Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Phân dạng theo cách giải

Bởi

Trong bài viết này, Dân Chuyên Toán sẽ giúp độc giả tìm hiểu thế nào là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và các phương pháp giải đặc trưng như: Phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, đặt ẩn phụ và giải bằng máy tính cầm tay.

Tổng quan lý thuyết

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

\[\left\{ \begin{gathered} ax + by = c \hfill \\ a'x + b'y = c' \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

– Cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó là nghiệm chung của cả hai phương trình đó.

– Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình.

– Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để khử bớt một ẩn, từ đó sẽ giải được hệ.

Các phương pháp giải

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

\[\left( I \right)\left\{ \begin{gathered} {a_1}x + {b_1}y = {c_1}{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ {a_2}x + {b_2}y = {c_2}{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Phương pháp thế

– Bước 1: Từ một phương trình của hệ, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc y theo x).

– Bước 2: Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào phương trình còn lại để được phương trình bậc nhất một ẩn. Giải phương trình bậc nhất vừa tìm được.

– Bước 3: Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại.

Phương pháp cộng đại số

– Bước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường là x (hoặc y).

– Bước 2:

+) Xem xét hệ số của ẩn muốn khử.

+) Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.

+) Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ về theo vế của hệ.

+) Nếu các hệ số đó không bằng nhau thì ta nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau (đồng nhất hệ số). Rồi thực hiện các bước ở trên.

+) Ta được một phương trình mới, trong đó ẩn muốn khử có hệ số bằng 0.

– Bước 3: Giải hệ phương trình gồm một phương trình mới (một ẩn) và một phương trình đã cho.

Ta suy ra nghiệm của hệ

Phương pháp đặt ẩn phụ

– Đối với một số bài toán ta có thể kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình đơn giản hơn với ẩn mới.

– Sau khi tìm được nghiệm của hệ phương trình mới, ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình ban đầu.

Sử dụng máy tính

Sử dụng máy tính CASIO/VINACAL:

– Nhấn Mode, chọn mục EQN, chọn số tương ứng với mục: anX + bnY = cn

– Nếu hệ phương trình theo đúng thứ tự

\[\left\{ \begin{gathered} {a_1}x + {b_1}y = {c_1}{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ {a_2}x + {b_2}y = {c_2}{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

– Ta nhập số liệu tương ứng:

Hàng thứ nhất: a1 =; b1 =; c1 = và hàng thứ hai: a2 =; b2 =; c2 =

– Nhấn =; = ta sẽ có kết quả nghiệm của hệ phương trình.

Các em có thể sử dụng máy tính casio để tính ra nghiệm đúng.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Câu 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) \[\left\{ \begin{gathered} x + 2y = - 1 \hfill \\ 2x - 5y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} 3\left( {x + y} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 9 \hfill \\ 2\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ phương trình đã cho thành các hệ phương trình tương đương:

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x + 2y = - 1 \hfill \\ 2x - 5y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 2y - 1 \hfill \\ 2\left( { - 2y - 1} \right) - 5y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 2y - 1 \hfill \\ - 9y - 2 = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 2y - 1 \hfill \\ - 9y = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; –1).

b) Hệ phương trình

\[\left\{ \begin{gathered} 3\left( {x + y} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 9 \hfill \\ 2\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Cách 1: Thu gọn vế trái của mỗi phương trình trong hệ, biến đổi hệ phương trình đã cho thành các hệ phương trình tương đương.

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 3\left( {x + y} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 9 \hfill \\ 2\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x + 3y - 2x + 2y = 9 \hfill \\ 2x + 2y + x - y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 5y = 9 \hfill \\ 3x + y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 5y + 9 \hfill \\ 3\left( { - 5y + 9} \right) + y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 5y + 9 \hfill \\ - 14y = - 28 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm (–1; 2).

Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: đặt u = x + y; v = x – y, ta có hệ phương trình:

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 3\left( {x + y} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 9 \hfill \\ 2\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3u - 2v = 9 \hfill \\ 2u + v = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3u - 2\left( { - 2u - 1} \right) = 9 \hfill \\ v = - 2u - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 7u = 7 \hfill \\ v = - 2u - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u = 1 \hfill \\ v = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Với \[\left\{ \begin{gathered} u = 1 \hfill \\ v = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] , ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{gathered} x + y = 1 \hfill \\ x - y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {y - 3} \right) = - 2 \hfill \\ x = y - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm (–1; 2).

Dạng 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Câu 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \[\left\{ \begin{gathered} x + 2y = - 1 \hfill \\ 2x - 5y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} 3\left( {x + y} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 9 \hfill \\ 2\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ phương trình đã cho thành các hệ phương trình tương đương:

\[\left\{ \begin{gathered} x + 2y = - 1 \hfill \\ 2x - 5y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + 4y = - 2 \hfill \\ 2x - 5y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] (phương trình 1 được nhân 2 vế cho 2)

Lấy phương trình 1 trừ phương trình 2 vế theo vế, và giữ lại một phương trình:

\[{\text{HPT}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0x + 9y = - 9 \hfill \\ 2x + 4y = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Tìm được giá trị một ẩn, ta thay vào phương trình kia để tìm nghiệm còn lại.

\[{\text{HPT}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - 1 \hfill \\ 2x + 4\left( { - 1} \right) = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; –1).

b) Hệ phương trình

\[\left\{ \begin{gathered} 3\left( {x + y} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 9 \hfill \\ 2\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Cách 1: Thu gọn vế trái của mỗi phương trình trong hệ, biến đổi hệ phương trình đã cho thành các hệ phương trình tương đương.

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 3\left( {x + y} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 9 \hfill \\ 2\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x + 3y - 2x + 2y = 9 \hfill \\ 2x + 2y + x - y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 5y = 9 \hfill \\ 3x + y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 5y = 9 \hfill \\ 15x + 5y = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 14x = - 14 \hfill \\ x + 5y = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm (–1; 2).

Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: đặt u = x + y; v = x – y, ta có hệ phương trình:

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 3\left( {x + y} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 9 \hfill \\ 2\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3u - 2v = 9 \hfill \\ 2u + v = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3u - 2v = 9 \hfill \\ 4u + 2v = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 7u + 0v = 7 \hfill \\ 2u + v = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u = 1 \hfill \\ v = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Với \[\left\{ \begin{gathered} u = 1 \hfill \\ v = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{gathered} x + y = 1 \hfill \\ x - y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x = - 2 \hfill \\ x + y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm (–1; 2).

Dạng 3. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Câu 1. Bằng cách đặt ẩn phụ, hãy giải hệ phương trình sau:

\[\left\{ \begin{gathered} \frac{{ - 5}}{{x - 1}} + \frac{1}{{y - 1}} = 10\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{y - 1}} = 10\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

Điều kiện để hệ phương trình xác định là: \[\left\{ \begin{gathered} x - 1 \ne 0 \hfill \\ y - 1 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 1 \hfill \\ y \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Đặt \[u = \frac{1}{{x - 1}};v = \frac{1}{{y - 1}}\], ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{gathered} \frac{{ - 5}}{{x - 1}} + \frac{1}{{y - 1}} = 10\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{y - 1}} = 10\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 5u + v = 10 \hfill \\ u + 3v = - 18 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ phương trình –5u + v = 10, ta có: v = 5u + 10

Thế vào phương trình u + 3v = –18, ta được:

u + 3v = –18

⇔ u = 3(5u + 10) = –18

⇔ 16u + 30 = –18

⇔ 16u = –48

⇔ u = –3

Thay u = –3 vào phương trình v = 5u + 10, ta được v = 5⋅(–3) + 10 = –5

Vậy \[\left\{ \begin{gathered} u = - 3 \hfill \\ v = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] , nên ta có hệ phương trình:

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{x - 1}} = - 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{{y - 1}} = - 5\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 = - 3\left( {x - 1} \right) \hfill \\ 1 = - 5\left( {y - 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 = - 3x + 3 \hfill \\ 1 = - 5y + 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x = 2 \hfill \\ 5y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{4}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy, hệ phương trình đã cho một nghiệm \[\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{5}} \right)\]

Dạng 4. Một số bài toán liên quan

Câu 1. Xác định phương trình đường thẳng y = ax + b biết nó đi qua hai điểm A(–1; 6) và B(2; –3).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(–1; 6), nên ta có:

6 = a⋅(–1) + b ⇔ –a + b = 6 (1)

Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm B(2; –3), nên ta có:

–3 = a⋅2 + b ⇔ 2a + b = –3 (2)

Vì a, b phải là nghiệm đúng của cả hai phương trình (1) và (2) nên a, b là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{gathered} - a + b = 6 \hfill \\ 2a + b = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a = - 9 \hfill \\ 2a + b = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - 3 \hfill \\ b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy, phương trình đường thẳng cần tìm là: y = –3x + 3

Câu 5. Cho hệ phương trình: \[\left\{ \begin{gathered} mx + 2y = 1 \hfill \\ mx + my = m - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Giải hệ phương trình khi:

a) m = 3

b) m = 2

c) m = 0.

Hướng dẫn giải

Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{gathered} mx + 2y = 1 \hfill \\ mx + my = m - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

a) Khi m = 3, ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{gathered} 3x + 2y = 1 \hfill \\ 3x + 3y = 3 - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 1 \hfill \\ 3x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy, khi m = 3, hệ phương trình đã cho có nghiệm \[\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{3};1} \right)\]

b) Khi m = 2, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{gathered} 2x + 2y = 1 \hfill \\ 2x + 2y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hệ phương trình có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:

\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = \frac{{ - 2x + 1}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{gathered} y \in \mathbb{R} \hfill \\ x = \frac{{ - 2y + 1}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) Khi m = 0, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{gathered} 0x + 2y = 1{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 0x + 0y = 0 - 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Trong hệ phương trình này, ta thấy phương trình thứ (1) có nghiệm, còn phương trình thứ (2) vô nghiệm, nên hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy khi m = 0, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập tự luyện

Câu 1. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:

a) \[\left\{ \begin{gathered} x - 2y = - 6 \hfill \\ 2x - y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} x - 3y = 5 \hfill \\ 2x - y = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{gathered} x - y = 10 \hfill \\ x + y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

d) \[\left\{ \begin{gathered} 3x - y = 5 \hfill \\ 5x + 2y = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x - 2y = - 6 \hfill \\ 2x - y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2y - 6 \hfill \\ 2\left( {2y - 6} \right) - y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2y - 6 \hfill \\ 4y - 12 - y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2y - 6 \hfill \\ 3y = 16 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \cdot \frac{{16}}{3} - 6 \hfill \\ y = \frac{{16}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{14}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{16}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {\frac{{14}}{3};\frac{{16}}{3}} \right)\]

b) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x - 3y = 5 \hfill \\ 2x - y = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3y + 5 \hfill \\ 2\left( {3y + 5} \right) - y = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3y + 5 \hfill \\ 6x + 10 - y = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3y + 5 \hfill \\ 5y = - 18 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \cdot \left( { - \frac{{18}}{5}} \right) + 5 \hfill \\ y = - \frac{{18}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{{29}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = - \frac{{18}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( { - \frac{{29}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)\]

c) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x - y = 10 \hfill \\ x + y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = y + 10 \hfill \\ \left( {y + 10} \right) + y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = y + 10 \hfill \\ 2y + 10 = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = y + 10 \hfill \\ 2y = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 + 10 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 9 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (9; –1)

d) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 3x - y = 5 \hfill \\ 5x + 2y = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 3x - 5 \hfill \\ 5x + 2\left( {3x - 5} \right) = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 3x - 5 \hfill \\ 5x + 6x - 10 = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 3x - 5 \hfill \\ 11x = 24 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{24}}{{11}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = 3 \cdot \frac{{24}}{{11}} - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{24}}{{11}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{17}}{{11}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {\frac{{24}}{{11}};\frac{{17}}{{11}}} \right)\]

Câu 2. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:

a) \[\left\{ \begin{gathered} \frac{1}{2}x + y = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 3x + 2y = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} \frac{y}{5} - \frac{{x - y}}{2} = \frac{1}{{10}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{y}{2} - \frac{{x + y}}{5} = \frac{1}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{4}{{y + 4}} = \frac{9}{{x + 8}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

d) \[\left\{ \begin{gathered} x - y = 20 \hfill \\ x - \frac{x}{8} = y + \frac{x}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{2}x + y = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 3x + 2y = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - \frac{1}{2}x + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 3x + 2\left( { - \frac{1}{2}x + 1} \right) = 10\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - \frac{1}{2}x + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 3x - x + 2 = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - \frac{1}{2}x + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 2x = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = - \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4; –1)

b) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{y}{5} - \frac{{x - y}}{2} = \frac{1}{{10}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{y}{2} - \frac{{x + y}}{5} = \frac{1}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x - 5\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \\ 5x - 2\left( {x + y} \right) = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x - 5x + 5y = 1 \hfill \\ 5y - 2x - 2y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 5x + 7y = 1 \hfill \\ - 2x + 3y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \frac{5}{7}x + \frac{1}{7}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ - 2x + 3\left( {\frac{5}{7}x + \frac{1}{7}} \right) = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \frac{5}{7}x + \frac{1}{7}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ - 2x + \frac{{15}}{7}x + \frac{3}{7} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \frac{5}{7}x + \frac{1}{7}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{7}x = \frac{{11}}{7}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 11 \hfill \\ y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (11; 8)

c) Hệ phương trình đã cho có điều kiện là: x ≠ –8; y ≠ –4

Khi đó, biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{4}{{y + 4}} = \frac{9}{{x + 8}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 2y = 0 \hfill \\ 4\left( {x + 8} \right) = 9\left( {y + 4} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 2y = 0 \hfill \\ 4x + 32 = 9y + 36 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{2}{3}y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 4x - 9y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{2}{3}y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 4 \cdot \frac{2}{3}y - 9y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{8}{{19}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = - \frac{{12}}{{19}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( { - \frac{8}{{19}}; - \frac{{12}}{{19}}} \right)\]

d) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x - y = 20 \hfill \\ x - \frac{x}{8} = y + \frac{x}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = y + 20 \hfill \\ 8x - x = 8y + x \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = y + 20 \hfill \\ 6x - 8y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = y + 20 \hfill \\ 6\left( {y + 20} \right) - 8y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = y + 20 \hfill \\ - 2y = - 120 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 80 \hfill \\ y = 60 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (80; 60)

Câu 3. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:

a) \[\left\{ \begin{gathered} x - 2\sqrt 2 y = \sqrt 3 \hfill \\ \sqrt 2 x + y = 1 - \sqrt 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} x - y\sqrt 3 = 0 \hfill \\ x\sqrt 3 + 2y = 1 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{gathered} \sqrt 2 x - \sqrt 5 y = 1 \hfill \\ x + \sqrt 5 y = \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

d) \[\left\{ \begin{gathered} \sqrt 2 x + \sqrt 5 y = 2 \hfill \\ x + \sqrt 5 y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x - 2\sqrt 2 y = \sqrt 3 \hfill \\ \sqrt 2 x + y = 1 - \sqrt 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 3 \hfill \\ \sqrt 2 \left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 3 } \right) + y = 1 - \sqrt 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 3 \hfill \\ 4y + \sqrt 6 + y = 1 - \sqrt 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 3 \hfill \\ 5y = 1 - 2\sqrt 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2\sqrt 2 \cdot \left( {\frac{{1 - 2\sqrt 6 }}{5}} \right) + \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{1 - 2\sqrt 6 }}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{2\sqrt 2 - 4\sqrt {12} + 5\sqrt 3 }}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{1 - 2\sqrt 6 }}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{2\sqrt 2 - 3\sqrt 3 }}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{1 - 2\sqrt 6 }}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {\frac{{2\sqrt 2 - 3\sqrt 3 }}{5};\frac{{1 - 2\sqrt 6 }}{5}} \right)\]

b) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x - y\sqrt 3 = 0 \hfill \\ x\sqrt 3 + 2y = 1 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \sqrt 3 y \hfill \\ \sqrt 3 \left( {y\sqrt 3 } \right) + 2y = 1 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \sqrt 3 y \hfill \\ 3y + 2y = 1 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \sqrt 3 \cdot \frac{{1 + \sqrt 3 }}{5} \hfill \\ y = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{5};\frac{{1 + \sqrt 3 }}{5}} \right)\]

c) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \sqrt 2 x - \sqrt 5 y = 1 \hfill \\ x + \sqrt 5 y = \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \sqrt 5 y + \sqrt 2 \hfill \\ \sqrt 2 \left( { - \sqrt 5 y + \sqrt 2 } \right) - \sqrt 5 y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \sqrt 5 y + \sqrt 2 \hfill \\ - \sqrt 5 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \sqrt 5 \cdot \frac{1}{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} + \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{1}{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 5 }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {1;\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 5 }}} \right)\]

d) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \sqrt 2 x + \sqrt 5 y = 2 \hfill \\ x + \sqrt 5 y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt 2 \left( { - \sqrt 5 y + 2} \right) + \sqrt 5 y = 2 \hfill \\ x = - \sqrt 5 y + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt 5 \left( {1 - \sqrt 2 } \right)y = 2\left( {1 - \sqrt 2 } \right) \hfill \\ x = - \sqrt 5 y + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \sqrt 5 \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }} + 2 \hfill \\ y = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {0;\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)\]

Câu 4. Giải các hệ phương trình sau:

a) \[\left\{ \begin{gathered} \left( {3 - \sqrt 5 } \right)x - 3y = 3 + 5\sqrt 5 \hfill \\ 4x + y = 4 - 2\sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - y = \sqrt 3 \hfill \\ x + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \left( {3 - \sqrt 5 } \right)x - 3y = 3 + 5\sqrt 5 \hfill \\ 4x + y = 4 - 2\sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {3 - \sqrt 5 } \right)x - 3\left( { - 4x + 4 - 2\sqrt 5 } \right) = 3 + 5\sqrt 5 \hfill \\ y = - 4x + 4 - 2\sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {15 - \sqrt 5 } \right)x = 15 - \sqrt 5 \hfill \\ y = - 4x + 4 - 2\sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = - 2\sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {1; - 2\sqrt 5 } \right)\]

b) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - y = \sqrt 3 \hfill \\ x + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - \sqrt 3 \hfill \\ x + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left[ {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - \sqrt 3 } \right] = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - \sqrt 3 \hfill \\ x + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sqrt 3 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - \sqrt 3 \hfill \\ 3x = 4 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \left( {\sqrt 3 - 1} \right) \cdot \frac{{4 + \sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = \frac{{4 + \sqrt 3 }}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{4 + \sqrt 3 }}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{4\sqrt 3 - 4 + 3 - \sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{4 + \sqrt 3 }}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = - \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {\frac{{4 + \sqrt 3 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\]

Câu 5. Giải các hệ phương trình sau:

a) \[\left\{ \begin{gathered} 4x - 3y + 5\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \\ 2x - 4\left( {2y - 1} \right) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} 3\left( {x - 7} \right) - 6\left( {x - y + 1} \right) = 0 \hfill \\ 4\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 2y + 7} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 4x - 3y + 5\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \\ 2x - 4\left( {2y - 1} \right) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4x - 3y + 5x - 5y = 1 \hfill \\ 2x - 8y + 4 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9x - 8y = 1 \hfill \\ 2x - 8y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9x - 8y = 1 \hfill \\ x = 4y - \frac{3}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9\left( {4y - \frac{3}{2}} \right) - 8y = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = 4y - \frac{3}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 36y - \frac{{27}}{2} - 8y = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = 4y - \frac{3}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 28y = 1 + \frac{{27}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = 4y - \frac{3}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 4 \cdot \frac{{29}}{{56}} - \frac{3}{2} \hfill \\ y = \frac{{29}}{{56}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{4}{7}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{29}}{{56}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {\frac{4}{7};\frac{{29}}{{56}}} \right)\]

b) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 3\left( {x - 7} \right) - 6\left( {x - y + 1} \right) = 0 \hfill \\ 4\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 2y + 7} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 21 - 6x + 6y - 6 = 0 \hfill \\ 4x - 4 + 2x - 4y + 14 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 3x + 6y = 27 \hfill \\ 6x - 4y = - 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2y - 9 \hfill \\ 6\left( {2y - 9} \right) - 4y = - 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2y - 9 \hfill \\ 8y = 44 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = \frac{{11}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {2;\frac{{11}}{2}} \right)\]

Câu 6. Xác định các giá trị của a, b để hệ phương trình: \[\left\{ \begin{gathered} 3x + by = 5 \hfill \\ ax + by = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

a) Có nghiệm (1; 2)

b) Có nghiệm (–2; 2)

Hướng dẫn giải

a) Có nghiệm (1; 2)

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3 \cdot 1 + b \cdot 2 = 5 \hfill \\ a \cdot 1 + b \cdot 2 = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3 + 2b = 5 \hfill \\ a + b = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2b = 2 \hfill \\ a + b = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 1 \hfill \\ a + 1 = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 11 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy hệ số a = 11; b = 1

b) Có nghiệm (–2; 2)

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3 \cdot \left( { - 2} \right) + b \cdot 2 = 5 \hfill \\ a \cdot \left( { - 2} \right) + b \cdot 2 = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 6 + 2b = 5 \hfill \\ - 2a + 2b = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2b = 11 \hfill \\ - a + b = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = \frac{{11}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ a = \frac{{11}}{2} - 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = \frac{{11}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy hệ số \[a = - \frac{1}{2};b = \frac{{11}}{2}\]

Câu 7. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

a) \[\left\{ \begin{gathered} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} \frac{7}{{x - 1}} + \frac{5}{{y + 2}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{y + 2}} = \frac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{gathered} \frac{4}{{x + 2y}} - \frac{1}{{x - 2y}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{20}}{{x + 2y}} + \frac{3}{{x - 2y}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

d) \[\left\{ \begin{gathered} \frac{5}{{x + y - 3}} - \frac{2}{{x - y + 1}} = 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{3}{{x + y - 3}} + \frac{1}{{x - y + 1}} = 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0.

Đặt ẩn phụ: \[\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b\]

Khi đó, hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + b = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ a - b = \frac{1}{{12}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {b + \frac{1}{{12}}} \right) + b = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ a = b + \frac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2b = \frac{1}{3} - \frac{1}{{12}} \hfill \\ a = b + \frac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2b = \frac{1}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ a = b + \frac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ a = \frac{1}{8} + \frac{1}{{12}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{5}{{24}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Với \[\left\{ \begin{gathered} a = \frac{5}{{24}} \hfill \\ b = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{x} = \frac{5}{{24}} \hfill \\ \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{24}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {\frac{{24}}{5};8} \right)\]

b) Điều kiện: x ≠ 1; y ≠ –2.

Đặt ẩn phụ: \[\frac{1}{{x - 1}} = a;\frac{1}{{y + 2}} = b\]

Khi đó, hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{7}{{x - 1}} + \frac{5}{{y + 2}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{y + 2}} = \frac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 7a + 5b = 1 \hfill \\ a - b = \frac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 7\left( {b + \frac{1}{{12}}} \right) + 5b = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ a = b + \frac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 12b = \frac{5}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ a = b + \frac{1}{{12}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{{17}}{{144}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = \frac{5}{{144}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Với \[\left\{ \begin{gathered} a = \frac{{17}}{{144}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = \frac{5}{{144}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{17}}{{144}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{{y + 2}} = \frac{5}{{144}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 1 = \frac{{144}}{{17}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y + 2 = \frac{{144}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{144}}{{17}} + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{144}}{5} - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{161}}{{17}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{134}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {\frac{{161}}{{17}};\frac{{134}}{5}} \right)\]

c) Điều kiện: x ≠ ±2y.

Đặt ẩn phụ: \[\frac{1}{{x + 2y}} = a;\frac{1}{{x - 2y}} = b\]

Khi đó, hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{4}{{x + 2y}} - \frac{1}{{x - 2y}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{20}}{{x + 2y}} + \frac{3}{{x - 2y}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4a - b = 1 \hfill \\ 20a + 3b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 4a - 1 \hfill \\ 20a + 3\left( {4a - 1} \right) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 4a - 1 \hfill \\ 32a = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = - \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Với \[\left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{x + 2y}} = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{{x - 2y}} = - \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 2y = 8 \hfill \\ x - 2y = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = \frac{5}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {3;\frac{5}{2}} \right)\]

d) Điều kiện: \[\left\{ \begin{gathered} x + y \ne 3 \hfill \\ x - y \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] .

Đặt ẩn phụ: \[\frac{1}{{x + y - 3}} = a;\frac{1}{{x - y + 1}} = b\]

Khi đó, hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{5}{{x + y - 3}} - \frac{2}{{x - y + 1}} = 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{3}{{x + y - 3}} + \frac{1}{{x - y + 1}} = 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5a - 2b = 8 \hfill \\ 3a + b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{{14}}{{11}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = - \frac{9}{{11}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Với \[\left\{ \begin{gathered} a = \frac{{14}}{{11}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = - \frac{9}{{11}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{x + y - 3}} = \frac{{14}}{{11}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{{x - y + 1}} = - \frac{9}{{11}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y - 3 = \frac{{11}}{{14}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x - y + 1 = - \frac{{11}}{9}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = \frac{{53}}{{14}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x - y = - \frac{{19}}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{211}}{{252}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{743}}{{252}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {\frac{{211}}{{252}};\frac{{743}}{{252}}} \right)\]

Câu 8. Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{gathered} 3x - 2y = a \hfill \\ 15x - 10y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

a) Có vô số nghiệm với a = 1

b) Vô nghiệm với a ≠ 1

Hướng dẫn giải

a) Cách 1:

Với a = 1, ta có:

\[\left\{ \begin{gathered} 3x - 2y = a \hfill \\ 15x - 10y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 2y = 1 \hfill \\ 3x - 2y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hệ phương trình với a = 1 là hệ gồm hai phương trình giống nhau (hai đường thẳng trùng nhau) nên chúng có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: \[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Cách 2: Ta có thể nhìn nhanh số nghiệm của hệ phương trình khi lập tỉ số các hệ số của hai đường thẳng:

Vì \[\frac{3}{{15}} = \frac{{ - 2}}{{ - 10}} = \frac{1}{5}\] nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

b) Với a ≠ 1. Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{gathered} 3x - 2y = a \hfill \\ 15x - 10y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Với a ≠ 1 nên \[\frac{3}{{15}} = \frac{{ - 2}}{{ - 10}} \ne \frac{a}{5}\]

Do đó, hệ phương trình vô nghiệm.

Câu 9. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:

a) \[\left\{ \begin{gathered} - 5x + y = 10 \hfill \\ x + 3y = - 18 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} 4x - 3y = - 10 \hfill \\ 2x + 5y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{2}x + \frac{6}{5}y = \frac{{27}}{{10}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x - \frac{9}{2}y = - \frac{{15}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

d) \[\left\{ \begin{gathered} \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}y = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{2}{5}x + y = 18\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} - 5x + y = 10 \hfill \\ x + 3y = - 18 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 15x + 3y = 30 \hfill \\ x + 3y = - 18 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 16x = - 48 \hfill \\ x + 3y = - 18 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 3 \hfill \\ y = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (–3; –5)

b) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 4x - 3y = - 10 \hfill \\ 2x + 5y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4x - 3y = - 10 \hfill \\ 4x + 10y = 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 13y = 26 \hfill \\ 2x + 5y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (–1; 2)

c) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{2}x + \frac{6}{5}y = \frac{{27}}{{10}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x - \frac{9}{2}y = - \frac{{15}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 5x + 12y = 27 \hfill \\ 2x - 9y = - 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 10x + 24y = 54 \hfill \\ 10x - 45y = - 75 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 21y = - 21 \hfill \\ 2x - 9y = - 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 3 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (–3; 1)

d) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}y = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{2}{5}x + y = 18\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{4}{3}x - y = 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{2}{5}x + y = 18 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{26}}{{15}}x = 26\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{2}{5}x + y = 18\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 15 \hfill \\ \frac{2}{5} \cdot 15 + y = 18 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 15 \hfill \\ y = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (15; 12)

Câu 10. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:

a) \[\left\{ \begin{gathered} 5x + 3y = 19 \hfill \\ 2x + 9y = 31 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} 15 + 8y = 46 \hfill \\ x - \frac{3}{5}y = \frac{4}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{gathered} 3x - 4y = 10 \hfill \\ - 6x + 8y = - 17 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

d) \[\left\{ \begin{gathered} 5x - 4y = 20 \hfill \\ \frac{1}{4}x - \frac{1}{5}y = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 5x + 3y = 19 \hfill \\ 2x + 9y = 31 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 10x + 6y = 38 \hfill \\ 10x + 45y = 155 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 39y = 117 \hfill \\ 5x + 3y = 19 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 3 \hfill \\ 5x + 9 = 19 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2; 3)

b) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 15 + 8y = 46 \hfill \\ x - \frac{3}{5}y = \frac{4}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 15x + 8y = 46 \hfill \\ 5x - 3y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 15x + 8y = 46 \hfill \\ 15x - 9y = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 17y = 34 \hfill \\ 5x - 3y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 2 \hfill \\ 5x - 6 = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2; 2)

c) Hệ phương trình \[\left\{ \begin{gathered} 3x - 4y = 10 \hfill \\ - 6x + 8y = - 17 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] có tỉ lệ giữa các hệ số là: \[\frac{3}{{ - 6}} = \frac{{ - 4}}{8} \ne \frac{{10}}{{ - 17}}\] dạng \[\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\] nên hệ phương trình vô nghiệm.

d) Hệ phương trình \[\left\{ \begin{gathered} 5x - 4y = 20 \hfill \\ \frac{1}{4}x - \frac{1}{5}y = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\] có tỉ lệ giữa các hệ số là: \[\frac{5}{\begin{gathered} \frac{1}{4} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{ - 4}}{\begin{gathered} - \frac{1}{5} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{20}}{1}\] dạng \[\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\] nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Với nghiệm tổng quát của hệ phương trình là \[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = \frac{5}{4}x - 5\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{gathered} y \in \mathbb{R} \hfill \\ x = \frac{4}{5}y + 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Câu 11. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:

a) \[\left\{ \begin{gathered} 5\left( {x + 2y} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 99 \hfill \\ x - 3y = 7x - 17 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} 2x + 3y = 21 \hfill \\ 7\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x + y - 1} \right) = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{gathered} 2\left( {x + 1} \right) - 5\left( {y + 1} \right) = 8 \hfill \\ 3\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

d) \[\left\{ \begin{gathered} 4\left( {x - 1} \right) - 2\left( {3y + 1} \right) + 5 = 0 \hfill \\ 8\left( {x - 1} \right) - 5\left( {3y + 1} \right) = - 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 5\left( {x + 2y} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 99 \hfill \\ x - 3y = 7x - 17 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5x + 10y - 3x + 3y = 99 \hfill \\ 6x + 3y = 17 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + 13y = 99 \hfill \\ 6x + 3y = 17 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 6x + 39y = 297 \hfill \\ 6x + 3y = 17 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 36y = 280 \hfill \\ 6x + 3y = 17 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{{19}}{{18}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{70}}{9}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( { - \frac{{19}}{{18}};\frac{{70}}{9}} \right)\]

b) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 2x + 3y = 21 \hfill \\ 7\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x + y - 1} \right) = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + 3y = 21 \hfill \\ 7x - 28 + 3x + 3y - 3 = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + 3y = 21 \hfill \\ 10x + 3y = 45 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 8x = 24 \hfill \\ 3y = 21 - 2x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ 3y = 21 - 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3;5)

c) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 2\left( {x + 1} \right) - 5\left( {y + 1} \right) = 8 \hfill \\ 3\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + 2 - 5y - 5 = 8 \hfill \\ 3x + 3 - 2y - 2 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x - 5y = 11 \hfill \\ 3x - 2y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 6x - 15y = 33 \hfill \\ 6x - 4y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 11y = - 33 \hfill \\ 3x - 2y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - 3 \hfill \\ 3x = 2y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (–2; –3)

(Những bài toán khá đơn giản như thế này chúng ta không nên đặt ẩn phụ, bởi sẽ tạo ra nhiều bước thực hiện để hoàn thành bài toán. Cách tốt nhất là khai triển, rồi làm gọn hệ phương trình đã cho. Sau đó giải theo phương pháp thầy đã nêu.)

d) Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 4\left( {x - 1} \right) - 2\left( {3y + 1} \right) + 5 = 0 \hfill \\ 8\left( {x - 1} \right) - 5\left( {3y + 1} \right) = - 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4x - 4 - 6y - 2 + 5 = 0 \hfill \\ 8x - 8 - 15y - 5 = - 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4x - 6x = 1 \hfill \\ 8x - 15y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 8x - 12y = 2 \hfill \\ 8x - 15y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3y = - 2 \hfill \\ 4x = 6y + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - \frac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 4x = 6 \cdot - \frac{2}{3} + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{3}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = - \frac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( { - \frac{3}{4}; - \frac{2}{3}} \right)\]

Câu 12. Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:

\[\left\{ \begin{gathered} \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - y = \sqrt 3 \hfill \\ x + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

Biến đổi hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - y = \sqrt 3 \hfill \\ x + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - y = \sqrt 3 \hfill \\ \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)y = \sqrt 3 - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - y = \sqrt 3 \hfill \\ \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + 2y = \sqrt 3 - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3y = - 1 \hfill \\ \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - y = \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = \frac{{y + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - \frac{1}{3} \hfill \\ x = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ - \frac{1}{3} + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} }{{\sqrt 3 - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = \frac{{3\sqrt 3 - 1}}{{3\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {3 + \sqrt 3 + 1} \right)}}{{3\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{4 + \sqrt 3 }}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = - \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {\frac{{4 + \sqrt 3 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\]

Câu 13. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm M và N trong mỗi trường hợp sau:

a) M(1; 3) và N(–2; 2)

b) \[{\text{M}}\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\] và \[{\text{N}}\left( {2;\sqrt 3 } \right)\]

c) M(0; 0) và N(3; 3)

d) M(–1; 4) và N(4; –1)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số y = ax + b đi qua hai điểm M(1; 3) và N(–2; 2)

Điểm M(1; 3) thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình 3 = a + b (1)

Điểm N(–2; 2) thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình 2 = –2a + b (2)

Suy ra a, b là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{gathered} 3 = a + b \hfill \\ 2 = - 2a + b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = \frac{8}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy \[\left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = \frac{8}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) Hàm số y = ax + b đi qua hai điểm \[{\text{M}}\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\] và \[{\text{N}}\left( {2;\sqrt 3 } \right)\]

Điểm \[{\text{M}}\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\] thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình \[\sqrt 3 = - a + b{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Điểm \[{\text{N}}\left( {2;\sqrt 3 } \right)\] thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình \[\sqrt 3 = 2a + b{\text{ }}\left( 2 \right)\]

Suy ra a, b là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{gathered} \sqrt 3 = - a + b \hfill \\ \sqrt 3 = 2a + b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 0 \hfill \\ b = \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy \[\left\{ \begin{gathered} a = 0 \hfill \\ b = \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) Hàm số y = ax + b đi qua hai điểm M(0; 0) và N(3; 3)

Điểm M(0; 0) thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình b = 0 (1)

Điểm N(3; 3) thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình 3 = 3a + b (2)

Suy ra a, b là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{gathered} b = 0 \hfill \\ 3 = 3a + b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy \[\left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

d) Hàm số y = ax + b đi qua hai điểm M(–1; 4) và N(4; –1)

Điểm M(–1; 4) thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình 4 = –a + b (1)

Điểm N(4; –1) thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình –1 = 4a + b (2)

Suy ra a, b là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{gathered} 4 = - a + b \hfill \\ - 1 = 4a + b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - 1 \hfill \\ b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy \[\left\{ \begin{gathered} a = - 1 \hfill \\ b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Câu 14. Xác định giá trị của các hệ số m, n sao cho:

a) Hệ phương trình \[\left\{ \begin{gathered} 2x + my = n \hfill \\ mx + ny = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] có nghiệm là x = 2; y = 5?

b) Hệ phương trình \[\left\{ \begin{gathered} x - y = m \hfill \\ 3x + 2y - n = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] có nghiệm là x = 1; y = 2?

Hướng dẫn giải

a) Thay giá trị x = 2; y = 5 vào hệ phương trình, ta có hệ:

\[\left\{ \begin{gathered} 4 + 5m = n \hfill \\ 2m + 5n = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5m - n = - 4 \hfill \\ 2m + 5n = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = - \frac{5}{9}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ n = \frac{{11}}{9}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy với \[m = - \frac{5}{9}\] và \[n = \frac{{11}}{9}\] thì hệ phương trình đã cho có nghiệm x = 2; y = 5

b) Thay giá trị x = 1; y = 2 vào hệ phương trình, ta có hệ:

\[\left\{ \begin{gathered} x - y = m \hfill \\ 3x + 2y - n = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - 2 = m \hfill \\ 3 + 4 - n = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = - 1 \hfill \\ n = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy với m = –1 và n = 6 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm x = 1; y = 2

Câu 15. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

a) \[\left\{ \begin{gathered} \frac{{10}}{{x - 1}} + \frac{1}{{y + 2}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{25}}{{x - 1}} + \frac{3}{{y + 2}} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} \frac{{27}}{{2x - y}} + \frac{{32}}{{x + 3y}} = 7\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{45}}{{2x - y}} - \frac{{48}}{{x + 3y}} = - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{gathered} 2\left| {x - 6} \right| + 3\left| {y + 1} \right| = 5 \hfill \\ 5\left| {x - 6} \right| - 4\left| {y + 1} \right| = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

d) \[\left\{ \begin{gathered} 4\left| {x + y} \right| + 3\left| {x - y} \right| = 8 \hfill \\ 3\left| {x + y} \right| - 5\left| {x - y} \right| = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) Hệ phương trình \[\left\{ \begin{gathered} \frac{{10}}{{x - 1}} + \frac{1}{{y + 2}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{25}}{{x - 1}} + \frac{3}{{y + 2}} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\] có điều kiện x ≠ 1; y ≠ –2

Với x thỏa điều kiện

Đặt ẩn phụ \[a = \frac{1}{{x - 1}};b = \frac{1}{{y + 2}}\], ta có hệ phương trình mới:

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{{10}}{{x - 1}} + \frac{1}{{y + 2}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{25}}{{x - 1}} + \frac{3}{{y + 2}} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 10a + b = 1 \hfill \\ 25a + 3b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 30a + 3b = 3 \hfill \\ 25a + 3b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5a = 1 \hfill \\ 10a + b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Từ kết quả \[\left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] suy ra:

\[\left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{x - 1}} = \frac{1}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{{y + 2}} = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 1 = 5 \hfill \\ y + 2 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 6 \hfill \\ y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (6; –3)

b) Hệ phương trình \[\left\{ \begin{gathered} \frac{{27}}{{2x - y}} + \frac{{32}}{{x + 3y}} = 7\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{45}}{{2x - y}} - \frac{{48}}{{x + 3y}} = - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\] có điều kiện \[\left\{ \begin{gathered} 2x - y \ne 0 \hfill \\ x + 3y \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Với x thỏa điều kiện

Đặt ẩn phụ \[a = \frac{1}{{2x - y}};b = \frac{1}{{x + 3y}}\], ta có hệ phương trình mới:

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{{27}}{{2x - y}} + \frac{{32}}{{x + 3y}} = 7\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{45}}{{2x - y}} - \frac{{48}}{{x + 3y}} = - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 27a + 32b = 7 \hfill \\ 45a - 48b = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{9}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Từ kết quả \[\left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{9}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\] suy ra:

\[\left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{9}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{1}{{x + 3y}} = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x - y = 9 \hfill \\ x + 3y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (5; 1)

c) \[\left\{ \begin{gathered} 2\left| {x - 6} \right| + 3\left| {y + 1} \right| = 5 \hfill \\ 5\left| {x - 6} \right| - 4\left| {y + 1} \right| = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Đặt a = |x – 6|; b = |y + 1|

Ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{gathered} 2\left| {x - 6} \right| + 3\left| {y + 1} \right| = 5 \hfill \\ 5\left| {x - 6} \right| - 4\left| {y + 1} \right| = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2a + 3b = 5 \hfill \\ 5a - 4b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Với \[\left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] suy ra:

\[\left\{ \begin{gathered} \left| {x - 6} \right| = 1 \hfill \\ \left| {y + 1} \right| = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x - 6 = 1 \hfill \\ y + 1 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x - 6 = - 1 \hfill \\ y + 1 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x - 6 = 1 \hfill \\ y + 1 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x - 6 = - 1 \hfill \\ y + 1 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Giải (1): \[\left\{ \begin{gathered} x - 6 = 1 \hfill \\ y + 1 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 7 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Giải (2): \[\left\{ \begin{gathered} x - 6 = - 1 \hfill \\ y + 1 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ y = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Giải (3): \[\left\{ \begin{gathered} x - 6 = 1 \hfill \\ y + 1 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 7 \hfill \\ y = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Giải (4): \[\left\{ \begin{gathered} x - 6 = - 1 \hfill \\ y + 1 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: (7; 0); (5; –2); (7; –2); (5; 0)

d) \[\left\{ \begin{gathered} 4\left| {x + y} \right| + 3\left| {x - y} \right| = 8 \hfill \\ 3\left| {x + y} \right| - 5\left| {x - y} \right| = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Đặt a = |x + y|; b = |x – y|

Ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{gathered} 4\left| {x + y} \right| + 3\left| {x - y} \right| = 8 \hfill \\ 3\left| {x + y} \right| - 5\left| {x - y} \right| = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4a + 3b = 8 \hfill \\ 3a - 5b = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Với \[\left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] suy ra:

\[\left\{ \begin{gathered} \left| {x + y} \right| = 2 \hfill \\ \left| {x - y} \right| = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x + y = 2 \hfill \\ x - y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x + y = - 2 \hfill \\ x - y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Giải (1): \[\left\{ \begin{gathered} x + y = 2 \hfill \\ x - y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Giải (2): \[\left\{ \begin{gathered} x + y = - 2 \hfill \\ x - y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: (1; 1); (–1; –1)

Câu 16. Giải các hệ phương trình sau:

a) \[\left\{ \begin{gathered} 3x + y - z = 1 \hfill \\ 2x - y + 2z = 5 \hfill \\ x - 2y - 3z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{gathered} x + 3y + 2z = 8 \hfill \\ 2x + y + z = 6 \hfill \\ 3x + y + z = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Hướng dẫn giải

a) \[\left\{ \begin{gathered} 3x + y - z = 1 \hfill \\ 2x - y + 2z = 5 \hfill \\ x - 2y - 3z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} z = 3x + y - 1 \hfill \\ 2x - y + 2\left( {3x + y - 1} \right) = 5 \hfill \\ x - 2y - 3\left( {3x + y - 1} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} z = 3x + y - 1 \hfill \\ 2x - y + 6x + 2y - 2 = 5 \hfill \\ x - 2y - 9x - 3y + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} z = 3x + y - 1 \hfill \\ 8x + y = 7 \hfill \\ - 8x - 5y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} z = 3x + y - 1 \hfill \\ - 4y = 4 \hfill \\ 8x + y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} z = 3x + y - 1 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ 8x - 1 = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ z = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; –1; 1)

b) \[\left\{ \begin{gathered} x + 3y + 2z = 8 \hfill \\ 2x + y + z = 6 \hfill \\ 3x + y + z = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 3y + 2\left( { - 3x - y + 6} \right) = 8 \hfill \\ 2x + y + \left( { - 3x - y + 6} \right) = 6 \hfill \\ z = - 3x - y + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 3y - 6x - 2y + 12 = 8 \hfill \\ 2x + y - 3x - y + 6 = 6 \hfill \\ z = - 3x - y + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 5x + y = - 4 \hfill \\ - x = 0 \hfill \\ z = - 3x - y + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ z = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (0; –4; 10)