Dãy tỉ số bằng nhau: Tính chất và các dạng bài tập

Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức

Định nghĩa

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ còn được viết: a ∶ b = c ∶ d

Trong đó:

+) a, b, c, d là các số hạng của tỉ lệ thức

+) a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ

+) b và d là các số hạng trong hay trung tỉ

Tính chất

Tính chất 1 (tính chất cơ bản)

Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì ad = bc

Tính chất 2 (tính chất hoán vị)

Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d};\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\frac{d}{b} = \frac{c}{a};\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

+) Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ta suy ra

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}{\text{ }}\left( {b \ne \pm d} \right)$

+) Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ ta suy ra

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}} = \ldots$

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Chú ý:

+) Khi có dãy tỉ số $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}$ ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a ∶ b ∶ c = 2 ∶ 3 ∶ 5.

+) Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ suy ra:

$\begin{gathered} {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{d}} \right)^2} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}; \hfill \\ k \cdot \frac{a}{b} = k \cdot \frac{c}{d}{\text{ }}\left( {k \ne 0} \right);\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{{k_1}a}}{{{k_1}b}} = \frac{{{k_2}c}}{{{k_2}d}}{\text{ }}\left( {{k_1},{k_2} \ne 0} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ suy ra

$\begin{gathered} {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = {\left( {\frac{c}{d}} \right)^3} = {\left( {\frac{e}{f}} \right)^3} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}; \hfill \\ {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm một số hạng chưa biết

Phương pháp

Áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức:

Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc$

$\Rightarrow a = \frac{{bc}}{d};{\text{ }}b = \frac{{ad}}{c};{\text{ }}c = \frac{{ad}}{b}$

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm x biết:

a) $- 0,52:x = - 9,36:16,38$

b) $\frac{{x - 3}}{{5 - x}} = \frac{5}{7}$

c) $\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x + 4}}{{x + 7}}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\begin{gathered} - 0,52:x = - 9,36:16,38 \hfill \\ \Rightarrow 9,36 \cdot x = 0,52 \cdot 16,38\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = \frac{{0,52 \cdot 16,38}}{{9,36}} = 0,91 \hfill \\ \end{gathered}$

b) Cách 1: Ta có:

$\begin{gathered} \frac{{x - 3}}{{5 - x}} = \frac{5}{7} \hfill \\ \Rightarrow 7\left( {x - 3} \right) = 5\left( {5 - x} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 7x - 21 = 25 - 5x \hfill \\ \Rightarrow 12x = 46\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = 3\frac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered}$

Cách 2: Từ $\frac{{x - 3}}{{5 - x}} = \frac{5}{7} \Rightarrow \frac{{x - 3}}{5} = \frac{{5 - x}}{7}$

Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{{x - 3}}{5} = \frac{{5 - x}}{7} = \frac{{x - 3 + 5 - x}}{{5 + 7}} = \frac{2}{{16}} = \frac{1}{6}$

Do đó:

$\frac{{x - 3}}{5} = \frac{1}{6} \Rightarrow x - 3 = \frac{5}{6} \Rightarrow x = 3\frac{5}{6}$

c) Cách 1: Ta có:

$\begin{gathered} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x + 4}}{{x + 7}} \hfill \\ \Rightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 7} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + 5x - 14 = {x^2} + 3x - 4 \hfill \\ \Rightarrow 2x = 10\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = 5 \hfill \\ \end{gathered}$

Cách 2: Từ $\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x + 4}}{{x + 7}} \Rightarrow \frac{{2 - x}}{{1 - x}} = \frac{{x + 4}}{{x + 7}}$

Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{{2 - x}}{{1 - x}} = \frac{{x + 4}}{{x + 7}} = \frac{{2 - x + x + 4}}{{1 - x + x + 7}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Do đó:

$\begin{gathered} \frac{{2 - x}}{{1 - x}} = \frac{3}{4} \hfill \\ \Rightarrow 4\left( {2 - x} \right) = 3\left( {1 - x} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 8 - 4x = 3 - 3x \hfill \\ \Rightarrow 4x - 3x = 8 - 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = 5 \hfill \\ \end{gathered}$

Tìm nhiều số hạng chưa biết

Dạng 1: Tìm các số x, y, z thỏa mãn: $\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}{\text{ }}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x + y + z = d{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(trong đó a, b, c, a + b + c ≠ 0 và a, b, c, d là các số cho trước)

Cách giải:

Cách 1:

Đặt $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = ka \hfill \\ y = kb \hfill \\ z = kc \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Thay x = ka, y = kb, z = kc vào (2) ta có:

$\begin{gathered} ka + kb + kc = d \hfill \\ \Rightarrow k\left( {a + b + c} \right) = d\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow k = \frac{d}{{a + b + c}} \hfill \\ \end{gathered}$

Từ đó tìm được:

$x = \frac{{ad}}{{a + b + c}};{\text{ }}y = \frac{{bd}}{{a + b + c}};{\text{ }}z = \frac{{cd}}{{a + b + c}}$

Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \frac{d}{{a + b + c}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = \frac{{ad}}{{a + b + c}};{\text{ }}y = \frac{{bd}}{{a + b + c}};{\text{ }}z = \frac{{cd}}{{a + b + c}} \hfill \\ \end{gathered}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm x, y biết rằng:

a) $\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$ và 2x – y = 3

b) $\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$ và xy = 10

Hướng dẫn giải

a) Từ tỉ số $\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$

$\Rightarrow \frac{{2x}}{4} = \frac{{ - y}}{{ - 5}} = \frac{{2x - y}}{{4 - 5}} = \frac{3}{{ - 1}} = - 3$

Do đó: x = (–3) ⋅ 2 = –6 và y = 5 ⋅ (–3) = –15

b) Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2k \hfill \\ y = 5k \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Khi đó: xy = 2k ⋅ 5k = 10k² = 10 ⇒ x = ±1

Với k = 1 ta có: x = 2, y = 5.

Với k = –1 ta có x = –2, y = –5.

Ví dụ 2. Tìm x, y, z biết rằng:

a) $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ và x + y + z = 27

b) $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{ - z}}{4}$ và x + y – z = 9

Hướng dẫn giải

a) Cách 1:

Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2k \hfill \\ y = 3k \hfill \\ z = 4k \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Từ x + y + z = 27 ta suy ra:

2k + 3k + 4k = 27 ⇒ 9k = 27 ⇒ k = 3

Khi đó x = 2 ⋅ 3 = 6; y = 3 ⋅ 3 = 9; z = 4 ⋅ 3 = 12

Vậy x = 6; y = 9; z = 12

Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 4}} = \frac{{27}}{9} = 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \cdot 3 = 6 \hfill \\ y = 3 \cdot 3 = 9 \hfill \\ z = 4 \cdot 3 = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{ - z}}{4} = \frac{{x + y - z}}{{2 + 3 + 4}} = \frac{9}{9} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \cdot 1 = 2 \hfill \\ y = 3 \cdot 1 = 3 \hfill \\ z = \left( { - 4} \right) \cdot 1 = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 2: Cho x, y, z thỏa mãn: $\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}{\text{ }}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x + y + z = d{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Bằng cách biến đổi các điều kiện (1) và (2) ta được các bài toán phức tạp hơn.

Các cách điến đổi thường gặp:

+) Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:

⋄ k₁x + k₂y + k₃z = e

⋄ k₁x² + k₂y² + k₃z² = f

⋄ xyz = g

+) Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:

$\begin{gathered} \bullet {\text{ }}\frac{x}{{{a_1}}} = \frac{y}{{{a_2}}};{\text{ }}\frac{y}{{{a_3}}} = \frac{z}{{{a_4}}} \hfill \\ \bullet {\text{ }}{a_2}x = {a_1}y;{\text{ }}{a_4}y = {a_3}z\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \bullet {\text{ }}{b_1}x = {b_2}y = {b_3}z \hfill \\ \bullet {\text{ }}\frac{{{b_1}x - {b_3}z}}{a} = \frac{{{b_2}y - {b_1}x}}{b} = \frac{{{b_3}z - {b_2}y}}{c}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \bullet {\text{ }}\frac{{{x_1} - {b_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{{y_2} - {b_2}}}{{{a_2}}} = \frac{{{z_3} - {b_3}}}{{{a_3}}} \hfill \\ \end{gathered}$

+) Thay đổi cả hai điều kiện.

Ví dụ 1. Tìm x, y, z biết rằng:

a) $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ và 2x + 3y – 5z = –21

b) 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = 14

Hướng dẫn giải

a) Cách 1:

Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2k \hfill \\ y = 3k \hfill \\ z = 4k \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do đó: 2x + 3y – 5z = 2 ⋅ 2k + 3 ⋅ 3k – 5 ⋅ 4k = –21

⇒ 4k + 9k – 20k = –21

⇒ –7k = –21

⇒ k = 3

Vì thế: x = 2 ⋅ 3 = 6; y = 3 ⋅ 3 = 9; z = 4 ⋅ 3 = 14

Cách 2: Từ $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$

$\frac{{2x}}{4} = \frac{{3y}}{9} = \frac{{5z}}{{20}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{{2x}}{4} = \frac{{3y}}{9} = \frac{{5z}}{{20}} = \frac{{2x + 3y - 5z}}{{4 + 9 - 20}} = \frac{{ - 21}}{{ - 7}} = 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \cdot 3 = 6 \hfill \\ y = 3 \cdot 3 = 9 \hfill \\ z = 4 \cdot 3 = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

b) Từ 6x = 4y = 3z

$\Rightarrow \frac{{6x}}{{12}} = \frac{{4y}}{{12}} = \frac{{3z}}{{12}} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{{2x}}{4} = \frac{{3y}}{9} = \frac{{5z}}{{20}} = \frac{{2x + 3y - 5z}}{{4 + 9 - 20}} = \frac{{14}}{{ - 7}} = - 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \cdot \left( { - 2} \right) = - 4 \hfill \\ y = 3 \cdot \left( { - 2} \right) = - 6 \hfill \\ z = 4 \cdot \left( { - 2} \right) = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Ví dụ 2. Tìm x, y, z biết rằng:

a) $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ và a² – b² + 2c² = 108

b) x ∶ y ∶ z = 3 ∶ 4 ∶ 5 và 2x² + 2y² – 3z² = –100

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{b^2}}}{9} = \frac{{{c^2}}}{{16}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{b^2}}}{9} = \frac{{{c^2}}}{{16}} = \frac{{{a^2} - {b^2} + 2{c^2}}}{{4 - 9 + 32}} = \frac{{108}}{{27}} = 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{{a^2}}}{4} = 4 \Rightarrow {a^2} = 16 \Rightarrow a = \pm 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{{b^2}}}{9} = 4 \Rightarrow {b^2} = 36 \Rightarrow b = \pm 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{{c^2}}}{{16}} = 4 \Rightarrow {c^2} = 64 \Rightarrow c = \pm 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy a = 4, b = 6, c = 8 hoặc a = –4, b = –6, c = –8.

b) Ta có: x ∶ y ∶ z = 3 ∶ 4 ∶ 5 nên

$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}} = \frac{{{z^2}}}{{25}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}} = \frac{{{z^2}}}{{25}} = \frac{{2{x^2} + 2{y^2} - 3{z^2}}}{{18 + 32 - 75}} = \frac{{ - 100}}{{ - 25}} = 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2}}}{9} = 4 \Rightarrow {x^2} = 36 \Rightarrow a = \pm 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{{y^2}}}{{16}} = 4 \Rightarrow {y^2} = 64 \Rightarrow b = \pm 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{{z^2}}}{{25}} = 4 \Rightarrow {z^2} = 100 \Rightarrow c = \pm 10\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy x = 6, x = 8, z = 10 hoặc x = –6, y = –8, z = –10.

Ví dụ 3. Tìm x, y, z biết rằng:

a) $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ và xyz = 648

b) $\frac{{40}}{{x - 30}} = \frac{{20}}{{y - 15}} = \frac{{28}}{{z - 21}}$ và xyz = 22400

Hướng dẫn giải

a) Cách 1:

Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2k \hfill \\ y = 2k \hfill \\ z = 4k \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do đó: xyz = (2k) ⋅ (3k) ⋅ (4k) = 648

$\Rightarrow 24{k^3} = 648 \Rightarrow {k^3} = \frac{{648}}{{24}} = 27 \Rightarrow k = 3$

Vì thế: x = 2 ⋅ 3 = 6; y = 3 ⋅ 3 = 9; z = 4 ⋅ 3 = 14

Cách 2: Từ $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$

$\begin{gathered} \Rightarrow {\left( {\frac{x}{2}} \right)^3} = \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{3} \cdot \frac{z}{4} = \frac{{xyz}}{{24}} = \frac{{648}}{{24}} = 27 \hfill \\ \Rightarrow \frac{{{x^3}}}{8} = 27 \Rightarrow {x^3} = 216 \Rightarrow x = 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Từ đó tìm được y = 9; z = 12.

b) Từ giả thiết suy ra:

$\begin{gathered} \frac{{x - 30}}{{40}} = \frac{{y - 15}}{{20}} = \frac{{z - 21}}{{28}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{x}{{40}} - \frac{3}{4} = \frac{y}{{20}} - \frac{3}{4} = \frac{z}{{28}} - \frac{3}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{x}{{40}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{28}} \hfill \\ \end{gathered}$

Đặt $\frac{x}{{40}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{28}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 40k \hfill \\ y = 20k \hfill \\ z = 28k \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Mà xyz = 22400

⇒ (40k) ⋅ (20k) ⋅ (28k) = 22400

⇒ 22400k = 22400

⇒ k = 1

Do đó: $\left\{ \begin{gathered} x = 40k \hfill \\ y = 20k \hfill \\ z = 28k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 40 \hfill \\ y = 20 \hfill \\ z = 28 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ví dụ 4. Tìm x, y, z biết rằng:

a) $\frac{x}{6} = \frac{y}{9};{\text{ }}x = \frac{z}{2}$ và x + y + z = 27

b) 3x = 2y; 4x = 2z và x + y + z = 27

Hướng dẫn giải

a) Do $\frac{x}{6} = \frac{y}{9} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3};{\text{ }}x = \frac{z}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{z}{4}$

Suy ra: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

b) Từ $3x = 2y \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ ; $4x = 2z \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{z}{4}$

Suy ra: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Ví dụ 5. Tìm x, y, z biết rằng:

a) $\frac{{3x + 25}}{{144}} = \frac{{2y - 169}}{{25}} = \frac{{z + 144}}{{169}}$ và 3x + 2y + z = 169

b) $\frac{{6x - 3z}}{5} = \frac{{4y - 6x}}{7} = \frac{{3z - 4y}}{9}$ và 2x + 3y – 5z = 14

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}\frac{{3x + 25}}{{144}} = \frac{{2y - 169}}{{25}} = \frac{{z + 144}}{{169}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {3x + 2y + z} \right) + \left( {25 - 169 + 144} \right)}}{{338}} = \frac{{169}}{{338}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

Do đó:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{3x + 25}}{{144}} = \frac{1}{2} \Rightarrow 3x + 25 = 72 \Rightarrow x = \frac{{47}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{2y - 169}}{{25}} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2y - 169 = \frac{{25}}{2} \Rightarrow y = \frac{{363}}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{z + 144}}{{169}} = \frac{1}{2} \Rightarrow z + 144 = \frac{{169}}{2} \Rightarrow z = - \frac{{119}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}\frac{{6x - 3z}}{5} = \frac{{4y - 6x}}{7} = \frac{{3z - 4y}}{9} \hfill \\ = \frac{{6x - 3z + 4y - 6x + 3z - 4y}}{{5 + 7 + 9}} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 6x = 3z;{\text{ }}4y = 6x;{\text{ }}3z = 4y \hfill \\ \end{gathered}$

Từ 6x = 4y = 3z

$\Rightarrow \frac{{6x}}{{12}} = \frac{{4y}}{{12}} = \frac{{3z}}{{12}} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{{2x}}{4} = \frac{{3y}}{9} = \frac{{5z}}{{20}} = \frac{{2x + 3y - 5z}}{{4 + 9 - 20}} = \frac{{14}}{{ - 7}} = - 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 4 \hfill \\ y = - 6 \hfill \\ z = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Nhận xét: Các dạng toán vận dụng tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau luôn rất phong phú và đa dạng, ở trên mình chỉ trình bày một số dạng thông thường được giao, ở nhiều bài toán chúng ta cần vận dụng kiến thức một cách linh hoạt để giải tốt các bài toán. Sau đây sẽ là một số bài toán hay và khó:

Chứng minh đẳng thức

Bài toán: Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Cần chứng minh tỉ lệ thức $\frac{x}{y} = \frac{m}{n}$ , ta thường làm các phương pháp sau:

Phương pháp 1. Chứng tỏ rằng: ad = bc.

Phương pháp 2: Đặt k là giá trị chung của các tỉ số $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ . Tính các tỉ số $\frac{x}{y};\frac{m}{n}$ theo k.

Phương pháp 3: Dùng biến đổi đại số và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để từ tỉ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỉ lệ thức phải chứng minh.

Phương pháp 1. Chứng tỏ rằng: ad = bc.

Ví dụ 1. Cho a, b, c, d khác 0 từ tỉ lệ thức: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ hãy suy ra tỉ lệ thức: $\frac{{a - b}}{a} = \frac{{c - d}}{c}$

Hướng dẫn giải

Xét tích: (a – b)c = ac – bc (1); a(c – d) = ac – ad (2)

Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc{\text{ }}\left( 3 \right)$

Từ (1), (2), (3) suy ra:

$\left( {a - b} \right)c = a\left( {c - d} \right) \Rightarrow \frac{{a - b}}{a} = \frac{{c - d}}{c}$

Ví dụ 2. Cho a, b, c thỏa mãn a² = bc:

a) Chứng minh: $\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + a}}{{c - a}}{\text{ }}\left( {a \ne b,{\text{ }}a \ne c} \right)$

b) Chứng minh: $\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {a^2}}} = \frac{c}{d}{\text{ }}\left( {b \ne 0} \right)$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

(a + b)(c – a) = ac + bc – (a² + ab)

(c + a)(a – b) = ac + a² – (ab + bc)

Do đó: (a + b)(c – a) – (c + a)(a – b)

= ac + bc – (a² + ab) – ac – a² + (ab + bc)

= 2(bc – a²)

Mặt khác theo giả thiết: a² = bc suy ra:

$\begin{gathered} \left( {a + b} \right)\left( {c - a} \right) = \left( {c + a} \right)\left( {a - b} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + a}}{{c - a}} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có: b(a² + c²) – c(b² + a²)

= b(a² – bc) + c(bc – a²)

= (a² – bc)(b – c) = 0

Suy ra: $\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {a^2}}} = \frac{c}{d}{\text{ }}\left( {b \ne 0} \right)$

Phương pháp 2. Đặt k là giá trị chung của các tỉ số $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ . Tính các tỉ số $\frac{x}{y};\frac{m}{n}$ theo k.

Ví dụ 1. Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}{\text{ }}\left( {c \ne 0} \right)$ . Chứng minh rằng:

a) ${\left( {\frac{{a - b}}{{c - d}}} \right)^2} = \frac{{ab}}{{cd}}{\text{ }}\left( {d,c \ne 0;{\text{ }}c \ne d} \right)$

b) ${\left( {\frac{{a + b}}{{c + d}}} \right)^3} = \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{c^3} - {d^3}}}$

Hướng dẫn giải

a) Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = bk \hfill \\ c = dk \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Ta có:

$\begin{gathered} {\left( {\frac{{a - b}}{{c - d}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{bk - b}}{{dk - d}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}{{\left( {k - 1} \right)}^2}}}{{{d^2}{{\left( {k - 1} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{b}{d}} \right)^2}\left( 1 \right) \hfill \\ \frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{\left( {bk} \right)b}}{{\left( {dk} \right)d}} = \frac{{k{b^2}}}{{k{d^2}}} = {\left( {\frac{b}{d}} \right)^2}\left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) ta có:

${\left( {\frac{{a - b}}{{c - d}}} \right)^2} = \frac{{ab}}{{cd}}{\text{ }}\left( {d,c \ne 0;{\text{ }}c \ne d} \right)$

b) Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = bk \hfill \\ c = dk \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Ta có:

$\begin{gathered} {\left( {\frac{{a + b}}{{c + d}}} \right)^3} = {\left( {\frac{{bk + b}}{{dk + d}}} \right)^3} = \frac{{{b^3}{{\left( {k + 1} \right)}^3}}}{{{d^3}{{\left( {k + 1} \right)}^3}}} = {\left( {\frac{b}{d}} \right)^3}\left( 1 \right) \hfill \\ \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{c^3} - {d^3}}} = \frac{{{{\left( {bk} \right)}^3} - {b^3}}}{{{{\left( {dk} \right)}^3} - {d^3}}} = \frac{{{b^3}{{\left( {k + 1} \right)}^3}}}{{{d^3}{{\left( {k + 1} \right)}^3}}} = {\left( {\frac{b}{d}} \right)^3}\left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) ta có:

${\left( {\frac{{a + b}}{{c + d}}} \right)^3} = \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{c^3} - {d^3}}}$

Ví dụ 2. Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Chứng minh rằng: $\frac{{2a + 5b}}{{3a - 4b}} = \frac{{2c + 5d}}{{3c - 4d}}$

Hướng dẫn giải

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = bk \hfill \\ c = dk \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Ta có:

$\begin{gathered} \frac{{2a + 5b}}{{3a - 4b}} = \frac{{2bk + 5b}}{{3bk - 4b}} = \frac{{b\left( {2k + 5} \right)}}{{b\left( {3k - 4} \right)}} = \frac{{2k + 5}}{{3k - 4}}{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \frac{{2c + 5d}}{{3c - 4d}} = \frac{{2dk + 5d}}{{3dk - 4d}} = \frac{{d\left( {2k + 5} \right)}}{{d\left( {3k - 4} \right)}} = \frac{{2k + 5}}{{3k - 4}}{\text{ }}\left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{{2a + 5b}}{{3a - 4b}} = \frac{{2c + 5d}}{{3c - 4d}}$

Phương pháp 3. Dùng biến đổi đại số và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để từ tỉ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỉ lệ thức phải chứng minh.

Ví dụ 1. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ với a, b, c, d ≠ 0. Chứng minh: $\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}$

Phân tích ngược tìm hướng giải:

$\begin{gathered} \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{ac}}{{bd}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{ac}}{{bd}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{d}} \right)^2} = \frac{{ac}}{{bd}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Hướng dẫn giải

Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{d}} \right)^2}$

$\Rightarrow \frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Mà theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}$

Ví dụ 2. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ với a, b, c, d ≠ 0 va c ≠ d. Chứng minh: $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}}$

Phân tích ngược tìm hướng giải:

$\begin{gathered} \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {\frac{{a - b}}{{c - d}}} \right)^2} = \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{d}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{a - b}}{{c - d}} = \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \hfill \\ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Hướng dẫn giải

Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{a - b}}{{c - d}}$

$\Rightarrow \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{d} = {\left( {\frac{{a - b}}{{c - d}}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}}$

Hay $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}}$

Ví dụ 3. Biết $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}$ . Chứng minh rằng: $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}} \hfill \\ = \frac{{abz - acy + bcx - baz + cay - cbx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = 0 \Rightarrow abz = acy \Rightarrow \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = 0 \Rightarrow bcx = baz \Rightarrow \frac{z}{c} = \frac{x}{a}\left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$

Ví dụ 4. Cho $\frac{x}{{a + 2b + c}} = \frac{y}{{2a + b - c}} = \frac{z}{{4a - 4b + c}}$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a}{{x + 2y + z}} = \frac{b}{{2x + y - z}} = \frac{c}{{4x - 4y + z}}$ (với abc ≠ 0 và các mẫu đều khác 0)

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \bullet {\text{ }}\frac{x}{{a + 2b + c}} = \frac{y}{{2a + b - c}} = \frac{z}{{4a - 4b + c}} \hfill \\ = \frac{{x + 2y + z}}{{a + 2b + c + 4a + 2b - 2c + 4a - 4b + c}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x + 2y + z}}{{9a}}{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \bullet {\text{ }}\frac{x}{{a + 2b + c}} = \frac{y}{{2a + b - c}} = \frac{z}{{4a - 4b + c}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2x + y - z}}{{2a + 4b + 2c + 2a + b - c - 4a + 4b - c}} \hfill \\ = \frac{{2x + y - z}}{{9b}}{\text{ }}\left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \bullet {\text{ }}\frac{x}{{a + 2b + c}} = \frac{y}{{2a + b - c}} = \frac{z}{{4a - 4b + c}} \hfill \\ = \frac{{4x - 4y + z}}{{4a + 8b + 4c - 8a - 4b + 4c + 4a - 4b + c}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{4x - 4y + z}}{{9c}}{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1), (2), (3) suy ra:

$\begin{gathered} \frac{{x + 2y + z}}{{9a}} = \frac{{2x + y - z}}{{9b}} = \frac{{4x - 4y + z}}{{9c}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{a}{{x + 2y + z}} = \frac{b}{{2x + y - z}} = \frac{c}{{4x - 4y + z}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Ví dụ 5. Cho 4 số khác 0 là a₁, a₂, a₃, a₄ thỏa mãn: $a_2^2 = {a_1}{a_3};{\text{ }}a_3^3 = {a_2}{a_4}$ . Chứng minh:

$\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}$

Hướng dẫn giải

Từ $\left\{ \begin{gathered} a_2^2 = {a_1}{a_3} \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ a_3^3 = {a_2}{a_4} \Rightarrow \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}$

$\Rightarrow \frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \cdot \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} \cdot \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\left( 3 \right)$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}}\left( 4 \right)$

Từ (3) và (4) suy ra: $\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}$

Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 1. Cho các số a, b, c thỏa mãn: $\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{a + c - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}$ . Tính $A = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}$

Hướng dẫn giải

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{a + c - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a} \hfill \\ = \frac{{\left( {a + b - c} \right) + \left( {a + b - c} \right) + \left( {b + c - a} \right)}}{{a + b + c}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a + b - c = c \hfill \\ a + b - c = b \hfill \\ b + c - a = a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a + b = 2c \hfill \\ a + c = 2b \hfill \\ b + c = 2a \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow A = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}} = \frac{{2c \cdot 2a \cdot 2b}}{{abc}} = 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Ví dụ 2. Cho $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$ và $\frac{y}{5} = \frac{z}{6}$ . Tính $M = \frac{{2x + 3y + 4z}}{{3x + 4y + 5z}}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \left. \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow \frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}\frac{y}{5} = \frac{z}{6} \Rightarrow \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}} \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}}\left( 1 \right) \hfill \\ \left( 1 \right) \Rightarrow \frac{{2x}}{{30}} = \frac{{3y}}{{60}} = \frac{{4z}}{{96}} = \frac{{2x + 3y + 4z}}{{30 + 60 + 96}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \left( 1 \right) \Rightarrow \frac{{3x}}{{45}} = \frac{{4y}}{{80}} = \frac{{5z}}{{120}} = \frac{{3x + 4y + 5z}}{{45 + 80 + 120}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{2x + 3y + 4z}}{{30 + 60 + 96}}:\frac{{3x + 4y + 5z}}{{45 + 80 + 120}} = \frac{{2x}}{{30}}:\frac{{3x}}{{45}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{2x + 3y + 4z}}{{186}} \cdot \frac{{245}}{{3x + 4y + 5z}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow M = \frac{{2x + 3y + 4z}}{{3x + 4y + 5z}} = \frac{{186}}{{245}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Ví dụ 3. Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện:

$\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b}$

Hãy tính giá trị của biểu thức:

$B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)$

Hướng dẫn giải

+) Nếu a + b + c ≠ 0

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{gathered} _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b} \hfill \\ = \frac{{b + c - a + c + a - b + a + b - c}}{{a + b + c}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Mà $\frac{{a + b - c}}{c} + 1 = \frac{{b + c - a}}{a} + 1 = \frac{{c + a - b}}{b} + 1 = 2$

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b} = 2 \hfill \\ B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }} = \left( {\frac{{b + a}}{a}} \right)\left( {\frac{{c + a}}{c}} \right)\left( {\frac{{b + c}}{b}} \right) = 8 \hfill \\ \end{gathered}$

Nếu $a + b + c = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a + b = - c \hfill \\ b + c = - a \hfill \\ a + c = - b \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\begin{gathered} B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right) \hfill \\ _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }} = \left( {\frac{{a + b}}{a}} \right)\left( {\frac{{a + c}}{c}} \right)\left( {\frac{{b + c}}{b}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }} = \frac{{ - c}}{a} \cdot \frac{{ - b}}{c} \cdot \frac{{ - a}}{b} = - 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Ví dụ 4. Cho $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ . Tính giá trị biểu thức: $C = \frac{{5{x^2} + 3{y^2}}}{{10{x^2} - 3{y^2}}}$

Hướng dẫn giải

Đặt $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3k \hfill \\ y = 5k \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Khi đó:

$\begin{gathered} C = \frac{{5{x^2} + 3{y^2}}}{{10{x^2} - 3{y^2}}} = \frac{{5{{\left( {3k} \right)}^2} + 3{{\left( {5k} \right)}^2}}}{{10{{\left( {3k} \right)}^2} - 3{{\left( {5k} \right)}^2}}} \hfill \\ _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }} = \frac{{45{k^2} + 75{k^2}}}{{90{k^2} - 75{k^2}}} = \frac{{120{k^2}}}{{15{k^2}}} = 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1.

a) Nếu b > 0, d > 0 thì từ $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ suy ra được: $\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}$

b) Nếu b > 0, d > 0 thì từ $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ suy ra được: $\frac{a}{b} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\left. \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \hfill \\ b > 0;d > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow ad < bc{\text{ }}\left( 1 \right)$

Thêm vào hai vế của (1) với ab ta có:

$\begin{gathered} ad + ab < bc + ab \hfill \\ \Rightarrow a\left( {b + d} \right) < b\left( {c + a} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}}{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Thêm vào hai vế của (1) với dc ta có:

$\begin{gathered} ad + dc < bc + dc \hfill \\ \Rightarrow d\left( {a + c} \right) < c\left( {b + d} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + d}} < \frac{c}{d}$

b) Ta có:

$\left. \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \hfill \\ b > 0;d > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \frac{{ab}}{{bb}} < \frac{{cd}}{{dd}} \Rightarrow \frac{{ab}}{{{b^2}}} < \frac{{cd}}{{{d^2}}}$

Theo câu a) ta có: $\frac{a}{b} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}$

Ví dụ 2. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

$1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} < 2$

Hướng dẫn giải

+) Do a, b, c, d > 0 nên:

$\begin{gathered} a\left( {a + b + c} \right) + ad > a\left( {a + b + c} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{a}{{a + b + c}} > \frac{a}{{a + b + c + d}} \hfill \\ \end{gathered}$

Tương tự: $\left\{ \begin{gathered} \frac{b}{{b + c + d}} > \frac{b}{{a + b + c + d}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{c}{{c + d + a}} > \frac{c}{{a + b + c + d}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{d}{{d + a + b}} > \frac{d}{{a + b + c + d}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{gathered} \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} \hfill \\ > \frac{a}{{a + b + c + d}} + \frac{b}{{a + b + c + d}} + \frac{c}{{a + b + c + d}} + \frac{d}{{a + b + c + d}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 1{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

+) Mặt khác cũng do a, b, c, d > 0 nên:

$\begin{gathered} ad < ad + d\left( {b + c} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow ad + a\left( {a + b + c} \right) < \left[ {ad + d\left( {b + c} \right)} \right] + a\left( {a + b + c} \right) \hfill \\ \Rightarrow a\left( {a + b + c + d} \right) < \left( {a + b + c} \right)\left( {a + d} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{a}{{a + b + c}} < \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}} \hfill \\ \end{gathered}$

Tương tự: $\left\{ \begin{gathered} \frac{b}{{b + c + d}} > \frac{{b + a}}{{a + b + c + d}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{c}{{c + d + a}} > \frac{{c + b}}{{a + b + c + d}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{d}{{d + a + b}} > \frac{{d + c}}{{a + b + c + d}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ra được:

$\begin{gathered} \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} \hfill \\ > \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}} + \frac{{b + a}}{{a + b + c + d}} + \frac{{c + b}}{{a + b + c + d}} + \frac{{d + c}}{{a + b + c + d}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 2{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) ta có:

$1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} < 2$

Bài toán về tỉ lệ thức và chia tỷ lệ

Phương pháp giải

Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết

Bước 2: Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện

Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7 ∶ 5 ∶ 3. Các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với các số nào.

Phân tích đề bài:

Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là: A, B, C.

Vì ba góc A, B, C tỉ lệ với 7 ∶ 5 ∶ 3 nên ta có $\frac{A}{7} = \frac{B}{5} = \frac{C}{3}$

Tổng ba góc của một tam giác bằng 180° nên ta có: A + B + C = 180°

Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác.

Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là A, B, C và A₁, B₁, C₁ (0° < A, B, C < 180°)

Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{gathered} \frac{A}{7} = \frac{B}{5} = \frac{C}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ A + B + C = 180^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{A}{7} = \frac{B}{5} = \frac{C}{3} = \frac{{A + B + C}}{{7 + 5 + 3}} = \frac{{180^\circ }}{{15}} = 12^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} A = 7 \cdot 12^\circ = 84^\circ \Rightarrow {A_1} = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ \hfill \\ B = 5 \cdot 12^\circ = 60^\circ \Rightarrow {B_1} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \hfill \\ C = 3 \cdot 12^\circ = 36^\circ \Rightarrow {C_1} = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow {A_1}:{B_1}:{C_1} = 96^\circ :120^\circ :144^\circ = 4:5:6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với 4 ∶ 5 ∶ 6.

Ví dụ 2. Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500 m, 2000 m, 3000 m. Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển.

Phân tích đề bài:

Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 1500a = 2000b = 3000c

Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có: a + b + c = 1530

Hướng dẫn giải

Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho lần lượt là a, b, c (a, b, c > 0)

Theo bài ra ta có: 1500a = 2000b = 3000c và a + b + c = 1530

Từ $1500a = 2000b = 3000c \Rightarrow \frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2} = \frac{{a + b + c}}{{4 + 3 + 2}} = \frac{{1530}}{9} = 170\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 4 \cdot 170 = 680 \hfill \\ b = 3 \cdot 170 = 510 \hfill \\ c = 2 \cdot 170 = 340 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ.

Ví dụ 3. Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng chúng tỉ lệ với 3; 4.

Phân tích đề bài:

Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều rộng (còn được gọi là hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều dài. Hai cạnh của chúng tỉ lệ với 3; 4 vậy cạnh ngắn tỉ lệ với 3 còn cạnh dài tỉ lệ với 4.

Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b (0 < a < b). Vì hai cạnh hình chữ nhật tỉ lệ với 3 và 4 nên ta có: $\frac{a}{3} = \frac{b}{4}$

Chu vi hình chữ nhật là 2(a + b) nên ta có: 2(a + b) = 28 ⇒ a + b = 14

Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng bài áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b (0 < a < b)

Theo bài ra ta có: $\frac{a}{3} = \frac{b}{4}$ và 2(a + b) = 28

Từ 2(a + b) = 28 ⇒ a + b = 14

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{{a + b}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 3 \cdot 2 = 6 \hfill \\ b = 4 \cdot 2 = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6 cm và 8 cm.

Ví dụ 4. Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.

Phân tích đề bài:

Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c

Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 2000a = 5000b = 10000c

Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: a + b + c =16

Hướng dẫn giải

Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c

Theo bài ra ta có: 2000a = 5000b = 10000c và a + b + c =16

Từ $2000a = 5000b = 10000c \Rightarrow \frac{a}{5} = \frac{b}{2} = \frac{c}{1}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{a}{5} = \frac{b}{2} = \frac{c}{1} = \frac{{a + b + c}}{{5 + 2 + 1}} = \frac{{16}}{8} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 5 \cdot 2 = 10 \hfill \\ b = 2 \cdot 2 = 4 \hfill \\ c = 1 \cdot 2 = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và 2 tờ.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3. Tính số đo các góc của tam giác ABC.

Phân tích đề bài:

Ở bài này cho các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.

Vậy ta lấy luôn A, B, C là số đo ba góc cần tìm.

Vì số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 nên ta có: $\frac{A}{1} = \frac{B}{2} = \frac{C}{3}$

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam ta có: A + B + C =180°

Hướng dẫn giải

Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: A, B, C (0° < A, B, C < 180°)

Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{A}{1} = \frac{B}{2} = \frac{C}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ A + B + C = 180^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{A}{1} = \frac{B}{2} = \frac{C}{3} = \frac{{A + B + C}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{180^\circ }}{6} = 30^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} A = 1 \cdot 30^\circ = 30^\circ \hfill \\ B = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \hfill \\ C = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy số đo ba góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là: 30°; 60°; 90°.

Một số sai lầm thường gặp trong giải toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.

Sai lầm thường gặp 1:

Áp dụng: $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{xy}}{{ab}}$ hay $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{xyz}}{{abc}}$

Ví dụ 1. Tìm 2 số x, y biết rằng $\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$ và xy = 10

Sai lầm thường gặp:

Ta có: $\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{{x \cdot y}}{{2 \cdot 5}} = \frac{{10}}{{10}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lời giải đúng:

Từ $\frac{x}{2} = \frac{y}{5} \Rightarrow \frac{{x \cdot x}}{2} = \frac{{x \cdot y}}{5} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{10}}{5}$

$\Rightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \Rightarrow y = \pm 5$

Vậy x = 2, y = 5 hoặc x = –2, y = –5

Ví dụ 2. Tìm các số x, y, z biết rằng: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ và xyz = 648

Sai lầm thường gặp:

Ta có: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = \frac{{x \cdot y \cdot z}}{{2 \cdot 3 \cdot 4}} = \frac{{648}}{{24}} = 27$

Suy ra: a = 54, b = 81, c = 108

Lời giải đúng:

$\begin{gathered} \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {\frac{x}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{y}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{z}{4}} \right)^3} = \frac{{x \cdot y \cdot z}}{{2 \cdot 3 \cdot 4}} = \frac{{648}}{{24}} = 27\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 6 \hfill \\ y = 9 \hfill \\ z = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Sai lầm thường gặp 2: Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0

Ví dụ 1. Cho 3 tỉ số bằng nhau là: $\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}}$ . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó

Sai lầm thường gặp:

Ta có: $\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{a + b + c}}{{b + c + c + a + a + b}} = \frac{{a + b + c}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

Lời giải đúng:

Ta có: $\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}}$

+) Nếu a + b + c ≠ 0. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

+) Nếu a + b + c = 0 thì b + c = –a; c + a = –b; a + b = –c

Nên mỗi tỉ số $\frac{a}{{b + c}};\frac{b}{{c + a}};\frac{c}{{a + b}}$ đều bằng –1

Ví dụ 2. Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện:

$\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b}$

Hãy tính giá trị của biểu thức:

$B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)$

Sai lầm thường gặp:

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{gathered} _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{a + b - c + b + c - a + c + a - b}}{{a + b + c}} = 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Mà $\frac{{a + b - c}}{c} + 1 = \frac{{b + c - a}}{a} + 1 = \frac{{c + a - b}}{b} + 1 = 2$

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b} = 2 \hfill \\ B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ = }}\left( {\frac{{b + a}}{a}} \right)\left( {\frac{{c + a}}{c}} \right)\left( {\frac{{b + c}}{b}} \right) = 8 \hfill \\ \end{gathered}$

Lời giải đúng:

+) Nếu a + b + c ≠ 0

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Mà $\frac{{a + b - c}}{c} + 1 = \frac{{b + c - a}}{a} + 1 = \frac{{c + a - b}}{b} + 1 = 2$

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b} = 2 \hfill \\ B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ = }}\left( {\frac{{b + a}}{a}} \right)\left( {\frac{{c + a}}{c}} \right)\left( {\frac{{b + c}}{b}} \right) = 8 \hfill \\ \end{gathered}$

Nếu $a + b + c = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a + b = - c \hfill \\ b + c = - a \hfill \\ a + c = - b \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\begin{gathered} B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right) \hfill \\ _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ = }}\left( {\frac{{a + b}}{a}} \right)\left( {\frac{{a + c}}{c}} \right)\left( {\frac{{b + c}}{b}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ _{}^{}{\text{ }}_{}^{}{\text{ }}_{}^{} = \frac{{ - c}}{a} \cdot \frac{{ - b}}{c} \cdot \frac{{ - a}}{b} = - 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Ví dụ 3. Tìm x, y biết:

$\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{6x}}$

Sai lầm thường gặp:

Ta có: $\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{6x}}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Từ hai tỉ số đầu ta có:

$\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{12}}{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta suy ra:

$\frac{{2x + 3y - 1}}{{6x}} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{12}}{\text{ }}\left( 3 \right)$

Thay x = 2 vào 2 tỉ số đầu ta được y = 3

Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm.

Lời giải đúng:

Ta có: $\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{6x}}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Từ hai tỉ số đầu ta có:

$\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{12}}{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\frac{{2x + 3y - 1}}{{6x}} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{12}}{\text{ }}\left( 3 \right)$

TH1: 2x + 3y – 1 ≠ 0. Khi đó ta mới suy ra 6x = 12 nên x = 2.

Thay x = 2 vào 2 tỉ số đầu ta được y = 3

Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm

TH2: 2x + 3y – 1 = 0. Suy ra 2x = 1 – 3y, thay vào hai tỉ số đầu, ta có:

$\frac{{1 - 3y + 1}}{5} = \frac{{1 - 3y + 1 + 3y - 2}}{{5 + 7}} = 0$

Suy ra: $2 - 3y = 3y - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$ . Từ đó tìm tiếp $x = - \frac{1}{2}$

Sai lầm thường gặp 3: Sai lầm khi xét lũy thừa bậc chẵn.

Ví dụ 1. Tìm x biết $\frac{{x - 1}}{{ - 15}} = \frac{{ - 60}}{{x - 1}}$

Sai lầm thường gặp:

$\begin{gathered} \frac{{x - 1}}{{ - 15}} = \frac{{ - 60}}{{x - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \left( { - 15} \right) \cdot \left( { - 60} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 900 \hfill \\ \Rightarrow x - 1 = 30\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = 31 \hfill \\ \end{gathered}$

Lời giải đúng:

$\begin{gathered} \frac{{x - 1}}{{ - 15}} = \frac{{ - 60}}{{x - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \left( { - 15} \right) \cdot \left( { - 60} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 900 \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x - 1 = 30 \hfill \\ x - 1 = - 30 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = 31 \hfill \\ x = - 29 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Ví dụ 2. Tìm các số x, y, z biết rằng $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ và 2x² + 3y² – 5z² = –405.

Sai lầm thường gặp:

Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2k \hfill \\ y = k \hfill \\ z = 4k \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Từ 2x² + 3y² – 5z² = –405 suy ra

2 ⋅ (2k)² + 3 ⋅ (3k)² – 5 ⋅ (4k)² = –405

⇔ 8k² + 27k² – 80k² = –405

⇔ –45k² = –405

⇔ k² = 9

Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k = 3, mà phải suy ra k = ±3.

⋄ k = 3 ⇒ x = 6; y = 9; z = 12

⋄ k = –3 ⇒ x = –6; y = –9; z = –12

eduverbalearn0313