Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu chi tiết các dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải. Một số loại phương trình được đề cập như: Phương trình trùng phương, phương trình tích, phương trình chứa căn, phương trình phức tạp cần đặt ẩn phụ, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, …
Loại 1. Phương trình trùng phương
[content_1]
Phương pháp giải
Cho phương trình: ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) (1)
Phương pháp 1: Ẩn phụ: Đặt t = x2 (t ≥ 0) Ta được phương trình: at2 + bt + c = 0 (2)
– Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ ![\[\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-1.svg)
– Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 ⇔ ![\[\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P = 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-2.svg)
– Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có một một nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu ⇔ ![\[\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ P < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-3.svg)
– Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm ⇔ ![\[\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \Delta = 0 \hfill \\ S = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} P = 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-4.svg)
– Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm ⇔ ![\[\left[ \begin{gathered} \Delta < 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \Delta \geqslant 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-5.svg)
– Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng ![\[\frac{c}{a}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-6.svg){kind=small}
Phương pháp 2: Giải trực tiếp: Biến đổi đưa về dạng phương trình tích ![\[A \cdot B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} A = 0 \hfill \\ B = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-7.svg)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Giải phương trình: x4 – 13x2 + 36 = 0 (1)
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Đặt t = x2 ⇒ t ≥ 0 phương trình (1) có dạng: t2 – 13t + 36 = 0. Ta có:
![\[\begin{gathered} \Delta = {\left( { - 13} \right)^2} - 4 \cdot 36 = 25 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {t_1} = \frac{{ - \left( { - 13} \right) + 5}}{2} = 9;{t_2} = \frac{{ - \left( { - 13} \right) - 5}}{2} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-8.svg)
– Với t1 = 9 ⇔ x2 = 9 ⇒ x = ±3
– Với t2 = 4 ⇔ x2 = 4 ⇒ x = ±2
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 = –2; x2 = –3; x3 = 2; x4 = 3.
Cách 2:
x4 – 13x2 + 36 = 0
⇔ (x4 – 12x2 + 36) – x2 = 0
⇔ (x2 – 6)2 – x2 = 0
⇔ (x2 – 6 – x)(x2 – 6 + x) = 0
Giải phương trình: x2 – 6 – x = 0 ta được 2 nghiệm: x = –2; x = 3.
Giải phương trình: x2 – 6 + x = 0 ta được 2 nghiệm: x = 2; x = –3.
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 = –3; x2 = – 2; x3 = 2; x4 = 3.
Câu 2. Giải phương trình: x4 – 5x2 + 6 = 0 (2)
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Đặt t = x2 ⇒ t ≥ 0 phương trình (2) có dạng: t2 – 5t + 6 = 0. Ta có:
![\[\begin{gathered} \Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 6 = 1 \Rightarrow \sqrt \Delta = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {t_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + 1}}{2} = 3;{t_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - 1}}{2} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-9.svg)
– Với t1 = 3 ⇔ x2 = 3 ⇒ x = ![\[ \pm \sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-10.svg)
– Với t2 = 2 ⇔ x2 = 2 ⇒ x = ![\[ \pm \sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-11.svg)
Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1 = ![\[\sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-12.svg)
; x2 = ![\[ - \sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-13.svg)
; x3 = ![\[\sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-14.svg)
; x4 = ![\[ - \sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-15.svg)
Cách 2:
x4 – 5x2 + 6 = 0
⇔ x4 – 2x2 – 3x2 + 6 = 0
⇔ (x4 – 2x2) – (3x2 – 6) = 0
⇔ x2(x2 – 2) – 3(x2 – 2) = 0
⇔ (x2 – 2)(x2 – 3) = 0
Giải phương trình: x2 – 2 = 0 ta được 2 nghiệm: x = ; x = .
Giải phương trình: x2 – 3 = 0 ta được 2 nghiệm x = ; x = .
Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 =
Câu 3. Giải phương trình: x4 – 10x2 + 9 = 0 (3)
Hướng dẫn giải
Đặt x2 = t ≥ 0 ⇒ x4 = t2, phương trình (3) có dạng t2 – 10t + 9 = 0 (3′)
Giải phương trình (3′) , có a + b + c = 1 – 10 + 9 = 0 ⇒ t1 = 1; t2 = 9
– Với t = t1 = 1 thì x2 = 1 ⇒ x1 = 1; x2 = –1
– Với t = t2 = 9 thì x2 = 9 ⇒ x3 = 3; x4 = –3
Loại 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
[content_2]
Phương pháp giải
Cách giải: Thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Giải các phương trình sau
a) ![\[\frac{{14}}{{{x^2} - 9}} = 1 - \frac{1}{{3 - x}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-16.svg)
b) ![\[\frac{{2x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} - x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-17.svg)
Hướng dẫn giải
a)
ĐKXĐ: x ≠ ±3
![\[\begin{gathered} \frac{{14}}{{{x^2} - 9}} = 1 - \frac{1}{{3 - x}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{14}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 1 + \frac{1}{{x - 3}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{14}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow 14 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 9 + x + 3 - 14 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 20 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-18.svg)
Ta có: Δ = b2 – 4ac
= 12 – 4⋅1⋅(–20)
= 1 + 80 = 81 > 0
⇒ ![\[\sqrt \Delta = \sqrt {81} = 9\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-19.svg)
⇒ Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt:
![\[\begin{gathered} {x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{2} = \frac{{ - 1 + 9}}{{2 \cdot 1}} = 4{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \hfill \\ {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{2} = \frac{{ - 1 - 9}}{{2 \cdot 1}} = - 5{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-20.svg)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = 4; x2 = –5.
b)
ĐKXĐ: x ≠ –1 & x ≠ 4
![\[\begin{gathered} \frac{{2x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} - x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{2x\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{{x^2} - x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow 2x\left( {x - 4} \right) = {x^2} - x + 8 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 8x - {x^2} + x - 8 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-21.svg)
Ta có: a – b + c = 1 – (–7) + (–8) = 0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm:
x1 = –1 (không TMĐKXĐ)
x2 = ![\[ - \frac{c}{a}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-24.svg)
= 8 (TMĐKXĐ)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x = 8
Loại 3. Phương trình tích
[content_3]
Phương pháp giải
Bài tập vận dụng
* Giải các phương trình sau:
a) 1,2x3 – x2 – 0,2x = 0
b) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
c) (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2
d) (2x2 + 3)2 – 10x2 – 15x = 0
Hướng dẫn giải
a) 1,2x3 – x2 – 0,2x = 0
⇔ 12x3 – 10x2 – 2x = 0
⇔ x(12x2 – 10x – 2) = 0
⇔ x = 0 hoặc 12x2 – 10x – 2 = 0
– x1 = 0
– 12x2 – 10x – 2 = 0
Ta có: a + b + c = 12 – 10 – 2 = 0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm:
![\[{x_2} = 1;{\text{ }}{x_3} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 2}}{{12}} = - \frac{1}{6}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-25.svg)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = 1; x3 = ![\[ - \frac{1}{6}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-26.svg)
b) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
⇔ x2(x + 3) – 2(x + 3) = 0
⇔ (x + 3)(x2 – 2) = 0
⇔ x + 3 = 0 hoặc x2 – 2 = 0
– x + 3 = 0 ⇔ x1 = –3
– x2 – 2 = 0 ⇔ x2 = 2
⇔ x =
⇔ x2 = ; x3 =
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = –3; x2 = ; x3 =
c) (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2
⇔ (x2 + 2x – 5)2 – (x2 – x + 5)2 = 0
⇔ (x2 + 2x – 5 + x2 – x + 5)(x2 + 2x – 5 – x2 + x – 5) = 0
⇔ (2x2 + x)(3x – 10) = 0
⇔ x(2x + 1)(3x – 10) = 0
⇔ x = 0 hoặc 2x + 1 = 0 hoặc 3x – 10 = 0
– x1 = 0
– 2x + 1 = 0 ⇔ x2 = ![\[ - \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-27.svg)
– 3x – 10 = 0 ⇔ x3 = ![\[\frac{{10}}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-28.svg)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = ; x3 =
d) (2x2 + 3)2 – 10x2 – 15x = 0
⇔ (2x2 + 3)2 – 5x(2x2 + 3) = 0
⇔ (2x2 + 3)(2x2 + 3 – 5x) = 0
⇔ 2x2 + 3 = 0 hoặc 2x2 – 5x + 3 = 0
– 2x2 + 3 = 0 ⇔ 2x2 = 0 – 3 ⇔ x2 = –1,5 (vô nghiệm)
– 2x2 – 5x + 3 = 0
Ta có: a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = ![\[\frac{3}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-29.svg)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =
Loại 4. Đặt ẩn phụ
[content_4]
Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy)
ax4 ± bx3 + cx2 ± kbx + k2a = 0 (k > 0)
Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho x2 (x ≠ 0) ta được ![\[a\left( {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right) \pm b\left( {x + \frac{k}{x}} \right) + x = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-30.svg)
(*)
Đặt ![\[t = x + \frac{k}{x}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-31.svg)
với ![\[\left| t \right| \geqslant 2\sqrt k \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-32.svg)
ta có:
![\[{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{k}{x}} \right)^2} - 2k = {t^2} - 2k\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-33.svg)
thay vào (*) ta được phương trình:
a(t2 – 2k) ± bt + c = 0
Dạng 2: Phương trình: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e, trong đó a + b = c + d
Phương trình ⇔ [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = e
Đặt t = x2 + (a + b)x, ta có: (t + ab)(t + cd) = e
Dạng 3: Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = ex2, trong đó ab = cd. Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho x2 (x ≠ 0). Phương trình tương đương:
![\[\begin{gathered} \left[ {{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab} \right]\left[ {{x^2} + \left( {c + d} \right)x + cd} \right] = e{x^2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x + \frac{{ab}}{x} + a + b} \right)\left( {x + \frac{{cd}}{x} + c + d} \right) = e \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-34.svg)
Đặt ![\[t = x + \frac{{ab}}{x} = x + \frac{{cd}}{x}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-35.svg)
. Ta có phương trình: (t + a + b)(t + c + d) = e
Dạng 4: Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt ![\[x = t - \frac{{a + b}}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-36.svg)
ta đưa về phương trình trùng phương
Câu 1. Giải các phương trình:
a) 2x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 2 = 0
b) (x + 1)4 + (x + 3)4 = 2
c) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24
d) (x + 2)(x – 3)(x + 4)(x – 6) + 6x2 = 0
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy x = 0 không là nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được:
![\[2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 5\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 6 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-37.svg)
Đặt ![\[t = x + \frac{1}{x}{\text{,}}\left| t \right| \geqslant 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-38.svg)
![\[ \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2 = {t^2} - 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-39.svg)
Ta có: 2(t2 – 2) – 5t + 6 = 0
⇔ 2t2 – 5t + 2 = 0
⇔ t = 2 hoặc t = ![\[\frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-40.svg)
(loại)
Với ![\[t = 2 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-41.svg)
b) Đặt x = t – 2 ta được: (t – 1)4 + (t + 1)4 = 2
⇔ t4 + 6t2 = 0 ⇔ t = 0
⇔ x = –2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2.
Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau: Trước hết ta có BĐT:
![\[\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \geqslant {\left( {\frac{{a + b}}{4}} \right)^4}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-42.svg)
với a + b ≥ 0
Áp dụng BĐT này với: a = –x – 1, b = x + 3 ⇒ VT ≥ VP. Đẳng thức xảy ra khi x = −2.
c) Ta có phương trình ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 24
Đặt t = x2 + 3x. Ta được: t(t + 2) = 24
⇔ t2 + 2t – 24 = 0
⇔ t = –6 ∨ t = 4
– t = –6 ⇔ x2 + 3x + 6 = 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm
– t = 4 ⇔ x2 + 3x – 4 = 0 ⇔ x = 1; x = –4. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x = –4
d) Phương trình ⇔ (x2 – 2x – 12)(x2 + x – 12) + 6x2 = 0
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được:
![\[\left( {x - \frac{{12}}{x} - 4} \right)\left( {x - \frac{{12}}{x} + 1} \right) + 6 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-43.svg)
Đặt ![\[t = x - \frac{{12}}{x}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-44.svg)
, ta có:
(t – 4)(t + 1) + 6 = 0 ⇔ t2 – 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 2
– ![\[t = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ x = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-45.svg)
– ![\[t = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt {13} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-46.svg)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x = –3; x = 4; x = ![\[1 \pm \sqrt {13} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-47.svg)
Câu 2. Giải phương trình
a) 3(x2 – x + 1)2 – 2(x + 1)2 = 5(x3 + 1)
b) x6 + 3x5 – 6×4 – 21x3 – 6x2 + 3x + 1 = 0
c) (x + 1)(x + 2)(x + 3)2(x + 4)(x + 5) = 360
d) (x3 + 5x + 5)3 + 5x3 + 24x + 30 = 0
Hướng dẫn giải
a) Vì x = −1 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x3 + 1 ta được:
![\[3 \cdot \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}} - 2 \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-48.svg)
Đặt ![\[t = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}} \Rightarrow 3t - \frac{2}{t} = 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-49.svg)
![\[ \Leftrightarrow 3{t^2} - 5t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ t = - \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-50.svg)
– ![\[t = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-51.svg)
– ![\[t = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x + 4 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-52.svg)
⇒ Phương trình vô nghiệm
b) Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng.
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho x3 ta được:
![\[{x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} + 3\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 6\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 21 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-53.svg)
Đặt . Ta có:
![\[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2;{\text{ }}{x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = t\left( {{t^2} - 3} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-54.svg)
nên phương trình trở thành:
t(t2 – 3) + 3(t2 – 2) + 6t – 21 = 0
⇔ t3 – 3t2 – 9t – 27 = 0
⇔ (t + 3)2(t – 3) = 0
⇔ t = 3 ∨ t = –3
– ![\[t = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-55.svg)
– ![\[t = - 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-56.svg)
Vậy phương trình có bốn nghiệm ![\[x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-57.svg)
c) Phương trình ⇔ (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8)(x2 + 6x +9) = 360
Đặt t = x2 + 6x, ta có phương trình:
(y + 5)(y + 8)(y + 9) = 360
⇔ y(y2 + 22y + 157) = 0
⇔ y = 0
⇔ x2 + 6x = 0
⇔ x = 0 ∨ x = –6
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0; x = –6
d) Ta có: 5x3 + 24x + 30 = 5(x3 + 5x + 5) – x + 5 nên phương trình tương đương
(x3 + 5x + 5)3 + 5(x3 + 5x + 5) – x + 5 = 0
Đặt u = x3 + 5x + 5. Ta được hệ:
![\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {u^3} + 5u + 5 = x \hfill \\ {x^3} + 5x + 5 = u \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left( {u - x} \right)\left( {{u^2} + ux + {x^2} + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow u = x \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x^3} + 4x + 5 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 5} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-58.svg)
Vậy x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Dạng 5. Phương trình chứa mẫu số là phương trình bậc hai
Phương pháp giải
a) Phương trình:
![\[\frac{{ax}}{{{x^2} + mx + p}} + \frac{{bx}}{{{x^2} + nx + p}} = c\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-60.svg)
với abc ≠ 0
Phương pháp giải: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Với x ≠ 0, ta chia cả tử số và mẫu số cho x thì thu được:
![\[\frac{a}{\begin{gathered} x + m + \frac{p}{x} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } + \frac{b}{\begin{gathered} x + n + \frac{p}{x} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = c\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-61.svg)
Đặt ![\[t = x + \frac{k}{x}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-62.svg)
![\[ \Rightarrow {t^2} = {x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} + 2k \geqslant 2\left| k \right| + 2k\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-63.svg)
Thay vào phương trình để quy về phương trình bậc 2 theo t.
b) Phương trình:
![\[{x^2} + {\left( {\frac{{ax}}{{x + a}}} \right)^2} = b\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-64.svg)
với a ≠ 0, x ≠ −a
Phương pháp: Dựa vào hằng đẳng thức a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab. Ta viết lại phương trình thành:
![\[\begin{gathered} {\left( {x - \frac{{ax}}{{x + a}}} \right)^2} + 2a \cdot \frac{{{x^2}}}{{x + a}} = b \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + a}}} \right)^2} + 2a \cdot \frac{{{x^2}}}{{x + a}} - b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-65.svg)
Đặt ![\[t = \frac{{{x^2}}}{{x + a}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-66.svg)
quy về phương trình bậc 2.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Giải các phương trình:
a) ![\[{x^2} + \frac{{25{x^2}}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 11\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-67.svg)
b) ![\[\frac{{12x}}{{{x^2} + 4x + 2}} - \frac{{3x}}{{{x^2} + 2x + 2}} = 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-68.svg)
c) ![\[\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 3{x^2} - 6x - 3\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-69.svg)
d) ![\[{x^3} + \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-70.svg)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: x ≠ −5
Ta viết lại phương trình thành
![\[\begin{gathered} {\left( {x - \frac{{5x}}{{x + 5}}} \right)^2} + \frac{{10{x^2}}}{{x + 5}} - 11 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 5}}} \right)^2} + \frac{{10{x^2}}}{{x + 5}} - 11 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-71.svg)
Đặt ![\[t = \frac{{{x^2}}}{{x + 5}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-72.svg)
thì phương trình có dạng t2 + 10t – 11 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = –11
Nếu t = 1 ta có:
![\[\frac{{{x^2}}}{{x + 5}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-73.svg)
Nếu t = –11 ta có:
![\[\frac{{{x^2}}}{{x + 5}} = - 11 \Leftrightarrow {x^2} + 11x + 55 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-74.svg)
(phương trình vô nghiệm)
b) Để ý rằng nếu x là nghiệm thì x ≠ 0 nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho x thì thu được: ![\[\frac{{12}}{\begin{gathered} x + 4 + \frac{2}{x} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } - \frac{3}{\begin{gathered} x + 2 + \frac{2}{x} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-75.svg)
. Đặt ![\[t = x + \frac{2}{x} + 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-76.svg)
thì phương trình trở thành:
![\[\begin{gathered} \frac{{12}}{{t + 2}} - \frac{3}{t} = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 12t - 3t - 6 = {t^2} + 2t \hfill \\ \Leftrightarrow {t^2} - 7t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 1 \hfill \\ t = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-77.svg)
Với t = 1 ta có:
![\[x + \frac{2}{x} + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-78.svg)
vô nghiệm.
Với t = 6 ta có:
![\[x + \frac{2}{x} + 2 = 6 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-78a.svg)
c) ![\[{\left[ {\frac{x}{{x + 2}} - \left( {x + 2} \right)} \right]^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-78b.svg)
![\[ \Leftrightarrow \left( {\frac{x}{{x + 2}} + x - 3} \right)\left( {\frac{x}{{x + 2}} - 3x - 1} \right) = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-79.svg)
Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là: ![\[x = \pm \sqrt 6 ;x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 3 }}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-80.svg)
d) Sử dụng HĐT a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) ta viết lại phương trình thành:
![\[\begin{gathered} {x^3} + \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{x}{{x - 1}}} \right)^3} - 3\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\left( {x + \frac{x}{{x - 1}}} \right) + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-81.svg)
Hay ![\[{\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right)^3} - 3{\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right)^2} + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-82.svg)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}} - 1} \right)^3} = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} - 1 = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-83.svg)
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Loại 5. Phương trình có ẩn ở trong dấu giá trị tuyệt đối
[content_5]
Phương pháp giải
Dạng cơ bản
![\[\begin{gathered} \bullet \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A = \pm B \hfill \\ \bullet \left| A \right| = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} B \geqslant 0 \hfill \\ A = {B^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} A \geqslant 0 \hfill \\ A = B \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} A < 0 \hfill \\ A = - B \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-84.svg)
Dạng khác
– Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng đó.
– Có thể đặt ẩn phụ
Bài tập vận dụng
Câu 1. Giải phương trình: x2 + |x – 1| = 1
Hướng dẫn giải
![\[\begin{gathered} {x^2} + \left| {x - 1} \right| = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = 1 - {x^2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - {x^2} \geqslant 0 \hfill \\ x - 1 = \pm \left( {1 - {x^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 \leqslant x \leqslant 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x - 1 = 1 - {x^2} \hfill \\ x - 1 = - 1 + {x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 \leqslant x \leqslant 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 0 \vee x = 1 \hfill \\ x = 1 \vee x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-85.svg)
Vậy x = 1; x = 0
Câu 2. Giải phương trình |x2 – x| + |2x – 4| = 3 (1)
Hướng dẫn giải
Xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp:
– Trường hợp 1: ![\[\left[ \begin{gathered} x \leqslant 0 \hfill \\ 1 < x \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-86.svg)
ta có:
![\[\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4 = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-87.svg)
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.
– Trường hợp 2: 0 < x ≤ 1 ta có:
![\[\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - x + 4 = 3 \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-88.svg)
Ta thấy ![\[x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-89.svg)
thỏa mãn.
– Trường hợp 3: x > 2 ta có:
![\[\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + x - 4 = 3 \Leftrightarrow {x^2} + x - 7 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {29} }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-90.svg)
Ta thấy ![\[x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {29} }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-91.svg)
thỏa mãn.
Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm ![\[\left[ \begin{gathered} x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {29} }}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-92.svg)
Câu 3. Giải phương trình: |x – 6| = |x2 – 5x + 9|
Hướng dẫn giải
![\[\begin{gathered} \left| {x - 6} \right| = \left| {{x^2} - 5x + 9} \right| \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 6 = {x^2} - 5x + 9 \hfill \\ x - 6 = - {x^2} + 5x - 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-93.svg)
Vậy x = 1; x = 3
Câu 4. Giải phương trình: (|x| + 1)2 = 4|x| + 9
Hướng dẫn giải
(|x| + 1)2 = 4|x| + 9
Đặt t = |x| với t ≥ 0
Phương trình: (t + 1)2 = 4t + 9
⇔ t2 – 2t – 8 = 0
⇔ t = 4 ∨ t = –2 (loại)
Với t = 4 thì |x| = 4 ⇔ x = ±4
Vậy x = 4; x = – 4
Câu 5. Giải và biện luận |x2 – 2x + m| + x = 0
Hướng dẫn giải
![\[\begin{gathered} \left| {{x^2} - 2x + m} \right| + x = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {{x^2} - 2x + m} \right| = - x \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - x \geqslant 0 \hfill \\ {x^2} - 2x + m = \pm x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \leqslant 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {x^2} - 3x + m = 0{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ {x^2} - x + m = 0{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-94.svg)
Ta có: ∆1 = 9 – 4m
∆2 = 1 – 4m
Biện luận
– m ≤ 0: ![\[x = \frac{{3 - \sqrt {9 - 4m} }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-95.svg)
∨ ![\[x = \frac{{1 - \sqrt {1 - 4m} }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-96.svg)
– m > 0: Vô nghiệm
Loại 6. Phương trình có chứa căn thức
[content_6]
Dạng 1. Dạng cơ bản
Phương pháp giải
![\[\begin{gathered} \bullet \sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} A \geqslant 0{\text{ }}\left( {{\text{hay }}B \geqslant 0} \right) \hfill \\ A = B \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \bullet \sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} B \geqslant 0 \hfill \\ A = {B^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \bullet \sqrt[3]{A} = B \Leftrightarrow A = {B^3} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-97.svg)
Các dạng khác: – Đặt điều kiện cho ![\[\sqrt[{2n}]{A}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-98.svg)
là A ≥ 0, nâng cả hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử căn thức
Lưu ý:
![\[\begin{gathered} A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} AB \geqslant 0 \hfill \\ {A^{2n}} = {B^{2n}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ A = B \Leftrightarrow {A^{2n + 1}} = {B^{2n + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-99.svg)
– Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản
Bài tập vận dụng
Câu 1. Giải các phương trình sau
a) ![\[\sqrt {4 + 2x - {x^2}} = x - 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-100.svg)
b) ![\[\sqrt {25 - {x^2}} = x - 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-101.svg)
c) ![\[\sqrt {3{x^2} - 9x + 1} + 2 = x\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-102.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 2 \geqslant 0 \hfill \\ 4 + 2x - {x^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ {x^2} - 3x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ x = 0 \vee x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-103.svg)
b)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ 25 - {x^2} = x - 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 1 \hfill \\ 2{x^2} - 2x - 24 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 1 \hfill \\ x = 4 \vee x = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 4 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-104.svg)
c)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 2 \geqslant 0 \hfill \\ 3{x^2} - 9x + 1 = {\left( {x - 2} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ 2{x^2} - 5x - 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ x = 3 \vee x = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-105.svg)
Câu 2. Giải các phương trình:
a) ![\[x - \sqrt {2x + 3} = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-106.svg)
b) ![\[\sqrt {x + 4} - \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 - 2x} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-107.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \sqrt {2x + 3} = x \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ 2x + 3 = {x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x = - 1 \vee x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-108.svg)
b)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \sqrt {x + 4} = \sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 - x} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 4 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \hfill \\ x + 4 = 1 - x + 2\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 - 2x} \right)} + 1 - 2x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 4 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \hfill \\ \sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 - 2x} \right)} = 2x + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 4 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \hfill \\ x \geqslant - \frac{1}{2} \hfill \\ \left( {1 - x} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 4{x^2} + 4x + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \hfill \\ x = 0 \vee x = - \frac{7}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-109.svg)
Dạng 2. Nhiều căn bậc lẻ
Nâng lũy thừa:
![\[\begin{gathered} \sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{C} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow A + B + 3\sqrt[3]{{AB}}\left( {\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B}} \right) = C \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow A + B + 3\sqrt[3]{{AB}} \cdot \sqrt[3]{C} = C \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{{ABC}} = C - A - B \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 27ABC = {\left( {C - A - B} \right)^3} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-192.svg)
Câu 1. Giải phương trình
![\[\sqrt[3]{{2x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[3]{{3x + 1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-193.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
![\[\begin{gathered} \left( 1 \right) \Rightarrow 2x - 1 + x - 1 + 3\sqrt[3]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} \cdot \sqrt[3]{{x - 1}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ + 3\sqrt[3]{{2x - 1}} \cdot \sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 3x + 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3x - 2 + 3\sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 1}}} \right) = 3x + 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 1}}} \right) = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \sqrt[3]{{3x + 1}} = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right) = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 6{x^3} - 7{x^2} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0{\text{ }}\left( l \right) \hfill \\ x = \frac{7}{6}{\text{ }}\left( n \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = \frac{7}{6} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-194.svg)
Câu 2. Giải phương trình
![\[\sqrt[3]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 2}} = \sqrt[3]{{2x - 3}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-195.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
![\[\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow x - 1 + x - 2 + {\text{ }}3\sqrt[3]{{x - 1}} \cdot \sqrt[3]{{x - 2}}\left( {\sqrt[3]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 2}}} \right) = 2x - 3 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow 2x - 3 + 3\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \sqrt[3]{{2x - 3}} = 2x - 3 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ x = \frac{3}{2}{\text{ }}\left( l \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-196.svg)
Vậy x = 1; x = 2
Đặt ẩn phụ
Câu 1. Giải phương trình
![\[\sqrt[3]{{10 - x}} + \sqrt[3]{{x - 1}} = 3\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-197.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[u = \sqrt[3]{{10 - x}}{\text{, }}v = \sqrt[3]{{x - 1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-198.svg)
Ta có hệ ![\[\left\{ \begin{gathered} u + v = 3 \hfill \\ {u^3} + {v^3} = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-199.svg)
Đáp số: x = 9; x = 2
Dạng 3. Phương trình có cả căn bậc chẵn, cả căn bậc lẻ
⨂ Cách 1:
Làm mất căn lần 1: đặt 1 ẩn phụ.
Làm mất căn lần 2: nâng lũy thừa.
⨂ Cách 2: Đặt nhiều ẩn phụ.
Bài tập mẫu
Câu 1. Giải phương trình
![\[\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt x = 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-200.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt ![\[t = \sqrt x {\text{ }}\left( {t \geqslant 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-201.svg)
(1) trở thành ![\[\sqrt[3]{{{t^2} + 7}} = t + 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-202.svg)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow {t^2} + 7 = {t^3} + 3{t^2} + 3t + 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + 3t + 6} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-203.svg)
Đáp số: x = 1
Cách 2: Đặt ![\[\left\{ \begin{gathered} u = \sqrt[3]{{x + 7}} \hfill \\ v = \sqrt x \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-204.svg)
Ta có hệ ![\[\left\{ \begin{gathered} u - v = 1 \hfill \\ {u^3} - {v^2} = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-205.svg)
Câu 2. Giải phương trình
![\[\sqrt {x + 3} - \sqrt[3]{x} = 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-206.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt ![\[t = \sqrt[3]{x}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-207.svg)
(1) trở thành: ![\[\sqrt {{t^3} + 1} = t + 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-208.svg)
Cách 2: Đặt ![\[\left\{ \begin{gathered} u = \sqrt {x + 3} \hfill \\ v = \sqrt[3]{x} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-209.svg)
Ta có hệ ![\[\left\{ \begin{gathered} u - v = 1 \hfill \\ {u^2} - {v^3} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-210.svg)
Đáp số: x = 1; x = ![\[2\sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-211.svg)
Loại 7. Phương trình phức tạp
[content_7]
Phương pháp đặt ẩn số phụ
Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp.
Câu 1. Cho phương trình:
![\[\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) + 4\left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} = m\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-110.svg)
(1)
a) Giải phương trình với m = –3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[X = \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} \Rightarrow {x^2} = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-111.svg)
nên phương trình (1) đưa về: X2 + 4X – m = 0 (2)
a) Với m = –3 thì phương trình (2) trở thành
X2 + 4X + 3 = 0 ⇔ X = –1 ∨ X = –3
– Nếu
![\[\begin{gathered} X = - 1 \Leftrightarrow - 1 = \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < 3 \hfill \\ 1 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < 3 \hfill \\ {x^2} - 2x - 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < 3 \hfill \\ x = 1 \pm \sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-112.svg)
– Nếu
![\[\begin{gathered} X = - 3 \Leftrightarrow - 3 = \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < 3 \hfill \\ 9 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < 3 \hfill \\ {x^2} - 2x - 12 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < 3 \hfill \\ x = 1 \pm \sqrt {13} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt {13} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-113.svg)
b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ 4 + m ≥ 0 ⇔ m ≥ –4
Giả sử nghiệm là X0 thì ![\[\left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} = {X_0}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-114.svg)
– Nếu X0 = 0 thì x = –1
– Nếu X0 > 0 thì
![\[\left\{ \begin{gathered} x > 3 \hfill \\ \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = X_0^2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt {4 + X_0^2} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-115.svg)
– Nếu X0 < 0 thì
![\[\left\{ \begin{gathered} x < 3 \hfill \\ \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = X_0^2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt {4 + X_0^2} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-116.svg)
Vậy với m ≥ −4 thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm.
Câu 2. Giải phương trình
![\[\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} = 3\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-117.svg)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[X = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-118.svg)
Đưa về phương trình: X2 – 2X – 3 = 0
Câu 3. Giải phương trình
![\[{x^3} + 1 = 2\sqrt[3]{{2x - 1}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-119.svg)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[y = \sqrt[3]{{2x - 1}} \Leftrightarrow {y^3} + 1 = 2x\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-120.svg)
![\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^3} + 1 = 2y \hfill \\ {y^3} + 1 = 2x \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-121.svg)
Đáp số: x = 1; x = ![\[\frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-122.svg)
Câu 4. Giải bất phương trình
![\[5\sqrt x + \frac{5}{{2\sqrt x }} < 2x + \frac{1}{{2x}} + 4\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-123.svg)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[t = \sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-124.svg)
. Bất phương trình trở thành
![\[2{t^2} - 5t + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t > 2 \hfill \\ t < \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-125.svg)
Trường hợp 1: ![\[t > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x > \frac{3}{2} + \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 0 < x < \frac{3}{2} - \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-126.svg)
Trường hợp 2: ![\[t < \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-127.svg)
. Bất phương trình vô nghiệm.
Câu 5. Giải phương trình
![\[ - 4\sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {2 + x} \right)} = {x^2} - 2x - 8\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-128.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[t = \sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {2 + x} \right)} {\text{ }}\left( {t \geqslant 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-129.svg)
(1) trở thành ![\[ - 4t = - {t^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 0 \hfill \\ t = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-130.svg)
⨂ Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại cả ẩn x cũ, khi đó ta sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc coi x là ẩn thứ 2 (cùng với t) trong 1 hệ phương trình. Cụ thể:
Nếu phương trình mới (ẩn t, tham số x) có biệt thức Δchính phương (Δ = g2(x), g(x) là một đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x; nếu phương trình là phương trình đẳng cấp (của x và t) thì đặt x = ty.
Câu 6. Giải phương trình
![\[\left( {4x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2{x^2} + 2x + 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-131.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[t = \sqrt {{x^2} + 1} {\text{ }}\left( {t \geqslant 1} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-132.svg)
(1) trở thành (4x – 1)t = 2t2 + 2x – 1
∆ = (4x – 3)2 (chính phương)
![\[ \Rightarrow t = \frac{{\left( {4x - 1} \right) \pm \left( {4x - 3} \right)}}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt {{x^2} + 1} = \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \sqrt {{x^2} + 1} = 2x - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-133.svg)
Câu 7. Giải phương trình
![\[2{x^2} - 3x + 2 = x\sqrt {3x - 2} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-134.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[t = \sqrt {3x - 2} {\text{ }}\left( {t \geqslant 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-135.svg)
(1) trở thành t2 + xt – 2x2 = 0
Cách 1: Δ = 9x2 (chính phương)
![\[ \Rightarrow t = \frac{{ - x \pm 3x}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt {3x - 2} = x \hfill \\ \sqrt {3x - 2} = - 2x \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-136.svg)
Cách 2: phương trình đẳng cấp ⇒ đặt x = ty
t2 + yt2 – 2y2t2 = 0 ⇔ t2(1 + y – 2y2) =0
Câu 8. Giải phương trình
![\[2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = {x^2} - 2x - 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-137.svg)
⨂ Nếu phương trình mới không phải đẳng cấp và Δ cũng không chính phương thì coi t và x là 2 ẩn của 1 hệ phương trình.
Câu 9. Giải phương trình
![\[{x^2} + \sqrt {x + 5} = 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-138.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[t = \sqrt {x + 5} {\text{ }}\left( {t \geqslant 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-139.svg)
Ta có hệ phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} {x^2} + t = 5 \hfill \\ {t^2} = x + 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-140.svg)
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được:
![\[\begin{gathered} \left( {t + x} \right)\left( {x - t + 1} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = - x \hfill \\ t = x + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt {x + 5} = - x \hfill \\ \sqrt {x + 5} = x + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-141.svg)
Câu 10. Giải phương trình
![\[{x^2} + 4x = \sqrt {x + 6} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-142.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
– Nếu đặt ![\[t = \sqrt {x + 6} {\text{ }}\left( {t \geqslant 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-143.svg)
ta được hệ ![\[\left\{ \begin{gathered} {x^2} + 4x = t \hfill \\ {t^2} = x + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-144.svg)
→ khó khăn
– Ta dự kiến đặt ![\[\sqrt {x + 6} = at + b\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-145.svg)
để đưa về hệ phương trình đối xứng
Ta có hệ phương trình:
![\[\left\{ \begin{gathered} {x^2} + 4x = at + b \hfill \\ {a^2}{t^2} + 2abt = x + 6 - {b^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-146.svg)
Hệ này đối xứng nếu
![\[\left\{ \begin{gathered} {a^2} = 1 \hfill \\ 2ab = 4 \hfill \\ a = 1 \hfill \\ b = 6 - {b^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-147.svg)
Như vậy ta đặt ![\[t + 2 = \sqrt {x + 6} {\text{ }}\left( {t \geqslant - 2} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-148.svg)
Khi đó có hệ phương trình đối xứng:
![\[\left\{ \begin{gathered} {x^2} + 4x = t + 2 \hfill \\ {t^2} + 4t = x + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-149.svg)
Đáp số: ![\[x = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2};x = \frac{{ - 5 + \sqrt {13} }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-150.svg)
Câu 11. Giải phương trình
![\[7{x^2} + 7x = \sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} {\text{ }}\left( {x > 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-151.svg)
Hướng dẫn giải
Dự đoán đặt ![\[\sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} = at + b\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-152.svg)
ta tìm được a = 1; b = để có hệ phương trình đối xứng.
Như vậy sẽ đặt ![\[t + \frac{1}{2} = \sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-153.svg)
Câu 12. Giải phương trình
![\[\sqrt {\frac{x}{{x - 1}}} + \sqrt {\frac{{x - 1}}{x}} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-154.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[t = \sqrt {\frac{x}{{x - 1}}} \Rightarrow \sqrt {\frac{{x - 1}}{x}} = \frac{1}{t}{\text{ }}\left( {t > 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-155.svg)
(1) trở thành: ![\[t + \frac{1}{t} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-156.svg)
![\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 {t^2} - 3t + \sqrt 2 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-157.svg)
Câu 13. Giải phương trình
![\[\sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} + \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-158.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-159.svg)
![\[ \Rightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = \frac{{{t^2} - 5}}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-160.svg)
(1) trở thành: ![\[t + \frac{{{t^2} - 5}}{2} = 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-161.svg)
Câu 14. Giải phương trình
![\[\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {7 + x\left( {1 + x} \right)} = 3 + \sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-162.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[t = \sqrt {{x^2} + x} {\text{ }}\left( {t \geqslant 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-163.svg)
(1) trở thành: ![\[t + \sqrt {{t^2} + 7} = 3 + \sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-164.svg)
![\[ \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 7} = 3 + \sqrt 2 - t\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-165.svg)
(dạng 1 căn)
![\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3 + \sqrt 2 \geqslant 0 \hfill \\ {t^2} + 7 = {\left( {3 + \sqrt 2 - t} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-166.svg)
Câu 15. Giải phương trình
![\[\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {{x^2} + x + 7} = 3 + \sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-167.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[\left\{ \begin{gathered} u = \sqrt {{x^2} + x} \hfill \\ v = \sqrt {{x^2} + x + 7} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-168.svg)
(1) trở thành: ![\[u + v = 3 + \sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-169.svg)
Ta có hệ phương trình
![\[\left\{ \begin{gathered} u + v = 3 + \sqrt 2 \hfill \\ {v^2} - {u^2} = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-170.svg)
Câu 16. Giải phương trình
![\[3\left( {2 + \sqrt {x - 2} } \right) = 2x + \sqrt {x + 6} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-171.svg)
Hướng dẫn giải
Đặt ![\[\left\{ \begin{gathered} u = \sqrt {x - 2} \hfill \\ v = \sqrt {x + 6} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-172.svg)
Áp dụng bất đẳng thức
Một số bài tập mẫu
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ![\[y = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-173.svg)
và áp dụng để giải phương trình:
![\[\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = {x^2} - 6x + 11\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-173a.svg)
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức: 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2. Ta có:
![\[2\left( {x - 2 + 4 - x} \right) \geqslant {\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} } \right)^2} \Rightarrow 2 \geqslant y\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-174.svg)
Do đó y lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi:
![\[\sqrt {x - 2} = \sqrt {4 - x} \Leftrightarrow x = 3\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-175.svg)
Mặt khác: x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 + 2 ≥ 2, ∀x nên:
![\[\begin{gathered} \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = {x^2} - 6x + 11 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = 2 \hfill \\ {x^2} - 6x + 11 = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-176.svg)
Câu 2. Giải phương trình
![\[3\sqrt x + \frac{1}{x} = 4\sqrt[8]{x}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-177.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Miền XĐ: x > 0. Ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{\begin{gathered} \hfill \\ 3\sqrt x + \frac{1}{x} \hfill \\ \end{gathered} }{4} \hfill \\ = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \sqrt x + \sqrt x + \sqrt x + \sqrt x + \sqrt x + \sqrt x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \hfill \\ \end{gathered} }{8} \hfill \\ \hfill \\ \geqslant \sqrt[8]{x}{\text{ }}\left( 2 \right),\forall x > 0{\text{ }}\left( {B\rlap{--} DT{\text{ Cosi}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-178.svg)
Vậy (1) ⇔ dấu “=” ở (2) xảy ra ![\[ \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-179.svg)
Câu 3. Giải phương trình
(1)
Hướng dẫn giải
Cách 1:
[VT (1)]2 ≥ (12 + 12)(x – 2 + 4 – x) = 4 (BĐT Bunhiacopxki)
⇒ VT ≤ 2
VP (1) = (x − 3)2 + 2 ≥ 2.
Vậy ![\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\text{VT}}\left( 1 \right) = 2 \hfill \\ {\text{VP}}\left( 1 \right) = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-181.svg)
![\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{\sqrt {x - 2} }}{1} = \frac{{\sqrt {4 - x} }}{1} \hfill \\ x - 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-182.svg)
Cách 2:
Đặt ![\[{\text{A}} = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-183.svg)
![\[\begin{gathered} {{\text{A}}^2} = 2 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {4 - x} \right)} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {{\text{A}}^2} \leqslant 2 + \left( {x - 2} \right) + \left( {4 - x} \right){\text{ }}\left( {B\rlap{--} DT{\text{ Cosi}}} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {{\text{A}}^2} \leqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-184.svg)
⇒ VT ≤ 2 với 2 ≤ x ≤ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x – 2 = 4 – x ⇔ x = 3
Mặt khác VP = x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 + 2 ≥ 2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3
Suy ra phương trình đã cho tương đương với hệ
![\[\left\{ \begin{gathered} \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = 2 \hfill \\ {x^2} - 6x + 11 = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-185.svg)
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình
Câu 4. Giải phương trình
![\[\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} + \sqrt {{x^2} - 3x + 4} = \sqrt {{x^2} - 2} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-186.svg)
![\[ + {\text{ }}\sqrt {3{x^2} - 5x - 1} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-186a.svg)
(1)
Hướng dẫn giải
Viết ![\[\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1 - 2\left( {x - 2} \right)} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-187.svg)
![\[\sqrt {{x^2} - 3x + 4} = \sqrt {{x^2} - 2 - 3\left( {x - 2} \right)} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-188.svg)
Vậy ![\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 2 = 0 \hfill \\ {x^2} - 2 \geqslant 0 \hfill \\ 3{x^2} - 5x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-189.svg)
Câu 5. Giải phương trình
![\[\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + \sqrt {5{x^2} + 10x + 14} = 4 - 2x - {x^2}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-190.svg)
Hướng dẫn giải
![\[\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {5{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} = 5 - {\left( {x + 1} \right)^2} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {\text{VT}}\left( 1 \right) \geqslant 5,{\text{VP}}\left( 1 \right) \leqslant 5,\forall x \hfill \\ \hfill \\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\text{VT}}\left( 1 \right) = 5 \hfill \\ {\text{VP}}\left( 1 \right) = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/04/phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai-191.svg)
Vậy x = –1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
