Tỉ số lượng giác của góc nhọn: Công thức, Ví dụ & Bài tập - Edu

Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông có khá ít công thức nhưng độ ứng dụng cực kỳ rộng và là nền tảng cho hình học lượng giác sau này. Bài viết sau đây sẽ giúp bạn tìm hiểu các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. Ứng dụng giải tam giác, chứng minh đẳng thức và mệnh đề hình học.

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

Tổng quan lý thuyết

[content_1]

Khái niệm

Tỉ số lượng giác là các tỉ số của góc nhọn và các cạnh tương ứng xuất hiện trong các tam giác vuông. Tỉ số lượng giác góc nhọn trong tam giác vuông Tên gọi tương quan giữa cạnh vào góc trong tam giác vuông Định lý Pitago

Một số tính chất của các tỉ số lượng giác

– Cho hai góc α, β phụ nhau. Khi đó:

sin α = cos β; cos α = sin β;

tan α = cot β; cot α = tan β.

– Cho góc nhọn α. Ta có:

⋄ 0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1;

⋄ sin² α + cos² α = 1; tan α⋅cot α = 1;

⋄ $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};{\text{ }}\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Các bài toán tính toán

[content_2]

Phương pháp giải

Bước 1. Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn.

Bước 2. Thông qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn.

Bước 3. Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tam giác ABC có $\widehat A = 60^\circ$ ; AB = 28 cm; AC = 35 cm. Tính độ dài BC.

Hướng dẫn giải

Kẻ BH ⊥ AC (H ∈ AC)

Xét tam giác vuông AHB vuông tại H có:

$\begin{gathered} AH = AB \cdot \cos \widehat A = 28 \cdot \cos 60^\circ = 28 \cdot \frac{1}{2} = 14\left( {cm} \right) \hfill \\ BH = AB \cdot \sin \widehat A = 28 \cdot \sin 60^\circ = 28 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 14\sqrt 3 \left( {cm} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow HC = AC - AH = 35 - 14 = 21\left( {cm} \right) \hfill \\ \Rightarrow B{C^2} = B{H^2} + H{C^2} = 588 + 441 = 1029\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow BC = 7\sqrt {21} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $BC = 7\sqrt {21} \left( {cm} \right)$

Chú ý:

Bằng cách tính tương tự như trên có: tam giác ABC có $\widehat A = 60^\circ$ ; AB = a, AC = b thì BC² = a² + b² – ab; ${S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}ab$

Câu 2. Cho hình vẽ sau biết $\widehat {QPT} = 45^\circ ;\widehat {PTQ} = 120^\circ$ ; QT = 8 cm; TR = 5 cm.

a) Tính PT.

b) Tính diện tích tam giác PQR.

Hướng dẫn giải

Kẻ QM ⊥ PR (M thuộc tia đối tia TP).

Có $\widehat {PTQ} + \widehat {QTM} = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat {QTM} = 180^\circ - \widehat {PTQ} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Xét tam giác vuông QTM có:

$\begin{gathered} QM = QT \cdot \sin \widehat {QTM} = 8 \cdot \sin 60^\circ = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ TM = QT \cdot \cos \widehat {QTM} = 8 \cdot \cos 60^\circ = 4\left( {cm} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

⇒ TM < TR ⇒ M nằm giữa T và R.

QM PM cm

Xét tam giác vuông QPM có:

$\begin{gathered} PM = \frac{{QM}}{{\tan \widehat {QPM}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\tan 45^\circ }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{1} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right) \hfill \\ \Rightarrow PT = PM - TM = 4\sqrt 3 - 4 = 4\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow PR = PT + TR = 4\left( {\sqrt 3 - 1} \right) + 5 = 4\sqrt 3 + 1 \hfill \\ \Rightarrow {S_{PQR}} = \frac{1}{2}QM \cdot PR = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt 3 \cdot \left( {4\sqrt 3 + 1} \right) = 6 + 2\sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $PR = 4\sqrt 3 + 1\left( {cm} \right)$ ; ${S_{PQR}} = 6 + 2\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)$

Câu 3. Cho ΔABC có $\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 80^\circ$ . Tính số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM.

Hướng dẫn giải

Gọi góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM là α.

Xét tam giác AMH vuông tại H có:

$\tan \alpha = \frac{{MH}}{{AH}} \Rightarrow MH = \tan \alpha \cdot AH$

Lại có:

$\begin{gathered} BH - HC = \left( {BM + MH} \right) - \left( {MC - MH} \right) = 2MH \hfill \\ \Rightarrow MH = \frac{{BH - HC}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Mà $BH = \frac{{AH}}{{\tan \widehat B}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB)

$CH = \frac{{AH}}{{\tan \widehat C}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC)

$\begin{gathered} \Rightarrow MH = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ AH \cdot \left( {\frac{1}{{\tan \widehat B}} - \frac{1}{{\tan \widehat C}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} }{2} \hfill \\ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ AH \cdot \left( {\frac{1}{{\tan \widehat B}} - \frac{1}{{\tan \widehat C}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} }{{2AH}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\tan \widehat B}} - \frac{1}{{\tan \widehat C}}} \right) \hfill \\ \Rightarrow \alpha \approx 11^\circ 20' \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM xấp xỉ bằng 11°20′

Câu 4. Tính chu vi và diện tích hình thang cân ABCD biết hai cạnh đáy

AB = 12 cm, CD = 18 cm, $\widehat {ADC} = 75^\circ$

Hướng dẫn giải

Diện tích hình thang được tính bởi công thức: $S = \frac{1}{2}h\left( {AB + CD} \right)$

(Trong đó h là chiều cao của hình thang).

Đối với bài tập này, chúng ta đã biết độ dài hai cạnh đáy. Do vậy, ta cần tìm chiều cao.

Kẻ AH ⊥ CD; BK ⊥ CD

Do ABCD là hình thang cân nên

$HK = AB = 12;{\text{ }}DH = KC = \frac{{CD - AB}}{2} = 3$

Trong tam giác AHD vuông tại H ta có:

$\tan \widehat D = \frac{{AH}}{{DH}} \Rightarrow \tan 75^\circ = \frac{{AH}}{3} \Rightarrow AH \approx 11,196$

Từ đó ta có:

$\begin{gathered} {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AH \cdot \left( {AB + CD} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&\begin{gathered} = \frac{1}{2} \cdot 11,196 \cdot \left( {12 + 18} \right) = 167,94c{m^2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Để tính chu vi hình thang, ta cần tính AD.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ADH ta có:

AD² = AH² + HD² ≈ 134,35 cm

Suy ra: AD ≈ 11,59 cm

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông ADH để tính AD.

Do đó, chu vi hình thang cân ABCD là

AB + BC + CD + DA = 12 + 11,59 + 18 + 11,59 = 53,18 cm

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, mệnh đề

[content_3]

Phương pháp giải

Đưa mệnh đề về dạng đẳng thức, sử dụng hệ thức lượng và một số kiến thức đã học biến đổi các vế trong biểu thức, từ đó chứng minh các vế bằng nhau.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho ΔABC có $\widehat A = 60^\circ$ . Kẻ BH ⊥ AC; CK ⊥ AB.

a) Chứng minh: $KH = BC \cdot \cos \widehat A$

b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh ΔMKH là tam giác đều.

Hướng dẫn giải

a) Xét ΔAHB và ΔAKC vuông tại H, K có: chung góc $\widehat {BAC}$

Suy ra: ΔAHB ~ ΔAKC (g.g)

⇒ $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}$

Xét ΔAHK và ΔABC chung góc $\widehat {BAC}$ và $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}$

Suy ra: ΔAHK ~ ΔABC

$\Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{KH}}{{BC}} \Rightarrow HK = BC \cdot \frac{{AH}}{{AB}} = BC \cdot \cos \widehat A$

b) Theo câu a) có:

$HK = BC \cdot \cos \widehat {BAC} = BC \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}BC{\text{ }}\left( 1 \right)$

Mặt khác xét tam giác HBC vuông tại H có: HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

$\Rightarrow HM = \frac{1}{2}BC{\text{ }}\left( 2 \right)$

Tương tự có: $KM = \frac{1}{2}BC{\text{ }}\left( 3 \right)$

Từ (1), (2) và (3) có HM = HK = KM suy ra ΔHKM là tam giác đều.

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại B. Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH ⊥ BM, CK ⊥ BM

a) Chứng minh: $CK = BH \cdot \tan \widehat {BAC}$

b) Chứng minh: $\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{BH \cdot {{\tan }^2}\widehat {BAC}}}{{BK}}$

Hướng dẫn giải

a) Xét ΔAHB và ΔBKC vuông tại H và K có: $\widehat {HBA} = \widehat {BCK}$ (cùng phụ với $\widehat {CBH}$ )

$\begin{gathered} \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta BKC\left( {g.g} \right) \hfill \\ \Rightarrow \frac{{CK}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow CK = BH \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = BH \cdot \tan \widehat {BAC} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Theo câu a) ta có: $CK = BH \cdot \tan \widehat {BAC}$

Mà $\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{CK}}{{AH}}{\text{ }}\left( {do{\text{ }}CK\parallel AH} \right)$

$\Rightarrow \frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{BH \cdot \tan \widehat {BAC}}}{{AH}}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Mặt khác: ΔAHB ~ ΔBKC

$\Rightarrow \frac{{BK}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow \frac{1}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AB \cdot BK}} = \frac{{\tan \widehat {BAC}}}{{BK}}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{BH \cdot {{\tan }^2}\widehat {BAC}}}{{BK}}$

Câu 3. Cho hình thoi ABCD có $\widehat {BAD} = 120^\circ$ , tia Ax tạo với tia AB góc $\widehat {BAx} = 15^\circ$ , cắt BC, CD lần lượt tại M, N. Chứng minh: $\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{4}{{3A{B^2}}}$

Hướng dẫn giải

Từ A dựng đường thẳng vuông góc với AN cắt CD tại P, hạ AH ⊥ CD (H ∈ CD).

Có $\widehat {BAD} = \widehat {BAM} + \widehat {MAP} + \widehat {PAD}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 120^\circ = 15^\circ + 90^\circ + \widehat {PAD}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {PAD} = 120^\circ - 15^\circ - 90^\circ = 15^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

Xét ΔABM và ΔADP có:

$\widehat {MAB} = \widehat {PAD}$ (theo trên)

BA = AD (tính chất hình thoi)

$\widehat {MBA} = \widehat {PDA}$ (tính chất hình thoi)

⇒ ΔABM = ΔADP (g.c.g)

⇒ AM = AP

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NAP vuông tại A đường cao AH, ta có:

$\frac{1}{{A{P^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}$

Lại có:

$\begin{gathered} AH = \sin \widehat {ADH} \cdot AD = \sin 60^\circ \cdot AD \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot AD = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AB\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) ta có:

$\frac{1}{{A{P^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{\begin{gathered} {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}AB} \right)^2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{4}{{3A{B^2}}}$

Vậy $\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{4}{{3A{B^2}}}$

Dạng 3. Các bài toán thực tế

[content_4]

Câu 1. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42°. Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Hướng dẫn giải

Ta có chiều cao cột đèn là AC; AB = 7,5m và $\widehat {ACB} = 42^\circ$

Xét tam giác ACB vuông tại A có:

AC = AB ⋅ tan B = 7,5 ⋅ tan 42° ≃ 6,753m

Vậy cột đèn cao 6,753m

Câu 2. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 6m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 38°. Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Hướng dẫn giải

Ta có chiều cao cột đèn là AC; AB = 6m và $\widehat {ACB} = 38^\circ$

Xét tam giác ACB vuông tại A có:

AC = AB ⋅ tan B = 6 ⋅ tan 38° ≃ 4,69m

Vậy cột đèn cao 4,69m

Câu 3. Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 28° và có độ cao là 2,1m. Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Ta có chiều cao của mặt cầu trượt là AC; AB = 2,1m và $\widehat {ABC} = 28^\circ$

Xét tam giác ACB vuông tại A có:

BC = AB ⋅ sin B = 2,1 ⋅ sin 28° ≃ 4,47m

Vậy độ dài của mặt cầu trượt là 4,47m

Câu 4. Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5m. Hãy tính góc $\widehat {BCA}$ (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{{3,5}} = \frac{{12}}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 59^\circ 45'$

Câu 5. Một cột đèn điện AB cao 7m có bóng in trên mặt đất là AC dài 4m. Hãy tính góc $\widehat {BCA}$ (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{7}{4} \Rightarrow \widehat C \approx 60^\circ 15'$

Câu 6. Một cây tre cao 9m bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc 3m. Tính điểm gãy cách gốc bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Giả sử AB là độ cao của cây tre, C là điểm gãy

Đặt AC = x (0 < x < 9) ⇒ CB = CD = 9 – x

Vì ∆ACD vuông tại A

Suy ra: AC² + AD² = CD²

⇔ x² + 3² = (9 – x)²

⇔ x = 4 (TM)

Vậy điểm gãy cách gốc cây 4m

Câu 7. Một cây tre cao 8m bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc 3,5m. Tính điểm gãy cách gốc bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Hướng dẫn giải

Giả sử AB là độ cao của cây tre, C là điểm gãy

Đặt AC = x (0 < x < 8) ⇒ CB = CD = 8 – x

Vì ∆ACD vuông tại A

Suy ra: AC² + AD² = CD²

⇔ x² + 3,5² = (8 – x)²

⇔ x = $\frac{{207}}{{64}}$ ≈ 3,23m

Vậy điểm gãy cách gốc cây 3,23m

Câu 8. Nhà bạn Minh có một chiếc thang dài 4m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là 65° (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Ta có: BC = 4m; $\widehat C = 65^\circ$

Xét ∆ABC vuông tại A có:

AC = BC ⋅ cos C = 4 ⋅ cos 65° ≃ 1,69m

Câu 9. Một máy bay đang bay ở độ cao 10km so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường bay và mặt đất hợp thành một góc an toàn là 15° thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay bao xa? (làm tròn kết quả đến chữ số phần thập phân)

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết suy ra AC = 10 km; $\widehat B = 15^\circ$

Xét ∆ABC vuông tại A có:

AB = AC ⋅ cot B = 10 ⋅ cot 15° ≈ 37,32 km

Câu 10. Một máy bay đang bay ở độ cao 12km so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường bay và mặt đất hợp thành một góc an toàn là 12° thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay bao xa? (làm tròn kết quả đến chữ số phần thập phân)

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết suy ra AC = 12 km; $\widehat B = 12^\circ$

Xét ∆ABC vuông tại A có:

AB = AC ⋅ cot B = 10 ⋅ cot 12° ≈ 56,5 km

Câu 11. Một cái cây bị sét đánh trúng thân cây làm thân cây ngả xuống đất, tạo với mặt đất một góc là 40°. Biết rằng khúc cây còn đứng cao 1m. Tính chiều cao lúc đầu của cây.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có chiều dài ban đầu của cây là AD; sau khi bị sét đánh thì cây còn lại là:

AC = 1m; $\widehat {CBA} = 40^\circ$ và CD = CB

Xét ∆ABC vuông tại A có:

$BC = \frac{{AC}}{{\sin 40^\circ }} = 1,56m \Rightarrow CD = 1,56m$

Suy ra: AD = AC + CD = 1 + 1,56 = 2,56 m

Vậy cây cao 2,56m

Câu 12. Một cái cây bị sét đánh trúng thân cây làm thân cây ngả xuống đất, tạo với mặt đất một góc là 35°. Biết rằng khúc cây còn đứng cao 1,5m. Tính chiều cao lúc đầu của cây. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có chiều dài ban đầu của cây là AD; sau khi bị sét đánh thì cây còn lại là:

AC = 1,5m; $\widehat {CBA} = 35^\circ$ và CD = CB

Xét ∆ABC vuông tại A có:

$BC = \frac{{AC}}{{\sin 35^\circ }} \approx 2,6m \Rightarrow CD = 1,5m$

Suy ra: AD = AC + CD = 1,5 + 2,6 = 4,1 m

Vậy cây cao 4,1m

Câu 13. Một chiếc máy bay đang bay lên với vận tốc 500 km/h. Đường bay lên tạo với phương ngang một góc 30°. Hỏi sau 1,2 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay đạt được độ cao là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Đổi $1,2' = \frac{1}{{50}}h$

Sau 1,2 phút máy bay ở C

Quãng đường bay được là:

$BC = 500 \cdot \frac{1}{{50}} = 10km$ và $\widehat B = 30^\circ$

Nên AC = BC ⋅ sin 30° = 5km

Vậy máy bay đạt được độ cao là 5km sau 1,2 phút

Câu 14. Một chiếc máy bay đang bay lên với vận tốc 480 km/h. Đường bay lên tạo với phương ngang một góc 25°. Hỏi sau 1,5 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay đạt được độ cao là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Hướng dẫn giải

Đổi $1,5' = \frac{1}{{40}}h$

Sau 1,5 phút máy bay ở C

Quãng đường bay được là:

$BC = 480 \cdot \frac{1}{{40}} = 12km$ và $\widehat B = 25^\circ$

Nên AC = BC ⋅ sin 25° = 5,1 km

Vậy máy bay đạt được độ cao là 5,1 km sau 1,5 phút

Câu 15. Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương ngang nhưng bị dòng nước đẩy theo phương xiên, nên phải đi khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một góc bao nhiêu độ?

Hướng dẫn giải

Ta có khúc sông AC = 250 m, quãng đường thuyền đi là BC = 320 m

Góc lệch là $\widehat C$

Ta có: $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{250}}{{320}} \Rightarrow \widehat C \simeq 38^\circ 37'$

Vậy góc lệch là 38°37′

Câu 16. Một khúc sông rộng khoảng 100m. Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương ngang nhưng bị dòng nước đẩy theo phương xiên, nên phải đi khoảng 180m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một góc bao nhiêu độ? (làm tròn đến độ)

Hướng dẫn giải

Ta có khúc sông AC = 100 m, quãng đường thuyền đi là BC = 180 m

Góc lệch là $\widehat C$

Ta có: $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{100}}{{180}} \Rightarrow \widehat C \simeq 56^\circ$

Vậy góc lệch là 56°

Câu 17. Hai bạn học sinh Trung và Dũng đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau 100m thì nhìn thấy một chiếc diều (ở vị trí C giữa hai bạn). Biết góc “nâng” để nhìn thấy diều ở vị trí của Trung là 50° và góc “nâng” để nhìn thấy diều ở vị trí của Dũng là 40°. Hãy tính độ cao của diều lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Độ cao của diều là CD, độ dài AB = 100m. Trung đứng ở A, Dũng đứng ở B.

Gọi AD = x (0 < x < 100) ⇒ BD = 100 – x

Xét ∆ACD vuông tại D ta có:

CD = AD ⋅ tan A = x ⋅ tan 50°

Xét ∆ABD vuông tại D ta có:

CD = BD ⋅ tan B = (100 – x) ⋅ tan 40°

Nên x ⋅ tan 50° = (100 – x) ⋅ tan 40°

⇒ x ≃ 41,32 m (TM)

⇒ CD = 41,32 ⋅ tan 50° ≃ 49,24 m

Vậy độ cao của diều lúc đó so với mặt đất là 49,24 m

Câu 18. Hai bạn học sinh A và B đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau 80m thì nhìn thấy một máy bay trực thăng điều khiển từ xa (ở trị ví C nằm trên tia AB và AC AB >). Biết góc “nâng” để nhìn thấy máy bay ở vị trí của B là 55° góc “nâng” để nhìn thấy máy bay ở vị trí của B là 40°. Hãy tính độ cao của máy bay lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Độ cao của máy bay là CD, độ dài AB = 80m

Gọi BC = x (x > 0) ⇒ AC = 80 + x

Xét ∆BCD vuông tại C ta có:

CD = x ⋅ tan 55°

Xét ∆ADC vuông tại C ta có:

CD = (80 + x) ⋅ tan 40°

Nên x ⋅ tan 55° = (80 + x) ⋅ tan 40°

⇒ x ≃ 113,96 m (TM)

⇒ CD = 113,96 ⋅ tan 55° ≃ 162,75 m

Vậy độ cao của diều lúc đó so với mặt đất là 162,75 m

Câu 19. Hai bạn học sinh A và B đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau 60m thì nhìn thấy một máy bay trực thăng điều khiển từ xa (ở trị ví C nằm trên tia AB và AC > AB). Biết góc “nâng” để nhìn thấy máy bay ở vị trí của B là 50° góc “nâng” để nhìn thấy máy bay ở vị trí của B là 30°. Hãy tính độ cao của máy bay lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Độ cao của máy bay là CD, độ dài AB = 80m; $\widehat {DAC} = 30^\circ ;\widehat {DBC} = 50^\circ$

Gọi BC = x (x > 0) ⇒ AC = 60 + x

Xét ∆BCD vuông tại C ta có:

CD = x ⋅ tan 50°

Xét ∆ADC vuông tại C ta có:

CD = (60 + x) ⋅ tan 30°

Nên x ⋅ tan 50° = (60 + x) ⋅ tan 30°

⇔ x (tan 50° – tan 30°) = 60 ⋅ tan 30°

⇒ x ≃ 56,38 m (TM)

⇒ CD = 56,38 ⋅ tan 50° ≃ 67,19 m

Vậy độ cao của diều lúc đó so với mặt đất là 67,19 m

Bài tập trắc nghiệm

[content_5]

Câu 1. Cho tam giác MNP vuông tại M. Khi đó $\cos \widehat {MNP}$ bằng:

A. $\frac{{MN}}{{NP}}$

B. $\frac{{MP}}{{NP}}$

C. $\frac{{MN}}{{MP}}$

D. $\frac{{MP}}{{MN}}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Ta có: $\cos \widehat {MNP} = \frac{{MN}}{{NP}}$

Câu 2. Cho tam giác MNP vuông tại M. Khi đó $\tan \widehat {MNP}$ bằng:

A. $\frac{{MN}}{{NP}}$

B. $\frac{{MP}}{{NP}}$

C. $\frac{{MN}}{{MP}}$

D. $\frac{{MP}}{{MN}}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Ta có: $\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{MN}}$

Câu 3. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

A. sin α + cos α = 1

B. sin² α + cos² α = 1

C. sin³ α + cos³ α = 1

D. sin α – cos α = 1

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

α là góc bất kỳ, khi đó: sin² α + cos² α = 1

Câu 4. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

A. $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$

B. $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$

C. tan α ⋅ cot α = 1

D. tan² α – 1 = cos² α

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Chọn α là góc bất kỳ, khi đó:

sin² α + cos² α = 1;

tan α⋅cot α = 1;

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};$

$1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }};$

$1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$

Câu 5. Cho α và β là hai góc nhọn bất kỳ thoả mãn α + β = 90°. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. tan α = sin β

B. tan α = cot β

C. tan α = cos β

D. tan α = tan β

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Với hai góc α và β, mà α + β = 90°. Ta có:

⋄ sin α = cos β; cos α = sin β;

⋄ tan α = cot β; cot α = tan β.

Câu 6. Khẳng định nào sau đây là đúng? Cho hai góc phụ nhau thì:

A. sin góc nọ bằng cos góc kia.

B. sin hai góc bằng nhau.

C. tan góc nọ bằng cotang góc kia.

D. Cả A, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Với hai góc phụ nhau thì sin góc nọ bằng cos góc kia và tan góc nọ bằng cotang góc kia

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại C có AC = 1 cm, BC = 2 cm. Tính các tỉ số lượng giác sin B, cos B?

A. $\sin B = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cos B = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$

B. $\sin B = \frac{{\sqrt 5 }}{5};\cos B = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

C. $\sin B = \frac{1}{2};\cos B = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$

D. $\sin B = \frac{{2\sqrt 5 }}{5};\cos B = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Theo định lý Py-ta-go ta có:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5$

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

$\begin{gathered} \sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5};\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại C có BC = 1,2 cm, AC = 0,9 cm. Tính các tỉ số lượng giác sin B, cos B?

A. sin B = 0,6; cos B = 0,8

B. sin B = 0,8; cos B = 0,6

C. sin B = 0,4; cos B = 0,8

D. sin B = 0,6; cos B = 0,4

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Theo định lý Py-ta-go ta có:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {0,{9^2} + 1,{2^2}} = 1,5$

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

$\begin{gathered} \sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0,9}}{{1,5}} = \frac{3}{5} = 0,6;\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{1,5}} = \frac{4}{5} = 0,8 \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 8 cm, AC = 6 cm. Tính tỉ số lượng giác tan C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A. tan C ≈ 0,87

B. tan C ≈ 0,86

C. tan C ≈ 0,88

D. tan C ≈ 0,89

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Theo định lý Py-ta-go ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{8^2} - {6^2}} \approx 5,29$

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

$\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} \approx \frac{{5,29}}{6} \approx 0,88$

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A có có BC = 9 cm, AC = 5 cm. Tính tỉ số lượng giác tan C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 1)

A. tan C ≈ 0,67

B. tan C ≈ 0,5

C. tan C ≈ 1,4

D. tan C ≈ 1,5

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Theo định lý Py-ta-go ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{9^2} - {5^2}} = 2\sqrt {14}$

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

$\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{2\sqrt {14} }}{5} \approx 1,5$

Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AB = 13 cm, BH = 0,5 dm. Tính tỉ số lượng giác sin C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)

A. sin C ≈ 0,35

B. sin C ≈ 0,37

C. sin C ≈ 0,39

D. sin C ≈ 0,38

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Đổi 0,5 dm = 5 cm

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\begin{gathered} A{B^2} = BH \cdot BC \Rightarrow BC = \frac{{A{B^2}}}{{BH}} = \frac{{{{13}^2}}}{5} = 33,8cm\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{13}}{{33,8}} \approx 0,38 \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AC = 15 cm, CH = 6 cm. Tính tỉ số lượng giác cos B.

A. $\sin C \approx \frac{5}{{\sqrt {21} }}$

B. $\sin C \approx \frac{{\sqrt {21} }}{5}$

C. $\sin C \approx \frac{2}{5}$

D. $\sin C \approx \frac{3}{5}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Xét tam giác AHC vuông tại H, theo định lý Py-ta-go ta có:

$\begin{gathered} A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {15^2} - {6^2} = 189\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow AH = 3\sqrt {21} \hfill \\ \Rightarrow \sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{15}} = \frac{{\sqrt {21} }}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Mà tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat B,\widehat C$ là hai góc phụ nhau.

Do đó: $\cos B = \sin C = \frac{{\sqrt {21} }}{5}$

Câu 13. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có CH = 4 cm, BH = 3 cm. Tính tỉ số lượng giác cos C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A. cos C ≈ 0,76

B. cos C ≈ 0,77

C. cos C ≈ 0,75

D. cos C ≈ 0,78

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

BC = BH + CH = 7 cm

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\begin{gathered} A{C^2} = CH \cdot BC \Rightarrow A{C^2} = 4 \cdot 7 = 28\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow AC \approx 5,29cm \hfill \\ \Rightarrow \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{5,29}}{7} \approx 0,76\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 14. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có CH = 11 cm, BH = 12 cm. Tính tỉ số lượng giác cos C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A. cos C ≈ 0,79

B. cos C ≈ 0,69

C. cos C ≈ 0,96

D. cos C ≈ 0,66

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

BC = BH + CH = 11 + 12 = 23 cm

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\begin{gathered} A{C^2} = CH \cdot BC \Rightarrow A{C^2} = 11 \cdot 23 = 253\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow AC = \sqrt {253} cm \hfill \\ \Rightarrow \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt {253} }}{{23}} \approx 0,69\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính tan C biết rằng tan B = 4.

A. tan C = $\frac{1}{4}$

B. tan C = 4

C. tan C = 2

D. tan C = $\frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Vì tam giác ABC vuông tại A nên

$\widehat B + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow \cot C = \tan B = 4$

Mà: $\cot C \cdot \tan C = 1 \Rightarrow \tan C = \frac{1}{4}$

Câu 16. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính tan C biết rằng cot B = 2.

A. tan C = $\frac{1}{4}$

B. tan C = 4

C. tan C = 2

D. tan C = $\frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Vì tam giác ABC vuông tại A nên

$\widehat B + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow \tan C = \cot B = 2$

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, cot C = $\frac{7}{8}$ . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)

A. AC ≈ 4,39 (cm); BC ≈ 6,66 (cm)

B. AC ≈ 4,38 (cm); BC ≈ 6,65 (cm)

C. AC ≈ 4,38 (cm); BC ≈ 6,64 (cm)

D. AC ≈ 4,37 (cm); BC ≈ 6,67 (cm)

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Vì tam giác ABC vuông tại A nên

$\begin{gathered} \cot C = \frac{{AC}}{{AB}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow AC = AB \cdot \cot C = 5 \cdot \frac{7}{8} = \frac{{35}}{8} \approx 4,38cm \hfill \\ \end{gathered}$

Theo định lý Py-ta-go ta có:

BC² = AB² + AC² = 5² + 4,38² = 44,18 ⇒ BC ≈ 6,65

Vậy AC ≈ 4,38 cm; BC ≈ 6,65 cm

Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9 cm, tan C = $\frac{5}{4}$ . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A. AC = 11,53; BC = 7,2

B. AC = 7; BC ≈ 11

C. AC = 5,2; BC ≈ 11,53

D. AC = 7,2; BC ≈ 11,53

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Vì tam giác ABC vuông tại A nên

$\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\tan C}} = 9:\frac{5}{4} = 7,2cm$

Theo định lý Py-ta-go ta có:

BC² = AB² + AC² = 9² + 7,2² = 132,84 ⇒ BC ≈ 11,53

Vậy AC ≈ 7,2 cm; BC ≈ 11,53 cm

Câu 19. Cho α là góc nhọn. Tính sin α, cot α biết $\frac{2}{5}$

A. $\sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{{25}};\cot \alpha = \frac{{3\sqrt {21} }}{{21}}$

B. $\sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{5};\cot \alpha = \frac{5}{{\sqrt {21} }}$

C. $\sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{3};\cot \alpha = \frac{3}{{\sqrt {21} }}$

D. $\sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{5};\cot \alpha = \frac{2}{{\sqrt {21} }}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Ta có:

$\begin{gathered} {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \hfill \\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{{25}} = \frac{{21}}{{25}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{5} \hfill \\ \end{gathered}$

Lại có: $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{2}{5} \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} \frac{{\sqrt {21} }}{5} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{2}{{\sqrt {21} }}$

Vậy $\sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{5};\cot \alpha = \frac{2}{{\sqrt {21} }}$

Câu 20. Tính sin α, tan α biết $\frac{3}{4}$

A. $\sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt 7 }};\tan \alpha = \frac{3}{4}$

B. $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{4};\tan \alpha = \frac{3}{{\sqrt 7 }}$

C. $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{4};\tan \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{3}$

D. $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{3};\tan \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Ta có:

$\begin{gathered} {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \hfill \\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{16}} = \frac{7}{{16}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{4} \hfill \\ \end{gathered}$

Lại có: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{{\sqrt 7 }}{4} \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} \frac{3}{4} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{\sqrt 7 }}{3}$

Vậy $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{4};\tan \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{3}$

Câu 21. Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh cot 50° và cot 46°.

A. cot 46° = cot 50°

B. cot 46° > cot 50°

C. cot 46° < cot 50°

D. cot 46° ≥ cot 50°

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Vì 46° < 50° ⇔ cot 46° > cot 50°

Câu 22. Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh sin 20° và sin 70°.

A. sin 20° < sin 70°

B. sin 20° > sin 70°

C. sin 20° = sin 70°

D. sin 20° ≥ sin 70°

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Vì 20° < 70° ⇔ sin 20° < sin 70°

Câu 23. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sin 40°, cos 67°, sin 35°, cos 44°35′, sin 28°10′ theo thứ tự tăng dần.

A. cos 67° < sin 35° < sin 28°10′ < sin 40° < cos 45°25′

B. cos 67° < sin 45°25’° < sin 40° < sin 28°10′ < cos 35°

C. cos 67° > sin 28°10′ > sin 35° > sin 40° > cos 45°25′

D. cos 67° < sin 28°10′ < sin 35° < sin 40° < cos 45°25′

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Ta có: cos 67° = sin 23° vì 67° + 23° = 90°;

cos 44°35′ = sin 45°25′ vì 44°25′ + 45°25′ = 90°

Mà: 23° < 28°10′ < 35° < 40° < 45°25′

Nên sin 23° < sin 28°10′ < sin 35° < sin 40° < sin 45°25′

⇔ cos 67° < sin 28°10′ < sin 35° < sin 40° < cos 45°25′

Câu 24. Sắp xếp các tỉ số lượng giác tan 43°, cot 71°, tan 38°, cot 69°15′, tan 28° theo thứ tự tăng dần.

A. cot 71° < cot 60°15′ < tan 28° < tan 38° < tan 43°

B. cot 60°15 < cot 71° < tan 28° < tan 38° < tan 43°

C. tan 28° < tan 38° < tan 43° < cot 60°15′ < cot 71°

D. cot 60°15′ < tan 28° < tan 38° < tan 43° < cot 71°

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Ta có: cot 71° = tan 19° vì 71° + 19° = 90°;

cot 69°15′ = tan 20°45′ vì 69°15′ + 20°45′ = 90°

Mà 19° < 20°45′ < 28° < 38° < 43°

Nên tan 19° < tan 20°45′ < tan 28° < tan 38° < tan 43°

⇔ cot 71° < cot 60°15′ < tan 28° < tan 38° < tan 43°

Câu 25. Tính giá trị biểu thức:

A = sin² 1° + sin² 2° + … + sin² 89° + sin² 90°

A. A = 46

B. A = $\frac{{93}}{2}$

C. A = $\frac{{91}}{2}$

D. A = 45

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Ta có: sin² 89° = cos² 1°; sin² 88° = cos² 2°; …; sin² 46° = cos² 44° và sin² α + cos² α = 1

Nên A = (sin² 1° + sin² 89°) + (sin² 2° + sin² 88°) + … + (sin² 44° + sin² 46°) + sin² 45° + sin² 90°

= (sin² 1° + cos² 1°) + (sin² 2° + cos² 2°) + … + (sin² 44° + cos² 44°) + sin² 45° + sin² 90°

= 1 + 1 + … + 1 + $\frac{1}{2}$ + 1

= 44⋅1 + $\frac{3}{2}$ = $\frac{{91}}{2}$

Vậy A = $\frac{{91}}{2}$

Câu 26. Tính giá trị biểu thức:

B = sin² 10° + sin² 20° + … + sin² 70° + sin² 80°

A. B = 0

B. B = 8

C. B = 5

D. B = 4

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Ta có: sin² 80° = cos² 10°; sin² 70° = cos² 20°;

sin² 60° = cos² 30°; sin² 50° = cos² 40° và sin² α + cos² α = 1

Nên B = sin² 10° + sin² 20° + sin² 30° + sin² 40° + sin² 50° + sin² 60° + sin² 70° + sin² 80°

= sin² 10° + sin² 20° + sin² 30° + sin² 40° + cos² 40° + cos² 30° + cos² 20° + cos² 10°

= (sin² 10° + cos² 10°) + (sin² 20° + cos² 20°) + (sin² 30° + cos² 30°) + (sin² 40° + cos² 40°)

= 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Vậy giá trị cần tìm là 4

Câu 27. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Tính giá trị biểu thức:

C = sin⁶ α + cos⁶ α + 3sin² α⋅cos² α

A. C = 1 – 3sin² α⋅cos² α

B. C = 1

C. C = sin² α⋅cos² α

D. C = 3sin² α⋅cos² α – 1

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Ta có: C = sin⁶ α + cos⁶ α + 3sin² α⋅cos² α

= sin⁶ α + cos⁶ α + 3sin² α⋅cos² α⋅1

= sin⁶ α + cos⁶ α + 3sin² α⋅cos² α⋅(sin² α + cos² α)

= (sin² α)³ + 3(sin² α)²⋅cos² α + 3sin² α⋅(cos² α)² + (cos² α)³

= (sin² α + cos² α)³ = 1

Câu 28. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Tính giá trị biểu thức:

D = sin⁴ α + cos⁴ α

A. C = 1 – 2sin² α⋅cos² α

B. C = 1

C. C = sin² α⋅cos² α

D. C = 1 + 2sin² α⋅cos² α

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Ta có: C = sin⁴ α + cos⁴ α

= sin⁴ α + cos⁴ α + 2sin² α⋅cos² α – 2sin² α⋅cos² α

= (sin² α + cos² α)² – 2sin² α⋅cos² α

= 1 – 2sin² α⋅cos² α

Vậy C = 1 – 2sin² α⋅cos² α

Câu 29. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Rút gọn:

P = (1 – sin² α)⋅cot² α + 1 – cot² α

A. P = sin² α

B. P = cos² α

C. P = tan² α

D. P = 2sin² α

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Với $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

$\begin{gathered} A{\text{ }} = \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right){\cot ^2}\alpha + 1 - {\cot ^2}\alpha \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = {{\cot }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha {{\cot }^2}\alpha + 1 - {{\cot }^2}\alpha } \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} = 1 - {\sin ^2}\alpha \cdot \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 - {\cos ^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy P = sin² α

Câu 30. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn kết luận đúng. Cho:

P = (1 – sin² α)⋅tan² α + (1 – cos² α)⋅cot² α,

A. P > 1

B. P < 1

C. P = 1

D. P = 2sin² α

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Với $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array}$

$\begin{gathered} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha ;{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \hfill \\ P{\text{ }} = \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right){\tan ^2}\alpha + \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right){\cot ^2}\alpha \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = {\cos ^2}\alpha \cdot \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + {\sin ^2}\alpha \cdot \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy P = 1

Câu 31. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Tính biểu thức:

$Q = \frac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }}$

A. Q = cot α – tan α

B. Q = cot α + tan α

C. Q = tan α – cot α

D. Q = 2tan α

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Với $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array}$

$\begin{gathered} Q{\text{ }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }} - \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \cot \alpha - \tan \alpha \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy Q = cot α – tan α

Câu 32. Chọn α là góc nhọn bất kỳ. Tính biểu thức:

$Q = \frac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}$

A. Q = 1 + tan² α

B. Q = 1 + 2tan² α

C. Q = 1 – 2tan² α

D. Q = 2tan² α

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Với $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha$

$\begin{gathered} Q{\text{ }} = \frac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 1 + 2{\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = 1 + 2{\tan ^2}\alpha \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy Q = 1 + 2tan² α

Câu 33. Cho tan α = 2. Tính giá trị của biểu thức:

$G = \frac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha - 3\sin \alpha }}$

A. G = 1

B. G = $- \frac{4}{5}$

C. G = $- \frac{6}{5}$

D. G = –1

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Vì tan α = 2 nên cos α ≠ 0

Ta có: $G = \frac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha - 3\sin \alpha }}$

$= \frac{\begin{gathered} \hfill \\ 2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{2\tan \alpha + 1}}{{1 - 3\tan \alpha }}$

Thay tan α = 2 ta được:

$G = \frac{{2 \cdot 2 + 1}}{{1 - 3 \cdot 2}} = - \frac{5}{5} = - 1$

Vậy G = –1

Câu 34. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết HD : HA = 3 : 2. Khi đó $\tan \widehat {ABC} \cdot \tan \widehat {ACB}$ bằng:

A. 3

B. 5

C. $\frac{3}{5}$

D. $\frac{5}{3}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Xét tam giác vuông ABD và ADC, ta có:

$\tan B = \frac{{AD}}{{BD}};\tan C = \frac{{AD}}{{CD}}$

Suy ra: $\tan B \cdot \tan C = \frac{{A{D^2}}}{{BD \cdot CD}}$ (1)

Lại có: $\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$ ) và $\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = 90^\circ$

Do đó: ∆BDH ~ ∆ADC (g.g)

Suy ra: $\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}$

Do đó: BD⋅DC = DH⋅AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\tan B \cdot \tan C = \frac{{A{D^2}}}{{DH \cdot AD}}{\text{ = }}\frac{{AD}}{{DH}}$ (3)

Theo giả thiết ta có: $\frac{{HD}}{{AH}} = \frac{3}{2}$

Suy ra: $\frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{3}{{2 + 3}}$ hay $\frac{{HD}}{{AD}} = \frac{3}{5}$

Suy ra: $AD = \frac{5}{3}HD$

Thay vào (3) ta được:

$\tan B \cdot \tan C = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{5}{3}HD \hfill \\ \end{gathered} }{{DH}} = \frac{5}{3}$

Câu 35. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết HD : HA = 1 : 2. Khi đó $\tan \widehat {ABC} \cdot \tan \widehat {ACB}$ bằng:

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Xét tam giác vuông ABD và ADC, ta có:

$\tan B = \frac{{AD}}{{BD}};\tan C = \frac{{AD}}{{CD}}$

Suy ra: $\tan B \cdot \tan C = \frac{{A{D^2}}}{{BD \cdot CD}}$ (1)

Lại có: $\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$ ) và $\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = 90^\circ$

Do đó: ∆BDH ~ ∆ADC (g.g)

Suy ra: $\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}$

Do đó: BD⋅DC = DH⋅AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\tan B \cdot \tan C = \frac{{A{D^2}}}{{DH \cdot AD}}{\text{ = }}\frac{{AD}}{{DH}}$ (3)

Theo giả thiết ta có: $\frac{{HD}}{{AH}} = \frac{1}{2}$

Suy ra: $\frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{1}{{2 + 1}}$ hay $\frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{3}$

Suy ra: $AD = 3HD$

Thay vào (3) ta được:

$\tan B \cdot \tan C = \frac{{3HD}}{{DH}} = 3$

Câu 36. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α, biết $\sin \alpha = \frac{3}{5}$

A. $\cos \alpha = \frac{3}{4},\tan \alpha = \frac{3}{4},\cot \alpha = \frac{4}{5}$

B. $\cos \alpha = \frac{4}{5},\tan \alpha = \frac{3}{4},\cot \alpha = \frac{4}{3}$

C. $\cos \alpha = \frac{4}{5},\tan \alpha = \frac{3}{4},\cot \alpha = \frac{4}{5}$

D. $\cos \alpha = \frac{3}{4},\tan \alpha = \frac{4}{5},\cot \alpha = \frac{4}{3}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Ta có: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ , suy ra ${\sin ^2}\alpha = \frac{9}{{25}}$

Mà sin² α + cos² α = 1, do đó:

${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}$

Suy ra: $\cos \alpha = \frac{4}{5}$

Do đó: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{3}{5}:\frac{4}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

$\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{5}:\frac{3}{5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$

Vậy $\cos \alpha = \frac{4}{5},\tan \alpha = \frac{3}{4},\cot \alpha = \frac{4}{3}$

Câu 37. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Tính cot α biết $\sin \alpha = \frac{5}{{13}}$

A. $\cot \alpha = \frac{{12}}{5}$

B. $\cot \alpha = \frac{{11}}{5}$

C. $\cot \alpha = \frac{5}{{12}}$

D. $\cot \alpha = \frac{{13}}{5}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Ta có: $\sin \alpha = \frac{5}{{13}}$ , suy ra ${\sin ^2}\alpha = \frac{{25}}{{169}}$

Mà sin² α + cos² α = 1, do đó:

${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}$

Suy ra: $\cos \alpha = \frac{{12}}{{13}}$ . Do đó:

$\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{12}}{{13}}:\frac{5}{{13}} = \frac{{12}}{{13}} \cdot \frac{{13}}{5} = \frac{{12}}{5}$

Câu 38. Tính giá trị biểu thức:

B = tan 10°⋅tan 20°⋅tan 30°… tan 80°

A. B = 44

B. B = 1

C. B = 45

D. B = 2

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Ta có: tan 80° = cot 10°; tan 70° = cot 20°;

tan 50° = cot 40°; cot 60° = cot 30° và tan α⋅cot α = 1

Nên B = tan 10°⋅tan 20°⋅tan 30°⋅tan 40°⋅tan 50°⋅tan 60°⋅tan 70°⋅tan 80°

= tan 10°⋅tan 20°⋅tan 30°⋅tan 40°⋅cot 40°⋅cot 30°⋅cot 20°⋅cot 10°

= (tan 10°⋅cot 10°)(tan 20°⋅cot 20°)(tan 30°⋅cot 30°)(tan 40°⋅cot 40°)

= 1⋅1⋅1⋅1 = 1

Vậy B = 1

Câu 39. Tính giá trị biểu thức:

B = tan 1°⋅tan 2°⋅tan 3°… tan 88°⋅tan 89°

A. B = 44

B. B = 1

C. B = 45

D. B = 2

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Ta có: tan 89° = cot 1°; tan 88° = cot 2°; …; tan 46° = cot 44° và tan α⋅cot α = 1

Nên B = tan 1°⋅tan 2°⋅tan 3°… tan 88°⋅tan 89°

= (tan 1°⋅tan 89°)(tan 2°⋅tan 88°)…(tan 46°⋅tan 44°)⋅tan 45°

= (tan 1°⋅cot 1°)(tan 2°⋅cot 2°)…(tan 44°⋅cot 44°)⋅tan 45°

= 1⋅1…1⋅1 = 1

Vậy B = 1

Câu 40. Cho kết luận đúng về giá trị biểu thức sau biết tan α = 3

$B = \frac{{{{\cos }^2}\alpha - 3{{\sin }^2}\alpha }}{{3 - {{\sin }^2}\alpha }}$

A. B > 0

B. B < 0

C. 0 < B < 1

D. B = 1

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Vì tan α = 3 ≠ 0 ⇒ cos α ≠ 0. Chia cả tử và mẫu của B cho cos² α ta được:

$\begin{gathered} B{\text{ }} = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 3\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} \frac{3}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}{\begin{gathered} 3 \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\tan ^2}\alpha \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}{{3\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) - {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}{{3 + 2{{\tan }^2}\alpha }} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{1 - 3 \cdot 9}}{{3 + 2 \cdot 9}} = - \frac{{26}}{{21}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Hay $B = - \frac{{26}}{{21}} < 0$

eduverbalearn0313