Công thức Diện tích xung quanh và Thể tích của hình nón - Edu

Bài viết này sẽ giúp bạn tìm hiểu định nghĩa hình nón, công thức tính diện tích xung quanh – toàn phần và thể tích hình nón. Ứng dụng giải các bài tập đặc trưng về tính thể tích, diện tích.

Diện tích xung quanh và thể tích hình nón

Định nghĩa hình nón

[content_1]

Khi quay tam giác vuông AOB một vòng quanh cạnh góc vuông OA cố định ta được một hình nón:

– Đáy là hình tròn (O) bán kính OB.

– Mặt xung quanh do cạnh OB quét nên. Mỗi vị trí của OB gọi là một đường sinh.

– A gọi là đỉnh; AO là đường cao.

Diện tích xung quanh của hình nón

[content_2]

– Diện tích xung quanh của hình nón được tính bằng tích của bán kính đáy, đường sinh và Pi. Công thức tổng quát: S_xq = πRl (R là bán kính đáy; l là đường sinh).

– Diện tích toàn phần của hình nón bao gồm diện tích xung quanh hình nón và phần diện tích đáy. Công thức tổng quát: S_tp = πRl + πR² hay S_tp = πR(l + R). (R là bán kính đáy; l là đường sinh).

Thể tích hình nón

[content_3]

Thể tích hình nón được tính bằng một phần ba Pi nhân với bình phương bán kính mặt đáy và nhân với chiều cao. Công thức tổng quát: V = 1/3πR²h (Với h là chiều cao, R là bán kính đáy).

Công thức tính thể tích hình nón và hình minh họa

Hình nón cụt

[content_4]

Định nghĩa

– Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt phẳng đáy được gọi là hình nón cụt.

Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt

S_xq = π(R₁ + R₂)l

V = $\frac{1}{3}$ πh(R₁² + R₂² + R₁R₂)

(R₁, R₂ là các bán kính; l là đường sinh; h là chiều cao).

Bài tập vận dụng

[content_5]

Câu 1. Một hình nón có đường cao bằng 24 cm và thể tích bằng 800π cm³. Tính diện tích toàn phần của hình nón này.

Hướng dẫn giải

Gọi R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình nón.

Ta có: V = $\frac{1}{3}$ πR²h

Suy ra: ${R^2} = \frac{{3V}}{{\pi \cdot h}} = \frac{{3 \cdot 800\pi }}{{\pi \cdot 24}} = 100\left( {c{m^2}} \right)$

Do đó: R = 10 cm. Vậy bán kính đáy hình nón là 10 cm.

Đường sinh của hình nón này là:

$SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{{24}^2} + {{10}^2}} = 26\left( {cm} \right)$

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πR(l + R) = π⋅10⋅(26 + 10) = 360π (cm²)

Nhận xét: Mấu chốt trong bài toán này là tìm được bán kính đáy, từ đó tính được đường sinh và do đó tính được diện tích toàn phần của hình nón.

Câu 2. Mặt cắt chứa trục của một hình nón là một tam giác đều có diện tích là $9\sqrt 3$ cm². Tính thể tích của hình nón đó.

Hướng dẫn giải

⊗ Tìm hướng giải

Để tính thể tích hình nón ta cần biết bán kính đáy và chiều cao của nó. Vì mặt cắt chứa trục là một tam giác đều nên nếu biết cạnh của tam giác đều là tính được tất cả.

⊗ Trình bày lời giải

Gọi mặt cắt là tam giác đều ABC.

Ta đặt AB = AC = BC = a thì bán kính đáy hình nón là $R = \frac{a}{2}$ và chiều cao hình nón là $h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vì diện tích của tam giác đều là $9\sqrt 3$ cm² nên ta có:

$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 \Rightarrow {a^2} = 36 \Rightarrow a = 6\left( {cm} \right)$

Vậy bán kính đáy là R = 3 cm và chiều cao hình nón là:

$h = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)$

Thể tích của hình nón là:

$V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {3^2} \cdot 3\sqrt 3 = 9\sqrt 3 \pi \left( {c{m^3}} \right)$

Câu 3. Khai triển một hình nón theo một đường sinh rồi trải phẳng ra ta được một hình quạt tròn có bán kính 10 cm và có diện tích là 60π cm².

a) Tính số đo cung của hình quạt;

b) Tính số đo nửa góc ở đỉnh của hình nón.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số đo của cung hình quạt là n°

Vì diện tích hình quạt là 60π cm² nên

$\frac{{\pi \cdot A{C^2} \cdot n}}{{360^\circ }} = 60\pi \Rightarrow n = \frac{{60 \cdot 360^\circ }}{{{{10}^2}}} = 216^\circ$

b) Vì diện tích xung quanh hình nón là 60π cm² nên

$\pi \cdot HC \cdot AC = 60\pi \Rightarrow HC = \frac{{60}}{{10}} = 6\left( {cm} \right)$

Gọi α là số đo nửa góc ở đỉnh của hình nón.

Ta có: $\sin \alpha = \frac{{HC}}{{AC}} = \frac{6}{{10}} = 0,6 \approx \sin 36^\circ 52'$

Do đó: α ≈ 36°52′

Câu 4. Cho tam giác vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16 cm. Quay tam giác này một vòng quanh cạnh BC. Tính diện tích toàn phần của hình tạo thành.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16 cm

$\Rightarrow BC = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} = 20\left( {cm} \right)$

Vẽ AH ⊥ BC. Ta có AH⋅BC = AB⋅AC

$\Rightarrow AH = \frac{{12 \cdot 16}}{{20}} = 9,6\left( {cm} \right)$

Khi quay △ABC một vòng quanh cạnh BC cố định thì hình tạo thành gồm hai hình nón chung đáy, bán kính là 9,6 cm. Diện tích toàn phần của hình tạo thành là:

S_tp = π⋅AH(AB + AC) = π⋅9,6(12 + 16) = 268,8π (cm²)

Nhận xét: Khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh cố định thì hình tạo thành phụ thuộc vào trục quay.

– Nếu quay theo một cạnh góc vuông thì hình tạo thành là một hình nón.

– Nếu quay theo cạnh huyền thì hình tạo thành là hai hình nón chung đáy.

Câu 5. Một hình nón cụt có các bán kính đáy là 21 cm và 49 cm. Biết diện tích xung quanh của nó là 3710π cm², tính thể tích của hình nón cụt.

Hướng dẫn giải

Gọi mặt cắt chứa trục của hình nón cụt là hình thang cân ABCD.

Trong mặt phẳng này vẽ BH ⊥ CD.

Ta đặt O’B = R₁; OC = R₂; OO’ = h và BC = l.

Ta có: BH = OO’ = h; HC = R₂ – R₁ = 49 – 21 = 28 (cm).

Vì diện tích xung quanh của hình nón cụt là 3710π cm² nên π⋅(R₁ + R₂)⋅l = 3710π

Suy ra: $1 = \frac{{3710\pi }}{{\pi \left( {21 + 49} \right)}} = 53\left( {cm} \right)$

Xét △BHC vuông tại H, ta có:

$BH = \sqrt {B{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{53}^2} - {{28}^2}} = 45\left( {cm} \right)$

Thể tích của hình nón cụt là:

V = $\frac{1}{3}$ πh (R₁² + R₂² + R₁R₂)

= $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ 45(21² + 49² + 2149)

= 58065π (cm³)

Nhận xét: Việc vẽ BH ⊥ CD giúp ta gắn kết được các bán kính của hình nón cụt, đường sinh, chiều cao của nó vào một tam giác vuông. Nhờ định lí Py-ta-go ta có thể giải quyết được vấn đề.

Câu 6. Một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm, chiều cao bằng trung bình cộng của bán kính đáy và đường sinh. Chứng minh rằng hình nón này có số đo diện tích toàn phần (tính bằng cm²) đúng bằng số đo thể tích (tính bằng cm³).

Hướng dẫn giải

Gọi R là bán kính đáy, h là chiều cao và l là đường sinh của hình nón.

Ta có: $R = 6cm,h = \frac{{R + 1}}{2} \Rightarrow l = 2h - 6$

Mặt khác: $l = \sqrt {{h^2} + {R^2}}$

Suy ra: $2h - 6 = \sqrt {{h^2} + {R^2}} {\text{ }}\left( {h > 3} \right)$

Bình phương hai vế ta có:

$\begin{gathered} 4{h^2} - 24h + 36 = {h^2} + 36\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3{h^2} - 24h = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 3h\left( {h - 8} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} h = 0\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\ h = 8\left( {ch\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{o} n} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy chiều cao của hình nón là 8 cm; đường sinh bằng 2⋅8 – 6 = 10 (cm).

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πR(l + R) = 6 ⋅ π (10 + 6) = 96π (cm²)

Thể tích của hình nón là:

V = $\frac{1}{3}$ πR²h = $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ 6² ⋅ 8 = 96π (cm³)

Vậy số đo diện tích toàn phần tính bằng cm2 đúng bằng số đo thể tích tính bằng cm³.

Câu 7. Một hình nón có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a. Biết chiều cao của hình nón bằng $\frac{a}{3}\sqrt 6$ . Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Hướng dẫn giải

Bán kính đáy hình nón chính là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Ta có: $R = \frac{a}{\begin{gathered} 2\sin \frac{{180^\circ }}{n} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{a}{{2\sin 60^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Xét △SOA vuông tại O ta có:

$\begin{gathered} S{A^2} = S{O^2} + O{A^2} = {\left( {\frac{a}{3}\sqrt 6 } \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow S{A^2} = {a^2} \Rightarrow SA = a \hfill \\ \end{gathered}$

Diện tích toàn phần của hình nón là:

$\begin{gathered} {S_{tp}} = \pi R\left( {1 + R} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \left( {1 + \frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{{\pi {a^2}}}{3}\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 8. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 9 cm và chiều cao SO = 21,6 cm. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy tạo ra một hình nón cụt có chiều cao 12 cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt.

Hướng dẫn giải

⊗ Tìm hướng giải

Để tìm diện tích xung quanh của hình nón cụt, cần biết các bán kính đáy và đường sinh. Có thể tính được bán kính còn lại nhờ định lí Ta lét. Có thể tính được độ dài đường sinh nhờ định lí Py-ta-go.

⊗ Trình bày lời giải

Xét mặt cắt qua trục của hình nón là △SAB cân tại S.

Trong mặt phẳng SAB có O’C // OB.

Theo định lí Ta-lét ta có: $\frac{{O'C}}{{OB}} = \frac{{SO'}}{{SO}}$ . Do đó:

$\frac{{O'C}}{9} = \frac{{9,6}}{{21,6}} \Rightarrow O'C = 4\left( {cm} \right)$

Trong mặt phẳng SAB vẽ CH ⊥ AB, ta được:

CH = OO’ = 12 cm, BH = 9 – 4 = 5 cm

Suy ra: $BC = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} = 13\left( {cm} \right)$

Diện tích xung quanh của hình nón cụt là:

S_xq = π(R₁ + R₂)l = π(9 + 4) = 13 = 169π (cm²)

Câu 9. Một xô bằng tôn có các bán kính đáy là 17 cm và 10 cm, chiều cao 24 cm. Tính diện tích tôn để làm xô.

Hướng dẫn giải

Xét mặt cắt qua trục của hình nón cụt, đó là hình thang cân ABCD.

Trong mặt phẳng này ta vẽ CH ⊥ AB.

Ta có: CH = OO’ = 24 cm; O’H = OC = 10 cm; BH = O’B – O’H = 7 cm.

Suy ra: $BC = \sqrt {{{24}^2} + {7^2}} = 25\left( {cm} \right)$

Diện tích xung quanh của xô là:

S_xq = π(R₁ + R₂)l = π(17 + 10) ⋅ 25 = 675π (cm²)

Diện tích đáy xô là:

S_đáy = π⋅10² = 100π (cm²).

Vậy diện tích tôn để làm xô là:

675π + 100π = 775π (cm²).

Câu 10. Một hình nón có diện tích đáy bằng 144π cm² và diện tích toàn phần bằng 588π cm². Tính thể tích hình nón.

Hướng dẫn giải

Gọi R là bán kính đáy hình nón và l là đường sinh của nó.

Ta có: π⋅R² = 144π ⇒ R = 12 (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = 588π – 144π = 444π (cm²)

Suy ra: $\pi Rl = 444\pi \Rightarrow l = \frac{{444\pi }}{{12\pi }} = 37\left( {cm} \right)$

Chiều cao của hình nón là:

$SO = \sqrt {{{37}^2} - {{12}^2}} = 35\left( {cm} \right)$

Thể tích của hình nón là:

$V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {12^2} \cdot 35 = 1680\pi \left( {c{m^3}} \right)$

Câu 11. Một chiếc cốc hình nón đựng rượu đến $\frac{1}{3}$ chiều cao của cốc. Biết thể tích của rượu trong cốc là 2 cm³. Tính thể tích của cốc.

Hướng dẫn giải

Phần rượu trong cốc có dạng hình nón.

Gọi r là bán kính đáy của phần rượu hình nón trong cốc.

Suy ra bán kính miệng cốc là 3r (do định lí Ta-lét).

Thể tích phần rượu trong cốc là:

V₁ = $\frac{1}{3}$ πr²h

Thể tích của cốc là:

V₂ = $\frac{1}{3}$ π⋅(3r)²⋅3h = $\frac{1}{3}$ π⋅27r²h

Do đó: $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{1}{3}\pi {r^2}h \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} \frac{1}{3}\pi 27{r^2}h \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{1}{{27}}$

Suy ra: $\frac{2}{{{V_2}}} = \frac{1}{{27}} \Rightarrow {V_2} = 54\left( {c{m^3}} \right)$

Vậy thể tích của cốc là 54 cm³

Câu 12. Cắt hình nón cụt bằng một mặt phẳng chứa trục ta được một hình thang cân có góc ở đáy bằng 45° và độ dài đáy lớn gấp đôi độ dài đáy nhỏ. Biết diện tích mặt cắt này là 27 cm². Tính thể tích hình nón cụt.

Hướng dẫn giải

Gọi mặt cắt chứa trục là hình thang cân ABCD.

Đặt O’B = a thì OC = 2a.

Vẽ BH ⊥ OC ta được

OH = O’B = a và HC = a.

Tam giác HBC vuông cân nên

BH = HC = a và BC = a $\sqrt 2$

Diện tích hình thang cân ABCD là:

$S = \frac{{\left( {AB + CD} \right)BH}}{2} = \frac{{\left( {2a + 4a} \right)a}}{2} = 3{a^2}$

Theo đề bài ta có: 3a² = 27 ⇒ a = 3 (cm).

Thể tích của hình nón cụt là:

S = $\frac{1}{3}$ πh(R₁² + R₂² + R₁R₂)

= $\frac{1}{3}$ πa(a² + 4a² + 2a²)

= $\frac{7}{3}$ πa³ = $\frac{7}{3}$ π3³ = 63 π (cm³)

Câu 13. Một đống cát hình nón có chu vi đáy là 12,56 m. Người ta dùng xe cải tiến để chở đống cát đó đi 10 chuyến thì hết. Biết mỗi chuyến chở được 250 dm³. Tính chiều cao của đống cát (làm tròn đến dm).

Hướng dẫn giải

Gọi R là bán kính đáy đống cát và h là chiều cao của đống cát.

Vì chu vi đáy đống cát là 12,56 m nên

$2\pi R = 12,56 \Rightarrow R = \frac{{12,56}}{{2\pi }} \approx 2,0\left( m \right)$

Thể tích của đống cát là:

V = 250 ⋅ 20 = 5000 (dm³) = 5 (m³).

Ta có: $V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h$

$\Rightarrow h = \frac{{3V}}{{\pi {R^2}}} \approx \frac{{3 \cdot 5}}{{\pi \cdot {2^2}}} \approx 1,2\left( m \right)$

Câu 14. Một chao đèn có dạng mặt xung quanh của một hình nón cụt. Các bán kính đáy lần lượt là R₁ = 5 cm; R₂ = 13 cm. Biết diện tích xung quanh của chao đèn là 306π cm². Tính chiều cao của chao đèn.

Hướng dẫn giải