Bài viết này sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu khái niệm và các tính chất của góc nội tiếp, ứng dụng vào các dạng toán về chứng minh hình học và tính số đo trong đường tròn.
Lý thuyết góc nội tiếp
[content_1]
Định nghĩa
Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn gọi là góc nội tiếp (![\[\widehat {ACB}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-1.svg)
).
Lưu ý: Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn
Định lý
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Hệ quả
Trong một đường tròn
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau và ngược lại.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau ![\[\widehat {ADB} = \widehat {ACB}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-2.svg)
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Chứng minh hai góc bằng nhau. Tính số đo góc.
[content_2]
Câu 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC. N là điểm chính giữa cung CB. Chứng minh rằng: ![\[\widehat {CAN} = \widehat {NAB}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-3.svg)
Hướng dẫn giải
Ta có: 
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Lại có: 
![\[ \Rightarrow \widehat {CAN} = \widehat {NAB}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-4.svg)
Câu 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90°. Vẽ các dây MC ⊥ AB, MD // AB. Chứng minh rằng: ![\[\widehat {DMB} = \widehat {ADC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-5.svg)
Hướng dẫn giải
Ta có: 
(đường kính vuông góc với một dây)
Ta lại có: 
(hai cung chắn giữa hai dây song song)
(góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Câu 3. Cho △ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AH. Chứng minh rằng: ![\[\widehat {BAH} = \widehat {OAC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-6.svg)
Hướng dẫn giải
Dựng đường kính AD
Ta có: 
(góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Lại có: ![\[\widehat {BAH} = \widehat {DBC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-7.svg)
(hai góc có các cạnh tương ứng vuông góc)
![\[ \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {DAC} \Leftrightarrow \widehat {BAH} = \widehat {OAC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-8.svg)
Câu 4. Cho lục giác ABCDEF có các đỉnh thuộc đường tròn (O). Biết AB // DE, BC // EF. Chứng minh rằng: ![\[\widehat {ADC} = \widehat {DAF}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-9.svg)
Hướng dẫn giải
Do 
Do đó: △BDF = △ECA (g.g)
Suy ra: 
Câu 5. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cung BC không chứa A sao cho ![\[\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-10.svg)
. Chứng minh rằng: ![\[\widehat {ADB} = \widehat {CDM}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-11.svg)
Hướng dẫn giải
![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {DAC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-12.svg)
Lại có: ![\[\widehat {ABM} = \widehat {ADC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-13.svg)
(góc nội tiếp)
Nên △ABM ~ △ADC (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{BA}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{DC}} = \frac{{MC}}{{CD}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-14.svg)
Kết hợp với ![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-15.svg)
suy ra △BAD ~ △MCD (c.g.c)
Suy ra:
Câu 6. Cho △ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD. Biết ![\[\widehat {BAC} = 45^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-16.svg)
. Tính số đo của góc ![\[\widehat {CBD}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-17.svg)
.
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Lại có: ![\[\widehat {DCB} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-18.svg)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
![\[ \Rightarrow \widehat {CBD} = 180^\circ - \widehat {CDB} - \widehat {DCB} = 45^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-19.svg)
Câu 7. Cho △ABC nhọn có ![\[\widehat {BAC} = 60^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-20.svg)
. Vẽ đường tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Tính số đo góc ![\[\widehat {ODE}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-21.svg)
.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {BDC} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-22.svg)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
⇒ ![\[\widehat {ADC} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-23.svg)
⇒ △ADC vuông tại D
Suy ra: ![\[\widehat {ACD} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {EOD} = 60^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-24.svg)
Mà ta lại có: △EOD cân tại O
Suy ra: △EOD đều ![\[ \Rightarrow \widehat {EOD} = 60^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-25.svg)
Câu 8. Cho △ABC nhọn nội tiếp (O). Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho ![\[\widehat {xBC} = \widehat A\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-26.svg)
. Tính số đo góc ![\[\widehat {OBx}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-27.svg)
.
Hướng dẫn giải
Dựng đường kính BD khi đó ![\[\widehat {DCB} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-28.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {DBC} + \widehat {CDB} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-29.svg)
Mà: 
Lại có: ![\[\widehat {BAC} = \widehat {CBx}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-30.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {DBC} + \widehat {CBx} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DBx} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-31.svg)
Câu 9. Tính góc A của tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết ![\[\widehat {IOK}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-33.svg)
, trong đó I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.
Hướng dẫn giải
Gọi D là giao điểm của đoạn IK và đường tròn (O).
; 
![\[ \Rightarrow \widehat {DBI} = \widehat {BID}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-34.svg)
⇒ △BDI cân tại D ⇒ DB = DI
△IBK vuông tại B có DB = DI nên DI = DK và DB = ![\[\frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-35.svg)
IK (1)
△IOK vuông tại O có DI = DK nên OD = IK (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD = OD = OB
△BOD đều ![\[ \Rightarrow \widehat {BOD} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = 60^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-36.svg)
Dạng 2. Tính độ dài, tính diện tích
[content_3]
Câu 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa đường tròn sao cho ![\[\widehat {ACD} = \widehat {BCE} < 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-37.svg)
. Biết CD – CE = a. Tính DE theo a.
Hướng dẫn giải
Trên CD lấy K sao cho CK = CE thì:
DK = CD – CK = CD – CE = a
Kéo dài DC cắt đường tròn (O) ở I.
Ta có: ![\[\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_3}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-38.svg)
⇒ E đối xứng với I qua AB
△ECK cân ![\[ \Rightarrow \widehat {{K_1}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{C_4}}}}{2} = \widehat {{C_2}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-39.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {DKE} = \widehat {OCE}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-40.svg)
(bù với hai góc trên) (2)
Từ (1) và (2) suy ra △DKE ~ △OCE (g.g)
![\[\frac{{DE}}{{DK}} = \frac{{OE}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OC}} = 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-41.svg)
Vậy DE = 2DK = 2a
Câu 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm, ![\[\widehat B = 45^\circ ,\widehat C = 15^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-42.svg)
. Tính dộ dài AC, BC, AB và diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
![\[\begin{gathered} \widehat B = 45^\circ \Rightarrow \widehat {AOC} = 90^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow AC = OC\sqrt 2 = \sqrt 2 \left( {dm} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-43.svg)
Kẻ OM ⊥ BC
Ta có: ![\[\widehat {{C_2}} = \widehat C - \widehat {{C_1}} = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-44.svg)
![\[ \Rightarrow MC = OC \cdot \cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = \sqrt 3 \left( {dm} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-45.svg)
Kẻ AH ⊥ BC.
Đặt HC = x, HB = y thì x + y = ![\[\sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-46.svg)
(1)
Ta có: HC2 + HB2 = HC2 + HA2 = AC2 = 2
Nên x2 + y2 = 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
2xy = (x + y)2 – (x + y)2 = 3 – 2 = 1 (3)
Từ (2) và (3) suy ra:
(x – y)2 = x2 + y2 – 2xy = 2 – 1 = 1
⇒ x – y = 1 (4)
Từ (1) và (4) suy ra: ![\[y = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}\left( {dm} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-47.svg)
Do đó: ![\[AB = y\sqrt 2 = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\left( {dm} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-48.svg)
![\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} = \frac{{\sqrt 3 - 3}}{4}\left( {d{m^2}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-49.svg)
Câu 3. Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích:
a) Tam giác MAB
b) Tam giác MIK
Hướng dẫn giải
a) ![\[\widehat {AMB} = 90^\circ ,\widehat {BOK} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-50.svg)
Nên ![\[\frac{{MA}}{{MB}} = \tan B = \frac{{OK}}{{OB}} = \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-51.svg)
Từ ![\[\left\{ \begin{gathered} MB = 2MA \hfill \\ M{A^2} + M{B^2} = 4{R^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-52.svg)
dễ dàng tính được:
![\[MA = \frac{{2R}}{{\sqrt 5 }},{\text{ }}MB = \frac{{4R}}{{\sqrt 5 }},{\text{ }}{S_{\Delta MAB}} = \frac{{4{R^2}}}{5}{\text{ }}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-53.svg)
b) MI là đường phân giác của △MAB
![\[ \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-54.svg)
Lại có: IA + IB = 2R nên dễ dàng tính được ![\[IB = \frac{{4R}}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-55.svg)
![\[\begin{gathered} {S_{KIB}} = \frac{1}{2}IB \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot \frac{{4R}}{3} \cdot \frac{R}{2} = \frac{{{R^2}}}{3}{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ AI = \frac{1}{3}AB \Rightarrow {S_{\Delta MAI}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta MAB}} = \frac{{4{R^2}}}{{15}}{\text{ }}\left( 3 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-56.svg)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
![\[\begin{gathered} {S_{\Delta MIK}} = {S_{\Delta MAB}} - {S_{\Delta KIB}} - {S_{\Delta MAI}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{4{R^2}}}{5} - \frac{{{R^2}}}{3} - \frac{{4{R^2}}}{{15}} = \frac{{{R^2}}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-57.svg)
Dạng 3. Bài toán dựa hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng
[content_4
Câu 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90°. Vẽ các dây MC ⊥ AB, MD // AB. Chứng minh rằng ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ta có: MD // AB mà AB ⊥ MC nên MC ⊥ MD ⇒ ![\[\widehat {DMC} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-58.svg)
![\[\widehat {CMD}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-59.svg)
là góc nội tiếp mà bằng 90° nên phải chắn nửa đường tròn, suy ra CD là đường kính, do đó ba điểm C,O, D thẳng hàng.
Câu 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C. Các dây CA, CB cắt đường tròn (K) lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng E, K, F thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Xét (O) có ![\[\widehat {ACB} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-60.svg)
nên ![\[\widehat {ECF} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-61.svg)
Xét đường tròn (K) vì nên EF là đường kính
Suy ra: ba điểm E, K, C thẳng hàng
Câu 3. Cho △ABC nhọn có ![\[\widehat {BAC} = 45^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-62.svg)
nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BH, CK cắt đường tròn (O) lần lượt tại E và D. Chứng minh rằng D, O, E thẳng hàng
Hướng dẫn giải
Ta có: BH ⊥ AC ⇒ △ABH vuông tại H
Mà: ![\[\widehat {BAH} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {ABH} = 45^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-63.svg)
hay ![\[\widehat {EBA} = 45^\circ \left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-64.svg)
Mặt khác có: CK ⊥ AB suy ra △ACK vuông tại K
Mà: ![\[\widehat {KAC} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {KCA} = 45^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-65.svg)
Ta lại có: ![\[\widehat {DBA} = \widehat {DCA}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-65a.svg)
(cùng chắn cung AD)
Nên ![\[\widehat {ABD} = 45^\circ \left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-66.svg)
Từ (1), (2) ![\[ \Rightarrow \widehat {EBD} = \widehat {DBA} + \widehat {ABE} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-67.svg)
nên DE là đường kính của (O) hay D,O, E thẳng hàng
Câu 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho ![\[\widehat {OAO'} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-68.svg)
. Lấy điểm C thuộc (O’) và ở bên ngoài đường tròn (O). Kẻ các tia CA, CB cắt đường tròn (O) tại D, E. Chứng minh rằng D, O, E thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Xét (O) có ![\[\widehat {AEB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-69.svg)
Xét (O’) có ![\[\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {AO'B}\left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-70.svg)
Từ (1), (2) ta có:
![\[\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOB} + \widehat {AO'B}} \right) = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-71.svg)
Nên ![\[\widehat {EAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DAE} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-72.svg)
nên DE là đường kính của (O)
Vậy D, O, E thẳng hàng.
Dạng 4. Bài toán dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
[content_5]
Câu 1. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Hướng dẫn giải
Dễ chứng minh H đối xứng với K qua BC, suy ra ![\[\widehat {{K_2}} = \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-73.svg)
Ta lại có: ![\[\widehat {{K_1}} = \widehat {{A_1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-74.svg)
nên ![\[\widehat {{K_1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-75.svg)
phụ ![\[\widehat {{H_2}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-76.svg)
Từ (1) và (2) suy ra ![\[\widehat {{K_2}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-77.svg)
phụ .
Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 2. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), trực tâm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC. Tia phân giác của góc BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng: ![\[\widehat {AKH} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-78.svg)
Hướng dẫn giải
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp △ABC. Vẽ bán kính OD đi qua M thì D là điểm chính giữa của cung BC nên A, K, D thẳng hàng.
Vẽ đường kính AN. Dễ chứng minh được BHCN là hình bình hành
⇒ H, M, N thẳng hàng và OM = AH = AI
Tứ giác AOMI có AI // OM, AI = OM nên là hình bình hành
![\[ \Rightarrow OA\parallel MI \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{K_1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-79.svg)
Kết hợp với ![\[\widehat {{A_1}} = \widehat D = \widehat {{A_2}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-80.svg)
nên ![\[\widehat {{K_1}} = \widehat {{A_2}} \Rightarrow IK = IA = IH\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-81.svg)
Vậy
Câu 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC ở D và cắt đường tròn (O) ở M (khác A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M; MB), K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.
Hướng dẫn giải
![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-84.svg)
mà ![\[\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-85.svg)
(góc nội tiếp) nên ![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-86.svg)
△MBD ~ △MAB (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{MB}}{{MA}} \Rightarrow \frac{{MD}}{{MK}} = \frac{{MK}}{{MA}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-87.svg)
Kết hợp với ![\[\widehat {DMK} = \widehat {MAB}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-88.svg)
ta có:
△DMK ~ △KMA (c.g.c)
![\[ \Rightarrow \widehat {MDK} = \widehat {MKA} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-89.svg)
Vậy DK ⊥ AM.
Câu 4. Cho đường tròn (O), đường kính AB. S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng: SH ⊥ AB.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-90.svg)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét △SAB có AN, BM là hai đường cao.
Mà H là giao điểm của AN và BM suy ra H là trọng tâm △SAB.
⇒ SH là đường cao trong △SAB ⇒ SH ⊥ AB.
Câu 5. Cho △ABC nội tiếp (O). Tia phân giác góc ![\[\widehat {BAC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-91.svg)
cắt đường tròn (O) tại D. đường tròn (D; DB) cắt đường thẳng AB tại Q (khác B), cắt đường thẳng AC tại P (khác C). Chứng minh rằng: AO ⊥ PQ.
Hướng dẫn giải
Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AO với PQ và (O)
Ta có: ![\[\widehat {CPQ} = \widehat {QBC} \Rightarrow \widehat {APQ} = \widehat {ABC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-92.svg)
Mà ![\[\widehat {ABC} = \widehat {AKC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-93.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {APQ} = \widehat {AKC}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-94.svg)
Lại có: ![\[\widehat {AKC} + \widehat {CAK} = 90^\circ \left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-95.svg)
Từ (1), (2) suy ra: ![\[\widehat {APQ} + \widehat {PAK} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-96.svg)
Xét △API có ![\[\widehat {PAI} + \widehat {API} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AIP} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-97.svg)
Hay AO ⊥ PQ
Câu 6. Trong đường tròn (O) có dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: IM ⊥ AD.
Hướng dẫn giải
Gọi E = IM ∩ AD
AC ⊥ BD tại I nên △BCI vuông tại I.
Mà: MB = MC ⇒ MI = MB (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) nên △MBI cân.
Do đó: ![\[\widehat {MIB} = \widehat {MBI}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-98.svg)
mà ![\[\widehat {NID} = \widehat {BIM}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-99.svg)
đối đỉnh do đó ![\[\widehat {MBI} = \widehat {NID}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-100.svg)
Ta có: ![\[\widehat {BDA} = \widehat {BCA}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-101.svg)
(góc nội tiếp chắn 
).
Mà: ![\[\widehat {BCA} + \widehat {MBI} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-102.svg)
(△BCI vuông tại I.)
Suy ra: ![\[\widehat {NID} + \widehat {BDA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AEI} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-103.svg)
Hay MI ⊥ AD
Câu 7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B, O nằm trên đường tròn (O’). Dây AC của (O) cắt (O’) ở D, dây OE của (O’) cắt (O) ở F như trên hình. Chứng minh rằng: OD ⊥ BC.
Hướng dẫn giải
Dựng hai bán kính OB, OC của (O).
Xét đường tròn (O’) ta có:
Mà 
Xét đường tròn (O) ta có: 
Từ (1), (2) ta được:
![\[\widehat {BOD} = \frac{1}{2}\widehat {BOC} \Rightarrow \widehat {BOD} = \widehat {DOC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-104.svg)
Hay OD là tia phân giác ![\[\widehat {BOC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-105.svg)
Ta lại có △BOC cân tại O suy ra OD vừa là tia phân giác vừa là đường cao trong △BOC
Hay OD ⊥ BC
Dạng 5. Nâng cao phát triển tư duy
[content_6]
Câu 1. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Hướng dẫn giải
Dễ dàng chứng minh được H đối xứng với K qua BC
Suy ra: ![\[\widehat {{K_2}} = \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-106.svg)
Ta lại có: ![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{K_1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-107.svg)
Nên ![\[\widehat {{K_1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-108.svg)
phụ với ![\[\widehat {{H_2}}\left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-109.svg)
Từ (1) và (2) suy ra ![\[\widehat {{K_2}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-110.svg)
phụ với
Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A, tiếp xúc với (O’) tại B. tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P cắt (O’) tại điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng:
a) ![\[\widehat {QAR} = \widehat {QBR}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-111.svg)
b) Tam giác BPR cân
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat {QAP} = \widehat {DPQ}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-112.svg)
(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với dây cung cùng chắn một cung)
Và ![\[\widehat {DPQ} = \widehat {QBP}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-113.svg)
(góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Từ đó suy ra: ![\[\widehat {QAP} = \widehat {QBR}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-114.svg)
b) Ta có: ![\[\widehat {BPR} = \widehat {PAB} + \widehat {ABP}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-115.svg)
(tính chất góc ngoài của tam giác)
Mặt khác: ![\[\widehat {BPR} = \widehat {BQA} = \widehat {PAB} + \widehat {ABP}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-116.svg)
Suy ra ![\[\widehat {BPR} = \widehat {BRP}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-117.svg)
hay tam giác BPR cân đỉnh B
c) Ta có: ![\[\widehat {BQP} = \widehat {ABP}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-118.svg)
(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với dây cung cùng chắn một cung)
![\[\widehat {BAR} = \widehat {ABP}\left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-119.svg)
(góc nội tiếp cùng chắn một cung)
![\[\begin{gathered} \widehat {BPR} = \widehat {PAB} + \widehat {ABP}\left( 3 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \widehat {PQR} = \widehat {PQB} + \widehat {BQR}\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-120.svg)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
![\[\widehat {PQR} = \widehat {BPR} = \widehat {BRP}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-121.svg)
Do đó: đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc PB và RB (định lí bổ sung)
Câu 3. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD. Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: ![\[\frac{{IC}}{{ID}} = \frac{{MC}}{{MD}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-128.svg)
Hướng dẫn giải
Ta có: △MAC ∼ △MDA
Suy ra: MA2 = MC⋅MD và ![\[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{AC}}{{AD}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-122.svg)
△MBC ∼ △MDB suy ra ![\[\frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{BD}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-123.svg)
Xét ![\[\frac{{MC}}{{MD}} = \frac{{MC \cdot MD}}{{M{D^2}}} = \frac{{M{A^2}}}{{M{D^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-124.svg)
![\[ = \frac{{MA}}{{MD}} \cdot \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{AC}}{{AD}} \cdot \frac{{BC}}{{BD}}{\text{ }}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-124a.svg)
Mặt khác: △IAC ∼ △IDB
Suy ra: ![\[\frac{{IC}}{{IB}} = \frac{{AC}}{{BD}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-125.svg)
△IBC ∼ △IDA
Suy ra: ![\[\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{BC}}{{AD}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-126.svg)
. Do đó:
![\[\frac{{AC}}{{AD}} \cdot \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BD}} \cdot \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{{IC}}{{IB}} \cdot \frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{ID}}\left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-127.svg)
Từ (1) và (2) suy ra:
Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), BE và CF là các đường cao. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại S, các đường thẳng BC và OS cắt nhau tại M.
a) Chứng minh rằng: ![\[\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BS}}{{ME}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-129.svg)
b) Chứng minh rằng: △AEM ∼ △ABS
c) Gọi N là giao điểm của AM và EF, P là giao điểm của AS và BC. Chứng minh rằng NP vuông góc với BC.
Hướng dẫn giải
a) Do ![\[\widehat {BAE} = \widehat {SBM}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-130.svg)
(hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) và ![\[\widehat {AEB} = \widehat {BMS} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-131.svg)
Nên △AEB ∼ △BMS, suy ra: ![\[\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BS}}{{BM}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-132.svg)
Mà BM = ME nên ![\[\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BS}}{{BE}}{\text{ }}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-133.svg)
b) BME cân tại M nên ![\[\widehat {MEB} = \widehat {MBE}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-134.svg)
. Lại có:
![\[\widehat {SBM} + \widehat {ABE} = \widehat {BAE} + \widehat {ABE} = 90^\circ = \widehat {AEB}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-135.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {SBA} = \widehat {AEM}{\text{ }}\left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-136.svg)
Từ (1) và (2) suy ra: △AEM ∼ △ABS
c) Từ câu b, suy ra: ![\[\widehat {BAP} = \widehat {EAN}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-137.svg)
Mà ![\[\widehat {ABP} = \widehat {AEN}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-138.svg)
(cùng bù với ![\[\widehat {CEF}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-139.svg)
)
Nên △AEN ∼ △ABP, suy ra:
![\[\frac{{AN}}{{AP}} = \frac{{NE}}{{PB}}{\text{ }}\left( 3 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-140.svg)
Vì △AEM ∼ △ABS (câu b) và tương tự ta có:
△MAF ∼ △SAC nên
![\[\widehat {AME} = \widehat {ASB},\widehat {AMF} = \widehat {ASC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-141.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {EMF} = \widehat {BSC} \Rightarrow \widehat {SBP} = \widehat {MEN}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-142.svg)
(do hai tam giác cân có hai góc ở đỉnh bằng nhau)
Suy ra: △EMN ∼ △BSP
![\[ \Rightarrow \frac{{NE}}{{PB}} = \frac{{NM}}{{PS}}{\text{ }}\left( 4 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-143.svg)
Từ (3), (4) suy ra: ![\[\frac{{AN}}{{AP}} = \frac{{NM}}{{PS}} \Rightarrow NP\parallel MS\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-144.svg)
Mà MS ⊥ BC nên NP ⊥ BC
Câu 5. Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH và đường tròn (O) ngoại tiếp △HAC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh:
a) CH là tia phân giác của góc ![\[\widehat {ACE}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-145.svg)
b) HO // EC
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ABD cân nên ![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-146.svg)
Mặt khác: ![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_2}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-147.svg)
(cùng phụ với góc ![\[\widehat B\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-148.svg)
)
![\[\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_2}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-149.svg)
(cùng chắn cung 
)
Suy ra: ![\[\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-150.svg)
b) Ta có: 
⇒ HO // EC
Câu 6. Cho hình vuông ABCD, M là điểm tùy ý thuộc cạnh CD. Hai đường tròn đường kính CD và AM cắt nhau tại N (khác D). Gọi K là giao điểm của DN và BC. Chứng minh AC ⊥ KM.
Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) đường kính AM và CD
![\[ \Rightarrow \widehat {AIM} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-151.svg)
Tứ giác DAIM là hình chữ nhật (Vì ![\[\widehat {AIM} = \widehat {IAD} = \widehat {ADM} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-152.svg)
)
![\[ \Rightarrow \widehat {IMD} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-153.svg)
⇒ DI là đường kính của (O)
![\[ \Rightarrow \widehat {IND} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-154.svg)
N thuộc đường tròn đường kính DC
![\[ \Rightarrow \widehat {DNC} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-155.svg)
Ta có: ![\[\widehat {IND} + \widehat {DNC} = 90^\circ + 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-156.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {INC} = 180^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-157.svg)
⇒ I, N, C thẳng hàng
Xét △CDK và △MIC, có:
![\[\widehat {DCK} = \widehat {IMC}\left( { = 90^\circ } \right),DC = MI\left( { = AD} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-158.svg)
![\[\widehat {KDC} = \widehat {CIM}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-159.svg)
(cặp góc nhọn có cạnh tương ứng với góc)
Do đó: △CDK = △MIC ⇒ CK = MC
⇒ △CMK cân tại C
CA là tia phân giác ![\[\widehat {MCK}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-160.svg)
(vì ABCD là hình vuông) ⇒ AC ⊥ KM
Câu 7. Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải
Gọi K là giao điểm của AM và BC
Xét △KBM và △KAB, có:
![\[\widehat K\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-161.svg)
chung
![\[\widehat {KBM} = \widehat {KAB}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-162.svg)
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp chắn cung 
của (O))
Do đó: △KBM ∼ △KAB (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{KM}}{{KB}} \Rightarrow K{B^2} = KM \cdot KA{\text{ }}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-163.svg)
![\[\widehat {MCK} = \widehat {MBA}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-164.svg)
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp chắn cung của (O))
![\[\widehat {KAC} = \widehat {MBA}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-165.svg)
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp chắn cung 
của (O))
Do đó: ![\[\widehat {MCK} = \widehat {KAC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-166.svg)
Xét △KCM và △KAC, có:
chung
Do đó: △KCM ∼ △KAC (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{KC}}{{KA}} = \frac{{KM}}{{KC}} \Rightarrow K{C^2} = KM \cdot KA{\text{ }}\left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-167.svg)
Từ (1), (2) ta có: KC2 = KB2 ⇒ KC = KB
Vậy AM đi qua trung điểm K của BC.
Câu 8. Cho (O; R) và một tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Trên tiếp tuyến lấy điểm C (khác A). Gọi B là trung điểm của AC. Qua C vẽ đường thẳng cắt (O) tại E, M (theo thứ tự C, E, M). Tia BE cắt (O) tại F và tia CF cắt (O) tại N. Chứng minh: MN // AC.
Hướng dẫn giải
Xét △BAE và △BFA, có:
![\[\widehat {ABE}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-168.svg)
chung
Do đó: △BAE ∼ △BFA (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{BA}}{{BF}} = \frac{{BE}}{{BA}} \Rightarrow \frac{{BC}}{{BF}} = \frac{{BE}}{{BC}}{\text{ }}\left( {{\text{do }}BC = BA} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-169.svg)
Xét △BCE và △BFC, có:
![\[\widehat {CBE}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-171.svg)
chung
![\[\frac{{BC}}{{BF}} = \frac{{BE}}{{BC}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-172.svg)
Do đó: △BCE ∼ △BFC (c.g.c)
![\[ \Rightarrow \widehat {BCE} = \widehat {BFC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-173.svg)
Mà ![\[\widehat {EMN} = \widehat {BFC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-174.svg)
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 
)
Do đó: ![\[\widehat {BCE} = \widehat {EMN} \Rightarrow MN\parallel AC\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-175.svg)
Câu 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dựng CD là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) sao cho C thuộc (O), D thuộc (O’) và B nằm trong tam giác CDA. Đường thẳng CB cắt (O’) tại M. Chứng minh tia AD là phân giác của góc ![\[\widehat {CAM}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-176.svg)
.
Hướng dẫn giải
![\[\widehat {DBM} = \widehat {BCD} + \widehat {BDC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-177.svg)
(![\[\widehat {DBM}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-178.svg)
là góc ngoài của △BDC)
Do đó:
![\[\widehat {CAD} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BCD} + \widehat {BDC} = \widehat {DBM}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-179.svg)
Mà ![\[\widehat {DAM} = \widehat {DBM}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-180.svg)
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 
)
Nên ![\[\widehat {CAD} = \widehat {DAM}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-181.svg)
⇒ AD là tia phân giác của
Câu 10. Cho hình bình hành ABCD, góc ![\[\widehat A < 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-183.svg)
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng minh rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.
Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.
IA = IC ⇒ IE⋅IA = IE⋅IC
△IBE ∼ △ICD (g.g) ⇒ IE⋅IC = IB⋅ID
Từ đó suy ra: IE⋅IA = IE⋅IC = IB⋅ID = IB2
⇒ ![\[\frac{{IB}}{{IE}} = \frac{{IA}}{{IB}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-184.svg)
Ta có: △IBE và △IAB, có:
và ![\[\widehat {BIA}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-185.svg)
chung
Suy ra: △IBE ∼ △IAB (c.g.c) nên ![\[\widehat {IBE} = \widehat {IAB}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-186.svg)
Từ đó suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB (định lí bổ sung).
Câu 11. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại điểm P. Trên cung nhỏ 
, lấy điểm K (K khác B và C). Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại Q. Phân giác góc ![\[\widehat {KBQ}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-187.svg)
cắt KQ tại I.
a) Chứng minh rằng CI là tia phân giác ![\[\widehat {KCQ}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-188.svg)
b) Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng: AQ // BC
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat {PBK} = \widehat {PQB}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-189.svg)
(hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
⇒ △PBK ∼ △PQB (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{PB}}{{PQ}} = \frac{{BK}}{{QB}}{\text{ }}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-190.svg)
Tương tự ta có: △PCK ∼ △PQC (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{PC}}{{PQ}} = \frac{{CK}}{{QC}}{\text{ }}\left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-191.svg)
Từ (1) và (2) kết hợp với PB = PC ta có:
![\[\frac{{BK}}{{QB}} = \frac{{CK}}{{QC}}{\text{ }}\left( 3 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-192.svg)
Ta có BI là phân giác nên ![\[\frac{{IK}}{{IQ}} = \frac{{BK}}{{QB}}{\text{ }}\left( 4 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-193.svg)
Suy ra CI là tia phân giác
b) Ta có: △MKC ∼ △MBA (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{MC}}{{KC}} = \frac{{MA}}{{BA}}{\text{ }}\left( 5 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-194.svg)
△MKB ∼ △MCA (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{MB}}{{KB}} = \frac{{MA}}{{CA}}{\text{ }}\left( 6 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-195.svg)
Từ (5) và (6), lấy vế chia vế:
![\[ \Rightarrow \frac{{KB}}{{KC}} = \frac{{CA}}{{BA}}{\text{ }}\left( 7 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-196.svg)
(vì MB = MC)
Mặt khác theo kết quả câu a, ta có:
![\[\frac{{BK}}{{QB}} = \frac{{KC}}{{QC}} \Rightarrow \frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{QB}}{{QC}}{\text{ }}\left( 8 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-197.svg)
Từ (7) và (8) ![\[ \Rightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{QB}}{{QC}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-198.svg)
⇒ △ABC ∼ △QCB (c.g.c)
![\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {QBC} \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {QAC} \Rightarrow AQ\parallel BC\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-199.svg)
Câu 12. Chứng minh rằng từ 2015 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn luôn chọn được ít nhất 1008 điểm mà 3 điểm bất kỳ trong đó là các đỉnh của một tam giác tù.
Hướng dẫn giải
Xét đường kính của đường tròn không đi qua điểm nào trong 2015 điểm đã cho (luôn tồn tại)
Chọn nửa đường tròn chứa số điểm nhiều hơn.
⇒ Nửa đó chứa ít nhất 1008 điểm.
Xét 3 điểm bất kỳ trong số các điểm thuộc nửa đường tròn đã chọn ta có 3 điểm đó là các đỉnh của một tam giác tù (vì có một góc nội tiếp chắn cung lớn hơn nửa đường tròn).
Câu 13. Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MN // AP. Chứng minh rằng:
a) △BNO ∼ △DOP và ![\[\widehat {NOP} = 45^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-200.svg)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.
c) Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy.
Hướng dẫn giải
a) Do NB // AD, BM // DP, MN // PA nên △NBM ∼ △ADP
Suy ra: ![\[\frac{{BN}}{{BO}} = \frac{{BN}}{{BM\sqrt 2 }} = \frac{{DA}}{{DP\sqrt 2 }} = \frac{{DO}}{{DP}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-201.svg)
Kết hợp với ![\[\widehat {NBO} = \widehat {PDO} = 45^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-202.svg)
⇒ △BNO ∼ △DOP (c.g.c)
Suy ra:
![\[\begin{gathered} \widehat {NOP} = 180^\circ - \widehat {NOB} - \widehat {POD}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 180^\circ - \widehat {NOB} - \widehat {ONB} = \widehat {NBO} = 45^\circ } \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-203.svg)
b) Vì △BNO ∼ △DOP và BO = DO
Nên ![\[\frac{{ON}}{{OP}} = \frac{{BO}}{{DP}} = \frac{{DO}}{{DP}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-204.svg)
Mặt khác: ![\[\widehat {NOP} = \widehat {NBO} = 45^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-205.svg)
, suy ra △ONP ∼ △DOP ∼ △BNO
Gọi Q là tâm đường tròn ngoại tiếp △ONP, chú ý rằng △ONP ∼ △BNO ta có:
![\[\begin{gathered} \widehat {QON} = \frac{{180^\circ - \widehat {ONQ}}}{2} = 90^\circ - \widehat {OPN}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = \widehat {COB} - \widehat {BON} = \widehat {CON}} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-206.svg)
Do đó tia OQ trùng với tia ON. Vậy Q thuộc OC.
c) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của BD với MN, PA
Chú ý rằng △NBM ∼ △ADP và BD là đường chéo hình vuông, ta có:
![\[\frac{{EM}}{{EN}} = \frac{{{S_{BEM}}}}{{{S_{BEN}}}} = \frac{{BM}}{{BN}} = \frac{{DP}}{{DA}} = \frac{{{S_{DFP}}}}{{{S_{DFA}}}} = \frac{{FP}}{{FA}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-207.svg)
Kết hợp với MN // AP, theo bổ đề hình thang
Suy ra: BD, AN, PM đồng quy
Câu 14. Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC = 4AB. Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx (D không trùng với C). Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K, E.
a) Tính giá trị DC, CE theo a.
b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một dây cung cố định.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat {EBC} = \widehat {ADC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-208.svg)
(cùng bù với góc ![\[\widehat {KBC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-209.svg)
)
![\[\widehat {ACD} = \widehat {ECB} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-210.svg)
⇒ △ACD ∼ △ECB (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{EC}} \Rightarrow DC \cdot EC = AC \cdot BC\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-211.svg)
Do ![\[AB = \frac{a}{4};BC = \frac{{3a}}{4}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-212.svg)
![\[ \Rightarrow DC \cdot EC = AC \cdot BC = \frac{{3{a^2}}}{4}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-212a.svg)
b) ![\[{S_{\Delta BDE}} = \frac{1}{2}BC \cdot DE\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-212b.svg)
⇒ SBDE nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất
Theo chứng minh phần a) ta có:
![\[DE = DC + EC \geqslant 2\sqrt {DC \cdot EC} = 2\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4}} = a\sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-213.svg)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
![\[DC = EC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-214.svg)
⇒ SBDE nhỏ nhất bằng ![\[\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-215.svg)
khi D thuộc tia Cx sao cho ![\[CD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-216.svg)
c) Gọi giao điểm của đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC là M, N (M nằm giữa A và B)
⇒ M, N đối xứng qua DE
Ta có: △AKB ∼ △ACD (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AK \cdot AD = AC \cdot AB{\text{ }}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-217.svg)
△AKM ∼ △AND (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{AK}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AD}} \Rightarrow AK \cdot AD = AM \cdot AN{\text{ }}\left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-218.svg)
Từ (1) và (2) suy ra:
![\[\begin{gathered} AM \cdot AN = AC \cdot AB = \frac{{{a^2}}}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{4} = \left( {AC - MC} \right)\left( {AC + NC} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = A{C^2} - M{C^2}{\text{ }}\left( {{\text{do }}MC = NC} \right)} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow MC = \frac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow MC = NC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/goc-noi-tiep-219.svg)
⇒ M, N là hai điểm cố định
Vậy đường tròn đường kính DE luôn có dây cung MN cố định.
