Tích phân hàm ẩn: Khái niệm và các trường hợp áp dụng

Bài viết này, DanChuyenToan sẽ giúp bạn tìm hiểu định nghĩa tích phân hàm ẩn, phân loại và một số bài tập mẫu thường gặp trong các đề thi thuộc chương trình toán lớp 12. Từ đó giúp bạn cũng cố kiến thức tích phân và thuần thục nhiều dạng bài khác nhau.

Định nghĩa tích phân hàm ẩn

Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà ở đó hàm số bị ẩn đi và không được cho dưới dạng một công thức. Để tính được tích phân hàm ẩn, các bạn cần phân dạng chính xác và áp dụng các công thức phù hợp để giải quyết bài toàn một cách nhanh chóng nhất.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Áp dụng các quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp

Phương pháp giải

Quy tắc: Nếu u = u(x) và v = v(x) thì (uv)’ = u’v + uv’.

Nếu [f(x). g(x)]’ = h(x) thì f(x). g(x) = ∫h(x) dx.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn điều kiện f (1) = 3 và x (4 – f’(x)) = f(x) – 1, ∀x > 0. Giá trị của f (2) bằng

A. 6

B. 5

C. 3

D. 2

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết, ta có x (4 – f’(x)) = f(x) – 1 ⇒ x. f’(x) + f(x) = 4x + 1

⇒ [x. f(x)]’ = 4x + 1 ⇒ x. f(x) = ∫ (4x + 1) dx ⇒ x. f(x) = 2x² + x + C.

Lại có f (1) = 3 ⇒ C = 0 ⇒ f(x) = 2x + 1 ⇒ f (2) = 5.

⟹ Chọn B

Câu 2. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (–1; +∞) và thỏa mãn với mọi x ∊ (–1; +∞). Giá trị của f (0) bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết, ta có

Lại có (*) thỏa mãn với mọi x ∊ (–1; +∞) nên thay x = 1 vào (*) ta có C = –2.

Suy ra . Do đó

⟹ Chọn A

Câu 3. Cho hàm số f(x) thỏa mãn [f’(x)]² + f(x). f’’(x) = 4x³ + 2x với mọi x ∊ ℝ và f (0) = 0. Giá trị của f ² (x) bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có: [f’(x)]² + f(x). f’’(x) = [f(x). f’(x)]’. Từ giả thiết ta có: [f(x). f’(x)]’ = 4x³ + 2x

Suy ra: f(x). f’(x) = ∫ (4x³ + 2x) dx = x⁴ + x² + C. Với f (0) = 0 ⇒ C = 0

Nên ta có: f(x). f’(x) = x⁴ + x²

Suy ra:

⟹ Chọn C

Câu 4. Cho hàm số f(x) thỏa mãn [x. f’(x)]² + 1 = x² [1 – f(x). f’’(x)] với mọi x dương. Biết f (1) = f’ (1) = 1. Giá trị f ² (2) bằng

A.

B. f ² (2) = 2 ln2 + 2

C. f ² (2) = ln2 + 1

D.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Do đó:

Vì f (1) = f’ (1) = 1 ⇒ 1 = 2 + c₁ ⇔ c₁ = –1.

Nên

Vì

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn 3 f(x) + x. f’(x) ≥ x²⁰¹⁸ ∀x ∊ [0;1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số: trên [0;1].

Ta có: g’(x) = 3x² f(x) + x³ f’(x) – x²⁰²⁰ = x³. [3f(x) + x. f’(x) – x²⁰¹⁸] ≥ 0 ∀x ∊ [0;1].

Do đó g(x) là hàm số không giản trên [0; 1], suy ra g(x) ≥ g (0) ∀x ∊ [0;1].

Hay

Vậy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Quy tắc: Nếu u = u(x) và v = v(x) thì với v ≠ 0.

Nếu thì

Hệ quả: Nếu u = u(x) thì với u ≠ 0.

Nếu thì

⟹ Chọn D

Câu 6. Cho hàm số f(x) thỏa mãn và f’(x) = 2x [f(x)]², ∀x ∊ ℝ. Giá trị của f (1) bằng

A .

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có

Lại có

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn x² f’(x) + f(x) = 0 và f(x) ≠ 0, ∀x ∊ (0; +∞). Tính f (2) biết f (1) = e.

A. f (2) = e²

B.

C. f (2) = 2e²

D.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(x) ≠ 0, ∀x ∊ (0; +∞) ⇒ f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (0; +∞)

⇒ f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (1; 2) ⇒ f (1). f (2) > 0, ∀x ∊ (1; 2).

Mà f (1) = e > 0 nên f (2) > 0.

Do đó

Suy ra

⟹ Chọn D

Câu 8. Cho hàm số f(x) thỏa mãn và f’(x) = [x. f(x)]² với mọi x ∊ ℝ. Giá trị f (2) bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết, ta có:

Lại có

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện f (1) = 2, f(x) ≠ 0, ∀x > 0 và (x² + 1)² f’(x) = [f(x)]² (x² – 1) với mọi x > 0. Giá trị của f (2) bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có

Lấy tích phân 2 vế (*) trên [1; 2] ta được

Từ giả thiết, ta có:

Lại có

⟹ Chọn D

Câu 10. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f’(x) + 2x. f(x) = e^x f(x) với f(x) ≠ 0, ∀x và f (0) = 1. Khi đó |f (1)| bằng

A. e + 1

B. e^{e – 2}

C. e – 1

D. e^{e + 1}

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết: f’(x) + 2x. f(x) = e^x f(x), ta có

(vì f(x) ≠ 0, ∀x)

Mà f (0) = 1 nên C = –1. Khi đó, ta được: ln |f(x)| = e^x – x² – 1.

Thế x = 1, ta có: ln |f (1) | = e – 2 ⇒ |f (1) | = e^{e – 2}.

⟹ Chọn B

Dạng 2. Phương pháp đổi biến

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 1

Phương pháp giải

Cho , tính . Hoặc cho , tính .

Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t = u(x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho . Tính

A. 16

B. 4

C. 32

D. 8

Hướng dẫn giải

Xét tích phân . Đặt . Khi x = 0 thì t = 0; khi x = 2 thì t = 4.

Do đó .

⟹ Chọn D

Câu 2. Cho . Tính bằng

A. I = 1

B. I = 2

C. I = 4

D.

Hướng dẫn giải

Đặt ; đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 2

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn và . Tính tích phân .

A. I = –2

B. I = 6

C. I = 9

D. I = 2

Hướng dẫn giải

Xét I = , đặt

Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 16 ⇒ t = 4 nên

J = ; đặt sinx = u ⇒ cosx dx = du

Đổi cận:

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa và . Tính .

A. 30

B. 32

C. 34

D. 36

Hướng dẫn giải

Xét . Đặt u = 2x ⇒ du = 2dx; x= 0 ⇒ u = 0; x = 1 ⇒ u = 2.

Nên .

Xét . Đặt v = 6x ⇒ dv = 6dx; x = 0 ⇒ v = 0; x = 2 ⇒ v = 12.

Nên .

Tính .

Đặt t = 5|x| + 2. Khi –2 < x < 0, t = –5x + 2 ⇒ dt = –5dx; x = –2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.

Tính

Đặt t = 5|x| + 2. Khi 0 < x < 2, t = 5x + 2 ⇒ dt = 5dx; x = 2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.

Vậy = 32.

Hoặc: Do hàm f (5|x| + 2) là hàm số chẵn nên

⟹ Chọn B

Câu 5. Cho . Giá trị của bằng

A. 2

B.

C.

D. –2

Hướng dẫn giải

Đặt

Đổi cận:

Khi đó:

⟹ Chọn C

Câu 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn . Tính tích phân .

A. I = 3 + 2 ln² 2

B. I = 2 ln² 2

C. I = ln² 2

D. I = 2 ln2

Hướng dẫn giải

Ta có:

Xét

Đặt

Xét

Do đó

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho và . Tính .

A. 26

B. 22

C. 27

D. 15

Hướng dẫn giải

Đặt

Ta có

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và . Tính .

A. I = 6

B. I = 2

C. I = 3

D. I = 1

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Từ ; Ta đặt t = tanx ta được

Từ

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 2

Phương pháp giải

Tính , biết hàm số f(x) thỏa mãn: A.f(x) + B.u’. f(u) + C.f (a + b – x) = g(x).

Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai vế ta cần chú ý rằng:

Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C.

Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì

Với thì

Với thì

Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn . Tính

A. 2

B. 4

C. –1

D. 6

Hướng dẫn giải

Cách 1: (Dùng công thức)

Biến đổi với A = 1, B = –2.

Áp dụng công thức ta có:

Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)

Từ

Đặt u = x³ ⇒ du = 3x² dx; Với x = 0 ⇒ u = 0 và x = 1 ⇒ u = 1.

Khi đó thay vào (*), ta được:

⟹ Chọn B

Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 2] và thỏa mãn điều kiện f(x) + f (2 – x) = 2x. Tính giá trị của tích phân .

A. I = –4

B.

C.

D. I = 2

Hướng dẫn giải

Cách 1: (Dùng công thức)

Với f(x) + f (2 – x) = 2x ta có A = 1; B = 1, suy ra:

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ

Đặt u = 2 – x ⇒ du = –dx; Với x = 0 ⇒ u = 2 và x = 2 ⇒ u = 0.

Suy ra

Thay vào (*), ta được

⟹ Chọn D

Câu 3. Xét hàm số liên tục trên [–1; 2] và thỏa mãn f(x) + 2xf (x² – 2) + 3f (1 – x) = 4x³. Tính giá trị của tích phân .

A. I = 5

B.

C. I = 3

D. I = 15

Hướng dẫn giải

Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)

Với: f(x) + 2xf (x² – 2) + 3f (1 – x) = 4x³. Ta có:

A = 1; B = 1; C = 3 và u = x² – 2 thỏa mãn . Khi đó áp dụng công thức ta có:

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ f(x) + 2xf (x² – 2) + 3f (1 – x) = 4x³.

Đặt u = x² – 2 ⇒ du = 2xdx; với x = –1 ⇒ u = –1 và x = 2 ⇒ u = 2.

Khi đó

Đặt t = 1 – x ⇒ dt = – dx; Với x = –1 ⇒ t = 2 và x = 2 ⇒ t = –1.

Khi đó

Thay (1), (2) vào (*) ta được:

⟹ Chọn C

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 3

Phương pháp giải

Lần lượt đặt t = u(x) và t = v(x) để giải hệ phương trường hai ẩn (trong đó có ẩn f(x) để suy ra hàm số f(x) (nếu u(x) = x thì chỉ cần đặt một lần t = v(x)).

Các kết quả đặc biệt:

Cho A. f (ax + b) + B. f (–ax + c) = g(x) với A² ≠ B² khi đó

Hệ quả 1 của (*):

Hệ quả 2 của (*): với g(x) là hàm số chẵn.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và . Tính .

A.

B. I = 1

C.

D. I = –1

Hướng dẫn giải

Đặt khi đó điều kiện trở thành

Hay , kết hợp với điều kiện . Suy ra:

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên thỏa mãn . Giá trị tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đặt

Đổi cận:

Ta có

Suy ra

Vậy I = 

⟹ Chọn A

Câu 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ \ {0} và thỏa mãn . Tính theo k.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đặt . Đổi cận

Khi đó

Mà

Nên

Đặt . Đổi cận

Khi đó

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho hàm số liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx. Tính giá trị của .

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Cách 1: (Dùng công thức)

Với f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx ta có A = 1; B = 2018

Suy ra ⇒ Đáp án C

Cách 2:

Áp dụng hệ quả 2: với g(x) là hàm số chẵn.

Ta có f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx

⟹ Chọn C

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(–x) + 2018 f(x) = e^x. Tính giá trị của

A.

B.

C. I = 0

D.

Hướng dẫn giải

Cách 1: (Dùng công thức).

Với f(–x) + 2018 f(x) = e^x ta có A = 1, B = 2018.

Suy ra

Cách 2: (Dùng công thức)

Áp dụng Hệ quả 1:

Ta có:

⟹ Chọn A

Câu 5. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ, thỏa mãn 2 f(2x) + f (1 – x) = 12x². Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. y = 2x + 2

B. y = 4x – 6

C. y = 2x – 6

D. y = 4x – 2

Hướng dẫn giải

Áp dụng kết quả

“Cho A. f (ax + b) + B. f (–ax + c) = g(x) với A² ≠ B² khi đó ”.

Ta có

Suy ra , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = 4x – 2.

⟹ Chọn D

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 4

Phương pháp giải

Bài toán: Cho f(x). f (a + b – x) = k², khi đó

Chứng minh

Đặt và x = a ⇒ t = b; x = b ⇒ t = a.

Khi đó:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương [0; 1]. Biết f(x). f (1 – x) = 1 với ∀x ∊ [0; 1]. Tính giá trị

A.

B.

C. 1

D. 2

Hướng dẫn giải

Ta có

Xét

Đặt t = 1 – x ⇔ x = 1 – t ⇒ dx = – dt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0.

Khi đó

Mặt khác hay 2I = 1. Vậy I =

⟹ Chọn B

Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ, ta có f(x) > 0 và f (0). f (2018 – x) = 1. Giá trị của tích phân

A. I = 2018

B. I = 0

C. I = 1009

D. I = 4016

Hướng dẫn giải

Ta có

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, liên tục trên ℝ và f(x) > 0 khi x ∊ [0; 5]. Biết f(x). f (5 – x) = 1. Tính tích phân .

A.

B.

C.

D. I = 10

Hướng dẫn giải

Đặt x = 5 – t ⇒ dx = –dt

x = 0 ⇒ t = 5; x = 5 ⇒ t = 0.

⟹ Chọn C

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f(x) > 0 khi x ∊ [0; a]. Biết f(x). f (a – x) = 1. Tính tích phân .

A.

B. I = 2a

C.

D.

Hướng dẫn giải

(1) Đặt t = a – x ⇒ dt = –dx Đổi cận:

(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)

⟹ Chọn A

Câu 5. Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0; a] thỏa mãn và , trong đó b, c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (11; 12)

B. (0; 9)

C. (7; 21)

D. (2017; 2020)

Hướng dẫn giải

Cách 1: Đặt t = a – x ⇒ dt = –dx

Đổi cận x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0.

Lúc đó

Suy ra

Do đó

Cách 2: Chọn f(x) = 1 là một hàm thỏa các giả thiết.

Dễ dàng tính được

⟹ Chọn B

Câu 6. Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên [–1; 1] và f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. Biết và . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A.

B.

C.

Hướng dẫn giải

Nhớ 2 tính chất sau để làm trắc nghiệm nhanh

Nếu hàm số f(x) ‘chẵn’ thì

Nếu hàm f(x) ‘lẻ’ thì

Nếu chứng minh thì như sau:

Đặt

. Đặt t = –x ⇒ dt = –dx

Đổi cận

(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) (Do f(x) là hàm chẵn ⇒ f(–x) = f(x))

Vậy

Đặt

. Đặt t = –x ⇒ dt = –dx

Đổi cận:

(Do tích phân không phụ thuộc vào biến số tích phân) (Do f(x) là hàm chẵn ⇒ g(–x) = –g(x))

Vậy

Từ (1) và (2)

Chọn B

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [–4; 4] biết và . Tính .

A. I = –10

B. I = –6

C. I = 6

D. I = 10

Hướng dẫn giải

Cách 1: Sử dụng công thức và tính chất với f (0) là hàm lẻ trên đoạn [–a; a].

Áp dụng ta có:

Suy ra:

Cách 2: Xét tích phân .

Đặt –x = t ⇒ dx = –dt.

Đổi cận: khi x = –2 thì t = 2; khi x = 0 thì t = 0 do đó

.

Do hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên f (–2x) = –f (2x).

Do đó

Xét

Đặt

Đổi cận: khi x = 1 thì t = 2; khi x = 2 thì t = 4 do đó

Do

⟹ Chọn B

Câu 8. Cho hàm số chẵn y = f(x) liên tục trên ℝ và . Giá trị của bằng:

A. 8

B. 2

C. 1

D. 16

Hướng dẫn giải

Ta có  (1)

Xét :

Đặt t = –x ⇒ dt = –dx. Đổi cận: x = –1 ⇒ t = 1 và x = 0 ⇒ t = 0. Khi đó

Vì y = f(x) là hàm số chẵn trên ℝ nên f (–2t) = f (2t), ∀t ∊ ℝ.

Do đó . Thay vào (1) thu được

⟹ Chọn D

Câu 9. Cho f(x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [–1; 1] và . Kết quả bằng

A. I = 1

B. I = 3

C. I = 2

D. I = 4

Hướng dẫn giải

Xét

Đặt x = –t ⇒ dx = –dt, đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = –1 ⇒ t = 1

Lại có

Suy ra:

⟹ Chọn A

Câu 10. Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ. Biết . Giá trị của bằng

A. 1

B. 6

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải

Cách 1: Sử dụng tính chất hàm số chẵn

Ta có: , với f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên [–a; a].

Áp dụng ta có:

Cách 2: Do và

Mặt khác và y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ ⇒ f (–x) = f(x) ∀x ∊ ℝ.

Xét . Đặt t = –x ⇒ dx = –dt.

Suy ra

⟹ Chọn D

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 5

Phương pháp giải

Bài toàn: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn g [f(x)] = x và g(t) là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên ℝ. Hãy tính tích phân ”

Cách giải:

Đặt y = f(x) ⇒ x = g(y) ⇒ dx = g’(y) dy

Đổi cận

Suy ra

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f ³ (x) + f(x) = x, ∀x ∊ ℝ. Tính

A. I = 2

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đặt y = f(x) ⇒ x = y³ + y ⇒ dx = (3y² + 1) dy

Đổi cận

Khi đó ⇒ Đáp án D.

⟹ Chọn D

Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn 2f ³ (x) – 3f ² (x) + 6f(x) = x, ∀x ∊ ℝ. Tính tích phân .

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đặt y = f(x) ⇒ x = 2y³ – 3y² + 6y ⇒ dx = 6 (y² – y + 1) dy.

Đổi cận: với x = 0 ⇒ 2y³ – 3y² + 6y = 0 ⇔ y = 0 và x = 5 ⇒ 2y³ – 3y² + 6y = 5 ⇔ y = 1.

Khi đó .

⟹ Chọn B

Câu 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn x + f ³ (x) + 2f(x) = 1, ∀x ∊ ℝ. Tính .

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đặt y = f(x) ⇒ x = –y³ – 2y + 1 ⇒ dx = (–3y² – 2) dy.

Đổi cận: Với x = –2 ⇒ –y³ – 2y + 1 = –2 ⇔ y = 1; x = 1 ⇒ –y³ – 2y + 1 = 1 ⇔ y = 0.

Khi đó

⟹ Chọn A

Dạng 3. Phương pháp từng phần

Phương pháp giải

Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau:

hoặc

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số f(x) thỏa mãn và 2f (1) – f (0) = 2. Tính .

A. I = 8

B. I = –8

C. I = 4

D. I = –4

Hướng dẫn giải

A = . Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx, dv = f’(x) dx chọn v = f(x)

⟹ Chọn B

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f (x³ + 3x + 1) = 3x + 2, ∀x ∊ ℝ. Tính .

A.

B.

C.

D. –1761

Hướng dẫn giải

Đặt

Từ , suy ra

Đặt

Đổi cận: Với t = 1 ⇒ 1 = x³ + 3x + 1 ⇔ x = 0 và t = 5 ⇒ x³ + 3x + 1 = 5 ⇔ x = 1.

Khi đó

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho hàm số y = f(x) với f (0) = f (1) = 1. Biết rằng , a, b ∊ ℝ. Giá trị của biểu thức a²⁰¹⁹ + b²⁰¹⁹ bằng

A. 2²⁰¹⁸ + 1

B. 2

C. 0

D. 2²⁰¹⁸ – 1

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có

Đặt u = f(x), dv = e^x dx; ta có du = f’(x)dx, v = e^x.

Khi đó

Theo đề bài , a, b ∊ ℝ suy ra a = 1, b = –1.

Do đó a²⁰¹⁹ + b²⁰¹⁹ = 1²⁰¹⁹ + (–1)²⁰¹⁹ = 0.

Cách 2:

Ta có

Theo đề bài , a, b ∊ ℝ suy ra a = 1, b = –1.

Do đó a²⁰¹⁹ + b²⁰¹⁹ = 1²⁰¹⁹ + (–1)²⁰¹⁹ = 0.

⟹ Chọn C

Câu 4. Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn f’ (0). f’ (2) ≠ 0 và g(x) f’(x) = x (x – 2) e^x. Tính giá trị của tích phân ?

A. –4

B. e – 2

C. 4

D. 2 – e

Hướng dẫn giải

Ta có: g(x) f’(x) = x (x – 2) e^x ⇒ g (0) = g (2) = 0 (vì f’ (0). f’ (2) ≠ 0)

⟹ Chọn C

Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn và . Tích phân bằng:

A. 4

B.

C.

D. 6

Hướng dẫn giải

Ta có: . Đặt

⟹ Chọn B

Câu 6. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn ; f (2) = 2. Tính .

A. I = –5

B. I = –10

C. I = 5

D. I = 10

Hướng dẫn giải

Xét

Đặt u = x và , ta được du = dx và

Vì

Đặt 2t = 2x – 4 ⇒ 2dt = 2dx ⇔ dt = dx

Đổi cận:

Vậy I = –10.

Trường hợp riêng:

Khi đề bài cho biết giá trị f(a), f(b), (với u(x) là một biểu thức chứa x đã tường minh), để tìm f(x) trước tiên ta đi tìm 2 số α, β sao cho , rồi suy ra f’(x) = – α. u(x) – β, sau đó nguyên hàm hai vế tìm f(x)

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0; 2], thỏa các điều kiện f (2) = 1 và . Giá trị của :

A. 1

B. 2

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đặt

Ta lại có:

Do đó:

(Vì )

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0, và . Tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Mặt khác:

Khi đó:

Vì nên

Dấu “=” xảy ra

Khi đó:

⟹ Chọn A

Dạng 4. Phương trình vi phân tiếp tuyến cấp 1

Phương pháp giải

Bài toán 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) + p(x). f(x) = h(x)

Tìm P(x) = ∫p(x)dx

Nhân hai vế với ta được

Lấy tích phân hai vế ta được f(x) e^p(x) ∫q(x) e^p(x)dx. Từ đó suy ra f(x).

Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) + f(x) = h(x)

Phương pháp

Nhân hai vế với e^x ta được e^x. f’(x) + e^x. f(x) = e^x. h(x) ⇔ [e^x. f(x)]’ = e^x. h(x)

Suy ra e^x. f(x) = ∫e^x. h(x)dx

Từ đây ta dễ dàng tính được f(x)

Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) – f(x) = h(x)

Phương pháp

Nhân hai vế với e^–x ta được e^–x. f’(x) – e^–x. f(x) = e^–x. h(x) ⇔ [e^–x. f(x)]’ = e^–x. h(x)

Suy ra e^–x. f(x) = ∫e^–x. h(x)dx

Từ đây ta dễ dàng tính được f(x)

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f (0) = 4 và f(x) + f’(x) = x³, ∀x ∊ ℝ. Giá trị của f (1) bằng

A.

B. –10

C. –2

D.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta e^x. f(x) + e^x. f’(x) = x³ e^x ⇒ [e^x. f(x)]’ = x³ e^x ⇒ e^x f(x) = ∫x³e^xdx

⇒ e^x f(x) = x³ e^x – 3∫x²e^xdx = x³e^x – 3x²e^x + 6∫xe^xdx = x³e^x = 3x²e^x + 6 (x – 1) e^x + C

Lại có

⟹ Chọn D

Câu 2. Cho f(x) thỏa mãn và , ∀x ∊ ℝ. Tính .

A.

B. I = 2e – 1

C.

D. I = 2e + 1

Hướng dẫn giải

Ta có (e^3x f(x))’ = e^3x (f’(x) + 3x² f(x)) = e^3x (15x⁴ + 12x) e^–3x = 15x⁴ + 12x

Do đó: e^3x f(x) = ∫ (15x⁴ + 12x) dx = 3x⁵ + 6x² + C ⇒ f(x) = (3x⁵ + 6x² + C) e^–3x

Vì ⇒ C = 0 ⇒ f(x) = (3x⁵ + 6x²) e^–3x

Khi đó

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên ℝ thỏa mãn f’ (0) = f (0) = 1 và f(x) + 2 f’(x) + f’’(x) = x³ + 2x², ∀x ∊ ℝ. Tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:

f(x) + f’(x) + (f’(x) + f’’(x)) = x³ + 2x² ⇔ f(x) + f’(x) + (f(x) + f’(x))’ = x³ + 2x²

⇔ e^x (f(x) + f’(x)) + e^x (f(x) + f’(x))’ = e^x (x³ + 2x²) ⇔ (e^x (f(x) + f’(x))’ = e^x (x³ + 2x²)

⇔ e^x (f(x) + f’(x)) = ∫e^x (x³ + 2x²) dx = e^x (x³ – x² + 2x – 2) + C

Mặt khác f (0) = f’ (0) = 1 nên 1 + 1 = –2 + C ⇔ C = 4 ⇔ e^x (f(x) + f’(x)) = e^x (x³ – x² + 2x – 2) + 4

Do đó (e^x f(x))’ = e^x (x³ – x² + 2x – 2) + 4

⇒ e^x f(x) = ∫ [e^x (x³ – x² + 2x – 2) + 4] dx = e^x (x³ – 4x² + 10x – 12) + 4x + C

f (0) = 1 ⇔ C = 13 ⇔ f(x) = (4x + 13) e^–x + x³ – 4x² + 10x – 12

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], f (0) = 1 và f’(x) = f(x) + e^x + 1, ∀x ∊ [0; 1]. Tính

A. 2e – 1

B. 2 (e – 1)

C. 1 – e

D. 1 – 2e

Hướng dẫn giải

Ta có f’(x) = f(x) + e^x + 1 ⇔ f’(x) – f(x) = e^x + 1 ⇔ e^–x f’(x) – e^–x f(x) = 1 + e^–x

⇔ [e^–x f(x)]’ = 1 + e^–x ⇒ e^–x f(x) = x – e^–x + C ⇒ f(x) = xe^x – 1 + Ce^x.

Do f (0) = 1 ⇒ C = 2 ⇒ f(x) = (x + 1) e^x – 1.

Do đó

⟹ Chọn B

Câu 5. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f’(x) = f(x) + x² e^x + 1, với mọi x ∊ ℝ, f (0) = –1. Tính f (3)?

A. 6e³ + 3

B. 6e² + 3

C. 3e² – 1

D. 9e³ – 1

Hướng dẫn giải

Ta có: f’(x) – f(x) = x² e^x + 1 ⇔ e^–x f’(x) = x² + e^–x ⇔ (e^–x f(x))’ = x² + e^–x.

Do đó

⟹ Chọn D

Câu 6. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn , ∀x ∊ ℝ và f (1) = 4. Giá trị f (5) bằng

A. 3e¹² – 1

B. 5e¹⁷

C. 5e¹⁷ – 1

D. 3e¹²

Hướng dẫn giải

Ta có:

Xét

Đặt

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f (1) = e và (x + 2) f(x) = x f’(x) – x³ với mọi x ∊ ℝ. Tính f (2).

A. 4e² + 4e – 4

B. 4e² – 2e – 4

C. 2e³ – 2e + 2

D. 4e² – 4e + 2

Hướng dẫn giải

Biến đổi giả thiết

Mà

Vậy f (2) = –4 + 4e (e + 1) = 4e² + 4e – 4.

⟹ Chọn A

Câu 8. Cho hàm số y = f(x) có f’(x) liên tục trên nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn . Khi đó

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Nhân hai vế giả thiết với e^3x ta được

Lấy tích phân từ 0 đếm 1 hai vế ta được

⟹ Chọn C

Câu 9. Trong những hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [0; 1] thỏa mãn 3f(x) + x. f’(x) ≥ x²⁰¹⁸. Giá trị nhỏ của là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

P(x) = 3ln x ⇒ e^P(x) = x³.

Nhân hai vế của (*) cho x³ ta được x³ f’(x) + 3x² f(x) ≥ x²⁰¹⁹ ⇒ (x³ f(x))’ ≥ x²⁰²⁰, đúng ∀x ∊ [0; 1]

Lấy tích phân từ 0 đến 2 vế có

⟹ Chọn A

eduverbalearn0313