}}{2} = \frac{{22}}{2} = 11\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-115.svg)
Bài 4. Tìm x, biết:
a) |x| = 13
b) |x| = –17
Hướng dẫn giải
a) |x| = 13 ⇒ x = ±13
Vậy x = ±13
b) Vì |x| ≥ 0 với mọi x
Vậy không tìm được giá trị x thoả mãn |x| = –17
Bài 5. Tìm x, biết:
a) |x| = 1,2
b) ![\[\left| x \right| = \frac{3}{4}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-116.svg)
Hướng dẫn giải
a) |x| = 1,2 ⇒ x = ±1,2
b) ![\[\left| x \right| = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{3}{4}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-117.svg)
⋆ Thông hiểu
Bài 6. Tìm số đối của các số
![\[\left| { - 5,5} \right|;\left| {\frac{3}{8}} \right|;\left| { - \frac{7}{{11}}} \right|\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-118.svg)
Hướng dẫn giải
Ta có:
![\[\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \left| { - 5,5} \right| = 5,5; \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} \left| {\frac{3}{8}} \right| = \frac{3}{8}; \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \left| { - \frac{7}{{11}}} \right| = \frac{7}{{11}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{} \end{array}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-119.svg)
Vậy số đối của |–5,5| là –5,5
Số đối của ![\[\left| {\frac{3}{8}} \right|\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-120.svg)
là ![\[ - \frac{3}{8}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-121.svg)
Số đối của ![\[\left| { - \frac{7}{{11}}} \right|\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-122.svg)
là ![\[ - \frac{7}{{11}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-123.svg)
Bài 7. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) |–5,9| – 2
b) |–1,6|⋅|3,6| – |–2,2|
c) ![\[ - \left| { - \frac{2}{5}} \right| + \left| {\frac{2}{5}} \right| - \left( { - \frac{3}{7}} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-124.svg)
Hướng dẫn giải
a) |–5,9| – 2 = 5,9 – 2 = 3,9
b) |–1,6|⋅|3,6| – |–2,2|
= 1,6⋅3,6 – 2,2
= 5,76 – 2,2 = 3,56
c)
![\[\begin{gathered} = - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{7} \hfill \\ = 0 + \frac{3}{7} = \frac{3}{7}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-125.svg)
Bài 8. Tính:
a) ![\[\frac{{ - 6}}{{25}} + \left| { - \frac{4}{5}} \right| - \left| {\frac{2}{{25}}} \right|\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-126.svg)
b) ![\[\frac{5}{9} - \left| { - \frac{3}{5}} \right| + \left| {\frac{4}{9}} \right| + \left| {\frac{8}{5}} \right|\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-127.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} = \frac{{ - 6}}{{25}} + \frac{4}{5} - \frac{2}{{25}} \hfill \\ = \frac{{ - 6}}{{25}} + \frac{{20}}{{25}} - \frac{2}{{25}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{12}}{{25}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-128.svg)
b)
![\[\begin{gathered} = \frac{5}{9} - \frac{3}{5} + \frac{4}{9} + \frac{8}{5} \hfill \\ = \left( {\frac{5}{9} + \frac{4}{9}} \right) + \left( { - \frac{3}{5} + \frac{8}{5}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{9}{9} + \frac{5}{5} \hfill \\ = 1 + 1 = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-129.svg)
Bài 9. Cho a = |–6|; b = |3|; c = –|–2|, hãy tính:
a) |a + b + (–c)|
b) |–a – b – c|
Hướng dẫn giải
Ta có: a = |–6| = 6; b = |3| = 3; c = –|–2| = –2. Do đó:
a) |a + b + (–c)| = |6 + 3 + 2| = |11| = 11
b) |–a – b – c| = |–6 – 3 + 2| = |–7| = 7
Bài 10. So sánh:
a) |7 + 11| và |7| + |11|
b) |8 + (–15)| và |8| + |–15|
Hướng dẫn giải
a) |7 + 11| = |18| = 18
|7| + |11| = 7 + 11 = 18
Vậy |7 + 11| = |7| + |11|
b) |8 + (–15)| = |–7| = 7
|8| + |–15| = 8 + 15 = 23
Vậy |8 + (–15)| ≤ |8| + |–15|
Bài 11. Tìm x, biết:
a) |1,8 – x| = 0,5
b) ![\[\left| {x + \frac{2}{7}} \right| = 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-130.svg)
c) |3x – 2| = 4
Hướng dẫn giải
a) |1,8 – x| = 0,5
⇒ 1,8 – x = ±0,5
TH1: 1,8 – x = 0,5 ⇔ x = 1,3
TH2: 1,8 – x = –0,5 ⇔ x = 2,3
Vậy x = 1,3 hoặc x = 2,3
b) ![\[\left| {x + \frac{2}{7}} \right| = 1 \Rightarrow x + \frac{2}{7} = \pm 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-131.svg)
TH1: ![\[x + \frac{2}{7} = 1 \Rightarrow x = 1 - \frac{2}{7} \Rightarrow x = \frac{5}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-132.svg)
TH2: ![\[x + \frac{2}{7} = - 1 \Rightarrow x = - 1 - \frac{2}{7} \Rightarrow x = \frac{{ - 9}}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-133.svg)
Vậy ![\[x = \frac{5}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-134.svg)
hoặc ![\[x = \frac{{ - 9}}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-135.svg)
c) |3x – 2| = 4
⇒ 3x – 2 = ±4
TH1: 3x – 2 = 4 ⇔ x = 2
TH2: 3x – 2 = –4 ⇔ x = ![\[\frac{{ - 2}}{3}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-136.svg)
Vậy x = 2 hoặc x =
⋆ Vận dụng
Bài 12. Tìm x, biết:
a) ![\[\left| {\sqrt 2 - x} \right| = \sqrt 2 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-137.svg)
b) ![\[\left| {x - 1} \right| = \sqrt 3 + 2\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-138.svg)
c) |x – 3| = 3 – 1
Hướng dẫn giải
a) ![\[\left| {\sqrt 2 - x} \right| = \sqrt 2 \Rightarrow \sqrt 2 - x = \pm \sqrt 2 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-139.svg)
TH1: ![\[\sqrt 2 - x = \sqrt 2 \Rightarrow x = 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-140.svg)
TH2: ![\[\sqrt 2 - x = - \sqrt 2 \Rightarrow x = 2\sqrt 2 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-141.svg)
Vậy ![\[x \in \left\{ {0;{\text{ }}2\sqrt 2 } \right\}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-142.svg)
b) ![\[\left| {x - 1} \right| = \sqrt 3 + 2 \Rightarrow x - 1 = \pm \left( {\sqrt 3 + 2} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-143.svg)
TH1: ![\[x - 1 = \sqrt 3 + 2 \Rightarrow x = 3 + \sqrt 3 \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-144.svg)
TH2: ![\[x - 1 = - \sqrt 3 - 2 \Rightarrow x = - \sqrt 3 - 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-145.svg)
Vậy ![\[x \in \left\{ { - \sqrt 3 - 1;{\text{ }}3 + \sqrt 3 } \right\}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-146.svg)
c) |x – 3| = 3 – 1
⇒ x – 3 = ±2
TH1: x – 3 = 2 ⇔ x = 5
TH2: x – 3 = –2 ⇔ x = 1
Vậy x ∈ {5; 1}
Bài 13. Tìm x biết:
a) ![\[\left| {\frac{1}{4} - x} \right| + \frac{2}{3} = \frac{1}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-147.svg)
b) |2x – 1| + 2 = 5
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{4} - x} \right| = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{4} - x} \right| = - \frac{1}{6}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-148.svg)
Vì ![\[\left| {\frac{1}{4} - x} \right| \geqslant 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-149.svg)
với mọi x
⇒ Không tìm được giá trị của x thỏa mãn.
b) |2x – 1| + 2 = 5
⇒ |2x – 1| = 3
TH1: 2x – 1 = 3 ⇔ x = 2
TH2: 2x – 1 = –3 ⇔ x = –1
Vậy x = 2 hoặc x = –1
Bài 14. Tìm các số không âm x, biết:
a) |x|⋅(4x – 3) = 0
b) ![\[\left| {x - \frac{1}{2}} \right| - \frac{1}{4} = \frac{3}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-150.svg)
Hướng dẫn giải
a) |x|⋅(4x – 3) = 0
TH1: |x| = 0 ⇒ x = 0 (thỏa mãn)
TH2: 4x – 3 = 0 ⇒ x = ![\[\frac{3}{4}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-116a.svg)
(thỏa mãn)
Vậy x = 0 hoặc x =
b)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow \left| {x - \frac{1}{2}} \right| = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} \hfill \\ \Rightarrow \left| {x - \frac{1}{2}} \right| = \frac{7}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x - \frac{1}{2} = \pm \frac{7}{4} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-151.svg)
TH1: ![\[x - \frac{1}{2} = \frac{7}{4} \Rightarrow x = \frac{9}{4}{\text{ }}\left( {TM} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-152.svg)
TH2: ![\[x - \frac{1}{2} = - \frac{7}{4} \Rightarrow x = \frac{{ - 5}}{4}{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-153.svg)
Vậy ![\[x = \frac{9}{4}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-154.svg)
Bài 15. Tìm x biết:
a) |5x – 3| = |7 – x|
b) |2x – 1| = |1 – x|
Hướng dẫn giải
a) |5x – 3| = |7 – x|
TH1: 5x – 3 = 7 – x
⇔ 6x = 10 ⇔ x = ![\[\frac{5}{3}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-155.svg)
TH2: 5x – 3 = x – 7
⇔ 4x = –4 ⇔ x = –1
Vậy x = hoặc x = –1
b) |2x – 1| = |1 – x|
TH1: 2x – 1 = 1 – x
⇔ 3x = 2 ⇔ x =
TH2: 2x – 1 = x – 1 ⇔ x = 0
Vậy x = hoặc x = 0
Bài 16. Tìm x biết:
a) ![\[\left| {2x - 1} \right| - 2x = - 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-156.svg)
b) ![\[\left| {1 - 3x} \right| + 1 = 3x\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-157.svg)
c) ![\[\left| {x - \frac{1}{2}} \right| + \frac{1}{2} = x\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-158.svg)
d) ![\[\left| {2x - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{3} - 2x\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-159.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| = 2x - 1 \hfill \\ \Rightarrow 2x - 1 \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-160.svg)
b)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left| {1 - 3x} \right| = 3x - 1 \hfill \\ \Rightarrow 1 - 3x \leqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x \geqslant \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-161.svg)
c)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left| {x - \frac{1}{2}} \right| = x - \frac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow x - \frac{1}{2} \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-162.svg)
d)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left| {2x - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{3} - 2x \hfill \\ \Rightarrow 2x - \frac{1}{3} \leqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x \leqslant \frac{1}{6} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-163.svg)
⋆ Vận dụng cao
Bài 17. Rút gọn:
a) A = |x| + x
b) C = |x – 1| – x
Hướng dẫn giải
a) A = |x| + x
TH1: Nếu x ≥ 0 thì |x| = x
Khi đó: A = x + x = 2x
TH2: Nếu x < 0 thì |x| = –x
Khi đó: A = –x + x = 0
Vậy A = 2x khi x ≥ 0
A = 0 khi x < 0
b) C = |x – 1| – x
TH1: Nếu x ≥ 1 thì |x – 1| = x – 1
Khi đó: C = x – 1 – x = –1
TH2: Nếu x < 1 thì |x – 1| = 1 – x
Khi đó: C = 1 – x – x = 1 – 2x
Vậy C = –1 khi x ≥ 1
C = 1 – 2x khi x < 1
Bài 18. Tìm x biết:
a) |3x – 1| + x = 2 khi x < 2
b) |x + 8| + |x – 2| = 0
c) |x2 – 1| = 0
d) |x2 + 1| = 0
Hướng dẫn giải
a) |3x – 1| + x = 2 khi x < 2
⇒ |3x – 1| = 2 – x
TH1: 3x – 1 = 2 – x ⇔ x =
TH2: 3x – 1 = x – 2 ⇔ x = ![\[ - \frac{1}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-164.svg)
Vậy x = hoặc x =
b) Vì |x + 8| ≥ 0 và |x – 2| ≥ 0 với mọi x.
Nên |x + 8| + |x – 2| = 0
Khi |x + 8| = 0 và |x – 2| = 0
Suy ra: x + 8 = 0 và x – 2 = 0
⇒ x = –8 và x = 2
⇒ x ∈ ∅
Vậy không tìm được giá trị x thoả mãn.
c) |x2 – 1| = 0
⇒ x2 – 1 = 0 ⇒ x = ±1
Vậy x = ±1
d) |x2 + 1| = 0
Vì x2 ≥ 0 với mọi x nên x2 + 1 ≥ 0 với mọi x
Vậy không tìm được giá trị x thoả mãn |x2 + 1| = 0
Bài 19. Rút gọn các biểu thức sau: E = 2|x + 1| + 3|x|
Hướng dẫn giải
E = 2|x + 1| + 3|x|
TH1: Nếu x < –1 thì |x + 1| = –x – 1 và |x| = –x. Khi đó:
E = 2⋅(– x – 1) + 3⋅(–x) = –2x – 2 – 3x = –5x – 2
TH2: Nếu –1 ≤ x < 0 thì |x + 1| = x + 1 và |x| = –x. Khi đó:
E = 2⋅(x + 1) + 3⋅(– x) = 2x + 2 – 3x = –x + 2
TH3: Nếu x ≥ 0 thì |x + 1| = x + 1 và |x| = x. Khi đó:
E = 2⋅(x + 1) + 3x = 2x + 2 + 3x = 5x + 2
Vậy E = –5x – 2 khi x < –1
E = –x + 2 khi –1 ≤ x < 0
E = 5x + 2 khi x ≥ 0
Bài 20. Tìm x, y, z ∈ ℚ biết:
a) ![\[\left| {x + \frac{3}{4}} \right| + \left| {y - 1} \right| = 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-165.svg)
b) ![\[\left| {x - \frac{1}{2}} \right| + \left| {y - \frac{1}{3}} \right| + \left| {x + y + z} \right| = 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-166.svg)
Hướng dẫn giải
a) Vì ![\[\left| {x + \frac{3}{4}} \right| \geqslant 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-167.svg)
và ![\[\left| {y - 1} \right| \geqslant 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-168.svg)
với mọi x, y ∈ ℚ. Nên
![\[\begin{gathered} \left| {x + \frac{3}{4}} \right| + \left| {y - 1} \right| = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left| {x + \frac{3}{4}} \right| = 0 \hfill \\ \left| {y - 1} \right| = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + \frac{3}{4} = 0 \hfill \\ y - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{3}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-169.svg)
Vậy ![\[x = - \frac{3}{4};{\text{ }}y = 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-170.svg)
b) Vì ![\[\left| {x - \frac{1}{2}} \right| \geqslant 0;\left| {y - \frac{1}{3}} \right| \geqslant 0;\left| {x + y + z} \right| \geqslant 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-171.svg)
với mọi x, y, z ∈ ℚ. Nên
![\[\begin{gathered} \left| {x - \frac{1}{2}} \right| + \left| {y - \frac{1}{3}} \right| + \left| {x + y + z} \right| = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left| {x - \frac{1}{2}} \right| = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \left| {y - \frac{1}{3}} \right| = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \left| {x + y + z} \right| = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x - \frac{1}{2} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y - \frac{1}{3} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x + y + z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = \frac{{ - 5}}{6}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-172.svg)
Vậy ![\[x = \frac{1}{2};{\text{ }}y = \frac{1}{3};{\text{ }}x = \frac{{ - 5}}{6}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-173.svg)
Bài 21. Tìm x thoả mãn 2|x + 1| + 3|x| = 12
Hướng dẫn giải
2|x + 1| + 3|x| = 12
TH1: Nếu x < –1 thì |x + 1| = –x – 1 và |x| = –x. Khi đó:
2(–x – 1) + 3(–x) = 12
⇔ –2x – 2 – 3x = 12
⇔ –5x = 14
⇔ x = ![\[ - \frac{{14}}{5}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-174.svg)
(TM)
TH2: Nếu –1 ≤ x < 0 thì |x + 1| = x + 1 và |x| = –x. Khi đó:
2(x + 1) + 3(–x) = 12
⇔ 2x + 2 – 3x = 12
⇔ x = –10 (không TM)
TH3: Nếu x ≥ 0 thì |x + 1| = x + 1 và |x| = x. Khi đó:
2(x + 1) + 3x = 12
⇔ 2x + 2 + 3x = 12
⇔ 5x = 10
⇔ x = 2 (TM)
Vậy x = ; x = 2
Bài 22. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) ![\[A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right|\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-175.svg)
b) B = x2 + |y – 2| – 5
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\left| {x - \frac{1}{2}} \right| \geqslant 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-176.svg)
với mọi x
Do đó: ![\[A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right| \geqslant \frac{1}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-177.svg)
với mọi x
Dấu “=” xảy ra, tức ![\[A = \frac{1}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-178.svg)
khi
![\[\left| {x - \frac{1}{2}} \right| = 0 \Rightarrow x - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-179.svg)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi x =
b) Ta có: x2 ≥ 0 với mọi x;
|y – 2| với mọi y
Do đó: B = x2 + |y – 2| – 5 ≥ –5 với mọi x, y
Dấu “=” xảy ra, tức B = –5 khi ![\[\left\{ \begin{gathered} {x^2} = 0 \hfill \\ \left| {y - 2} \right| = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-180.svg)
Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng –5 khi ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-181.svg)
Bài 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C = |3x – 5| + |3x – 9|
Hướng dẫn giải
C = |3x – 5| + |3x – 9| = |3x – 5| + |9 – 3x| ≥ |3x – 5 + 9 – 3x|
Do đó: C ≥ |4| ⇒ C ≥ 4
Dấu “=” xảy ra, tức C = 4 khi |3x – 5| + |9 – 3x| ≥ 0
TH1: ![\[\left\{ \begin{gathered} 3x - 5 \geqslant 0 \hfill \\ 9 - 3x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \frac{5}{3} \hfill \\ x \leqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{5}{3} \leqslant x \leqslant 3\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-182.svg)
TH2: ![\[\left\{ \begin{gathered} 3x - 5 \leqslant 0 \hfill \\ 9 - 3x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x \leqslant \frac{5}{3} \hfill \\ x \geqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-183.svg)
⇒ Không tìm được x thoả mãn.
Vậy giá trị nhỏ nhất của C = 4 khi ![\[\frac{5}{3} \leqslant x \leqslant 3\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-184.svg)
Bài 24. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A = 8 – 6|x – 2|
b) ![\[B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-185.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: |x – 2| ≥ 0, ∀x.
Do đó: A = 8 – 6|x – 2| ≤ 8, ∀x.
Dấu “=” xảy ra, tức A = 8 khi |x – 2| = 0 ⇒ x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của A = 8 khi x = 2.
b) Ta có: ![\[\left| {x - 1} \right| \geqslant 0,{\text{ }}\forall x\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-186.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow 2\left| {x - 1} \right| + 3 \geqslant 3,{\text{ }}\forall x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}} \leqslant \frac{1}{3},{\text{ }}\forall x \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/so-thuc-187.svg)
Dấu “=” xảy ra, tức B = khi |x – 1| = 0 ⇒ x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của B = khi x = 1.
