Bài viết sau đây sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu khái niệm đa thức và bậc đa thức. Từ đó ứng dụng giải các bài toán về thu gọn đa thức, tìm bậc đa thức và tính giá trị đa thức thường gặp trong chương trình toán lớp 8.
Tổng hợp lý thuyết về đa thức, bậc đa thức ,…
Tổng quan lý thuyết
[content_1]
Đa thức
Đa thức là một tổng các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng là một hạng tử của đa thức đó.
Mỗi đơn thức được coi là một đa thức.
Bậc của đa thức
Bậc của đa thức là bậc cao nhất của các hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
Ví dụ:
– a2 + a + ab là một đa thức
– x2 là một đa thức
– Đa thức ![\[1 - \frac{5}{9}{x^3}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-1.svg)
có bậc là 3
Cộng, trừ đa thức
Bước 1. Viết hai đa thức trong dấu ngoặc;
Bước 2. Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc “dấu ngoặc”);
Bước 3. Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp, nhóm các hạng tử đồng dạng;
Bước 4. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.
Ví dụ: Cộng hai đa thức sau:
M = 4x3 – 2x2y + xy + 1; N = 3x2y + xy
Hướng dẫn giải
M + N = (4x3 – 2x2y + xy + 1) + (3x2y + xy)
= 4x3 + (–2x2y + 3x2y) + (xy + xy) + 1
= 4x3 + x2y + 2xy + 1
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Nhận biết đa thức
[content_2]
Phương pháp giải
Để nhận biết một biểu thức là đa thức, ta căn cứ vào định nghĩa đa thức.
Ví dụ
Các biểu thức sau là đa thức:
![\[{x^2} + 1;{\text{ }}2{x^3} - 5xy; - \frac{{x5}}{3} + xyz; \ldots \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-2.svg)
Các biểu thức sau không phải là các đa thức:
![\[\frac{{{x^2} - 2}}{x};{\text{ }}\frac{{{x^3}y}}{{2x + 1}}; - \frac{{11}}{x}; \ldots \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-3.svg)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?
a) x2 – 3
b) ![\[x - 1 + \frac{1}{x}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-4.svg)
c) ![\[\frac{3}{5}x + \frac{1}{2}x{y^2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-5.svg)
d) x2yz – ax + b
e) ![\[\frac{{{x^2} + 2}}{{{{2019}^2}}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-6.svg)
f) ![\[\frac{z}{{{x^2} + 1}} + xz\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-7.svg)
Hướng dẫn giải
Các biểu thức trong các ý a, c, d, e là đa thức.
Câu 2. Biểu thức nào không là đa thức trong các biểu thức sau?
a) 3x2 + xy3z – z
b) xy – 5x3yz
c) ![\[\frac{{{x^2} + 2y + {z^3}}}{{xy}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-8.svg)
d) 3x2yz3
e) ![\[\frac{{{x^2} + 2}}{{{a^2} + 1}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-9.svg)
(a là hằng số)
f) ![\[2xy - \frac{5}{x}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-10.svg)
Hướng dẫn giải
Các biểu thức trong các ý c, f không là đa thức.
Câu 3. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?
a) x2 – 1
b) ![\[x - 2 + \frac{1}{{x + 1}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-11.svg)
c) ![\[x + \frac{1}{2}xy\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-12.svg)
d) x2z – ax + by
e) ![\[\frac{{3{x^2} + 1}}{{2020}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-13.svg)
f) ![\[\frac{{3a}}{{{x^2}}} + xa\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-14.svg)
Hướng dẫn giải
Các biểu thức trong các ý a, c, d, e là đa thức.
Câu 4. Biểu thức nào không là đa thức trong các biểu thức sau?
a) a2 + 2ab3 – c
b) xy2 – x3z
c) ![\[\frac{{{x^2} + y + 3{z^3}}}{x}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-15.svg)
d) 100x2y100z3
e) ![\[\frac{{{x^2} + 1}}{{{a^{50}} + 1}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-16.svg)
(a là hằng số)
f) ![\[xy - \frac{1}{x}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-17.svg)
Hướng dẫn giải
Các biểu thức trong các ý c, e không là đa thức.
Dạng 2. Thu gọn đa thức
[content_3]
Phương pháp giải
Để thu gọn đa thức ta thực hiện hai bước:
Bước 1. Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.
Bước 2. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Thu gọn đa thức sau:
A = 2x3 – 2xy + x2 + 5xy – x2 –x3
Hướng dẫn giải
Ta có:
A = 2x3 – 2xy + x2 + 5xy – x2 –x3
= (2x3 – x3) + (–2xy + 5xy) + (x2 – x2)
= (2 – 1)x3 + (–2 + 5)xy + 0
= x3 + 3xy
Câu 2. Thu gọn đa thức sau:
a) ![\[M = {y^2} - 2y + \frac{1}{2}{y^2} + 5y - {y^2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-18.svg)
b) ![\[N = \frac{1}{3}{x^2}y + x{y^2} - xy + \frac{1}{2}x{y^2} - 5xy - \frac{1}{3}{x^2}y\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-19.svg)
c) ![\[P = 5{x^2}y - 3xy + \frac{1}{2}{x^2}y - xy + 5xy - \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} + \frac{2}{3}x - \frac{1}{4}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-20.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} M = {y^2} - 2y + \frac{1}{2}{y^2} + 5y - {y^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {{y^2} + \frac{1}{2}{y^2} - {y^2}} \right) + \left( { - 2y + 5y} \right) \hfill \\ = \left( {1 + \frac{1}{2} - 1} \right){y^2} + \left( { - 2 + 5} \right)y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{2}{y^2} + 3y \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-21.svg)
b)
![\[\begin{gathered} N = \frac{1}{3}{x^2}y + x{y^2} - xy + \frac{1}{2}x{y^2} - 5xy - \frac{1}{3}{x^2}y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\frac{1}{3}{x^2}y - \frac{1}{3}{x^2}y} \right) + \left( {x{y^2} + \frac{1}{2}x{y^2}} \right) + \left( { - xy - 5xy} \right) \hfill \\ = 0 + \left( {1 + \frac{1}{2}} \right)x{y^2} + \left( { - 1 - 5} \right)xy\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{3}{2}x{y^2} - 6xy \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-22.svg)
c)
![\[\begin{gathered} P = 5{x^2}y - 3xy + \frac{1}{2}{x^2}y - xy + 5xy - \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} + \frac{2}{3}x - \frac{1}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {5{x^2}y + \frac{1}{2}{x^2}y} \right) + \left( { - 3xy - xy + 5xy} \right) + \left( { - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) \hfill \\ = \left( {5 + \frac{1}{2}} \right){x^2}y + \left( { - 3 - 1 + 5} \right)xy + \left( { - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \right)x + \frac{1}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{11}}{2}{x^2}y + xy + \frac{1}{3}x + \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-23.svg)
Câu 3. Thu gọn đa thức sau:
a) ![\[A = 2{x^2} + x - \frac{1}{2}{x^2} + 5x\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-24.svg)
b) ![\[B = 5xy + \frac{1}{2}{x^2}y - \frac{2}{3}xy + 2{x^2}y\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-25.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} A = 2{x^2} + x - \frac{1}{2}{x^2} + 5x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {2{x^2} - \frac{1}{2}{x^2}} \right) + \left( {x + 5x} \right) \hfill \\ = \left( {2 - \frac{1}{2}} \right){x^2} + \left( {1 + 5} \right)x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{3}{2}{x^2} + 6x \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-26.svg)
b)
![\[\begin{gathered} B = 5xy + \frac{1}{2}{x^2}y - \frac{2}{3}xy + 2{x^2}y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {5xy - \frac{2}{3}xy} \right) + \left( {\frac{1}{2}{x^2}y + 2{x^2}y} \right) \hfill \\ = \left( {5 - \frac{2}{3}} \right)xy + \left( {\frac{1}{2} + 2} \right){x^2}y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{13}}{3}xy + \frac{5}{2}{x^2}y \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-27.svg)
Câu 4. Thu gọn đa thức sau:
a) M = 2y2 – 3y + y2 + 5y – y2
b) ![\[M = \frac{1}{4}{x^2}y + x{y^2} - xy + 2x{y^2} + xy - \frac{1}{4}{x^2}y\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-28.svg)
c) ![\[P = 3{x^2}y - 4xy + {x^2}y - xy + 5xy - x + 1 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{4}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-29.svg)
Hướng dẫn giải
a)
M = 2y2 – 3y + y2 + 5y – y2
= (2y2 + y2 – y2) + (–3y + 5y)
= 2y2 + 2y
b)
![\[\begin{gathered} M = \frac{1}{4}{x^2}y + x{y^2} - xy + 2x{y^2} + xy - \frac{1}{4}{x^2}y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\frac{1}{4}{x^2}y - \frac{1}{4}{x^2}y} \right) + \left( {x{y^2} + 2x{y^2}} \right) + \left( {xy - xy} \right) \hfill \\ = 3x{y^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-30.svg)
c)
![\[\begin{gathered} P = 3{x^2}y - 4xy + {x^2}y - xy + 5xy - x + 1 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{4} \hfill \\ = \left( {3{x^2}y + {x^2}y} \right) + \left( { - 4xy - xy + 5xy} \right) + \left( { - x + \frac{2}{3}x} \right) + \left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 4{x^2}y - \frac{x}{3} + \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-31.svg)
Câu 5. Thu gọn đa thức sau:
a) A = 3x3 + x2 + x – 2x2 + 2x
b) ![\[B = 3ab + \frac{1}{2}{a^2}b - ab + 2{a^2}b\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-32.svg)
Hướng dẫn giải
a)
A = 3x3 + x2 + x – 2x2 + 2x
= 3x3 + x2 + x – 2x2 + 2x
= 3x3 + (x2 – 2x2) + (x + 2x)
= 3x3 – x2 + 3x
b)
![\[\begin{gathered} B = 3ab + \frac{1}{2}{a^2}b - ab + 2{a^2}b \hfill \\ = \left( {3ab - ab} \right) + \left( {\frac{1}{2}{a^2}b + 2{a^2}b} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 2ab + \frac{5}{2}{a^2}b \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-33.svg)
Dạng 3. Tìm bậc của đa thức
[content_4]
Phương pháp giải
Để tìm bậc của đa thức, ta làm như sau:
Bước 1. Viết đa thức ở dạng thu gọn.
Bước 2. Bậc của đa thức là bậc của hạng tử bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
Bài tập vận dụng
Câu 6. Tìm bậc của đa thức sau:
–3x4 – x3 + 2x2 +3 + 3x4
Hướng dẫn giải
Ta có:
–3x4 – x3 + 2x2 +3 + 3x4 = –x3 + 2x2 + 3
Đa thức có bậc 3
Câu 7. Tìm bậc của các đa thức sau:
a) x3 + 2x – 5xy + 3x2 – x3
b) y4 + 4y2 – 3y – 3y4
Hướng dẫn giải
a) x3 + 2x – 5xy + 3x2 – x3 = 3x2 – 5xy + 2x
Vậy đa thức có bậc 2.
b) y4 + 4y2 – 3y – 3y4 = –2y4 + 4y2 – 3y
Vậy đa thức có bậc 4.
Câu 8. Tìm bậc của các đa thức sau (a là hằng số): ax3 + 2xy – 5
Hướng dẫn giải
Nếu a ≠ 0, đa thức có bậc 3.
Nếu a = 0, đa thức có bậc 2.
Câu 9. Tìm bậc của các đa thức sau:
a) x4 + 2x – xy + (–x4)
b) y4 + y2 – y4 + x2y2
Hướng dẫn giải
a) x4 + 2x – xy + (–x4) = –xy + 2x
Suy ra bậc của đa thức là 2.
b) y4 + y2 – y4 + x2y2 = x2y2 + y2
Suy ra bậc của đa thức là 4.
Câu 10. Tìm bậc của các đa thức sau (a là hằng số):
a) ax + 2xy – 5
b) ax2 + x2 – 1
Hướng dẫn giải
a) Bậc của đa thức là 2, không phụ thuộc vào a
b) ax2 + x2 – 1 = (a + 1)x2 – 1
Nếu a ≠ –1, bậc của đa thức là 2.
Nếu a = –1, bậc của đa thức là 0.
Dạng 4. Tính giá trị của đa thức
[content_5]
Phương pháp giải
Để tính giá trị của đa thức, ta làm như sau:
Bước 1. Thu gọn đa thức.
Bước 2. Thay giá trị đã cho của các biến vào đa thức thu gọn rồi thực hiện phép tính.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tính giá trị đa thức:
A = x + 2x tại x = 3
Hướng dẫn giải
A = x + 2x = 3x
Thay x = 3 vào đa thức ta được: A = 3⋅3 = 9
Câu 2. Cho đa thức:
A = 6x2y + 50,5xy2 + x2y – 51,5xy2
a) Thu gọn A.
b) Tìm bậc của A.
c) Tính giá trị của A tại ![\[x = - \frac{1}{7};y = 14\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-34.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
A = 6x2y + 50,5xy2 + x2y – 51,5xy2
= (6x2y + 1x2y) + (50,5xy2 – 51,5xy2)
= (6 + 1)x2y + (50,5 – 51,5)xy2
= 7x2y – xy2
b) Bậc của A bằng 3.
c) Thay vào đa thức A, ta được:
![\[A = 7 \cdot {\left( { - \frac{1}{7}} \right)^2} \cdot 14 - \left( { - \frac{1}{7}} \right) \cdot {14^2} = 2 + 28 = 30\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-35.svg)
Câu 3. Cho đa thức:
![\[B = - 2x{y^2} + \frac{1}{3}{x^2}y - x - \frac{1}{3}{x^3}y + x{y^2} + x - 4{x^2}y\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-36.svg)
a) Thu gọn B.
b) Tìm bậc của B.
c) Tính giá trị của B tại x = 1; y = 2.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
![\[\begin{gathered} B = - 2x{y^2} + \frac{1}{3}{x^2}y - x - \frac{1}{3}{x^3}y + x{y^2} + x - 4{x^2}y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( { - 2x{y^2} + x{y^2}} \right) + \left( {\frac{1}{3}{x^2}y - \frac{1}{3}{x^2}y} \right) + \left( { - x + x} \right) - 4{x^2}y \hfill \\ = \left( { - 2 + 1} \right)x{y^2} + 0 + 0 - 4{x^2}y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = - x{y^2} - 4{x^2}y \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-37.svg)
b) Bậc của B bằng 3.
c) Thay x = 1; y = 2 vào đa thức B, ta được:
B = –1⋅22 – 4⋅12⋅2 = –4 – 8 = –12
Câu 4. Cho đa thức:
A = 3x2 – 2x + x2 + 1 +2x
a) Thu gọn A.
b) Tính giá trị của A tại x = 1.
Hướng dẫn giải
a) A = 4x2 + 1
b) A = 4⋅12 + 1 = 5
Câu 5. Cho đa thức:
M = ab + 3a2b + 2a2 – 2ab – 3a2b
a) Thu gọn M.
b) Tìm bậc của M và tính giá trị của M tại a = 2, b = 1
Hướng dẫn giải
a) M = 2a2 – ab
b) M = 2⋅22 – 2⋅1 = 6
Câu 6. Cho đa thức:
M = 2x3 – 3x2 + 1 – x3 + 5x2 – 2
a) Thu gọn M.
b) Tìm bậc của M.
c) Tính giá trị của M tại x = 2.
Hướng dẫn giải
a) M = x3 + 2x2 – 1
b) Bậc của M là 3.
c) M = 23 + 2⋅22 – 1 = 15
Câu 7. Cho đa thức
![\[P = 2xy + \frac{1}{2}{x^3}{y^2} - xy - \frac{1}{2}{x^3}{y^2} + y - 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-38.svg)
a) Thu gọn P.
b) Tính giá trị của P tại x = 0,1; y = –2.
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} P = 2xy + \frac{1}{2}{x^3}{y^2} - xy - \frac{1}{2}{x^3}{y^2} + y - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\frac{1}{2}{x^3}{y^2} - \frac{1}{2}{x^3}{y^2}} \right) + \left( {2xy - xy} \right) + y - 1 \hfill \\ = xy + y - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-39.svg)
b)
Thay x = 0,1; y = –2 vào biểu thức P đã thu gọn, ta có:
P = 0,1⋅(–2) + (–2) + 1 = –3,2
Câu 8. Cho a, b, c là những hằng số thỏa mãn a + b + c = 2006. Tính giá trị của các đa thức sau:
a) A = ax3y3 + bx2y + cxy2 tại x = 1; y = 1
b) B = ax2y2 – bx4y + cxy6 tại x = 1; y = –1
c) C = axy + bx2y2 – cx4y tại x = –1; y = –1
Hướng dẫn giải
a) Thay x = 1; y = 1 vào biểu thức A ta có:
A = a⋅13⋅13 + b⋅12⋅1 + c⋅1⋅12
= a + b + c = 2006
b) Thay x = 1; y = –1 vào biểu thức B ta có:
B = a⋅12⋅(–1)2 – b⋅14⋅(–1) + c⋅1⋅(–1)6
= a – (–b) + c
= a + b + c = 2006
c) Thay x = –1; y = –1 vào biểu thức C ta có:
C = a⋅(–1)⋅(–1) + b⋅(–1)2⋅(–1)2 – c⋅(–1)4⋅(–1)
= a + b + c = 2006
Dạng 5. Tính tổng, hiệu của hai đa thức
[content_6]
Phương pháp giải
Để tính tổng (hiệu) của hai đa thức, ta thực hiện cộng (trừ) hai đa thức đó:
Bước 1. Viết hai đa thức trong dấu ngoặc;
Bước 2. Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc);
Bước 3. Nhóm các hạng tử đồng dạng;
Bước 4. Cộng hoặc trừ các đơn thức đồng dạng.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tính tổng P(x) + Q(x) biết:
P(x) = 2x + 1, Q(x) = 3x + 1
Hướng dẫn giải
P(x) + Q(x) = 2x + 1 + 3x + 1 = 5x + 2
Câu 2. Tính tổng P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x) biết:
P(x) = x4 + 3x3 + x2 + 2x + 2
Q(x) = x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1
Hướng dẫn giải
P(x) + Q(x) = (x4 + 3x3 + x2 + 2x + 2) + (x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1)
= (x4 + x4) + (3x3 + x3) + (x2 + 2x2) +(2x + 2x) + (2 + 1)
= 2x4 + 4x3 + 3x2 + 4x + 3
P(x) – Q(x) = (x4 + 3x3 + x2 + 2x + 2) – (x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1)
= (x4 – x4) + (3x3 – x3) + (x2 – 2x2) +(2x – 2x) + (2 – 1)
= 0 + 2x3 – x2 + 0 + 1
= 2x3 – x2 + 1
Câu 3. Tính tổng P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x) biết:
P(x) = x4 + 5x3 – x2 – x + 1
Q(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 3x + 2
Hướng dẫn giải
P(x) + Q(x) = (x4 + 5x3 – x2 – x + 1) + (x4 + 2x3 – 2x2 – 3x + 2)
= (x4 + x4) + (5x3 + 2x3) + (–x2 – 2x2) +(–x – 3x) + (1 + 2)
= 2x4 + 7x3 – 3x2 – 4x + 3
P(x) – Q(x) = (x4 + 5x3 – x2 – x + 1) – (x4 + 2x3 – 2x2 – 3x + 2)
= (x4 – x4) + (5x3 – 2x3) + (–x2 + 2x2) +(–x + 3x) + (1 – 2)
= 0 + 3x3 + x2 + 2x – 1
= 3x3 + x2 + 2x – 1
Câu 4. Tìm tổng A + B và hiệu A – B của hai đa thức rồi tìm bậc của chúng biết:
![\[\begin{gathered} A = 2{x^3} - 4{x^2}y + 1\frac{1}{3}x{y^2} - {y^4} + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ B = - 2{x^3} - 1\frac{1}{2}{x^2}y - {y^4} - 3 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-40.svg)
Hướng dẫn giải
![\[A + B = - 2{y^4} - \frac{{11}}{2}{x^2}y + \frac{4}{3}x{y^2} - 2\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-41.svg)
Do đó tổng hai đa thức có bậc là 4.
![\[A - B = 4{x^3} - \frac{5}{2}{x^2}y + \frac{4}{3}x{y^2} + 4\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/da-thuc-42.svg)
Do đó hiệu hai đa thức có bậc là 3.
Câu 5. Cho hai đa thức:
A = x2 – 4x + 1; B = 2x2 + 2x
a) Tính C = A + B.
b) Tìm bậc của C.
c) Tính giá trị của C tại x = – 1.
Hướng dẫn giải
a) C = (x2 – 4x + 1) + (2x2 + 2x)
= x2 + 2x2 + (–4x + 2x) + 1
= 3x2 – 2x + 1
b) Bậc của C bằng 2
c) Thay x = –1 vào C ta được:
C = 3⋅(–1)2 – 2⋅(–1) + 1 = 6
Dạng 6. Tìm một trong hai đa thức biết đa thức tổng hoặc đa thức hiệu và đa thức còn lại
[content_7]
Phương pháp giải
Nếu M + N = A thì M = A – B
Nếu M – B = A thì M = A + B
Nếu A – M = B thì M = A – B
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm đa thức A biết A + x = 2x + 1
Hướng dẫn giải
A = 2x + 1 – x = x + 1
Câu 2. Tìm đa thức P; Q biết:
a) P + (x2 – 2y2) = x2 – y2 + 3xy2 – 1
b) Q – (5x2 – xyz) = xy + 2x2 – 3xyz + 5
Hướng dẫn giải
a) P + (x2 – 2y2) = x2 – y2 + 3xy2 – 1
P = x2 – y2 + 3xy2 – 1 – (x2 – 2y2)
= x2 –y2 + 3xy2 – 1 – x2 + 2y2
= (x2 – x2) + (–y2 + 2y2) + 3xy2 – 1
= y2 + 3xy2 – 1
b) Q – (5x2 – xyz) = xy + 2x2 – 3xyz + 5
Q = xy + 2x2 – 3xyz + 5 + (5x2 – xyz)
= xy + (2x2 + 5x2) + (–3xyz – xyz) + 5
= xy + 7x2 – 4xyz + 5
Câu 3. Tìm M biết:
a) M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2
b) M – (6x2 – 4xy) = 7x2 – 8xy + y2
Hướng dẫn giải
a) M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2
M = (6×2 + 9xy – y2) – (5×2 – 2xy)
= 6x2 + 9xy – y2 – 5x2 + 2xy
= (6x2 – 5x2) + (9xy + 2xy) – y2
= x2 + 11xy – y2
b) M – (6x2 – 4xy) = 7x2 – 8xy + y2
M = (7x2 – 8xy + y2) + (6x2 – 4xy)
= (7x2 + 6x2) + (–8xy – 4xy) + y2
= 13x2 – 12xy + y2
Câu 4. Tìm A biết:
a) 3ab – b2a – A = ab + b2a
b) 2A + x2 + 3x + 1 = 3x2 – x + 3
Hướng dẫn giải
a) 3ab – b2a – A = ab + b2a
A = 3ab – b2a – ab – b2a
= 2ab – 2b2a
b) 2A + x2 + 3x + 1 = 3x2 – x + 3
2A = (3x2 – x + 3) – (x2 + 3x + 1)
⇔ 2A = 2x2 – 4x + 2
⇒ A = x2 – 2x + 1
