21 dạng toán về Phương trình mặt phẳng trong không gian - Edu

Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết lý thuyết và hơn 20 dạng bài tập phương trình mặt phẳng trong không gian. Với mỗi dạng bài đều sẽ có phương pháp giải chi tiết và bài tập vận dụng có hướng dẫn giải. Từ đó, giúp độc giả nhanh chóng hiểu cũng như ứng dụng vào các dạng bài tập tương tự.

Tổng quan lý thuyết

[content_1]

Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và khi đó tích có hướng của 2 vectơ và là một vectơ kí hiệu là và có tọa độ

cùng phương

Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi

A, B, C, D tạo thành tứ diện

Diện tích hình bình hành ABCD:

Diện tích tam giác ABC:

Thể tích hình hộp:

Thể tích hình tứ diện:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa: Cho mặt phẳng (α). Nếu khác và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của (α).

Chú ý: Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì với k ≠ 0, cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Khái niệm 1: Hai vectơ đều khác và không cùng phương với nhau được gọi là cặp vectơ chỉ phương của (α) nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên (α).

Khái niệm 2: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ không cùng phương và . Khi đó vectơ được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ , kí hiệu hoặc

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian

Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax + By + Cx + D = 0 trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Chú ý:

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀(x₀, y_0,z₀) nhận vectơ khác làm vectơ pháp tuyến là A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

Xem thêm

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Sự đồng phẳng của ba vectơ, bốn điểm đồng phẳng

[content_2]

Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ đều khác vectơ

– Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi

– Ngược lại, ba vectơ không đồng phẳng khi và chỉ khi

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt

– Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi các vectơ đồng phẳng hay = 0

– Ngược lại, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi các vectơ không đồng phẳng hay

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, xét sự đồng phẳng của các vectơ sau:

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vì nên ba vectơ không đồng phẳng

b) Ta có:

Vì nên ba vectơ đồng phẳng

Câu 2. Trong không gian Oxyz, xét sự đồng phẳng của các điểm sau đây:

a) A(−4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; −1) và D(7; −2; 3)

b) M(6; −2; 3), N(0; 1; 6), P(2; 0; −1) và Q(4; 1; 0)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Khi đó

Vì nên các vectơ đồng phẳng hay bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

b) Ta có:

Khi đó

Vì nên các vectơ không đồng phẳng hay bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm A(1; −4; 5); B(2; 1; 0) và hai vectơ . Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện.

Hướng dẫn giải

Ta có: A(1; −4; 5), B(2; 1; 0), C(−2; −1; 1) và D(−3 ; 0 ; −2)

Lại có

Vì nên A, B, C, D không đồng phẳng hay ABCD là một tứ diện

Câu 4. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ . Tìm giá trị của m để ba vectơ đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ba vectơ đồng phẳng khi:

(m – 2) (2m + 1) + 2(−m² – m + 2) = 0

⇔ −5m + 2 = 0 ⇔

Vậy là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 5. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ với

Hướng dẫn giải

Ta có:

Do đó không đồng phẳng

Câu 6. Tìm m để các vectơ đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Ta có

đồng phẳng khi

Câu 7. Xét sự đồng phẳng của các điểm A = (0; 2; 5); B = (−1; −3; 3); C = (2; −5; 1); D = (8; 0; 2)

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy A, B, C, D không đồng phẳng.

Câu 8. Tìm m để các A = (−2; 2; 1); B = (3; 0; 2); C = (2; −4; 1); D = (7; m + 3; 2) đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Ta có

Vậy A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi m = –18

Câu 9. Cho các điểm A = (2; 5; −1); B = (5; 0; 1); C = (1; −4; 0); D = (2; 3; −2). Chứng minh rằng AB và CD chéo nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có

Vậy A, B, C, D không đồng phẳng. Do đó AB và CD chéo nhau.

Dạng 2. Diện tích của tam giác

[content_3]

Phương pháp giải

Sử dụng công thức

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian cho và A’(4; 1; −7)

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác A’BC

Hướng dẫn giải

Từ đề bài ta có A(2; 1; −3), B(4; 3; −2) ; C(6; −4; −1)

a) Ta có

Vậy diện tích tam giác ABC là

b) Ta có

Vậy diện tích tam giác A’BC là

Dạng 3. Thể tích khối chóp

[content_4]

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện ABCD là

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian Oxyz cho A(3; −2; 1); B(−1; 0; 2); C(3; 4; −5); D(0; 0; 1). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta có

Vậy

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các đỉnh của khối chóp có tọa độ là A(2; 1; –3) ; B = (4; 3; −2); C(6; −4; −1); S(2; 1; −5). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta có . Mà:

Vậy

Dạng 4. Thể tích khối hộp

[content_5]

Phương pháp giải

Áp dụng công thức sau tính thể tích hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là

Bài tập vận dụng

Đề bài: Trong không gian Oxyz cho các điểm B(1; 3; 1) ; C(0; 1; −1) ; D(−2; 0; 1) ; A’(2; 1; 1). Tính thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’.

Hướng dẫn giải

Gọi thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’ là V

Vậy

Vì ABCD là hình bình hành nên . Mà

Vậy

Dạng 5. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước

[content_6]

Phương pháp giải

Cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến là

Khi đó (α): A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

Bài tập vận dụng

Câu 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến .

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình mặt phẳng (P) là:

−1.(x −3) + 1.(y – 1) + 2.(z – 1) = 0 ⇔ −x + y + 2z = 0 ⇔ x – y − 2z = 0

Dạng 6. Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

[content_7]

Phương pháp giải

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm của AB và có vectơ pháp tuyến

Bài tập vận dụng

Câu 1. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 1) và B(2; −1; −1)

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB, khi đó

Mặt khác ta có

Vậy mặt phẳng trung trực đi qua điểm I(2; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là

0.(x − 2) – 2.(y – 0) – 2.(z − 0) = 0 ⇔ y + z = 0

Dạng 7. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp vectơ chỉ phương cho trước

[content_8]

Phương pháp giải

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Bài tập vận dụng

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; −3) và có cặp vectơ chỉ phương

Hướng dẫn giải

Ta có vectơ pháp tuyến của (α) là

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; −3) và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là

−5.(x − 1) + 8.(y – 2) + 1.(z + 3) = 0 ⇔ 5x – 8y – z + 8 = 0

Dạng 8. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song mặt phẳng cho trước

[content_9]

Phương pháp giải

Cho điểm M(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và song song với (β)

Khi đó vectơ pháp tuyến của (α) là

Bài tập vận dụng

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; −2; 1) và song song với mặt phẳng (β): 2x – y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy phương trình mặt phẳng (α) là

2.(x – 1) – 1.(y + 2) + 0.(z – 1) = 0 ⇔ 2x – y – 4 = 0

Dạng 9. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng

[content_10]

Phương pháp giải

Cho ba điểm A, B, C phân biệt không thẳng hàng

Khi đó mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là

Bài tập vận dụng

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) có A(1; −2; 4), B(3; 2; −1) và C(−2; 1; −3)

Hướng dẫn giải

Ta có

Do đó . Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là

−13.(x – 1) + 29.(y + 2) + 18.(z – 4) = 0 ⇔ 13x – 29y – 18z + 1 = 0

Dạng 10. Lập phương trình mặt phẳng di qua một điểm và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

[content_1]

Phương pháp giải

Cho điểm M và đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A, B

Khi đó mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d có

Bài tập vận dụng

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; −2; 4) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm A(3;2; −1) ; B(−2; 1; −3).

Hướng dẫn giải

Ta có

Vậy phương trình mặt phẳng (α) là

−5.(x – 1) – 1.(y + 2) – 2.(z – 4) = 0 ⇔ 5x + y + 2z – 11 = 0

Dạng 11. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước

[content_2]

Phương pháp giải

Cho điểm M và hai mặt phẳng cắt nhau (β) và (γ).

Khi đó mặt phẳng (α) đi qua điểm M, vuông góc với mặt phẳng (β) và (γ) có

Bài tập vận dụng

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; –1) và vuông góc với hai mặt phẳng (β): x + y – 2z + 1 = 0; (γ): 2x – y + z = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có

Do đó

Vậy phương trình mặt phẳng (α) là

–1.(x – 1) – 5.(y – 2) – 3.(z + 1) = 0 ⇔ x + 5y + 3z – 8 = 0

Dạng 12. Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng cắt nhau cho trước

[content_3]

Phương pháp giải

Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (β).

Khi đó mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) có

Bài tập vận dụng

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(3; 1; –1); B(2; –1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (β): 2x – y + 3z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có

Do đó

Vậy phương trình mặt phẳng (α) là

–1.(x – 3) + 13.(y – 1) + 5.(z + 1) = 0 ⇔ x – 13y – 5z + 5 = 0

Dạng 13. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm cho trước

[content_4]

Phương pháp giải

Cho mặt cầu (S) có tâm I

Khi đó mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H có

Bài tập vận dụng

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – 3)² + (y – 1)² + (z + 2)² = 24 tại điểm M(–1; 3; 0).

Hướng dẫn giải

Ta có tâm của mặt cầu (S) là I(3; 1; –2)

Khi đó

Vậy phương trình mặt phẳng (α) là

–4.(x + 1) + 2.(y – 3) + 2.(z – 0) = 0 ⇔ 2x – y – z + 5 = 0

Dạng 14. Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách

[content_5]

Phương pháp giải

Kiến thức cần nhớ

– Khoảng cách từ điểm đến mặt.

– Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu.

Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 2z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x – 4y – 2z – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(–1; 2; 1) và bán kính

Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:

x + 2y – 2z + D = 0, D ≠ 1

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên

Vậy có hai mặt phẳng thảo mãn yêu cầu bài toán: x + 2y – 2z – 10 = 0 và x + 2y – 2z + 8 = 0

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x²+ y²+ z² −2x + 6y – 4z – 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của vectơ , vuông góc với mặt phẳng (α): x + 4y + z – 11 = 0 và tiếp xúc với (S).

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là

Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

Phương trình của (P) có dạng: 2x – y + 2z + m = 0

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 3 = 0 hoặc (P): 2x – y + 2z – 21 = 0

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x²+ y²+ z² + 2x – 4y – 4 = 0 và mặt phẳng (P): x + z – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3; 1; –1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M có dạng:

A.(x – 3) + B.(y – 1) + C.(z + 1) = 0; A²+ B²+ C² ≠ 0

Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) ⇔ (*)

Mặt khác (Q) ⊥ (P) ⇔ (**)

Từ (*), (**) ⇒

Với A = 2B, chọn B = 1; A = 2; C = –2 suy ra phương trình mặt phẳng (Q): 2x + y – 2z – 9 = 0

Với 7A = – 4B, chọn B = –7; A = 4; C = –4 suy ra phương trình mặt phẳng (Q): 4x – 7y – 4z – 9 = 0

Câu hỏi tương tự:

Với (S): x²+ y²+ z² – 2x + 4y + 5 = 0; (P): 2x + y – 6z + 5 = 0; M(1; 1; 2)

ĐS: (Q): 2x + 2y + z – 6 = 0 hoặc (Q): 11x – 10y + 2z – 5 = 0

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x²+ y²+ z² – 2x + 4y – 2z – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3.

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3

Mặt phẳng (P) chứa Ox, nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: ay + bz = 0

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.

Suy ra: –2a – b = 0 ⇔ b = –2a (a ≠ 0) ⇒ (P): y – 2z = 0

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x²+ y²+ z² + 2x – 2y + 2z –1 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x – y – 2 = 0; 2x – z – 6 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 1.

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(–1; 1; –1), bán kính R = 2

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

ax + by + cz + d = 0, (a²+ b²+ c² ≠ 0)

Chọn M(2; 0; −2); N(3; 1; 0) ∈ d

Ta có

Với (1) ⇒ (P): x + y – z – 4 = 0

Với (2) ⇒ (P): 7x – 17y + 5z – 4 = 0

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x²+ y²+ z² – 2x + 4y – 6z – 11 = 0 và mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 2p = 6π.

Hướng dẫn giải

Do (α) // (β) nên mặt phẳng (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (với D ≠ 17)

Mặt cầu (S) có tâm I(1; – 2; 3), bán kính R = 5

Đường tròn giao tuyến có chu vi 6π nên có bán kính r = 3.

Khoảng cách từ I tới (β) là

Do đó

Vậy (β) có phương trình: 2x + 2y – z – 7 = 0

Câu hỏi tương tự:

Mặt cầu (S): x²+ y²+ z² + 2x + 4y – 6z – 11 = 0 và (α): 2x + y – 2z + 19 = 0 ; p = 8π

ĐS: (β): 2x + y – 2z + 1 = 0

Dạng 15. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

[content_6]

Câu 1. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng .

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng

Vì mặt phẳng (ABC) ⊥ (P) ⇒

Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC): bx + y + z – b = 0

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC): x + 2y + 2z = 1

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và (Q): x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng .

Hướng dẫn giải

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (Q) lần lượt là

Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Suy ra phương trình mặt phẳng (R) có dạng x – z + m = 0

Ta có

Vậy (R): x – x ± 2 = 0

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 2z + 1 = 0 và cách (Q) một khoảng bằng 3.

Hướng dẫn giải

Trên mặt phẳng (Q): x + 2y – 2z + 1 = 0 chọn điểm M(–1; 0; 0)

Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:

x + 2y – 2z + D = 0; D ≠ 1

Vì

Vậy có hai mặt phẳng thõa mãn yêu cầu bài toán: x + 2y – 2z – 8 = 0 và x + 2y – 2z + 10 = 0

Câu 4. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình (P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) và một khoảng bằng .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với A²+ B²+ C² ≠ 0)

Vì (P) ⊥ (Q) nên 1․A + 1․B + 1․C = 0 ⇔ C = –A – B (1)

(2)

Từ (1) và (2) ta được:

Từ (3): B = 0 ⇒ C = –A chọn A = 1 ⇒ C = –1. Do đó (P): x – z = 0

Từ (4): 8A + 5B = 0 chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = 3. Do đó (P): 5x – 8y + 3z = 0

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình : x²+ y²+ z² – 4x – 4y – 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB) biết B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

Hướng dẫn giải

Gọi B(a, b, c). Vì tam giác OAB dều nên ta có hệ

Mà B ∈ (S) nên: a²+ b²+ c² – 4a – 4b – 4c = 0

⇔ (4 – b)² + b² + 16 – 2b² + 8b – 4(4 – b) – 4b – 4c = 0 ⇔ c = 4

⇔

Do đó B(4; 0; 4) hoặc B(0; 4; 4).

Với B(4; 0; 4) ta có nên phương trình (OAB): x – y + z = 0

Với B(0; 4; 4) ta có nên phương trình (OAB): x – y – z = 0

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0; – 1; 2) và N(– 1; 1; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0; 0; 2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

Ax + B(y + 1) + C(z – 2) = 0 ⇔ Ax + By + Cz + B – 2C = 0 với (A²+ B²+ C² ≠ 0)

Vì N(–1; 1; 3) ∈ (P) ⇔ –A + B + 3C + B – 2C = 0 ⇔ A = 2B + C

⇒ (P): (2B + C)x + By + Cz + B – 2C = 0

Lại có

Nếu B =0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)

Nếu B ≠ 0 thì

Dấu “=” xảy ra khi B = – C = 1. Khi đó phương trình mặt phẳng (P): x + yz + 3 = 0

Dạng 16. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác

[content_7]

Phương pháp giải

Giải bài toán viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác thường phải sử dụng công thức góc giữa hai mặt phẳng và phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn dưới đây:

– Giả sử (α): Ax + By + Cz + D = 0 và (β): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 có các vectơ pháp tuyến tương ứng là và . Khi đó góc α giữa hai mặt phẳng (α) và (β) được tính theo công thức:

– Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) (với abc ≠ 0) có dạng

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x – y + 3z – 5 = 0 và A(3; –2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với (α).

Hướng dẫn giải

(P) // (α) ⇒ là vectơ pháp tuyến của (P).

Suy ra phương trình của (P) là 2(x – 3) – 1(y + 2) + 3(z – 1) = 0 ⇔ 2x – y + 3z – 11 = 0

Câu 2. Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; –1), B(2; –1; 4) và (α): x – 2y + 3z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (α)

Hướng dẫn giải

(α) có vectơ pháp tuyến

Suy ra (β) có một vectơ pháp tuyến và đi qua A (3; 1; – 1)

Vậy phương trình của (β): 1(x – 3) + 2(y – 1) + 1(z + 1) = 0 ⇔ x + 2y + z – 4 = 0

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Ox và tạo với mặt phẳng (P): một góc bằng 60°

Hướng dẫn giải

Vectơ pháp tuyến của (P) là , vectơ đơn vị của Ox là

Giả sử , a² + b² + c² ≠ 0 là vectơ pháp tuyến của (α)

(α) chứa Ox ⇒ . Suy ra

(α) tạo với (P) một góc 60°

Với c = 0 ⇒ b = 0 (loại do a²+ b²+ c² ≠ 0)

Với c ≠ 0, chia hai vế phương trình cho c², ta được

TH1: , chọn b = 3, c = 1 ⇒ . Suy ra phương trình của (α): 3y + z = 0

TH2: , chọn b = 1, c = –3 ⇒ . Suy ra phương trình của (α): y – 3z = 0

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): 5x – 2y + 5z – 1= 0 và (Q): x – 4y – 8z + 12 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc 45°.

Hướng dẫn giải

(P) có vectơ pháp tuyến là

(Q) có vectơ pháp tuyến là

Gọi , a² + b² + c² ≠ 0 là vectơ pháp tuyến của (α)

(α) ⊥ (P) ⇒ (*)

(α) tạo với (Q) góc 45°

Thế (*) vào phương trình trên ta có:

Nếu c = 0 ⇒ a = 0 ⇒ b = 0 (loại a²+ b²+ c² ≠ 0)

Nếu c ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình cho c², ta được

Với , chọn a = 1, c = –1 ⇒ b = 0 ⇒

(α) qua O(0; 0; 0) ⇒ (α): x – z = 0

Với , chọn a = 1, c = 7 ⇒ b = 20 ⇒

(α) qua O(0; 0; 0) ⇒ (α): x + 20y + 7z = 0

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(3; 0; 0), C(0; 0; 1) và cắt trục Oy tại điểm B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng

Hướng dẫn giải

B ∈ Oy ⇒ B(0; b; 0)

Nếu b = 0 ⇒ B ≡ 0 ⇒ S_∆ABC = (trái với giả thiết). Vậy b ≠ 0.

Suy ra (α):

Ta có:

Suy ra

Do đó

Vậy hoặc

Dạng 17. Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng

[content_8]

Phương pháp giải

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Giả sử mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0;0; c)

(P) cắt tia Ox ⇒ a > 0, (P) cắt tia đối của tia Ox ⇒ a < 0

OA = |a|; OB = |b|; OC = |c|

Một số bất đẳng thức cơ bản

Bất đẳng thức Cauchy

Cho 2 số thực không âm x, y. Khi đó . Dấu bằng xảy ra khi x = y.

Cho 3 số thực không âm x, y, z. Khi đó . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.

Bất đẳng thức B–C–S (Bunyakovski)

Cho các số thực x, y, z, a, b, c. Khi đó

(ax + by + cz)² ≤ (a²+ b²+ c²) (x²+ y²+ z²).

Dấu bằng xảy ra khi

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 2; 1); N(−1; 0; −1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác gốc tọa độ O sao cho .

Hướng dẫn giải

Giả sử (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

Vì (P) đi qua M, N nên

Mặt khác

Với

Với (vô nghiệm)

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B(0; 3; 0), M(4; 0; –3). Viết phương trình mặt phẳng (P) chưa B, M và cắt các tia Ox, Oz lần lượt tại A, C sao cho thể tích khối tứ diện OABC bằng 3.

Hướng dẫn giải

Gọi A(a; 0; 0) ∈ Ox, C(0; 0; c) ∈ Oz. Vì (P) cắt các tia Ox, Oz nên a, c > 0.

Vì B(0; 3; 0) ∈ Oy nên phương tình mặt phẳng theo đoạn chắn

Vì M(4; 0; –3) ∈ (P) nên (1)

Thể tích tứ diện OABC là

Theo giải thiết V = 3 ⇔ ac = 6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 4; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho 4OA = 2OB = OC.

Hướng dẫn giải

Gải sử (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Vì 4OA = 2OB = OC nên

Phương trình mặt phẳng (P) là

Vì M(2; 4; 1) ∈ (P) nên

⇒ (P): 4x + 2y + z – 17 = 0

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt A, B, C sao cho biểu thức có giá trị nhỏ nhất. Viết phương trình mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng .

Vì M(1; 2; 3) ∈ (P) ⇒

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức B–C–S, ta có:

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy phương trình mặt phẳng (P): x + 2y + 3z – 14 = 0.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M(1; 4; 9), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất. Viết phương trình mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Suy ra OA = a, OB = b, OC = c

Phương tình mặt phẳng (P) có dạng

Vì M(1; 4; 9) ∈ (P)

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy phương trình mặt phẳng (P): 6x + 3y + 2z – 36= 0.

Dạng 18. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

[content_9]

Phương pháp giải

Cho hai mặt phẳng (P₁): A₁x + B₁y + C₁z + D₁= 0 và A₂x + B₂y + C₂z + D₂= 0

Khi đó ta có ba trường hợp

(P₁) ≡ (P₂) ⇔

(P₁) // (P₂) ⇔

(P₁) cắt (P₂) ⇔ A₁ : B₁ : C₁≠ A₂ : B₂ : C₂

Lưu ý: A₁.A₂ + B₁ B₂ + C₁ C₂= 0 ⇔ (P₁) ⊥ (P₂).

Bài tập vận dụng

Câu 1. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P): x + y + z – 1= 0 và (Q): 2x – 1 = 0

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có:

Ta thấy ⇒ (P) cắt (Q)

Cách 2:

Ta thấy (P) luôn cắt các mặt phẳng tọa độ, mặt khác mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (Oyz)

Vậy (P) và (Q) cắt nhau.

Câu 2. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0 và (Q): x – y – z + 2 = 0

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có:

Ta thấy ⇒ (P) cắt (Q)

Cách 2:

Ta thấy ⇒ (P) ⊥ (Q) ⇒ (P) cắt (Q).

Câu 3. Cho (P): (m + 1)x + (n + 3)y + 2z – 1 = 0 và (Q) x + 2y + z + 3 = 0. Tìm m, n ∈ ℝ để (P) song song với (Q).

Hướng dẫn giải

Ta có (P) // (Q) ⇔

Câu 4. Cho (P): (m + 2n)x + (2n² + 3)y + z – 8 = 0 và (Q): x – my + (n² – 5m + 15)z – 3 = 0. Chứng tỏ (P) và (Q) cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Xét m = 0

Khi đó ta có

⇒ (P) cắt (Q)

Xét m ≠ 0

Ta thấy

⇔ m² + 2n․m + 2n² + 3 = 0 ⇔ (m + n)² + n² + 3 = 0 (vô lý).

Vậy (P) luôn cắt (Q).

Câu 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Vì (P) // (Q) nên ta có (P): x +2y – 3z + m = 0, m ≠ 3

Ta có A(1 ; 2 ; 3) ∈ (P) ⇒ m = – 3 ≠ 3

Vậy (P): x + 2y – 3z – 3 = 0

Dạng 19. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

[content_10]

Phương pháp giải

Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P). Ta có ba trường hợp

– d(I, (P)) = R ⇔ (P) tiếp xúc (S).

– d(I, (P)) < R ⇔ (P) cắt (S) theo đường tròn (𝒞)

– d(I, (P)) > R ⇔ (P) không cắt (S).

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 16 và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 1 = 0. Xác định vị trí tương đối của (S) và (P).

Hướng dẫn giải

Ta thấy mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 4

Ta có

Vậy mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).

Câu 2. Cho (P): 3x + 4y + 4 = 0 và A(1; 2; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (P) theo đường tròn giao tuyến (C) có chu vi bằng 8π.

Hướng dẫn giải

Ta có chu vi đường tròn (C) bằng 8π ⇒ bán kính đường tròn (C) bằng 4.

Ta có

Ta có bán kính mặt cầu

Vậy (S): (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 5²

Câu 3. Cho mặt phẳng (P) : x + y + 2z + 3 = 0 và (Q) : 2x – y – z + 3 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành,đồng thời giao tuyến của (S) với các mặt phẳng (P), (Q) là các đường tròn có bán kính lần lượt là , r. Xác định r sao cho có đúng một mặt cầu thõa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Gọi I(m; 0; 0) ∈ Ox là tâm mặt cầu (S).

Ta có

Vì có đúng một mặt thỏa mãn bài toán nên (*) phải có nghiệm duy nhất.

Vậy r = 4.

Câu 4. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0, C(0; 0; c); a, b, c > 0 thõa mãn a + 2b + 3c =4. Xác định phương trình mặt phẳng chứa đường tròn lớn của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABC độc lập với a, b, c.

Hướng dẫn giải

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam diện vuông OABC.

Ta có

⇒ I ∈ (α): x + 2y + 3x – 2 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm (α) x + 2y + 3z – 2 =0

Dạng 20. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng

[content_1]

Phương pháp giải

– Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 là

– Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Chọn một điểm trên mặt phẳng (cho y = z = 0). Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng kia.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z =0 và điểm M(1; 2; 3). Tính khoảng cách từ M đến (P).

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0, C(0; 0; 3). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng

Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) là

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P): x +2y – 2z + 7 = 0 và (Q): x + 2y – 2z – 4 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Hướng dẫn giải

Lấy điểm M(0; 0; –2) ∈ (Q)

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm điểm thuộc trục Ox sao cho khoảng cách đến mặt phẳng (α): x – y + z + 1 = 0 bằng

Hướng dẫn giải

Gọi M(a; 0; 0) ∈ Ox

Vậy M(2; 0; 0) hoặc M(–4; 0; 0)

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm điểm thuộc trục Oy cách đều điểm A(1; 1; −1) và mặt phẳng (α): x + y + z – 5 = 0

Hướng dẫn giải

Gọi M(0; b; 0) ∈ Oy

Vậy M(0; 2; 0) hoặc M(0; −4; 0).

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Biết b, c > 0, phương trình mặt phẳng (P): y − z + 1 = 0. Biết rằng mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng . Tìm tọa độ các điểm B và C.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (ABC)có dạng

Giải hệ ta được

Vậy

Dạng 21. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng. Điểm đối xứng qua mặt phẳng

[content_2]

Phương pháp giải

– Để tình hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (P):

Gọi H(x; y; z). Tính vectơ . Sử dụng điều kiện và H ∈ (P)

– Để tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua (P):

Sử dụng điều kiện H là trung điểm AB.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho A(1; −1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 4 = 0

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).

b) Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng (P) có vtpt . Gọi H(x, y, z), vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên

⇒ 2(1 + 2k) – 2(–1 – 2k) + k + 1 + 4 = 0 ⇒ k = –1 ⇒ H(–1; 1; 0)

b) Gọi A’(x_A’, y_A’, z_A’). Có H là trung điểm của AA’ suy ra

Vậy A’(–3; 3; –1)

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; −1; 1), B(0; 1; −2). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho |MA – MB| đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải