Tổng quan đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau - Edu

Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp độc giả tìm hiểu chi tiết về lý thuyết đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau theo từng trường hợp. Từ đó áp dụng vào các dạng bài tập như: Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng và tìm phương trình đường thẳng.

Tổng quan lý thuyết

[content_1]

Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

– Đường thẳng y = ax + b có hai hệ số là a và b trong đó hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

– Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với tia Ox. Cách xác định góc này như sau: trước tiên, ta xác định giao điểm A của đường thẳng với tia Ox, góc a là góc tạo bởi tia Ax, và phần phía trên của đường thẳng.

– Biểu thức liên hệ giữa a và α: tan α = a

Vậy nếu biết hệ số góc a ta có thể suy ra số đo của góc α và ngược lại.

Do đó, a gọi là hệ số góc của đường thẳng (hệ số cho biết góc α).

Nếu a > 0 ⇔ 0° < α < 90°
Nếu a < 0 ⇔ 90° < α < 180°

– Các đường thẳng có cùng hệ số góc thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (dʹ): y = a’x + b’ (aa’ ≠ 0)

– Hai đường thẳng song song

$\left( d \right)\parallel \left( {d'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b \ne b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

– Hai đường thẳng trùng nhau

$\left( d \right) \equiv \left( {d'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b = b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

– Hai đường thẳng cắt nhau

(d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’

(d) ⊥ (d’) ⇔ aa’ = –1

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

[content_2]

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng: d: y = ax + b với a ≠ 0 và d’: y = a’x + b’ với a’ ≠ 0 khi đó ta có:

– d và d’ song song ⇔ $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b \ne b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

– d và d’ trùng nhau ⇔ $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b = b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

– d và d’ cắt nhau ⇔ a ≠ a’. Đặc biệt d và d’ vuông góc với nhau ⇔ aa’ = –1

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hai đường thẳng d và d’ xác định bởi y = ax (a ≠ 0) và y = a’x (a’ ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện để các đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau là aa’ = –1

Hướng dẫn giải

Ta thấy khi d ⊥ d’ thì một trong hai đường thẳng d và d’, có một đường (giả sử là d) nằm trong góc vuông phần tư I và III, đường kia (là d’) nằm trong góc vuông phần tư thứ II và IV, khi đó a > 0, a’ < 0

Qua điểm H(1; 0), kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, cắt d và d’ theo thứ tự tại A và B, ta có HA = |a| = a; HB = |a’| = –a

Chú ý rằng H nằm giữa A và B nên điều kiện để tam giác OAB vuông tại O là:

HA⋅HB = OH² ⇔ a⋅(–a’) = 1 ⇔ a⋅a’ = –1

Câu 2. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường thẳng sau:

a) y = $\sqrt 3$ x – 1

b) y = 2 – x

c) y = –0, 3x

d) y = –0, 3x – 1

e) y = 3 + $\sqrt 3$ x

g) y = –x + 3

Hướng dẫn giải

Các cặp đường thẳng song song là: a và e, b và g, c và d

Câu 3. Cho các đường thẳng:

d₁: y = (2m + 1)x – (2m + 3)

d₂: y = (m – 1)x + m

Tìm các giá trị của để:

a) d₁ cắt d₂

b) d₁ song song d₂

c) d₁ vuông góc d₂

d) d₁ trùng d₂

Hướng dẫn giải

a) d₁ cắt d₂ ⇔ 2m + 1 ≠ m – 1 ⇔ m ≠ –2

b) d₁ song song d₂

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m + 1 = m - 1 \hfill \\ - \left( {2m + 3} \right) \ne m \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = - 2$

c) d₁ vuông góc d₂

⇔ (2m + 1)(m – 1) = –1

⇔ m = 0 hoặc m = $\frac{1}{2}$

d) d₁ trùng d₂

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m + 1 = m - 1 \hfill \\ - \left( {2m + 3} \right) = m \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset$

Câu 4. Cho đường thẳng y = (m – 2)x + (m – 1) (d)

a) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) đi qua góc tọa độ.

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có tung độ bằng $3 - \sqrt 2$

c) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng $y = \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x - 2$

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O khi m – 1 = 0 hay m = 1. Khi đó hàm số là y = x

b) Ta có: $m - 1 = 3 - \sqrt 2$ hay $m = 4 - \sqrt 2$

c) Ta có: $m - 2 = 2\sqrt 2 - 3$ và $m - 1 \ne - 2$

$\Rightarrow m = 2\sqrt 2 - 1$ và $m \ne - 1 \Rightarrow m = 2\sqrt 2 - 1$

Khi đó hàm số $y = \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 2\sqrt 2 - 2$

Câu 5. Cho ba đường thẳng: d₁: y = x + 2, d₂: y = 2x + 1, d₃: y = (m² + 1)x + m

a) Xác định tọa độ giao điểm của d₁ và d₂.

b) Tìm các giá trị của tham số m để:

i) d₂ và d₃ song song với nhau.

ii) d₁ và d₃ trùng nhau.

iii) d₁, d₂ và d₃ đồng quy.

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d₁ và d₂:

x + 2 = 2x + 1 ⇔ x = 1 ⇒ y = 3

Vậy tọa độ giao điểm của d₁ và d₂ là I(1; 3).

i) d₂ và d₃ song song với nhau

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} + 1 = 2 \hfill \\ m \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = - 1$

ii) d₁ và d₃ trùng nhau

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} + 1 = 2 \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 1$

iii) Ta có: tọa độ giao điểm của d₁ và d₂ là I(1; 3).

Để d₁, d₂ và d₃ đồng quy thì I ∈ d₃

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3 = \left( {{m^2} + 1} \right) \cdot 1 + m \hfill \\ m \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = - 2$

Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng

[content_3]

Phương pháp giải

Để xác định phương trình đường thẳng, ta thường làm như sau:

Bước 1: Gọi d: y = ax + b là phương trình đường thẳng cần tìm (a, b là hằng số).

Bước 2: Từ giả thiết của đề bài, tìm được a, b từ đó đi đến kết luận.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Viết phương trình đường thẳng biết:

a) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –5 và đi qua điểm A(1; 3)

b) d song song với đường thẳng y = –2x + 8 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5.

c) d vuông góc với đường thẳng y = x + 3 và cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại điểm có tung độ bằng 5.

Hướng dẫn giải

PT đường thẳng d có dạng: y = ax + b

a) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –5 ⇒ b = –5

Ta có: A(1; 3) ∈ d ⇒ 3 = a⋅1 – 5 ⇒ a = 8

⇒ d: y = 8x – 5

b) d song song với đường thẳng y = –2x + 8 ⇒ a = –2

d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5

⇒ 0 = –2⋅5 + b ⇒ b = 10 ⇒ y = –2x + 10

c) d vuông góc với đường thẳng y = x + 3 ⇒ a = –1

d cắt đường thẳng tại điểm có tung độ bằng 5

⇒ Tọa độ điểm đó: A(2; 5)

Ta có: 5 = –1⋅2 + b ⇒ b = 7 ⇒ d: y = –x + 7

Câu 2. Trên mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; –1) và B(–1; –7). Xác định hàm số biết đồ thị của nó là đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B.

Hướng dẫn giải

Giả sử đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B có dạng: y = ax + b

Vì A(1; –1) ∈ d ta có: –1 = 1⋅a + b ⇔ b = –a – 1

Vì B(–1; –7) ∈ d ta có: –7 = –1⋅a + b ⇔ b = a – 7

Suy ra: –a – 1 = a – 7 ⇔ a = 3

Thay a = 3 vào b = –a – 1 ta được b = –4

Vậy hàm số y = 3x – 4 có đồ thị là đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B.

Câu 3. Chứng tỏ ba điểm sau thẳng hàng

a) $A\left( { - 1;3} \right),B\left( { - \frac{1}{2};2} \right),C\left( {2; - 3} \right)$

b) $H\left( {1;1} \right),I\left( { - 1; - 5} \right),K\left( { - \frac{1}{3}; - 3} \right)$

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B có dạng: y = ax + b

⇒ (d): y = –2x + 1

C ∈ (d): y = –2x + 1 ⇔ –3 = –2⋅2 + 1 ⇔ –3 = –3 (đẳng thức đúng).

b) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm H và I có dạng: y = 3x – 2

Câu 4. Tìm tập hợp điểm I và K nằm trên mặt phẳng tọa độ sau đây:

a) $I\left( {\frac{{m + 1}}{2};\frac{{2m - 1}}{3}} \right)$

b) $K\left( {\frac{{2 - 3m}}{5};\frac{{m + 7}}{3}} \right)$

Hướng dẫn giải

a) Giả sử $I\left( {{x_I};{y_I}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_I} = \frac{{m + 1}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ {y_I} = \frac{{2m - 1}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Khử m từ hệ điều kiện trên ta được 4x_I – 3y_I – 3 = 0

Từ đó suy ra I nằm trên đường thẳng $y = \frac{4}{3}x - 1$

b) Tương tự, K nằm trên đường thẳng $y = - \frac{5}{9}x + \frac{{23}}{9}$

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): $y = \frac{2}{3}x - 2$

a) Vẽ (d). Viết phương trình đường thẳng qua A(3; 2) và song song với (d).

b) Tìm tọa độ điểm B trên trục tung sao cho tam giác AOB vuông tại A.

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số là dường thẳng đi qua 2 điểm (0; –2), (3; 0)

Phương trình đường thẳng (∆) đi qua A(3; 2) và song song với (d) là (∆): $y = \frac{2}{3}x$

b) Kẻ AH ⊥

ΔOAB vuông tại A

$A{H^2} = OH \cdot HB \Leftrightarrow HB = \frac{{A{H^2}}}{{OH}} = \frac{9}{2}$

Vậy $B\left( {0;\frac{{13}}{2}} \right)$

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1; 2) và B(3; 4). Tìm trên trục hoành điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Xét bài toán: “Cho đường thẳng (d) và 2 điểm A, B cùng nửa mặt phẳng bờ (d), tìm trên (d) điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất”

Dựng A’ là hình chiếu của A trên (d) nên M là giao điểm của A’B với (d).

Áp dụng: Dựng A’ là hình chiếu của A trên Ox nên A'(–1; 2).

Suy ra: M là giao điểm của A’B với Ox.

Phương trình (A’B) có dạng y = ax + b với a = 3 và b = 5 (thay tọa độ điểm A’, B vào phương trình)

⇒ (A’B): y = 3x – 5

Cho y = 0 ⇒ x = $\frac{5}{3}$

Vậy ${M_0}\left( {\frac{5}{3};0} \right)$ thì MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập tự luyện

[content_4]

Câu 1. Cho hai đường thẳng:

(d₁): y = m(x + 2)

(d₂): y = (2m – 3)x + 2

Với giá trị nào của m thì:

a) (d₁) song song với (d₂)

b) (d₁) trùng với (d₂)

c) (d₁)vuông góc với (d₂)

Hướng dẫn giải

a) (d₁) song song với (d₂)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 2m - 3 \hfill \\ 2m \ne 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3 \hfill \\ m \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 3$

b) (d₁) trùng với (d₂)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 2m - 3 \hfill \\ 2m = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3 \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (không thỏa mãn).

Suy ra: Hai đường thẳng này không thể trùng nhau.

c) (d₁) vuông góc với (d₂)

$\begin{gathered} \Leftrightarrow m\left( {2m - 3} \right) = - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {2m - 1} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ m = \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Cho hai đường thẳng:

(d₁): y = (m + 1)x + 5

(d₂): y = (2m + 1)x + m – 4

Xác định m để hai đường thẳng:

a) Cắt nhau.

b) Song song với nhau.

c) Vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

a) m + 2 ≠ 2m + 1 ⇔ m ≠ 1

b) m + 2 = 2m + 1 ∧ 5 ≠ m – 4

⇔ m = 1 ∧ m ≠ 9

⇔ m = 1

c) (m + 2)(2m + 1) = –1

⇔ 2m² + 5m + 3 = 0

⇔ (m + 1)(2m + 3) = 0

⇔ m = –1 ∨ m = $- \frac{3}{2}$

Câu 3. Cho 2 đường thẳng:

y = (m + 2)x + 2 (d)

y = (m² + 2m)x – 1 (d’)

a) Hai đường thẳng (d) và (d’) có thể trùng nhau không?

b) Tìm các giá trị của m để (d) và (d’) song song với nhau.

Hướng dẫn giải

a) Hai đường thẳng (d) và (d’) có tung độ gốc lần lượt là b = 2 và b’ = –1.

Rõ ràng b ≠ b’ (2 ≠ 1) nên hai đường thẳng (d) và (d’) không thể trùng nhau được

b) Hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau khi và chỉ khi:

m + 2 = m² + 2m

⇔ m² + m – 2 = 0

⇔ (m – 1)(m + 2) = 0

⇔ m = 1 ∨ m = –2

Vậy với m = 1 hoặc m = –2 thì hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau.

Câu 4. Tìm giá trị của k để ba đường thẳng:

y = –2x + 3 (d₁)

y = 3x – 2 (d₂)

y = kx + k – 5 (d₃)

Đồng quy trong mặt phẳng tọa độ.

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng (d₁) và (d₂) có hệ số của x khác nhau (2 ≠ –3) nên chúng cắt nhau tại điểm M trong mặt phẳng tọa độ.

Khi đó tọa độ của điểm M phải thỏa mãn đồng thời hai phương trình: y = –2x + 3 và y = 3x – 2

Suy ra: –2x + 3 = 3x – 2 ⇔ –5x = 5 ⇔ x = 1

y = –2x + 3 = –2 + 3 = 1

Tọa độ của điểm M là: M(1; 1)

Để ba đường thẳng đồng quy thì điểm M(1; 1) thuộc đường thẳng (d₃) suy ra k = 3.

Câu 5. Cho hai đường thẳng:

y = (m + 6)x + 2

y = m(3m + 4)x – 5

a) Chứng minh rằng khi m = –2 thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

Hướng dẫn giải

a) Khi m = –2 hai đường thẳng có cùng hệ số góc là 4 nên chúng song song với nhau.

b) Hai đường thẳng y = (m + 6)x + 2 và y = m(3m + 4)x – 5 song song với nhau khi và chỉ khi:

m + 6 = 3(3m + 4)

⇔ 3m² + 3m – 6 = 0

⇔ m² + m – 2 = 0

⇔ (m – 1)(m + 2) = 0

⇔ m = 1 ∨ m = –2

Câu 6. Cho hai đường thẳng:

y = (m + 1)x – 3

y = (2m – 1)x + 4

a) Chứng minh rằng khi m = $- \frac{1}{2}$ thì hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

a) Khi m = $- \frac{1}{2}$ hai đường thẳng y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4 có hệ số góc lần lượt là a = $\frac{1}{2}$ và a’ = –2

Khi đó: aa’ = $\frac{1}{2}$ ⋅ (–2) = –1

Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.

b) Hai đường thẳng y = (m + 1)x – 3 và đường thẳng y = (2m – 1)x + 4 vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

(m + 1)(2m – 1) = –1

⇔ 2m² + m = 0

⇔ m(2m + 1) = 0

⇔ m = 0 ∨ m = $- \frac{1}{2}$

Câu 7. Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:

a) Khi a = $\sqrt 3$ , đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- \sqrt 3$

b) Khi a = –5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(–2; 3)

c) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(1; 3) và N(–2; 6)

d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = \sqrt 7 x$ và đi qua điểm $\left( {1;7 + \sqrt 7 } \right)$

Hướng dẫn giải

a) Khi a = $\sqrt 3$ ta có hàm số y = $\sqrt 3$ x + b. Đồ thị hàm số y = $\sqrt 3$ x + b cắt trục tung tại hai điểm có tung độ bằng $- \sqrt 3$ nên b = $- \sqrt 3$ , ta được hàm số $y = \sqrt 3 x - \sqrt 3$

b) Khi a = –5, ta có hàm số y = –5x + b

Đồ thị hàm số y = –5x + b đi qua điểm A(–2; 3) nên:

3 = –5⋅(–2) + b ⇔ b = –7

Hàm số phải tìm là y = –5x – 7

c) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm M(1; 3) và N(–2; 6), ta có:

3 = a⋅1 + b

6 = a⋅(–2) + b

Suy ra a = –1, b = 4, ta được hàm số y = –x + 4

d) Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng $y = \sqrt 7 x$ nên a = $\sqrt 7$ .

Ta có hàm số $y = \sqrt 7 x + b$

Đồ thị hàm số $y = \sqrt 7 x + b$ lại đi qua điểm $\left( {a;7 + \sqrt 7 } \right)$

Nên: $7 + \sqrt 7 = \sqrt 7 + 1 + b \Leftrightarrow b = 6$

Hàm số phải tìm là: $y = \sqrt 7 x + 6$

Câu 8. Cho đường thẳng: y = 4x (d)

a) Viết phương trình đường thẳng (d₁) song song với đường thẳng (d) và có tung độ gốc bằng 10.

b) Viết phương trình đường thẳng (d₂) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng –8.

c) Viết phương trình đường thẳng (d₃) song song với đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.

Hướng dẫn giải

a) y = 4x + 10

b) Đường thẳng (d₂) có dạng y = ax + b

Đường thẳng này vuông góc với đường thẳng (d) nên: a∙4 = –1, suy ra a = $- \frac{1}{4}$

Ta có hàm số $y = - \frac{1}{4}x + b$

Đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –8, ta có b = –2.

Hàm số phải tìm là: $y = - \frac{1}{4}x - 2$

c) Đường thẳng (d₃) song song với đường thẳng (d) nên có dạng y = 4x + b.

Đường thẳng này cắt trục hoành ở điểm A, cắt trục tung ở điểm B, ta có: y = 0 thì $x = - \frac{b}{4}$

Tọa độ điểm A là $A\left( { - \frac{b}{4};0} \right)$ , x = 0 thì y = b

Tọa độ điểm B là B(0; b).

Tam giác AOB vuông ở O nên:

${S_{AOB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \left| { - \frac{b}{4}} \right| \cdot b = \frac{{{b^2}}}{8}$

Suy ra $8 = \frac{{{b^2}}}{8}$ do đó b² = 64 nên b = ±8

Có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: y = 4x + 8 và y = 4x – 8

Câu 9. Cho hàm số y = (m – 2)x + n (1)

a) Tìm m và n để đồ thị hàm số cắt Ox tại A; Oy tại B sao cho x_A = x_B = 3

b) Viết phương trình đường cao OH của tam giác OAB.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng (1) cắt Ox tại A sao cho x_A = 3 ⇒ A(3; 0)

Đường thẳng (1) cắt Oy tại B sao cho y_B = 3 ⇒ B(0; 3)

Thay tọa độ điểm A, B vào (1) ta được:

$\left\{ \begin{gathered} \left( {m - 2} \right)3 + n = 0 \hfill \\ \left( {m - 2} \right)3 + n = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ n = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy m = 1; n = 3 ta được hàm số y = –x + 3

b) Phương trình đường cao OH đi qua O(0; 0) nên hàm số có dạng: y = ax

Mặt khác, OH vuông góc với đường thẳng y = –x + 3

nên: a⋅(–1) = –1 ⇒ a = 1

Vậy phương trình đường cao OH là: y = x.

Câu 10. Cho đường thẳng y = (a – 1)x + 2 – a (d)

a) Tìm a để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là $- \frac{1}{2}$

b) Tìm a để đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = $\frac{1}{2}$ x

c) Chứng minh rằng các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của a.

Hướng dẫn giải

a) $2 - a = - \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{2}$

b) $\left( {a - 1} \right) \cdot \frac{1}{2} = - 1 \Rightarrow a = - 1$

c) Viết y = a(x – 1) + 2 – x dưới dạng: a(x – 1) + 2 – x – y = 0 (*)

Phương trình (*) nghiệm đúng với mọi a

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 1 = 0 \hfill \\ 2 - x - y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy điểm cố định là A(1; 1)

Câu 11.

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: $A\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }};2} \right)$ và $B\left( {\sqrt 3 ;1} \right)$

b) Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng y = ax + b đi qua A và B nên:

$\left\{ \begin{gathered} 2 = \frac{2}{{\sqrt 3 }}a + b \hfill \\ 1 = \sqrt 3 a + b\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \sqrt 3 \hfill \\ b = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow y = - \sqrt 3 x + 4$

b) M là trung điểm của AB nên M có tọa độ là:

$\left( {\frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{2}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} }{2};\frac{{2 + 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{6};\frac{3}{2}} \right)$

Đường trung trực của AB có dạng: y = ax + b vuông góc với đường thẳng

$\begin{gathered} y = - \sqrt 3 x + 4 \Rightarrow a\left( { - \sqrt 3 } \right) = - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + b \hfill \\ \end{gathered}$

Đường thẳng này đi qua M, nên:

$\frac{3}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{6} + b \Rightarrow b = \frac{3}{2}$

Vậy phương trình đường trung trực của AB là:

$y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + \frac{3}{2}$

Câu 12. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = mx + 3 tiếp xúc với đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và có bán kính bằng 2.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng y = mx + 3 tiếp xúc với (O; 2)

⇒ OH = 2 và OH ⊥ AB

Xét tam giác vuông OAB có:

$\begin{gathered} \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{O{B^2}}}\left( {OA = 3} \right) \hfill \\ \Rightarrow OB = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra: Tìm được hai điểm B và B’ thuộc x’x sao cho: $OB = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}$

Nếu $B\left( {\frac{{6\sqrt 5 }}{5};0} \right) \Rightarrow m \cdot \frac{{6\sqrt 5 }}{5} + 3 = 0$

$\Rightarrow m = - \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow y = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}x + 3$

Nếu $B'\left( { - \frac{{6\sqrt 5 }}{5};0} \right) \Rightarrow m \cdot \left( { - \frac{{6\sqrt 5 }}{5}} \right) + 3 = 0$

$\Rightarrow m = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow y = \frac{{\sqrt 5 }}{2}x + 3$

Vậy $m = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}$

Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ cho E(2m – 1; 3m + 2)

a) Tìm tập hợp các điểm E.

b) Tìm m để OE nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

a) E(2m – 1; 3m + 2) ⇒ x = 2m – 1 , y = 3m + 2

Từ: x = 2m – 1 suy ra: $m = \frac{{x + 1}}{2}$

Thay vào y = 3m + 2

Ta được: $y = 3 \cdot \frac{{x + 1}}{2} + 2 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$

Vậy tập hợp các điểm E là đường thẳng có phương trình là: $y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$

b) Cách 1: Tìm tọa độ A, B (xem hình vẽ)

OE_{nhỏ nhất} ⇔ OE ⊥ AB.

Xét tam giác vuông OAB, có OE là đường cao.

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{\begin{gathered} {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } + \frac{1}{\begin{gathered} {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } \Rightarrow OE = \frac{7}{{\sqrt {13} }} \hfill \\ \end{gathered}$

Mặt khác: $OE = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + {{\left( {3m + 2} \right)}^2}}$

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{49}}{{13}} = 13{m^2} + 8m + 5\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {13m + 4} \right)^2} = 0 \Rightarrow m = - \frac{4}{{13}} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy: $m = - \frac{4}{{13}}$ thì E có tọa độ là $\left( { - \frac{{21}}{{13}};\frac{{14}}{{13}}} \right)$ để OE_{nhỏ nhất} = $\frac{7}{{\sqrt {13} }}$

Cách 2: Phương trình đường thẳng OE: y = ax vì OE ⊥ AB nên:

$a \cdot \frac{3}{2} = - 1 \Rightarrow a = - \frac{2}{3}$

Suy ra, phương trình đường thẳng OE là: $y = - \frac{2}{3}x$

Do E là giao điểm của hai đường thẳng $y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$ và $y = - \frac{2}{3}x$ nên hoành độ của E thỏa mãn phương trình:

$\frac{3}{2}x + \frac{7}{2} = - \frac{2}{3}x \Rightarrow x = - \frac{{21}}{{13}}$

Thay $x = - \frac{{21}}{{13}}$ vào x = 2m – 1, ta được: $m = - \frac{4}{{13}}$

Khi đó, tọa độ của E là: $\left( { - \frac{{21}}{{13}};\frac{{21}}{{13}}} \right)$

Vậy $m = - \frac{4}{{13}}$ thì OE_{nhỏ nhất} = $\frac{7}{{\sqrt {13} }}$

Bài tập trắc nghiệm

[content_5]

Câu 1. Hai đường thẳng d: ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) cắt nhau khi

A. a ≠ a’

B. $\left\{ \begin{gathered} a \ne a' \hfill \\ b \ne b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

C. $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b \ne b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

D. $\left\{ \begin{gathered} a \ne a' \hfill \\ b = b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

d cắt d’ ⇔ a ≠ a’

Câu 2. Hai đường thẳng d: ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) trùng nhau khi

A. a ≠ a’

B. $\left\{ \begin{gathered} a \ne a' \hfill \\ b \ne b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

C. $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b \ne b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

D. $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b = b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

d ≡ d’ ⇔ $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b = b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Câu 3. Hai đường thẳng d: ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) có a ≠ a’ và b ≠ b’. Khi đó:

A. d // d’

B. d ≡ d’

C. d cắt d’

D. d ⊥ d’

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

– d // d’ ⇔ $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b \ne b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

– d ≡ d’ ⇔ $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b = b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

– d cắt d’ ⇔ a ≠ a’

– d ⊥ d’ ⇔ a⋅a’ = –1

Câu 4. Hai đường thẳng d: ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) có a ≠ a’. Khi đó:

A. d // d’

B. d ≡ d’

C. d cắt d’

D. d ⊥ d’

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

d cắt d’ ⇔ a ≠ a’

Câu 5. Cho hai đường thẳng d: y = x + 3 và d’: y = –2x. Khi đó:

A. d // d’

B. d ≡ d’

C. d cắt d’

D. d ⊥ d’

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Ta thấy d: y = x + 3 có a = 1 và d’: y = –2x có a’ = –2

⇒ a ≠ a’ (1 ≠ –2)

⇒ d cắt d’

Câu 6. Cho hai đường thẳng d: y = $- \frac{1}{2}$ x + 1 và d’: y = $- \frac{1}{2}$ x + 2. Khi đó:

A. d // d’

B. d ≡ d’

C. d cắt d’

D. d ⊥ d’

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Ta thấy d: y = $- \frac{1}{2}$ x + 1 có a = $- \frac{1}{2}$ ; b = 1

và d’: y = $- \frac{1}{2}$ x + 2 có a’ = $- \frac{1}{2}$ ; b’ = 2

⇒ $\left\{ \begin{gathered} a = a'\left( { - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}} \right) \hfill \\ b = b'\left( {1 \ne 2} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ nên d // d’

Câu 7. Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng:

d: y = (m + 2)x – m và d’: y = –2x – 2m + 1

Với giá trị nào của m thì d cắt d’?

A. m ≠ 2

B. m ≠ –4

C. m ≠ {–2; –4}

D. m ≠ {2; –4}

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Ta thấy d: y = (m + 2)x – m có a = m + 2

và d’: y = –2x – 2m + 1 có a’ = –2

Để d: y = (m + 2)x – m là hàm số bậc nhất thì m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ –2

Để d cắt d’ ⇔ a ≠ a’ ⇔ m + 2 ≠ –2 ⇔ m ≠ –4

Vậy m ≠ {–2; –4}

Câu 8. Cho hai đồ thị hàm số bậc nhất là hai đường thẳng:

d: y = (3 – 2m)x – 2 và d’: y = 4x – m + 2

Với giá trị nào của m thì d cắt d’?

A. $m \ne \left\{ {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right\}$

B. $m \ne \frac{3}{2}$

C. $m \ne \left\{ { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right\}$

D. $m \ne \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Ta thấy d: y = (3 – 2m)x – 2 có a = 3 – 2m

và d’: y = 4x – m + 2 có a’ = 4

Để d: y = (3 – 2m)x – 2 là hàm số bậc nhất thì 3 – 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ $\frac{3}{2}$

Để d cắt d’ ⇔ a ≠ a’ ⇔ 3 – 2m ≠ 4 ⇔ 2m ≠ 1 ⇔ m ≠ $\frac{1}{2}$

Vậy $m \ne \left\{ {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right\}$

Câu 9. Cho hai đồ thị hàm số bậc nhất là hai đường thẳng:

d: y = (3 – 2m)x – 2 và d’: y = 4x – m + 2

Với giá trị nào của m thì d // d’?

A. m = –2

B. m = –4

C. m = 2

D. m ≠ {2; –4}

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Ta thấy d: y = (3 – 2m)x – 2 có a = m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ –2

và d’: y = 4x – m + 2 có a’ = –2 ≠ 0

Để d // d’ thì $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b \ne b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m + 2 = - 2 \hfill \\ - m \ne - 2m + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = - 4 \hfill \\ m \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = - 4$

Câu 10. Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 2)x + m – 3 tìm m để hàm số có đồ thị song song với đường thẳng y = 3x – 3m.

A. $m = - \frac{2}{5}$

B. $m = \frac{2}{5}$

C. $m = \frac{5}{2}$

D. $m = - \frac{5}{2}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Hàm số y = (2m – 2)x + m – 3 là hàm số bậc nhất khi 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để d // d’ thì

$\left\{ \begin{gathered} 2m - 2 = 3 \hfill \\ m - 3 \ne - 3m \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = \frac{5}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ m \ne \frac{3}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}$

Vậy $m = \frac{5}{2}$

Câu 11. Cho hai đồ thị hàm số bậc nhất là hai đường thẳng

d: y = (m + 2)x – m và d’: y = –2x – 2m + 1

Với giá trị nào của m thì d ≡ d’?

A. m = –2

B. m = –4

C. m = 2

D. Không có m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Ta thấy d: y = (m + 2)x – m có a = m + 2

và d’: y = –2x – 2m + 1 có a’ = –2

Điều kiện để d: y = (m + 2)x – m là hàm số bậc nhất khi:

m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ –2

Để d ≡ d’ thì $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b = b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m + 2 = - 2 \hfill \\ - m = - 2m + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = - 4 \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( {KTM} \right)$

Vậy không có giá trị nào của m để d ≡ d’

Câu 12. Cho hai đường thẳng:

d: $y = \left( {1 - m} \right)x + \frac{m}{2}$ và d’: y = –x + 1

Với giá trị nào của m thì d ≡ d’?

A. m = –2

B. m = –4

C. m = 2

D. Không có m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Ta thấy d: $y = \left( {1 - m} \right)x + \frac{m}{2}$ có $a = 1 - m;{\text{ }}b = \frac{m}{2}$

và d’: y = –x + 1 có a’ = –1, b’ = 1

Điều kiện để d: $y = \left( {1 - m} \right)x + \frac{m}{2}$ là hàm số bậc nhất khi:

1 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để d ≡ d’ thì $\left\{ \begin{gathered} a = a' \hfill \\ b = b' \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - m = - 1 \hfill \\ \frac{m}{2} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 2 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 2\left( {TM} \right)$

Vậy m = 2

Câu 13. Cho hàm số y = (m – 5)x – 4. Tìm m để hàm số nhận giá trị là 5 khi x = 3.

A. m = 6

B. m = 7

C. m = 8

D. m = –3

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Thay x = 3; y = 5 vào hàm số y = (m – 5)x – 4 ta được:

(m – 5)⋅3 – 4 = 5

⇔ (m – 5)⋅3 = 9

⇔ m – 5 = 3 ⇔ m = 8

Vậy m = 8

Câu 14. Cho hàm số y = 7mx – 3m + 2. Tìm m để hàm số nhận giá trị là 11 khi x = 1.

A. $m = \frac{9}{4}$

B. $m = \frac{4}{9}$

C. $m = 9$

D. $m = - \frac{9}{4}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Thay x = 1; y = 11 vào hàm số y = 7mx – 3m + 2 ta được:

11 = 7m⋅1 – 3m + 2 ⇔ 4m = 9 ⇔ m = $\frac{9}{4}$

Vậy $m = \frac{9}{4}$

Câu 15. Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1.

A. y = 2x + 2

B. y = –2x – 2

C. y = 3x – 2

D. y = 2x – 2

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên d đi qua hai điểm A(0; –2), B(1; 0)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được:

a⋅0 + b = –2 ⇔ b = –2

Thay tọa độ điểm B và b = –2 vào phương trình đường thẳng d ta được:

a⋅1 – 2 = 0 ⇔ a = 2

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 2x – 2

Câu 16. Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ –4.

A. $y = - \frac{3}{4}x + 3$

B. $y = \frac{3}{4}x + 3$

C. $y = - \frac{3}{4}x - 3$

D. $y = \frac{3}{4}x - 3$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –4 nên d đi qua hai điểm A(0; 3), B(–4; 0)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được:

a⋅0 + b = 3 ⇔ b = 3

Thay tọa độ điểm B và b = 3 vào phương trình đường thẳng d ta được:

a⋅(–4) + 3 = 0 ⇔ a = $\frac{3}{4}$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = \frac{3}{4}x + 3$

Câu 17. Viết phương trình đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: y = 3x + 1 và đi qua điểm M(–2; 2).

A. y = 2x + 8

B. y = 3x + 8

C. y = 3x – 8

D. y = 3x

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d // d’ nên $\left\{ \begin{gathered} a = 3 \hfill \\ b \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⇒ d: y = 3x + b

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:

3⋅(–2) + b = 2 ⇔ b = 8 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng d: y = 3x + 8

Câu 18. Viết phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với đường thẳng d: y = $- \frac{1}{2}$ x + 3 và đi qua điểm M(2; –1)

A. y = 2x + 5

B. y = –x + 4

C. y = 2x – 5

D. y = $- \frac{1}{2}$ x

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d ⊥ d’ nên $a \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow a = 2\left( {TM} \right)$

⇒ d: y = 2x + b

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:

2⋅2 + b = –1 ⇔ b = –5 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng d: y = 2x – 5

Câu 19. Viết phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với đường thẳng d’: y = $\frac{1}{3}$ x + 3 và cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại điểm có tung độ bằng 5.

A. y = –3x + 11

B. y = –3x + 4

C. y = –3x

D. y = 3x + 11

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d ⊥ d’ nên a ⋅ $\frac{1}{3}$ = –1 ⇔ a = –3

⇒ d: y = –3x + b

Gọi điểm M(x; 5) là giao điểm đường thẳng d và đường thẳng y = 2x + 1

Khi đó: 2x + 1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 ⇒ M(2; 5)

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:

–3⋅2 + b = 5 ⇔ b = 11

Vậy phương trình đường thẳng d: y = –3x + 11

Câu 20. Viết phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với đường thẳng y = 4x + 1 và cắt đường thẳng y = x – 1 tại điểm có tung độ bằng 3.

A. $y = - \frac{1}{4}x - 4$

B. $y = - \frac{1}{4}x + 4$

C. $y = - \frac{1}{4}x + 2$

D. $y = - \frac{1}{4}x$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d ⊥ d’ nên a⋅4 = –1 ⇔ a = $- \frac{1}{4}$

⇒ d: y = $- \frac{1}{4}$ x + b

Gọi điểm M(x; 3) là giao điểm đường thẳng d và đường thẳng y = x – 1

Khi đó: x – 1 = 3 ⇔ x = 4 ⇒ M(4; 3)

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:

$- \frac{1}{4}$ ⋅ 4 + b = 3 ⇔ b = 4

Vậy phương trình đường thẳng d: $y = - \frac{1}{4}x + 4$

Câu 21. Viết phương trình đường thẳng d biết d song song với đường thẳng y = –2x + 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

A. y = –2x + 6

B. y = –3x + 6

C. y = –2x – 4

D. y = –2x + 1

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d song song với đường thẳng y = –2x + 1 nên a = –2, b ≠ 1 ⇒ d: y = –2x + b

Giao điểm của đường thẳng d với trục hoành có tọa độ (3; 0)

Thay x = 3; y = 0 vào phương trình đường thẳng d ta được:

–2⋅3 + b = 0 ⇔ b = 6 (TM)

⇒ y = –2x + 6

Vậy d: y = –2x + 6

Câu 22. Viết phương trình đường thẳng d biết d song song với đường thẳng y = –5x – 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5

A. y = 5x – 25

B. y = 5x + 25

C. y = –5x + 25

D. y = –5x – 25

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d song song với đường thẳng y = –5x – 3 nên a = –5, b ≠ –3 ⇒ d: y = –5x + b

Giao điểm của đường thẳng d với trục hoành có tọa độ (5; 0)

Thay x = 5; y = 0 vào phương trình đường thẳng d ta được:

–5⋅5 + b = 0 ⇔ b = 25 (TM)

⇒ y = –5x + 25

Vậy d: y = –5x + 25

Câu 23. Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua hai điểm A(1; 2), B(–2; 0).

A. $y = - \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

B. $y = - \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

C. $y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

D. $y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được:

a + b = 2 ⇒ b = 2 – a

Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d ta được:

–2a + b = 0 ⇒ b = 2a

Suy ra:

$\begin{gathered} 2a = 2 - a \Leftrightarrow a = \frac{2}{3}\left( {TM} \right) \Rightarrow b = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \hfill \\ \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy d: $y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

Câu 24. Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua hai điểm A(3; 3), B(–1; 4)

A. $y = \frac{1}{4}x - \frac{{15}}{4}$

B. $y = - \frac{1}{4}x + \frac{{15}}{4}$

C. $y = - \frac{1}{4}x - \frac{{15}}{4}$

D. $y = \frac{1}{4}x + \frac{{15}}{4}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được:

3a + b = 3 ⇒ b = 3 – 3a

Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d ta được:

–1a + b = 4 ⇒ b = 4 + a

Suy ra:

$\begin{gathered} 3 - 3a = 4 + a \Leftrightarrow 4a = - 1 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{4}\left( {TM} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow b = 4 + a = 4 + \left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{15}}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow y = - \frac{1}{4}x + \frac{{15}}{4} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy d: $y = - \frac{1}{4}x + \frac{{15}}{4}$

Câu 25. Tìm điểm M cố định mà đường thẳng y = 3mx – (m + 3) đi qua với mọi m.

A. $M\left( {\frac{1}{3};3} \right)$

B. $M\left( {\frac{1}{3}; - 3} \right)$

C. $M\left( { - \frac{1}{3}; - 3} \right)$

D. $M\left( { - \frac{1}{3};3} \right)$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Gọi M(x; y) là điểm cố định cần tìm khi đó:

$\begin{gathered} 3mx - \left( {m + 3} \right) = y,{\text{ }}\forall m \hfill \\ \Leftrightarrow 3mx - m - 3 - y = 0,{\text{ }}\forall m\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow m\left( {3x - 1} \right) + \left( { - 3 - y} \right) = 0,{\text{ }}\forall m \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 1 = 0 \hfill \\ - 3 - y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{3}; - 3} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy điểm $M\left( {\frac{1}{3}; - 3} \right)$ là điểm cố định cần tìm

Câu 26. Cho tam giác ABC có đường thẳng BC: y = $- \frac{1}{2}$ x + 1 và A(1; 2). Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

A. $y = 3x - \frac{2}{3}$

B. $y = 3x + \frac{2}{3}$

C. y = 3x + 2

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Giả sử AH: y = ax + b

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC nên:

$a \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow a = 3$

Mặt khác AH đi qua A(1; 2) nên ta có: 3⋅1 + b = 2 ⇔ b = –1

Vậy AH: y = 3x – 1

Câu 27. Cho đường thẳng y = (m² – 2m + 2)x + 4. Tìm m để d cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho diện tích tam giác AOB lớn nhất.

A. m = 1

B. m = 0

C. m = –1

D. m = 2

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

$\begin{gathered} d \cap Oy = \left\{ B \right\} \hfill \\ {x_B} = 0 \Rightarrow {y_B} = 4 \Rightarrow B\left( {0;4} \right) \Rightarrow OB = \left| 4 \right| = 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ d \cap Ox = \left\{ A \right\} \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} {y_A} = 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 2} \right){x_A} + 4 = 0 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \Leftrightarrow {x_A} = \frac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A\left( {\frac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\frac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left| {\frac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right| = \frac{8}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có: (m – 1)² + 1 ≥ 1, ∀m

Do đó: ${S_{\Delta AOB}} = \frac{8}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1}} \leqslant \frac{8}{1} = 8$

Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1

Hay tam giác OAB có diện tích lớn nhất là 8 khi m = 1.

Câu 28. Điểm cố định mà đường thẳng d: $y = \frac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}x + \sqrt k + 3\left( {k \geqslant 0} \right)$ luôn đi qua là:

A. $M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)$

B. $M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)$

C. $M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)$

D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà d luôn đi qua

$\begin{gathered} \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d,{\text{ }}\forall k \hfill \\ \Leftrightarrow {y_0} = \frac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}{x_0} + \sqrt k + 3,{\text{ }}\forall k\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt k {x_0} + {x_0} + \sqrt {3k} - \sqrt k - \sqrt 3 + 3 - \sqrt 3 {y_0} + {y_0} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_0} + \sqrt 3 - 1 = 0 \hfill \\ {x_0} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_0} = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + \left( {1 - \sqrt 3 } \right){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_0} = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \left( {1 - \sqrt 3 } \right){y_0} + 4 - 2\sqrt 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_0} = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \left( {1 - \sqrt 3 } \right){y_0} + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_0} = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ {y_0} = - 1 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)$ là điểm cố định mà d luôn đi qua

Câu 29. Cho đường thẳng d: y = (2m + 1)x – 1 tìm m để d cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích $\frac{1}{2}$

A. m = 0

B. m = 1

C. m = –1

D. Cả A và C đều đúng

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

$\begin{gathered} d \cap Oy = \left\{ B \right\} \hfill \\ {x_B} = 0 \Rightarrow {y_B} = - 1 \Rightarrow B\left( {0; - 1} \right) \Rightarrow OB = \left| { - 1} \right| = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ d \cap Ox = \left\{ A \right\} \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} {y_A} = 0 \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right){x_A} - 1 = 0 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \Leftrightarrow {x_A} = \frac{1}{{2m + 1}}{\text{ }}\left( {m \ne - \frac{1}{2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A\left( {\frac{1}{{2m + 1}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\frac{1}{{2m + 1}}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left| {\frac{1}{{2m + 1}}} \right| = \frac{1}{2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ \Leftrightarrow \left| {2m + 1} \right| = 1} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ m = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {TM\rlap{--} DK} \right)} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 30. Biết đường thẳng d: y = mx + m – 1 cắt Ox tại A, và cắt Oy tại B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 6. Khi đó giá trị của m bằng

A. $m = \pm \frac{4}{3}$

B. $m < \frac{4}{3}$

C. $m > \frac{4}{3}$

D. $m = \frac{4}{3}$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

$\begin{gathered} {y_A} = 0 \Leftrightarrow m{x_A} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x_A} = \frac{{ - 4}}{m}{\text{ }}\left( {m \ne 0} \right) \hfill \\ \Rightarrow A\left( {\frac{{ - 4}}{m};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\frac{{ - 4}}{m}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = 6 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left| {\frac{{ - 4}}{m}} \right| = 6 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \Leftrightarrow \left| m \right| = \frac{4}{3} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm \frac{4}{3}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 31. Cho đường thẳng d: y = mx + m – 1. Tìm m để d cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho tam giác AOB là tam giác vuông cân

A. m < 1

B. m = 1

C. m > 1

D. m = 1 hoặc m = –1

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

$\begin{gathered} d \cap Oy = \left\{ B \right\} \hfill \\ {x_B} = 0 \Rightarrow {y_B} = m - 1 \Rightarrow B\left( {0;m - 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{ \Rightarrow OB = \left| {m - 1} \right|} \end{array} \hfill \\ d \cap Ox = \left\{ A \right\}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} {y_A} = 0 \Leftrightarrow m{x_A} + m - 1 = 0 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \Leftrightarrow {x_A} = \frac{{1 - m}}{m}{\text{ }}\left( {m \ne 0} \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A\left( {\frac{{1 - m}}{m};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\frac{{1 - m}}{m}} \right| \hfill \\ \end{gathered}$

Tam giác OAB vuông cân tại O

$\begin{gathered} \Leftrightarrow OA = OB \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = \left| {\frac{{1 - m}}{m}} \right| \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m - 1 = \frac{{1 - m}}{m} \hfill \\ m - 1 = \frac{{m - 1}}{m} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {m^2} = 1 \hfill \\ \left( {m - 1} \right)\left( {1 - \frac{1}{m}} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \pm 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{m} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = \pm 1 \hfill \\ \end{gathered}$

eduverbalearn0313