Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: Định lý và Bài tập - Edu

Bài viết sau đây sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu khái niệm, định lý, hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Ứng dụng vào các bài toán chứng minh đẳng thức trong hình học.

Lý thuyết góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

[content_1]

Định nghĩa

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là tia tiếp tuyến còn cạnh kia chưa dây cung của đường tròn đó.

Ví dụ: Góc $\widehat {BAx}$ có đỉnh nằm trên đường tròn cạnh Ax là một tia tiếp tuyến còn cạnh AB chứa dây cung . Khi đó ta nói góc $\widehat {BAx}$ gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. gọi là cung bị chắn

Định lý

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.

Ta có:

Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau:

Bổ đề

Nếu góc $\widehat {BAx}$ (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung ), có số đo bằng nửa số đo của cung căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Chứng minh đẳng thức, các góc bằng nhau

[content_2]

Phương pháp giải

Ta áp dụng các kiến thức sau

– Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

– Hai góc kề đáy của tam giác cân thì bằng nhau

– Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N).

a) Chứng minh: AB² = AM⋅AN

b) Gọi H = AO ∩ Chứng minh AH⋅AO = AM⋅AN

c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⇒ ∆ABM ~ ∆ANB (g.g)

b) Ta có: AO là đường trung trực của BC nên AO ⊥ BC

Xét tam giác vuông AOB, có: AB² = AH⋅AO

c) Chứng minh được

⇒ BI là phân giác $\widehat {ABC}$ .

Mà AO là tia phân giác của $\widehat {BAC}$

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC.

Câu 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I

a) Chứng minh: $\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}$

b) Tính IA IC, biết rằng AB = 20 cm, AC = 28 cm, BC = 24 cm

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆BAI và ∆ACI có:

$\widehat I$ chung

$\widehat {ACB} = \widehat {BAI}$

⇒ ∆BAI ∼ ∆ACI (g.g)

Mặt khác: IA² = IB⋅IC ⇒ đpcm.

b) Do ∆BAI ∼ ∆ACI (g.g)

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{AI}}{{CI}} = \frac{{BI}}{{AI}} = \frac{{AB}}{{CA}} \Rightarrow \frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{IC - 24}}{{IA}} = \frac{5}{7}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow IA = 35cm;IC = 49cm \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P.

a) Chứng minh các tam giác PAC và PBA đồng dạng

b) Chứng minh: PA² = PB⋅PC

c) Tia phân giác trong của góc A cắt BC và (O) lần lượt tại D và M. Chứng minh: MB² = MA⋅MD

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ∆PAB ∼ ∆PCA (g.g)

b) Vì ∆PAB ∼ ∆PCA (g.g) ⇒ PA² = PB⋅PC

c) Ta có:

⇒ ∆MAB ∼ ∆MBD (g.g)

⇒ MB² = MA⋅MD

Câu 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, gọi H là hình chiếu của C trên AB .

a) Chứng minh rằng CA là phân giác của $\widehat {MCH}$

b) Giả sử MA = a; MC = 2a. Tính AB và CH theo a?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat {ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

b) ∆MAC ∼ ∆MCB (g.g)

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MC}}{{MB}} \Rightarrow M{C^2} = MA \cdot MB \hfill \\ \Rightarrow MB = \frac{{M{C^2}}}{{MA}} = 4a \Rightarrow AB = 4a - a = 3a\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Xét ∆COM vuông tại C

$\begin{gathered} \Rightarrow CM \cdot CO = CH \cdot OM \hfill \\ \Rightarrow CH = \frac{{CM \cdot CO}}{{OM}} = \frac{{2a \cdot 1,5a}}{{2,5a}} = \frac{{6a}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 5. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Qua D trên đoạn AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại F. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt đường vuông góc ở D tại I. Gọi E là giao điểm của AC và DF.

a) So sánh $\widehat {IEC};\widehat {ICE};\widehat {ABC}$

b) ∆EIC cân

c) IE = IC = FI

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat {ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat {ECF} = 90^\circ$

Xét ∆CEF và ∆DBF có:

$\left. \begin{gathered} \widehat F{\text{ }}chung \hfill \\ \widehat C = \widehat D \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {IEC}{\text{ }}\left( 2 \right)$

Lại có:

$\Rightarrow \widehat {IEC} = \widehat {ICE} = \widehat {ABC}$

b) ∆IEC cân tại I

c) Ta có:

$\left. \begin{gathered} \widehat {{C_1}} + \widehat {ICE} = 90^\circ \hfill \\ \widehat F + \widehat {IEC} = 90^\circ \hfill \\ \widehat {ICE} = \widehat {IEC} \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat F$

∆ICF cân tại I ⇒ FI = IC

Câu 6. Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CD lấy điểm S. SA cắt đường tròn tại M, tiếp tuyến của đường tròn ở M cắt CD ở P, BM cắt CD ở T. Chứng minh rằng:

a) PT⋅MA = MT⋅OA

b) PS = PM = PT

c) Biết PM = R, tính TA⋅SM theo R

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat {OMP} = 90^\circ$

$\widehat {{P_1}} = \widehat {{O_1}}$ (cùng phụ $\widehat {{O_2}}$ )

$\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_3}}$ (cùng phụ $\widehat {{M_2}}$ )

$\begin{gathered} \Rightarrow \Delta PMT \sim \Delta OMA\left( {g.g} \right) \hfill \\ \Rightarrow \frac{{PT}}{{OA}} = \frac{{MT}}{{MA}} \Leftrightarrow PT \cdot MA = MT \cdot OA\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) $\widehat S = \widehat B$ (phụ góc $\widehat {MAB}$ )

$\widehat {SNP} = \widehat {OMB}$ (phụ góc $\widehat {{M_3}}$ )

⇒∆PMS ∼ ∆OMB (g.g)

Mà ∆OMB cân tại O ⇒ ∆PMS cân tại P

⇒ PS = PM (1)

Lại có: $\left. \begin{gathered} \widehat {{M_3}} + \widehat {PMS} = 90^\circ \hfill \\ \widehat {PTM} + \widehat S = 90^\circ \hfill \\ \widehat S = \widehat {PMS} \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \widehat {{M_3}} = \widehat {PTM}$

⇒ ∆MPT cân tại P

⇒ PM = PT (2) ⇒ PS = PM = PT

c) Ta có:

$\begin{gathered} \left. \begin{gathered} \Delta ATB \sim \Delta OMB\left( {g.g} \right) \hfill \\ \Delta SMP \sim \Delta MOB\left( {theo{\text{ }}b} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \Delta ATB \sim \Delta SPM \hfill \\ \Rightarrow \frac{{AT}}{{SP}} = \frac{{AB}}{{MS}} \Leftrightarrow \frac{{AT}}{{PM}} = \frac{{AB}}{{MS}}\left( {SP = PM} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow AT \cdot MS = AB \cdot PM = 2R \cdot R = 2{R^2} \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, một tia là tiếp tuyến của đường tròn

[content_3]

Phương pháp giải

Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả của hai góc nội tiếp.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho đường tròn (O; R) với A là điểm cố định trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) và lấy M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của MA, K là giao điểm của BI với (O).

a) Chứng minh các tam giác IKA và IAB đồng dạng. Từ đó suy ra tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB.

b) Giả sử MK cắt (O) tại C. Chứng minh BC song song với MA.

Hướng dẫn giải

a) ∆IAK ∼ ∆IBA (g.g) ⇒ $\frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{IK}}{{IA}}$

Mà $IA = IM \Rightarrow \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{IK}}{{IM}}$

⇒ ∆IKM ∼ ∆IMB (c.g.c)

b) Chứng minh được $\widehat {IMK} = \widehat {KCB}$

⇒ BC // MA ⇒ đpcm.

Câu 2. Cho đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại C và D, trong đó tiếp tuyến chung MN song song với cát tuyến EDF, M và E thuộc (O), N và F thuộc (I), D nằm giữa E và F. Gọi K, H theo thứ tự là giao điểm của NC, MC với EF. Gọi G là giao điểm của EM, FN. Chứng minh:

a) Các tam giác GMN và DMN bằng nhau

b) GD là đường trung trực của KH

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat {DMN} = \widehat E = \widehat {GMN}$

$\widehat {DNM} = \widehat {NFD} = \widehat {DNG}$

⇒ ∆GMN = ∆DMN

b) Chứng minh được MN là đường trung trực của GD

⇒ GD ⊥ EF (1)

Gọi J là giao điểm của DC và MN

Ta có: $\frac{{IM}}{{DH}} = \frac{{JN}}{{DK}}\left( { = \frac{{CI}}{{CD}}} \right)$

Mặt khác: $JM = JN\left( { = \sqrt {JC \cdot JD} } \right)$

⇒ DH = DK (2)

Từ (1), (2) ⇒ đpcm.

Câu 3. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn. Tia phân giác của $\widehat {CAx}$ cắt nửa đường tròn ở E, AE và BC cắt nhau ở K.

a) ∆ABK là tam giác gì? Vì sao?

b) Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng: IK // Ax

c) Chứng minh rằng: OE // BC.

Hướng dẫn giải

a) $BE{\text{ }} \bot {\text{ }}AK\left( {\widehat E = 90^\circ } \right)$

∆ABK có BE là đường cao, đường phân giác nên cân tại B

b) I là trực tâm của ∆ABK ⇒ KI ⊥ AB

Mà: BC ⊥ AC

⇒ OE // BC

Câu 4. Cho đường tròn (O) đường kính B. Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ở A, qua điểm T trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến TM với đường tròn (M là tiếp điểm). Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB và trên đường thẳng d. Chứng minh rằng:

a) AM, PQ, OT đồng quy tại I

b) MA là tia phân giác của $\widehat {QMO};\widehat {TMP}$

c) ∆AIQ, ∆ATM, ∆AIP, ∆AOM đồng dạng.

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác APMQ là hình chữ nhật ⇒ AM ∩ PQ ≡ I

Lại có TM = TA (hai tiếp tuyến cắt nhau); OM = OA (= R)

⇒ OT là đường trung trực của AM

⇒ OT cắt AM tại trung điểm I ⇒ đpcm

⇒ MA là tia phân giác $\widehat {PMT}$

$\widehat {AMQ} = \widehat {MAO}\left( {slt} \right)$ và ∆OAM cân tại O, ta có:

$\widehat {OAM} = \widehat {OMA} \Rightarrow \widehat {AMO} = \widehat {AMQ}$

⇒ MA là phân giác $\widehat {OMQ}$

c) ∆AIQ cân tại I, ∆AMT cân tại T, có:

$\widehat {IAQ} = \widehat {MAT}$ ⇒ ∆IAQ ∼ ∆TAM (g.g)

Tương tự: ∆AIP cân tại I, ∆AOM cân tại O, có:

$\widehat {IAP} = \widehat {MAO}$ ⇒ ∆IAP ∼ ∆AOM (g.g)

Câu 5. Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (D nằm giữa A và E). Tia phân giác của góc DBE cắt DE ở I. Chứng minh rằng:

a) $\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{CE}}$

b) AI = AB = AC

c) CI là phân giác $\widehat {DCE}$

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆ABD và ∆AEB, có:

$\Rightarrow \frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{AB}}{{AE}}\left( 1 \right)$

Tương tự: $\frac{{CD}}{{CE}} = \frac{{AC}}{{AE}}\left( 2 \right),AB = AC\left( 3 \right)$

$\Rightarrow \frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{CE}}$

b) Ta có: $\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_2}} + \widehat {{E_1}}$ (góc ngoài của tam giác)

$\widehat {ABI} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = \widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}}$

Lại có: $\widehat {{E_1}} = \widehat {{B_3}} \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {ABI}$

Suy ra: ∆ABI cân tại A

$\Rightarrow \left. \begin{gathered} AI = AB \hfill \\ AB = AC \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow AI = AB = AC$

c) ∆ACI cân tại A

$\Rightarrow \widehat {{I_2}} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_3}}$ , lại có: $\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}} + \widehat {{E_2}}$ (góc ngoài của ∆ICE)

Mà: $\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$ (đpcm)

eduverbalearn0313