Đơn thức, đơn thức đồng dạng và cách thu gọn đơn thức - Edu

Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu chi tiết lý thuyết đơn thức, cách thu gọn đơn thức. Ứng dụng giải các bài tập về rút gọn, cộng trừ và tính giá trị đơn thức.

Khái niệm đơn thức, đơn thức đồng dạng và các ví dụ

Tổng hợp lý thuyết về đơn thức

[content_1]

Đơn thức

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức đó.

Quy tắc nhân đơn thức: Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.

Ví dụ: –2; x; 6x; 14xy²; 2020x³y⁴ là các đơn thức

Bậc của đơn thức 2020x³y⁴ là 7

(2x)(3xy²) = (2⋅3)(x⋅xy²) = 6x²y²

Đơn thức đồng dạng

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng.

Cộng trừ hai đơn thức đồng dạng: Cộng (hay trừ) các hệ số với nhau còn giữ nguyên phần biến.

Ví dụ: 2x²y²; 4x²y³; $\frac{2}{5}$ x²y³ là các đơn thức đồng dạng

$\begin{gathered} 2{x^2}{y^3} + 4{x^2}{y^3} + \frac{2}{5}{x^2}{y^3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {2 + 4 + \frac{2}{5}} \right){x^2}{y^3} = \frac{{32}}{5}{x^2}{y^3} \hfill \\ \end{gathered}$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Nhận biết đơn thức

[content_2]

Phương pháp giải

Để nhận biết một biểu thức là đơn thức, ta căn cứ vào định nghĩa đơn thức (chỉ gồm một số, một biến hoặc một tích giữa các số và các biến).

Ví dụ: x; y; 3; –2010; 5x²; 2xyz⁴ là các đơn thức

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

a) $\frac{2}{5}$ + xy²

b) 4xy²z

c) 2x² – xy

d) 2020

e) x²y²

f) xyz

Hướng dẫn giải

Các biểu thức trong các ý b, d, e, f là các đơn thức

Câu 2. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không là đơn thức?

a) 3xy² – xz

b) xy²

c) x² + 2y + z

d) 3xyx³z³

e) 0

f) 1 – $\frac{5}{9}$ x³

Hướng dẫn giải

Các biểu thức trong các ý a, c, f không là đơn thức.

Câu 3. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

a) 1 + 2x²

b) $\frac{3}{2}$ x²y

c) 4

d) xy + x

e) 5y²

Hướng dẫn giải

Các biểu thức trong các ý b, c, e là các đơn thức

Câu 4. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phải đơn thức?

2x; 3y; x + y; x + 1; 2xyz; 3x³ + y; 2y²xz

Hướng dẫn giải

Các biểu thức: x + y; x + 1; 3x³ + y không là các đơn thức

Dạng 2. Thu gọn đơn thức

[content_3]

Phương pháp giải

Muốn thu gọn đơn thức, ta cũng áp dụng quy tắc nhân đơn thức

Quy tắc nhân đơn thức: Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.

Ví dụ: (2xy)(3x²y) = (2⋅3)(xy⋅x²y) = 6x³y²

Bài tập vận dụng

Câu 1. Thu gọn các đơn thức sau:

a) $- \frac{1}{3}$ x²y⋅ $\frac{3}{2}$ xy³

b) –5xy⁴ (–0,2x²y²)

c) (–2x²y)(5x³y³)

d) ${\left( { - 1\frac{1}{2}{x^2}{y^3}} \right)^2}$

Hướng dẫn giải

a) $- \frac{1}{3}{x^2}y \cdot \frac{3}{2}x{y^3}$

$= \left( { - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} \right)\left( {{x^2} \cdot x} \right)\left( {y \cdot {y^3}} \right) = - \frac{1}{2}{x^3}{y^4}$

b) –5xy⁴ (–0,2x²y²)

= [–5⋅(–0,2)](x⋅x²)(y⁴⋅y²) = x³y⁶

c) (–2x²y)(5x³y³)

= (–2⋅5)(x²⋅x³)(y⋅y³) = –10x⁵y⁴

d) ${\left( { - 1\frac{1}{2}{x^2}{y^3}} \right)^2}$ $= {\left( { - 1\frac{1}{2}} \right)^2}{\left( {{x^2}} \right)^2}{\left( {{y^3}} \right)^2} = \frac{9}{4}{x^4}{y^6}$

Câu 2. Thu gọn các đơn thức sau:

a) $\left( { - \frac{1}{3}{x^2}y} \right)\left( { - \frac{2}{3}x{y^3}} \right)\left( {1\frac{1}{2}x{y^2}} \right)$

b) $\left( { - \frac{1}{4}{x^3}} \right)\left( { - 8x{y^2}} \right)$

Hướng dẫn giải

a) $\left( { - \frac{1}{3}{x^2}y} \right)\left( { - \frac{2}{3}x{y^3}} \right)\left( {1\frac{1}{2}x{y^2}} \right)$

$\begin{gathered} = \left[ {\left( { - \frac{1}{3}} \right)\left( { - \frac{2}{3}} \right)\left( {1\frac{1}{2}} \right)} \right] \cdot \left( {{x^2}y} \right) \cdot \left( {x{y^3}} \right) \cdot \left( {x{y^2}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{3}{x^4}{y^6} \hfill \\ \end{gathered}$

b) $\left( { - \frac{1}{4}{x^3}} \right)\left( { - 8x{y^2}} \right)$

$= \left[ {\left( { - \frac{1}{4}} \right)\left( { - 8} \right)} \right] \cdot {x^3} \cdot \left( {x{y^2}} \right) = 2{x^4}{y^2}$

Câu 3. Thu gọn các đơn thức sau rồi tìm bậc của đơn thức đó:

a) $- \frac{1}{5}{x^3}{y^2}\frac{5}{4}x{y^3}$

b) $- 3x{y^4}\left( { - \frac{1}{3}} \right){x^2}{y^2}$

Hướng dẫn giải

a) $- \frac{1}{5}{x^3}{y^2}\frac{5}{4}x{y^3} = - \frac{1}{4}{x^4}{y^5}$

Bậc của đơn thức là: 4 + 5 = 9

b) $- 3x{y^4}\left( { - \frac{1}{3}} \right){x^2}{y^2} = {x^3}{y^6}$

Bậc của đơn thức là: 3 + 6 = 9

Câu 4. Xác định hệ số, phần biến của các đơn thức sau:

a) 5x¹⁰⁰

b) 20xyz

c) $\frac{3}{5}$ x²y⁴z⁶

Hướng dẫn giải

a) Phần hệ số: 5; phần biến: x¹⁰⁰

b) Phần hệ số: 20; phần biến: xyz

c) Phần hệ số: $\frac{3}{5}$ ; phần biến: x²y⁴z⁶

Câu 5. Thu gọn các đơn thức sau:

a) 2xy⋅3x²y

b) $\frac{1}{4}$ x²y⋅ $\frac{2}{5}$ xy²

c) 12x⋅ $\frac{3}{4}$ xy

d) 2y⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅x²y⁴

Hướng dẫn giải

a) 2xy⋅3x²y = 6x³y²

b) $\frac{1}{4}$ x²y⋅ $\frac{2}{5}$ xy² = $\frac{1}{{10}}$ x³y³

c) 12x⋅ $\frac{3}{4}$ xy = 9x²y

d) 2y⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅x²y⁴ = $\frac{2}{3}$ x²y⁵

Câu 6. Thu gọn các đơn thức sau và tìm bậc của đơn thức đó:

a) a²b⋅a³⋅3b

b) $- \frac{1}{2}$ ab²c⋅3bc

c) $\frac{2}{3}$ ab⋅ $\frac{4}{3}$ c²

Hướng dẫn giải

a) a²b⋅a³⋅3b = 3a⁵b²

Bậc của đơn thức là: 5 + 2 = 7

b) $- \frac{1}{2}$ ab²c⋅3bc = $- \frac{3}{2}$ ab³c²

Bậc của đơn thức là: 1 + 3 +2 = 6

c) $\frac{2}{3}$ ab⋅ $\frac{4}{3}$ c²= $\frac{8}{9}$ abc²

Bậc của đơn thức là: 1 + 1 + 2 = 4

Dạng 3. Tính giá trị của đơn thức

[content_4]

Phương pháp giải

Để tính giá trị của đơn thức, ta thay giá trị cho trước của các biến vào đơn thức rồi thực hiện các phép tính.

Tính giá trị của đơn thức A = 2xy tại x = 1 và y = 2

Thay x = 1 và y = 2 vào biểu thức ta có:

A = 2⋅1⋅2 = 4

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho đơn thức A = 3x²y

a) Xác định phần hệ số, phần biến của A.

b) Tính giá trị của đơn thức A tại x = 1 và y = –1

Hướng dẫn giải

a) Phần hệ số: 3; phần biến: x²y

b) Thay x = 1 và y = –1 vào A ta được:

A = 3⋅1²⋅(–1) = –3

Câu 2. Cho đơn thức B = $- \frac{2}{3}$ x³y²z

a) Xác định phần hệ số, phần biến của B.

b) Tính giá trị của B tại x = –3, y = –2 và z = $\frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

a) Phần hệ số: $- \frac{2}{3}$ , phần biến: x³y²z

b) Tại x = –3, y = –2 và z = $\frac{1}{2}$ thì

$B = - \frac{2}{3}{x^3}{y^2}z = - \frac{2}{3} \cdot {\left( { - 3} \right)^3} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \cdot \frac{1}{2} = 36$

Câu 3. Tại giá trị nào của x thì đơn thức 4x²y³ có giá trị là 128, biết rằng y = 2 ?

Hướng dẫn giải

Ta có: 4x²⋅2³ = 128 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2

Câu 4. Cho đơn thức $A = 2x{y^2}\left( {\frac{1}{2}{x^2}{y^2}x} \right)$

a) Thu gọn đơn thức A.

b) Tìm bậc của đơn thức thu gọn.

c) Xác định phần hệ số, phần biến của đơn thức thu gọn.

d) Tính giá trị của đơn thức tại x = 1, y = –1

e) Chứng minh rằng A luôn nhận giá trị dương với mọi x ≠ 0 và y ≠ 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $A = 2x{y^2}\left( {\frac{1}{2}{x^2}{y^2}x} \right) = {x^4}{y^4}$

b) Bậc của đơn thức 8.

c) Phần hệ số: 1, phần biến: x⁴y⁴

d) Thay x = 1, y = –1 vào biểu thức A, ta được A = 1⁴⋅1⁴ = 1

e) Vì x⁴ > 0, y⁴ > 0, ∀x ≠ 0 và y ≠ 0 nên x⁴y⁴ > 0, ∀x ≠ 0 và y ≠ 0

Vậy A luôn nhận giá trị dương với mọi x ≠ 0 và y ≠ 0

Câu 5. Tính giá trị các biểu thức sau tại x = 2, y = 3

a) xy

b) 3xy + 4xy

c) 5xy²

Hướng dẫn giải

Thay x = 2, y = 3 vào các biểu thức ta được:

a) xy = 2⋅3 = 6

b) 3xy + 4xy = 7xy = 7⋅2⋅3 = 42

c) 5xy² = 5⋅2⋅3² = 90

Câu 6. Tính giá trị của đơn thức 2x²y³ tại:

a) x = 2; y = 3

b) x = 0; y = 1

c) x = 1; y = 2

d) x = 2; y = 1

Hướng dẫn giải

a) Thay x = 2; y = 3 vào biểu thức ta có:

2x²y³ = 2⋅2²⋅3³ = 216

b) Thay x = 0; y = 1 vào biểu thức ta có:

2x²y³ = 2⋅0²⋅1³ = 0

c) Thay x = 1; y = 2 vào biểu thức ta có:

2x²y³ =2⋅1²⋅2³ = 16

d) Thay x = 2; y = 1 vào biểu thức ta có:

2x²y³ =2⋅2²⋅1³ = 8

Câu 7. Cho hai đơn thức:

A = $\frac{1}{5}$ x³y² và B = –10xy⁴ .

Hai đơn thức có thể cùng có giá trị dương được hay không?

Hướng dẫn giải

Xét tích hai đơn thức:

A⋅B = $\frac{1}{5}$ x³y² (–10xy⁴) = –2x⁴y⁶

Ta có: x⁴ ≥ 0, y⁶ ≥ 0, ∀x, y nên x⁴⋅y⁶ ≥ 0, ∀x, y

Từ đó suy ra: –2x⁴y⁶ ≤ 0, ∀x, y ⇒ A⋅B ≤ 0, ∀x, y

Vậy hai đơn thức A và B không thể cùng có giá trị dương.

Câu 8. Cho hai đơn thức A = 2x³, B = –xy⁴ và C = –3y⁴z².

Chứng minh ba đơn thức không thể cùng có giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Xét tích ba đơn thức:

A⋅B⋅C = (2x³)⋅(–xy⁴)⋅(–3y⁴z²) = 6x⁴y⁸z²

Ta có: x⁴ ≥ 0, y⁸ ≥ 0, z² ≥ 0, ∀x, y, z nên x⁴y⁸z² ≥ 0, ∀x, y, z

Từ đó suy ra: 6x⁴y⁸z² ≥ 0, ∀x, y, z ⇒ A⋅B⋅C ≥ 0, ∀x, y, z

Vậy ba đơn thức A, B, C không thể cùng có giá trị âm

Dạng 4. Nhận biết đơn thức đồng dạng

[content_5]

Phương pháp giải

Đặc điểm của đơn thức đồng dạng:

– Hệ số khác 0

– Có cùng phần biến

Ví dụ: Hai đơn thức 2x³y² và $- \frac{1}{3}$ x³y² là hai đơn thức đồng dạng vì có hệ số khác 0 và cùng phần biến là x³y²

Bài tập vận dụng

Câu 1. Sắp xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng:

$\frac{5}{3}$ x²y; xy²; $- \frac{1}{2}$ x²y; x²y; $\frac{1}{4}$ xy²; xy

Hướng dẫn giải

Nhóm 1: $\frac{5}{3}$ x²y; $- \frac{1}{2}$ x²y; x²y

Nhóm 2: xy²; $\frac{1}{4}$ xy²

Còn lại đơn thức xy không đồng dạng với các đơn thức đã cho.

Câu 2. Chứng tỏ rằng các đơn thức sau là đơn thức đồng dạng:

$A = 1\frac{2}{3}{x^5}{y^2};{\text{ }}B = - 3{x^3}y \cdot \frac{1}{5}{x^2}y;{\text{ }}C = \frac{1}{2}{\left( {xy} \right)^2}\frac{2}{5}{x^3}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} A = 1\frac{2}{3}{x^5}{y^2} = \frac{5}{3}{x^5}{y^2} \hfill \\ B = - 3{x^3}y \cdot \frac{1}{5}{x^2}y = - \frac{3}{5}{x^5}{y^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ C = \frac{1}{2}{\left( {xy} \right)^2}\frac{2}{5}{x^3} = \frac{1}{5}{x^5}{y^2} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy các đơn thức A, B, C là các đơn thức đồng dạng vì có phấn biến giống nhau và có phần hệ số khác 0.

Câu 3. Sắp xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng:

ab²; $\frac{1}{2}$ a²b; $\frac{1}{2}$ abc; –a²b; abc; 3ab²

Hướng dẫn giải

Nhóm 1: ab²; 3ab²

Nhóm 2: $\frac{1}{2}$ a²b; –a²b

Nhóm 3: $\frac{1}{2}$ abc; abc

Câu 4. Chứng tỏ rằng các đơn thức sau đồng dạng: A = mn²m³n; B = nm⁴n²

Hướng dẫn giải

A = mn²m³n = m⁴n³

B = nm⁴n² =m⁴n³

Vậy A, B là các đơn thức đồng dạng vì có phấn biến giống nhau và có phần hệ số khác 0.

Dạng 5. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

[content_6]

Phương pháp giải

Để cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (trừ) các hệ số và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ: Tìm tổng của hai đơn thức: 2x²y² và 3x²y²

Ta có: 2x²y² + 3x²y² = (2 + 3)x²y² = 5x²y²

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tính tổng của ba đơn thức sau:

a) 3x²; $\frac{1}{2}$ x²; 2x²

b) 3y; y; –5y

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$3{x^2} + \frac{1}{2}{x^2} + 2{x^2} = \left( {3 + \frac{1}{2} + 2} \right){x^2} = \frac{{11}}{2}{x^2}$

b) Ta có:

3y + y + 5y = (3 + 1 – 5)y = –y

Câu 2. Tìm tổng của ba đơn thức sau:

a) $\frac{1}{2}{x^2}{y^2}; - \frac{3}{4}{x^2}{y^2};{\text{ }}2{x^2}{y^2}$

b) 25xy²; 55xy²; 75xy²

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{1}{2}{x^2}{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}{y^2} + 2{x^2}{y^2}$

$= \left( {\frac{1}{2} - \frac{3}{4} + 2} \right){x^2}{y^2} = \frac{7}{4}{x^2}{y^2}$

b) Ta có: 25xy² +55xy² + 75xy²

= (25 + 55 + 75)xy² = 155xy²

Câu 3. Thu gọn biểu thức sau:

a) –3x² – 0,5x² + 2,5x²

b) $- \frac{3}{4}{x^3}y + \left( { - \frac{1}{2}{x^3}y} \right) - \left( { - \frac{5}{8}{x^3}y} \right)$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: –3x² – 0,5x² + 2,5x² = –x²

b) Ta có: $- \frac{3}{4}{x^3}y + \left( { - \frac{1}{2}{x^3}y} \right) - \left( { - \frac{5}{8}{x^3}y} \right)$

$\begin{gathered} = - \frac{3}{4}{x^3}y - \frac{1}{2}{x^3}y + \frac{5}{8}{x^3}y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( { - \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{5}{8}} \right){x^3}y = - \frac{5}{8}{x^3}y \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 4. Viết các đơn thức sau thành tổng hoặc hiệu của các đơn thức trong đó có một đơn thức bằng x²y:

a) 5x²y

b) –2x²y

c) x²y

Hướng dẫn giải

a) 5x²y = 4x²y + x²y

b) –2x²y = x²y – 3x²y

c) x²y = 2x²y – x²y

Câu 5. Tính tổng của các đơn thức sau: 3xy; 2xy; 4xy

Hướng dẫn giải

3xy + 2xy + 4xy = (3 + 2 + 4)xy = 9xy

Câu 6. Rút gọn biểu thức sau: A = a²b + 2a²b – 5ba²

Hướng dẫn giải

A = a²b + 2a²b – 5ba²

= (1 + 2 – 5)a²b = –2a²b

Câu 7. Viết đơn thức 4a²bc thành tổng hoặc hiệu của các đơn thức trong đó có một đơn thức bằng 5a²bc

Hướng dẫn giải

4a²bc = 5a²bc – a²bc

eduverbalearn0313