Phép chia các phân thức đại số và các dạng bài tập

Bởi

Phép chia các phân thức đại số

+) Hai phân thức được gọi là nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1. Phân thức nghịch đảo của \[\frac{A}{B}\] là \[\frac{B}{A}\]

+) Muốn chia phân thức \[\frac{A}{B}\] cho phân thức \[\frac{C}{D}\] khác 0, ta nhân \[\frac{A}{B}\] với phân thức nghịch đảo của \[\frac{C}{D}\]

+) Ta có: \[\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\] với \[\frac{C}{D} \ne 0\]

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính

Phương pháp giải: Áp dụng công thức:

\[\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\] với \[\frac{C}{D} \ne 0\]

Chú ý:

+) Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải.

+) Ưu tiên tính toán đối với biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).

Bài 1. Làm tính chia các phân thức

a) \[\frac{{7xy}}{{3x + 1}}:\frac{{14{x^2}y}}{{6x + 2}}\]

b) \[\frac{{34{x^2}{y^3}}}{{2x{y^2} + 2{y^2}}}:\frac{{17xy}}{{3x + 3}}\]

c) \[\frac{{{x^3} - 27}}{{x + 3}}:\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)\]

d) \[\left( {{x^2} + 2x + 1} \right):\frac{{{x^2} - 1}}{{2x + 3}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{7xy}}{{3x + 1}}:\frac{{14{x^2}y}}{{6x + 2}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{7xy}}{{3x + 1}} \cdot \frac{{6x + 2}}{{14{x^2}y}} \hfill \\ = \frac{{7xy}}{{3x + 1}} \cdot \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{14{x^2}y}} = \frac{1}{x}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\frac{{34{x^2}{y^3}}}{{2x{y^2} + 2{y^2}}}:\frac{{17xy}}{{3x + 3}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{34{x^2}{y^3}}}{{2x{y^2} + 2{y^2}}} \cdot \frac{{3x + 3}}{{17xy}} \hfill \\ = \frac{{34{x^2}{y^3}}}{{2x{y^2} + 2{y^2}}} \cdot \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{17xy}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{102{x^2}{y^3}\left( {x + 1} \right)}}{{34x{y^3}\left( {x + 1} \right)}} = 3x \hfill \\ \end{gathered} \]

c) \[\frac{{{x^3} - 27}}{{x + 3}}:\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)\]

\[\begin{gathered} = \frac{{{x^3} - 27}}{{x + 3}} \cdot \frac{1}{{{x^2} - 6x + 9}} \hfill \\ = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{x + 3}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{{x^2} - 9}} \hfill \\ \end{gathered} \]

d) \[\left( {{x^2} + 2x + 1} \right):\frac{{{x^2} - 1}}{{2x + 3}}\]

\[\begin{gathered} = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) \cdot \frac{{2x + 3}}{{{x^2} - 1}} \hfill \\ = {\left( {x + 1} \right)^2} \cdot \frac{{2x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{x - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 2. Chia các phân thức sau

a) \[\frac{{9{x^2} - 4}}{{3x + 1}}:\frac{{3x + 2}}{{6{x^2} + 2x}}\]

b) \[\frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 4}}:\frac{{x - 3}}{{x + 2}}\]

c) \[\frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}}:\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\]

d) \[\frac{{2x + 4{x^2}}}{{{x^2} + x}}:\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{x + 1}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{9{x^2} - 4}}{{3x + 1}}:\frac{{3x + 2}}{{6{x^2} + 2x}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{{{\left( {3x} \right)}^2} - {2^2}}}{{3x + 1}} \cdot \frac{{6{x^2} + 2x}}{{3x + 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {3x + 2} \right)}}{{3x + 1}} \cdot \frac{{2x\left( {3x + 1} \right)}}{{3x + 2}} \hfill \\ = 2x\left( {3x - 2} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 4}}:\frac{{x - 3}}{{x + 2}}\]

\[ = \frac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = \frac{5}{{x - 2}}\]

c) \[\frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}}:\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\]

\[\begin{gathered} = \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{{x^2} + 2x + 4}} \hfill \\ = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{1}{{{x^2} + 2x + 4}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{{x + 2}} \hfill \\ \end{gathered} \]

d) \[\frac{{2x + 4{x^2}}}{{{x^2} + x}}:\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{x + 1}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{2x + 4{x^2}}}{{{x^2} + x}} \cdot \frac{{x + 1}}{{4{x^2} + 4x + 1}} \hfill \\ = \frac{{2x\left( {1 + 2x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{2x + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 3. Thực hiện phép chia

a) \[\left( {3{x^2} - 48} \right):\frac{{2x - 8}}{{9x + 6}}\]

b) \[\left( {3 - 6x + 3{x^2}} \right):\frac{{{x^2} - 1}}{x}\]

c) \[\frac{{x - 1}}{{x - 2}}:\frac{{x - 2}}{{x - 3}}:\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2} - 4}}\]

d) \[\frac{{{x^3} + 1}}{{x - 1}}:\left( {{x^2} - x + 1} \right):\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\left( {3{x^2} - 48} \right):\frac{{2x - 8}}{{9x + 6}}\]

\[\begin{gathered} = \left( {3{x^2} - 48} \right) \cdot \frac{{9x + 6}}{{2x - 8}} \hfill \\ = 3\left( {{x^2} - 16} \right) \cdot \frac{{3\left( {3x + 2} \right)}}{{2\left( {x - 4} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 3\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right) \cdot \frac{{3\left( {3x + 2} \right)}}{{2\left( {x - 4} \right)}} \hfill \\ = \frac{{9\left( {x + 4} \right)\left( {3x + 2} \right)}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\left( {3 - 6x + 3{x^2}} \right):\frac{{{x^2} - 1}}{x}\]

\[\begin{gathered} = 3\left( {1 - 2x + {x^2}} \right) \cdot \frac{x}{{{x^2} - 1}} \hfill \\ = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \cdot \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{3x\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \]

c) \[\frac{{x - 1}}{{x - 2}}:\frac{{x - 2}}{{x - 3}}:\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2} - 4}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{x - 1}}{{x - 2}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x - 2}}:\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \hfill \\ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x + 2}}{{x - 2}} \hfill \\ \end{gathered} \]

d) \[\frac{{{x^3} + 1}}{{x - 1}}:\left( {{x^2} - x + 1} \right):\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{x - 1}} \cdot \frac{1}{{{x^2} - x + 1}}:\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 4. Làm tính chia

a) \[\frac{{9{x^2} - 6x + 1}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}:\frac{{12x - 4}}{{4{x^3} + 32{y^3}}}\]

b) \[\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x - 6}}:\frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - 4x + 4}}\]

c) \[\frac{{{x^4} - {y^4}}}{{4{x^2} - 4x + 1}}:\frac{{3{x^2}y + 3x{y^2}}}{{6 - 12{x^2}}}\]

d) \[\frac{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}}{{2{x^2} - 2xy + 2{y^2}}}:\frac{{10x - 20y}}{{5{x^3} + 5{y^3}}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{9{x^2} - 6x + 1}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}:\frac{{12x - 4}}{{4{x^3} + 32{y^3}}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}} \cdot \frac{{4{x^3} + 32{y^3}}}{{12x - 4}} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}} \cdot \frac{{4\left( {{x^3} + 8{y^3}} \right)}}{{4\left( {3x - 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}} \cdot \frac{{4\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right)}}{{4\left( {3x - 1} \right)}} \hfill \\ = \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2y} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x - 6}}:\frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - 4x + 4}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x - 6}} \cdot \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} + x}} \hfill \\ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \]

c) \[\frac{{{x^4} - {y^4}}}{{4{x^2} - 4x + 1}}:\frac{{3{x^2}y + 3x{y^2}}}{{6 - 12{x^2}}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{{x^4} - {y^4}}}{{4{x^2} - 4x + 1}} \cdot \frac{{6 - 12{x^2}}}{{3{x^2}y + 3x{y^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{6\left( {1 - 2x} \right)}}{{3xy\left( {x + y} \right)}} \hfill \\ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} \cdot \frac{{6\left( {1 - 2x} \right)}}{{3xy\left( {x + y} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{xy\left( {1 - 2x} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \]

d) \[\frac{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}}{{2{x^2} - 2xy + 2{y^2}}}:\frac{{10x - 20y}}{{5{x^3} + 5{y^3}}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}}{{2{x^2} - 2xy + 2{y^2}}} \cdot \frac{{5{x^3} + 5{y^3}}}{{10x - 20y}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}{{2\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}} \cdot \frac{{5\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{10\left( {x - 2y} \right)}} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}{{2\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}} \cdot \frac{{5\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}}{{10\left( {x - 2y} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + y} \right)}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \]

Dạng 2. Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Đưa phân thức cần tìm về riêng một vế;

Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức đại số, từ đó suy ra phân thức cần tìm.

Bài 1. Tìm phân thức A, thỏa mãn:

\[\frac{{x - 4}}{{{x^3} - 3{x^2} + x - 3}}:A = \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} \Rightarrow A = \frac{{x - 4}}{{{x^3} - 3{x^2} + x - 3}}:\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} \hfill \\ = \frac{{x - 4}}{{{x^3} - 3{x^2} + x - 3}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2} - 5x + 4}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x - 4}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right) + x - 3}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2} - x - 4x + 4}} \hfill \\ = \frac{{x - 4}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 2. Tìm phân thức B, biết:

\[B \cdot \frac{{12{x^2} + 18x}}{\begin{gathered} \frac{{{x^3}}}{8} - 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{8{x^3} + 36{x^2} + 54x + 27}}{\begin{gathered} \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }\]

Hướng dẫn giải

\[ \Rightarrow B = \frac{{8{x^3} + 36{x^2} + 54x + 27}}{\begin{gathered} \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }:\frac{{12{x^2} + 18x}}{\begin{gathered} \frac{{{x^3}}}{8} - 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }\]

\[ = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^3}}}{\begin{gathered} \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } \cdot \frac{\begin{gathered} \hfill \\ {\left( {\frac{x}{2}} \right)^3} - 1 \hfill \\ \end{gathered} }{{6x\left( {2x + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^3}}}{\begin{gathered} \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } \cdot \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \left( {\frac{x}{2} - 1} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} }{{6x\left( {2x + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ {\left( {2x + 3} \right)^2}\left( {\frac{x}{2} - 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} }{{6x}}\]

Bài 3. Tìm phân thức C, thỏa mãn:

\[\frac{{{x^6} - {y^6}}}{{10{x^2} + 10xy}}:C = \frac{{{x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4}}}{{5{x^2} - 10xy + 5{y^2}}}\]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} \Rightarrow C = \frac{{{x^6} - {y^6}}}{{10{x^2} + 10xy}}:\frac{{{x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4}}}{{5{x^2} - 10xy + 5{y^2}}} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^3} - {{\left( {{y^2}} \right)}^3}}}{{10x\left( {x + y} \right)}} \cdot \frac{{5\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}}{{{x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4}} \right)}}{{10x\left( {x + y} \right)}} \cdot \frac{{5{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4}}} \hfill \\ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{2x\left( {x + y} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{1} = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^3}}}{{2x}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 4. Tìm phân thức D, biết:

\[\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 6\left( {x - 1} \right) + 9}}{{3{x^2} - 3x}}:D = \frac{{{x^2} - 16}}{{3{x^3} - 3x}}\]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} \Rightarrow D = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 6\left( {x - 1} \right) + 9}}{{3{x^2} - 3x}}:\frac{{{x^2} - 16}}{{3{x^3} - 3x}} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 6\left( {x - 1} \right) + {3^2}}}{{3x\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{3{x^3} - 3x}}{{{x^2} - 16}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {x - 1 - 3} \right)}^2}}}{{3x\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{3x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - {4^2}}} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{{3x\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{3x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 4}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Dạng 3. Bài toán nâng cao.

Bài 1. Tìm giá trị của x để phân thức A chia hết cho phân thức B biết:

\[A = \frac{{{x^3} + {x^2} - x + 11}}{{x - 2}};{\text{ }}B = \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} A:B = \frac{{{x^3} + {x^2} - x + 11}}{{x - 2}}:\frac{{x + 2}}{{x - 2}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{{x^3} + {x^2} - x + 11}}{{x - 2}} \cdot \frac{{x - 2}}{{x + 2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{{x^3} + {x^2} - x + 11}}{{x + 2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = {x^2} - 3x + 5 + \frac{1}{{x + 2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Để phân thức A chia hết cho phân thức B thì:

1 ⋮ (x + 2) ⇒ x + 2 ∈ Ư (1)

⇒ x + 2 ∈ {–1; 1} ⇒ x ∈ {–3; –1}

Vậy x ∈ {–3; –1} thì phân thức A chia hết cho phân thức B

Bài 2. Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức \[M = \frac{{15}}{{16{x^2} - 1}}:\frac{5}{{4x + 1}}\] là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[M = \frac{{15}}{{16{x^2} - 1}}:\frac{5}{{4x + 1}}\]

\[ = \frac{{15}}{{\left( {4x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right)}} \cdot \frac{{4x + 1}}{5} = \frac{3}{{4x - 1}}\]

Để giá trị của phân thức M là số nguyên thì

⇒ 3 ⋮ (4x – 1) ⇒ 4x – 1 ∈ Ư(3)

⇒ 4x – 1 ∈ {–3; –1; 1; 3}

\[ \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1} \right\}\]

Vậy \[x \in \left\{ { - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1} \right\}\] thì giá trị của phân thức M là số nguyên

Bài tập tự luyện

Dạng 1. Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.

Bài 1. Làm tính chia phân thức:

a) \[\frac{{15x}}{{7{y^3}}}:\frac{{{x^2}}}{{2{y^2}}}\]

b) \[\left( { - \frac{{3{x^2}}}{{8y}}} \right):\frac{{11{x^4}}}{{4{y^2}}}\]

c) \[\left( { - \frac{{20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( { - \frac{{4{x^3}}}{{5y}}} \right)\]

d) \[ - \frac{{25{x^2}{y^5}}}{{3x}}:15x{y^2}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{15x}}{{7{y^3}}}:\frac{{{x^2}}}{{2{y^2}}} = \frac{{15x}}{{7{y^3}}} \cdot \frac{{2{y^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{30}}{{7xy}}\]

b) \[\left( { - \frac{{3{x^2}}}{{8y}}} \right):\frac{{11{x^4}}}{{4{y^2}}} = - \frac{{3{x^2}}}{{8y}} \cdot \frac{{4{y^2}}}{{11{x^4}}} = \frac{{ - 3y}}{{22{x^2}}}\]

c) \[\left( { - \frac{{20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( { - \frac{{4{x^3}}}{{5y}}} \right) = \frac{{ - 20x}}{{3{y^2}}} \cdot \frac{{ - 5y}}{{4{x^3}}} = \frac{{25}}{{3{x^2}y}}\]

d) \[ - \frac{{25{x^2}{y^5}}}{{3x}}:15x{y^2} = - \frac{{25{x^2}{y^5}}}{{3x}} \cdot \frac{1}{{15x{y^2}}} = \frac{{ - 5{y^3}}}{9}\]

Bài 2. Làm tính chia phân thức:

a) \[\frac{{4x + 12}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}:\frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{x + 4}}\]

b) \[\frac{{7x + 2}}{{3x{y^3}}}:\frac{{14x + 4}}{{{x^2}y}}\]

c) \[\left( {x + y} \right):\frac{{{y^2} + xy}}{{x - y}}\]

d) \[\frac{{5xy}}{{2x - 3}}:\frac{{15x{y^3}}}{{12 - 8x}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{4x + 12}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}:\frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{x + 4}}\]

\[ = \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 4}}{{3\left( {x + 3} \right)}} = \frac{4}{{3\left( {x + 4} \right)}}\]

b) \[\frac{{7x + 2}}{{3x{y^3}}}:\frac{{14x + 4}}{{{x^2}y}}\]

\[ = \frac{{7x + 2}}{{3x{y^3}}} \cdot \frac{{{x^2}y}}{{2\left( {7x + 2} \right)}} = \frac{x}{{6{y^2}}}\]

c) \[\left( {x + y} \right):\frac{{{y^2} + xy}}{{x - y}}\]

\[\begin{gathered} = \left( {x + y} \right) \cdot \frac{{x - y}}{{{y^2} + xy}} \hfill \\ = \left( {x + y} \right) \cdot \frac{{x - y}}{{y\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x - y}}{y}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

d) \[\frac{{5xy}}{{2x - 3}}:\frac{{15x{y^3}}}{{12 - 8x}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{5xy}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{12 - 8x}}{{15x{y^3}}} \hfill \\ = \frac{{5xy}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{4\left( {3 - 2x} \right)}}{{15x{y^3}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{5xy}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{ - 4\left( {2x - 3} \right)}}{{15x{y^3}}} = \frac{{ - 4}}{{3{y^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 3. Làm tính chia phân thức:

a) \[\frac{{5x - 10}}{{{x^2} + 7}}:\left( {2x - 4} \right)\]

b) \[\left( {{x^2} - 25} \right):\frac{{2x + 10}}{{3x - 7}}\]

c) \[\left( {4{x^2} - 16} \right):\frac{{3x + 6}}{{7x - 2}}\]

d) \[\frac{{4{x^2} - 1}}{x}:\left( {1 - 2x} \right)\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{5x - 10}}{{{x^2} + 7}}:\left( {2x - 4} \right)\]

\[ = \frac{{5\left( {x - 2} \right)}}{{{x^2} + 7}} \cdot \frac{1}{{2\left( {x - 2} \right)}} = \frac{5}{{2\left( {{x^2} + 7} \right)}}\]

b) \[\left( {{x^2} - 25} \right):\frac{{2x + 10}}{{3x - 7}}\]

\[\begin{gathered} = \left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right) \cdot \frac{{3x - 7}}{{2x + 10}} \hfill \\ = \left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right) \cdot \frac{{3x - 7}}{{2\left( {x + 5} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {3x - 7} \right)}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]

c) \[\left( {4{x^2} - 16} \right):\frac{{3x + 6}}{{7x - 2}}\]

\[\begin{gathered} = 4\left( {{x^2} - 4} \right) \cdot \frac{{7x - 2}}{{3\left( {x + 2} \right)}} \hfill \\ = 4\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \cdot \frac{{7x - 2}}{{3\left( {x + 2} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{4\left( {x - 2} \right)\left( {7x - 2} \right)}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \]

d) \[\frac{{4{x^2} - 1}}{x}:\left( {1 - 2x} \right)\]

\[\begin{gathered} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{x} \cdot \frac{1}{{ - \left( {2x - 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{ - \left( {2x + 1} \right)}}{x} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 4. Làm tính chia phân thức (chú ý dấu trừ)

a) \[\frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{3{x^2} - x}}:\frac{{{x^2} + 3x}}{{1 - 3x}}\]

b) \[\frac{{8xy}}{{3x - 1}}:\frac{{12x{y^3}}}{{5 - 15x}}\]

c) \[\frac{{3x + 9}}{{{x^2} - 4}}:\frac{{x + 3}}{{2 - x}}\]

d) \[\frac{{1 - 9{x^2}}}{{{x^2} + 4x}}:\frac{{6x - 2}}{{3x}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{3{x^2} - x}}:\frac{{{x^2} + 3x}}{{1 - 3x}}\]

\[ = \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {3x - 1} \right)}} \cdot \frac{{ - \left( {3x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{{x^2}}}\]

b) \[\frac{{8xy}}{{3x - 1}}:\frac{{12x{y^3}}}{{5 - 15x}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{8xy}}{{3x - 1}} \cdot \frac{{5\left( {1 - 3x} \right)}}{{12x{y^3}}} \hfill \\ = \frac{{8xy}}{{3x - 1}} \cdot \frac{{ - 5\left( {3x - 1} \right)}}{{12x{y^3}}} = \frac{{ - 10}}{{3{y^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

c) \[\frac{{3x + 9}}{{{x^2} - 4}}:\frac{{x + 3}}{{2 - x}}\]

\[ = \frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{{x + 3}} = \frac{{ - 3}}{{x + 2}}\]

d) \[\frac{{1 - 9{x^2}}}{{{x^2} + 4x}}:\frac{{6x - 2}}{{3x}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)}} \cdot \frac{{3x}}{{2\left( {3x - 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{ - 3\left( {1 + 3x} \right)}}{{2\left( {x + 4} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 5. Làm tính chia phân thức (hằng đẳng thức số 4)

a) \[\frac{{27 - {a^3}}}{{5a + 10}}:\frac{{a - 3}}{{3a + 6}}\]

b) \[\left( {2{b^2} - 32} \right):\frac{{b + 4}}{{7b - 2}}\]

c) \[\frac{{3{x^3} + 3}}{{x - 1}}:\left( {{x^2} - x + 1} \right)\]

d) \[\frac{{{x^2} + x}}{{5{x^2} - 10x + 5}}:\frac{{3x + 3}}{{5x - 5}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{27 - {a^3}}}{{5a + 10}}:\frac{{a - 3}}{{3a + 6}}\]

\[\begin{gathered} = \frac{{\left( {3 - a} \right)\left( {9 - 3a + {a^2}} \right)}}{{5\left( {a + 2} \right)}} \cdot \frac{{3\left( {a + 2} \right)}}{{a - 3}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{ - 3\left( {{a^2} - 3a + 9} \right)}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\left( {2{b^2} - 32} \right):\frac{{b + 4}}{{7b - 2}}\]

\[\begin{gathered} = 2\left( {{b^2} - 16} \right) \cdot \frac{{7b - 2}}{{b + 4}} \hfill \\ = 2\left( {b - 4} \right)\left( {7b - 2} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

c) \[\frac{{3{x^3} + 3}}{{x - 1}}:\left( {{x^2} - x + 1} \right)\]

\[\begin{gathered} = \frac{{3{x^3} + 3}}{{x - 1}} \cdot \frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \hfill \\ = \frac{{3\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

d) \[\frac{{{x^2} + x}}{{5{x^2} - 10x + 5}}:\frac{{3x + 3}}{{5x - 5}}\]

\[ = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}} \cdot \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)}} = \frac{x}{{3\left( {x - 1} \right)}}\]

Dạng 2. Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.

Bài 1. Tìm Q, biết: \[\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^4}}} \cdot Q = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2}}}\]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^4}}} \cdot Q = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow Q = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2}}}:\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^4}}} \hfill \\ = \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right)}}{{{a^2}}}:\frac{{{a^4}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = - \frac{{{a^2}\left( {a + b} \right)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 2. Tìm Q, biết: \[\frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} \cdot Q = \frac{{a - b}}{{{a^3} + {b^3}}}\]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} \cdot Q = \frac{{a - b}}{{{a^3} + {b^3}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow Q = \frac{{a - b}}{{{a^3} + {b^3}}}:\frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} \hfill \\ = \frac{{a - b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}} \cdot \frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{{{a^2} - {b^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 3. Tìm Q, biết:

\[\frac{{{a^4} - {b^4}}}{{{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4}}}:Q = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\]

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} \frac{{{a^4} - {b^4}}}{{{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4}}}:Q = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Rightarrow Q = \frac{{{a^4} - {b^4}}}{{{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4}}}:\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} \cdot \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 4. Tìm Q, biết:

a) \[\frac{{x - y}}{{{x^3} + {y^3}}} \cdot Q = \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}}\]

b) \[\frac{{x + y}}{{{x^3} - {y^3}}} \cdot Q = \frac{{3{x^2} + 3xy}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{x - y}}{{{x^3} + {y^3}}} \cdot Q = \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}}\]

\[\begin{gathered} \Rightarrow Q = \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}}:\frac{{x - y}}{{{x^3} + {y^3}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}} \cdot \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}}{{x - y}} \hfill \\ = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = {x^2} - {y^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\frac{{x + y}}{{{x^3} - {y^3}}} \cdot Q = \frac{{3{x^2} + 3xy}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\]

\[\begin{gathered} \Rightarrow Q = \frac{{3{x^2} + 3xy}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}:\frac{{x + y}}{{{x^3} - {y^3}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{3x\left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}:\frac{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{x + y}} \hfill \\ = 3x\left( {x - y} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Dạng 3. Bài toán nâng cao.

Bài 1. Rút gọn các biểu thức

a) \[\frac{{x + 1}}{{x + 2}}:\frac{{x + 2}}{{x + 3}}:\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\]

b) \[\frac{{x + 1}}{{x + 2}}:\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}:\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} \right)\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{x + 1}}{{x + 2}}:\frac{{x + 2}}{{x + 3}}:\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\]

\[ = \frac{{x + 1}}{{x + 2}} \cdot \frac{{x + 3}}{{x + 2}} \cdot \frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]

b) \[\frac{{x + 1}}{{x + 2}}:\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}:\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} \right)\]

\[\begin{gathered} = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}:\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 3}} \cdot \frac{{x + 1}}{{x + 3}}} \right) \hfill \\ = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}:\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x + 1}}{{x + 2}} \cdot \frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \]