Phép nhân các phân thức đại số: Lý thuyết và bài tập

Bởi

Phép nhân các phân thức đại số

Tóm tắt lý thuyết

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:

\[\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\]

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện phép tính

Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc đã nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết để thực hiện yêu cầu của bài toán.

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) \[\frac{{8x}}{{15{y^3}}} \cdot \frac{{4{y^2}}}{{{x^2}}}\] với x ≠ 0 và y ≠ 0

b) \[\frac{{9{a^2}}}{{a + 3}} \cdot \frac{{{a^2} - 9}}{{6{a^3}}}\] với a ≠ {–3; 0}

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{8x}}{{15{y^3}}} \cdot \frac{{4{y^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{8x \cdot 4{y^2}}}{{15{y^3} \cdot {x^2}}} = \frac{{32}}{{15xy}}\]

b) \[\frac{{9{a^2}}}{{a + 3}} \cdot \frac{{{a^2} - 9}}{{6{a^3}}}\]

\[ = \frac{{9{a^2}\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{\left( {a + 3} \right)6{a^3}}} = \frac{{3\left( {a - 3} \right)}}{{2a}}\]

Bài 2. Nhân các phân thức sau:

a) \[\frac{{4{n^2}}}{{17{m^4}}} \cdot \left( { - \frac{{7{m^2}}}{{12n}}} \right)\] với m ≠ 0 và n ≠ 0

b) \[\frac{{3b + 6}}{{{{\left( {b - 9} \right)}^3}}} \cdot \frac{{2b - 18}}{{{{\left( {b + 2} \right)}^2}}}\] với b ≠ {–2; 9}

Hướng dẫn giải

Tương tự bài 1

a) \[\frac{{4{n^2}}}{{17{m^4}}} \cdot \left( { - \frac{{7{m^2}}}{{12n}}} \right) = - \frac{{7n}}{{51{m^2}}}\]

b) \[\frac{{3b + 6}}{{{{\left( {b - 9} \right)}^3}}} \cdot \frac{{2b - 18}}{{{{\left( {b + 2} \right)}^2}}} = \frac{6}{{{{\left( {b - 9} \right)}^2}\left( {b + 2} \right)}}\]

Bài 3. Thực hiện phép nhân các phân thức sau:

a) \[\frac{{2{u^2} - 20u + 50}}{{5u + 5}} \cdot \frac{{2{u^2} - 2}}{{4{{\left( {u - 5} \right)}^3}}}\] với u ≠ ±5

b) \[\frac{{v + 3}}{{{v^2} - 4}} \cdot \frac{{8 - 12v + 6{v^2} - {v^3}}}{{7v + 21}}\] với v ≠ {–3; ±2}

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{2{u^2} - 20u + 50}}{{5u + 5}} \cdot \frac{{2{u^2} - 2}}{{4{{\left( {u - 5} \right)}^3}}}\]

\[ = \frac{{2{{\left( {u - 5} \right)}^2}}}{{5\left( {u + 1} \right)}} \cdot \frac{{2\left( {u - 1} \right)\left( {u + 1} \right)}}{{4{{\left( {u - 5} \right)}^3}}} = \frac{{u - 1}}{{5\left( {u - 5} \right)}}\]

b) \[\frac{{v + 3}}{{{v^2} - 4}} \cdot \frac{{8 - 12v + 6{v^2} - {v^3}}}{{7v + 21}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{v + 3}}{{\left( {v - 2} \right)\left( {v + 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {2 - v} \right)}^3}}}{{7\left( {v + 3} \right)}} \hfill \\ = \frac{1}{{\left( {v - 2} \right)\left( {v + 2} \right)}} \cdot \frac{{ - {{\left( {v - 2} \right)}^3}}}{7} = \frac{{{{\left( {v - 2} \right)}^2}}}{{7\left( {v + 2} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 4. Làm tính nhân:

a) \[\frac{{3x - 1}}{{10{x^2} + 2x}} \cdot \frac{{25{x^2} + 10x + 1}}{{1 - 9{x^2}}}\] với \[x \ne \left\{ { - \frac{1}{5}; \pm \frac{1}{3};0} \right\}\]

b) \[\frac{{{p^3} - 27}}{{7p + 28}} \cdot \frac{{{p^2} + 4p}}{{{p^2} + 3p + 9}}\] với p ≠ –4

Hướng dẫn giải

Tương tự bài 3

a) \[\frac{{3x - 1}}{{10{x^2} + 2x}} \cdot \frac{{25{x^2} + 10x + 1}}{{1 - 9{x^2}}} = - \frac{{5x + 1}}{{2x\left( {3x + 1} \right)}}\]

b) \[\frac{{{p^3} - 27}}{{7p + 28}} \cdot \frac{{{p^2} + 4p}}{{{p^2} + 3p + 9}} = \frac{{p\left( {p - 3} \right)}}{7}\]

Dạng 2. Tính toán sử dụng kết hợp các quy tắc đã học

Phương pháp giải: Sử dụng hợp lý 3 quy tắc đã học: quy tắc cộng, quy tắc trừ và quy tắc nhân để tính toán.

Chú ý:

+) Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau.

+) Ưu tiên tính toán đối với biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).

Bài 5. Rút gọn biểu thức:

a) \[\frac{{{t^4} + 4{t^2} + 8}}{{2{t^3} + 2}} \cdot \frac{t}{{12{t^2} + 1}} \cdot \frac{{3{t^3} + 3}}{{{t^4} + 4{t^2} + 8}}\] với t ≠ –1

b) \[\frac{{y - 1}}{{2y}} \cdot \left( {{y^2} + y + 1 + \frac{{{y^3}}}{{y - 1}}} \right)\] với y ≠ {0; 1}

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{{t^4} + 4{t^2} + 8}}{{2{t^3} + 2}} \cdot \frac{t}{{12{t^2} + 1}} \cdot \frac{{3{t^3} + 3}}{{{t^4} + 4{t^2} + 8}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{\left( {{t^4} + 4{t^2} + 8} \right) \cdot t \cdot 3\left( {{t^3} + 1} \right)}}{{2\left( {{t^3} + 1} \right)\left( {12{t^2} + 1} \right)\left( {{t^4} + 4{t^2} + 8} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{3t}}{{2\left( {12{t^2} + 1} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\frac{{y - 1}}{{2y}} \cdot \left( {{y^2} + y + 1 + \frac{{{y^3}}}{{y - 1}}} \right)\]

\[ = \frac{{y - 1}}{{2y}} \cdot \left( {\frac{{{y^3} - 1}}{{y - 1}} + \frac{{{y^3}}}{{y - 1}}} \right) = \frac{{2{y^3} - 1}}{{2y}}\]

Bài 6. Thực hiện các phép tính sau:

a) \[\frac{{{x^6} + 2{x^3} + 3}}{{{x^3} - 1}} \cdot \frac{{3x}}{{x + 1}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^6} + 2{x^3} + 3}}\] với x ≠ ±1

b) \[\frac{{{a^3} + 2{a^2} - a - 2}}{{3a + 15}} \cdot \left( {\frac{1}{{a - 1}} + \frac{2}{{a + 1}} + \frac{1}{{a + 2}}} \right)\] với a ≠ {–5; –2; ±1)

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{{x^6} + 2{x^3} + 3}}{{{x^3} - 1}} \cdot \frac{{3x}}{{x + 1}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^6} + 2{x^3} + 3}} = \frac{{3x}}{{{x^2} - 1}}\]

b) Gợi ý a3 + 2a2 – a – 2 = (a – 1)(a + 1)(a + 2)

Thực hiện phép tính từ trái qua phải thu được:

\[\frac{{{a^3} + 2{a^2} - a - 2}}{{3a + 15}} \cdot \left( {\frac{1}{{a - 1}} + \frac{2}{{a + 1}} + \frac{1}{{a + 2}}} \right) = \frac{1}{3}\]

Bài 7. Tính hợp lý biểu thức sau:

\[M = \frac{1}{{1 - x}} \cdot \frac{1}{{1 + x}} \cdot \frac{1}{{1 + {x^2}}} \cdot \frac{1}{{1 + {x^4}}} \cdot \frac{1}{{1 + {x^8}}} \cdot \frac{1}{{1 + {x^{16}}}}\] với x ≠ ±1

Hướng dẫn giải

Áp dụng (a – b)(a + b) = a2 – b2. Ta có:

\[\begin{gathered} M{\text{ }} = \frac{1}{{1 - {x^2}}} \cdot \frac{1}{{1 + {x^2}}} \cdot \frac{1}{{1 + {x^4}}} \cdot \frac{1}{{1 + {x^8}}} \cdot \frac{1}{{1 + {x^{16}}}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{{1 - {x^{16}}}} \cdot \frac{1}{{1 + {x^{16}}}} = \frac{1}{{1 - {x^{32}}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 8. Rút gọn biểu thức: P = xy, biết:

(3a3 – 3b3)x – 2b = 2a với a ≠ b và

(4a + 4b)y = 9(a – b)2 với a ≠ –b

Hướng dẫn giải

Biến đổi được:

\[\begin{gathered} x = \frac{{2\left( {a + b} \right)}}{{3\left( {{a^3} - {b^3}} \right)}};{\text{ }}y = \frac{{9{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{4\left( {a + b} \right)}} \hfill \\ \Rightarrow P = xy = \frac{{2\left( {a + b} \right)}}{{3\left( {{a^3} - {b^3}} \right)}} \cdot \frac{{9{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{4\left( {a + b} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} = \frac{{3\left( {a - b} \right)}}{{2\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài tập tự luyện

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) \[\frac{{14x}}{{5{y^2}}} \cdot \frac{{2{y^3}}}{{{x^2}}}\]

b) \[\frac{{5{y^2}}}{{7{y^2}}} \cdot \left( { - \frac{{2{x^2}}}{{10y}}} \right)\]

c) \[\frac{{{x^3} - 8}}{{5x + 20}} \cdot \frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} + 2x + 4}}\]

d) \[3{x^3}{y^4} \cdot \left( { - \frac{{7z}}{{9x{y^5}}}} \right)\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{14x}}{{5{y^2}}} \cdot \frac{{2{y^3}}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{14x \cdot 2{y^3}}}{{5{y^2}{x^2}}} = \frac{{28x{y^3}}}{{5{y^2}{x^2}}} = \frac{{28y}}{{5x}}\]

b) \[\frac{{5{y^2}}}{{7{y^2}}} \cdot \left( { - \frac{{2{x^2}}}{{10y}}} \right)\]

\[ = \frac{{5{y^2} \cdot \left( { - 2{x^2}} \right)}}{{7{y^2} \cdot 10y}} = \frac{{ - 10{y^2}{x^2}}}{{7 \cdot 10{y^3}}} = \frac{{ - {x^2}}}{{7y}}\]

c) \[\frac{{{x^3} - 8}}{{5x + 20}} \cdot \frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} + 2x + 4}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{\left( {{x^3} - 8} \right)\left( {{x^2} + 4x} \right)}}{{\left( {5x + 20} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} \hfill \\ = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)x\left( {x + 4} \right)}}{{5\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

d) \[3{x^3}{y^4} \cdot \left( { - \frac{{7z}}{{9x{y^5}}}} \right)\]

\[ = \frac{{3{x^3}{y^4}\left( { - 7z} \right)}}{{9x{y^5}}} = - \frac{{7{x^2}z}}{{3y}}\]

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

a) \[\frac{{3x + 9}}{{4x - 10}} \cdot \frac{{5 - 2x}}{{x + 3}}\]

b) \[\frac{{{x^2} - 16}}{{2x + 5}} \cdot \frac{6}{{4 - x}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{3x + 9}}{{4x - 10}} \cdot \frac{{5 - 2x}}{{x + 3}}\]

\[ = \frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {2x - 5} \right)}} \cdot \frac{{5 - 2x}}{{x + 3}} = - \frac{3}{2}\]

b) \[\frac{{{x^2} - 16}}{{2x + 5}} \cdot \frac{6}{{4 - x}}\]

\[ = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)6}}{{\left( {2x + 5} \right)\left( {4 - x} \right)}} = \frac{{ - 6\left( {x + 4} \right)}}{{2x + 5}}\]

Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

\[P = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 5}} \cdot \frac{{2x + 10}}{{{x^2} - x}}\] với x = 99

Hướng dẫn giải

Rút gọn ta được \[P = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{x}\]

Với x = 99 ta có: \[P = \frac{{2\left( {99 + 1} \right)}}{{99}} = \frac{{200}}{{99}}\]

Bài 4. Cho biểu thức:

\[K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\]

a) Rút gọn K

b) Tìm số nguyên x để K nhận giá trị nguyên

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\begin{gathered} K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 2003}}{x} \hfill \\ = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{x + 2003}}{x} = \frac{{x + 2003}}{x} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) Điều kiện x ≠ 0; x ≠ 1 x ≠ –1

Ta có: \[K = 1 + \frac{{2003}}{x}\]

Để K ∈ ℤ thì \[\frac{{2003}}{x} \in \mathbb{Z}\]

x ∈ Ư(2003) và x ≠ 1 x ≠ –1

Vậy x ∈ {–2003; 2003} thì K nhận giá trị nguyên.

Bài 5. Thực hiện các phép tính sau:

a) \[P = \frac{{12x + 5}}{{x + 9}} \cdot \frac{{4x + 3}}{{360x + 150}} + \frac{{12x + 5}}{{x + 9}} \cdot \frac{{6 - 3x}}{{360x + 150}}\]

b) \[Q = \frac{{x + 3y}}{{3x + y}} \cdot \frac{{4x - 2y}}{{x - y}} - \frac{{x + 3y}}{{3x + y}} \cdot \frac{{x - 3y}}{{x - y}}\]

Hướng dẫn giải

a) Dùng tính chất phân phối ta có:

\[\begin{gathered} P{\text{ }} = \frac{{12x + 5}}{{x + 9}} \cdot \left( {\frac{{4x + 3}}{{360x + 150}} + \frac{{6 - 3x}}{{360x + 150}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{12x + 5}}{{x + 9}} \cdot \frac{{x + 9}}{{30\left( {12x + 5} \right)}} = \frac{1}{{30}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) Dùng tính chất phân phối ta có:

\[\begin{gathered} Q{\text{ }} = \frac{{x + 3y}}{{3x + y}} \cdot \left( {\frac{{4x - 2y}}{{x - y}} - \frac{{x - 3y}}{{x - y}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{x + 3y}}{{3x + y}} \cdot \frac{{3x + y}}{{x - y}} = \frac{{x + 3y}}{{x - y}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 6. Tìm biểu thức x biết:

\[x:\frac{{{a^2} + a + 1}}{{2a + 2}} = \frac{{a + 1}}{{{a^3} - 1}}\]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} x:\frac{{{a^2} + a + 1}}{{2a + 2}} = \frac{{a + 1}}{{{a^3} - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{{a + 1}}{{{a^3} - 1}} \cdot \frac{{{a^2} + a + 1}}{{2a + 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{{a + 1}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)}} \cdot \frac{{{a^2} + a + 1}}{{2\left( {a + 1} \right)}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{1}{{2\left( {a - 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 7. Cho ab + bc + ca = 1, chứng minh rằng tịch sau không phụ thuộc vào biến số

\[A = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{1 + {a^2}}} \cdot \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{1 + {b^2}}} \cdot \frac{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{1 + {c^2}}}\]

Hướng dẫn giải

Ta có: 1 + a2 = ab + bc + ca + a2

⇒ 1 + a2 = (a + b)(a + c) (1)

Tương tự 1 + b2 = (b + a)(b + c) (2)

Và 1 + c2 = (c + a)(c + b) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

\[\begin{gathered} A = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy tích trên không phụ thuộc vào biến số

Bài 8. Hãy điền phân thức thích hợp vào đẳng thức sau:

\[\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{{x + 1}} \cdot \frac{{x + 1}}{{x + 2}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x + 3}} \cdot \frac{{x + 3}}{{x + 4}} \cdot \frac{{x + 4}}{{x + 5}} \cdots = 1\]

Hướng dẫn giải

Tích của 6 phân thức đầu tiên là \[\frac{1}{{x + 5}}\]

Vậy phân thức cần điền là x + 5.