Tìm hiểu dãy số thông qua các điểm lý thuyết: Dãy số tăng – giảm, dãy số bị chặn trên – chặn dưới và các dạng bài tập điển hình. Trong thực tế, nhiều vấn đề được tạo dựng thông qua quá trình thu thập dữ liệu. Các số liệu này tạo thành những dãy số có quy luật khác nhau. Hiểu được dãy số không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong chương trình phổ thông mà còn làm chủ được nhiều quy luật dữ liệu khác nhau. [1]Wikipedia, Dãy số thực, 10/10/2021
Dãy số là gì?
Dãy số là một lũy tiến hoặc một danh sách có thứ tự các số được điều chỉnh bởi một mẫu hoặc quy tắc. Các số trong một dãy được gọi là số hạng. Một dãy tiếp tục vô thời hạn mà không kết thúc là một dãy vô hạn, trong khi một dãy có kết thúc được gọi là một dãy hữu hạn. [2]The Story of Mathematics, Number Sequence – Explanation & Examples, 2020
Lý thuyết dãy số
1. Khái niệm dãy số
Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương ℕ* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số).
Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số. Chẳng hạn,
+) u1 = u (1) là số hạng thứ nhất (hay còn gọi là số hạng đầu).
+) u2 = u (2) là số hạng thứ hai.
+) un = u (n) là số hạng thứ n (hay còn gọi là số hạng tổng quát).
Người ta thường viết dãy số dưới dạng triển khai u1, u2, u3, …, un,… hoặc viết tắt là (un).
2. Cách cho một dãy số
Cách 1: Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát.
Cách 2: Dãy số cho bởi hệ thực thức truy hồi.
+) Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu).
+) Cho một công thức tính un theo un – 1 (hoặc một vài số hạng đứng ngay trước nó).
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số (un) là dãy số tăng khi và chỉ khi với mọi n ∊ ℕ* ta luôn có un < un + 1.
Dãy số (un) là dãy số giảm khi và chỉ khi với mọi n ∊ ℕ* ta luôn có un > un + 1.
4. Dãy số bị chặn
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un ≤ M, với mọi n ∊ ℕ*.
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un ≥ m, với mọi n ∊ ℕ*.
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho m ≤ un ≤ M, với mọi n ∊ ℕ*.
Phân dạng bài tập dãy số
Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số cho trước
1.1. Phương pháp giải
Từ công thức số hạng tổng quát ta thay giá trị n phù hợp để tìm số hạng cần tìm hoặc dùng hệ thức truy hồi để tìm số hạng đó.
1.2. Bài tập vận dụng
[ads]
Bài tập 1: Cho dãy số (un) với 
. Hãy viết dạng khai triển của dãy số. Tính u50 và u99.
Lời giải
Dạng khai triển của dãy số đã cho là 
Ta có 
và 
Bài tập 2: Cho dãy số (un) được xét định bởi
Hãy viết dạng khai triển của dãy số trên. Tính u8.
Lời giải
Dạng khai triển của dạy số đã cho là 1; 3; 7; 15; …; 2n – 1; …
Ta có u1 = 1, u2 = 3, u3 = 7, u4 = 15, u5 = 31, u6 = 63, u7 = 127, u8 = 255.
Bài tập 3: Cho dãy số (un) được xác định bởi
(dãy số Phi – bô – na – xi).
Hãy viết dạng khai triển của dãy số trên. Tính u7.
Lời giải
Dạng khai triển của dạy số đã cho là 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …
Ta có u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13.
Bài tập 4: Tìm số hạng tổng quát un, theo n của các dãy số sau đây
1) Dãy số (un) với 
2) Dãy số (un) với 
Lời giải
1) Từ công thức un + 1 = un + 2 với mọi n ≥ 1 suy ra un + 1 – un = 2 với mọi n ≥ 1. Từ đó ta có:
u2 – u1 = 2
u3 – u2 = 2
u4 – u3 = 2
…………..
un – un – 1 = 2.
Cộng theo vế tất cả các đẳng trên ta được
un – un – 1 = (n – 1) 2 ⇔ un = u1 + 2n – 2 ⇔ un = 2n + 1.
2) Từ công thức un + 1 = 2un với mọi n ≥ 1 suy ra 
với mọi n ≥ 1. Từ đó ta có:
Nhân hai vế tất cả các đẳng thức trên ta được
Bài tập 5: Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số (un) và tìm công thức số hạng tổng quát un, theo n của các dãy số (un) sau
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Lời giải
1) Năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho là u1 = 3, u2 = 6, u3 = 12, u4 = 24, u5 = 48.
Từ công thức un + 1 = 2un với mọi n ≥ 1 suy ra 
với mọi n ≥ 1. Từ đó ta có:
Nhân theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được
2) Năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho là u1 = 1, u2 = 9, u3 = 36, u4 = 100, u5 = 225.
Từ công thức un + 1 = 2un với mọi n ≥ 1 suy ra un + 1 – un = n3 với mọi n ≥ 1. Từ đó ta có:
u2 – u1 = 23
u3 – u2 = 33
u4 – u3 = 43
………….
un – un – 1 = n3.
Cộng theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được
3) Năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho là 
Dễ thấy un ≠ 0 với mọi n ∊ ℕ*.
Từ công thức 
với mọi n ≥ 1 suy ra 
với mọi n ≥ 1. Từ đó ta có:
Công theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được
4) Năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho là u1 = –1, u2 = 2, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 11.
Từ công thức un + 1 = un + 3 với mọi n ≥ 1 suy ra un + 1 – un = 3 với mọi n ≥ 1. Từ đó ta có:
u2 – u1 = 3
u3 – u2 = 3
u4 – u3 = 3
………….
un – un – 1 = 3.
Cộng theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được
un – u1 = (n – 1) 3 ⇔ un = u1 +3n – 3 ⇔ un = 3n – 4.
5) Năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho là u1 = 11, u2 = 102, u3 = 1003, u4 = 10004, u5 = 100005.
Từ công thức un + 1 = 10un + 1 – 9n với mọi n ≥ 1 suy ra
Từ đó ta có:
Nhân theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được
6) Năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho là u1 = 1, u2 = 8, u3 = 15, u4 = 22, u5 = 29.
Từ công thức un + 1 = un + 7 với mọi n ≥ 1 suy ra un + 1 – un = 7 với mọi n ≥ 1. Từ đó ta có:
u2 – u1 = 7
u3 – u2 = 7
u4 – u3 = 7
………….
un – un – 1 = 7.
Cộng theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được
un – u1 = (n – 1).7 ⇔ un = u1 +7n – 7 ⇔ un = 7n – 6.
Bài tập 6: Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số (un) và tìm công thức tổng quát un theo n của các dãy số (un) sau
1) 
2) 
3) 
4) 
Lời giải
1) Năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho là 
Ta thấy un > 0 với n ∊ ℕ*. Từ công thức 
suy ra
Từ đó ta có
Cộng theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được
2) Năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho là u1 = 1, u2 = 5, u3 = 13, u4 = 29, u5 = 61.
Từ công thức un + 1 = 2un + 3 với mọi n ≥ 1 suy ra
Từ đó
Nhân theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được
3) Năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho là u1 = 5, u2 = 6, u3 = 10, u4 = 17, u5 = 27.
Từ công thức un + 1 = un + 3n – 2 với mọi n ≥ 1 suy ra un + 1 – un = 3n – 2. Từ đó ta có
4) Năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho là u1 = –1, u2 = –1, u3 = –1, u4 = –1, u5 = –1.
Từ công thức un + 1 = 2un + 1 với mọi n ≥ 1 suy ra
Từ đó ta có
Nhân theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được
Dạng 2: Xét tinh tăng, giảm của dãy số
2.1. Phương pháp giải
1. Xét dấu hiệu số
Xét dấu của hiệu số un + 1 – un:
+) Nếu với mọi n ∊ ℕ* ta luôn có un + 1 – un > 0 thì (un) là dãy số tăng.
+) Nếu với mọi n ∊ ℕ* ta luôn có un + 1 – un < 0 thì (un) là dãy số giảm.
2. So sánh tỉ số
Với mọi n ∊ ℕ*, un > 0 thì có thể so sánh tỉ số 
với số 1.
+) Nếu > 1 thì (un) là dãy số tăng.
+) Nếu < 1 thì (un) là dãy số giảm.
3. Dùng phương pháp quy nạp
Nếu dãy số (un) được cho bởi hệ thức truy hồi thì thường dùng phương pháp quy nạp để chứng minh un + 1 > un với mọi n ∊ ℕ* (hoặc un + 1 < un với mọi n ∊ ℕ*)
Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau
1) Dãy số (un) với 
2) Dãy số (vn) với 
Lời giải
1) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có 
. Khi đó
Vậy dãy số (un) đã cho là dãy số tăng.
2) Xét tỉ số sau
Vì n ≥ 1 nên
Do đó, từ (*) suy ra < 1 với mọi n ≥ 1.
Vậy dãy số (un) đã cho là dãy số giảm.
Bài tập 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) biết 
Lời giải
Ta có 
và (un) là dãy số dương. Ta chứng minh un < 2 với mọi n ∊ ℕ* bằng quy nạp.
Với n = 1 thì khẳng định trên là đúng.
Giả sử khẳng định trên đúng khi n = k ≥ 1, k ∊ ℕ, tức là ta luôn có uk < 2.
Ta cần chứng minh uk + 1 < 2 với mọi n ∊ ℕ*. Thật vậy,
Vậy un < 2 với mọi n ∊ ℕ*.
Từ công thức 
suy ra
Do (un) là dãy số dương và un < 2, ∀ n ∊ ℕ* nên (un – 1 + 1) (2 – un – 1) > 0. Suy ra
Vậy dãy số (un) đã cho là dãy số tăng.
Bài tập 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số (un) sau, với
1) un = n2 + 4n – 3.
2) un = 2n3 – 5n + 1.
3) un = 3n – n.
4) 
5) 
6) 
Lời giải
1) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có
un + 1 – un = (n + 1)2 + 4 (n + 1) – 3 – (n2 + 4n – 3) = n2 + 2n + 1 + 4n + 4 – 3 – n2 – 4n + 3
= 2n + 5 > 0, ∀n ≥ 1.
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
2) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có
un + 1 – un = 2 (n + 1)3 – 5 (n + 1) + 1 – (2n3 – 5n + 1) = 2n3 + 6n2 + 6n + 2 – 5n – 5 + 1 – 2n2 + 5
= 6n2 + 6n – 3 = 6n2 + 3n + 3 (n – 1) > 0, ∀n ≥ 1.
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
3) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có
un + 1 – un = 3n + 1 – (n + 1) – (3n – n) = 3n + 1 – n – 1 – 3n + n = 3. 3n – 1 – 3n
= 2. 3n – 1 > 0, ∀n ≥ 1.
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
4) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
5) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
6) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có 
. Khi đó
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
Bài tập 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số (un) sau, với
1) 
2) 
3) 
4) 
Lời giải
1) Dễ thấy un > 0, ∀ n ∊ ℕ*.
Xét tỉ số
Vậy dãy số (un) là một dãy số giảm.
2) Dễ thấy un > 0, ∀ n ∊ ℕ*.
Xét tỉ số
Vậy dãy số (un) là một dãy số tăng.
3) Dễ thấy un > 0, ∀ n ∊ ℕ*.
Xét tỉ số
Vậy dãy số (un) là một dãy số giảm.
4) . Dễ thấy un > 0, ∀ n ∊ ℕ*.
Xét tỉ số
Ta có
Suy ra un + 1 < un.
Vậy dãy số (un) là một dãy số giảm.
Bài tập 5: Xét tính tăng giảm của các dãy số (un) sau, với
1) un = –n2 – 2n + 1.
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Lời giải
1) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có
un + 1 – un = – (n + 1)2 – 2 (n + 1) + 1 – (–n2 – 2n + 1) = –n2 – 2n – 1 – 2n – 2 + 1 +n2 + 2n – 1
= –2n – 3 < 0, ∀ n ≥ 1.
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
2) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có 
. Khi đó
Vậy dãy số (un) đã cho là dãy số tăng.
3) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có 
. Khi đó
Vì n ≥ 1 nên
Do đó, từ (*) suy ra un + 1 – un > 0 với mọi n ≥ 1.
Vậy dãy số (un) đã cho là dãy số tăng.
4) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có 
. Khi đó
Vậy dãy số (un) đã cho là dãy số giảm.
5) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có 
. Khi đó
Vậy dãy số (un) đã cho là dãy số giảm.
6) Với mọi n ∊ ℕ*, ta có 
. Khi đó
Vậy dãy số (un) đã cho là dãy số giảm.
Bài tập 6: Xét tính tăng giảm của các dãy số (un) sau, với
1) 
2) 
3) 
4) 
Lời giải
1) . Dễ thấy un > 0, ∀n ∊ ℕ*.
Xét tỉ số
Vậy dãy số (un) là một dãy số tăng.
2) . Dễ thấy un > 0, ∀n ∊ ℕ*.
Xét tỉ số
Vậy dãy số (un) là một dãy số giảm.
3) . Dễ thấy un > 0, ∀n ∊ ℕ*.
Xét tỉ số
Vậy dãy số (un) là một dãy số giảm.
4) Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli
(1 + a) n ≥ 1 + na, ∀a ≥ –1, n ∊ ℤ+.
Xét tỉ số
với 
Vậy dãy số (un) là một dãy số tăng.
Bài tập 7: Xét tính tăng giảm của các dãy số (un) được cho bởi hệ thức truy hồi sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Lời giải
1) Ta có
un + 1 – un = (n + 1). 2n > 0, ∀n ≥ 1 ⇒ un + 1 > un, ∀n ≥ 1.
Vậy dãy số (un) là một dãy số tăng.
2) Ta có u1 = 1 > –1, giả sử uk > –1, khi đó uk + 1 = 2uk + 1 > –1. Vậy un > –1, ∀n ≥ 1.
Khi đó
un + 1 – un = 2un + 1 – un = un + 1 > 0, ∀n ≥ 1.
Vậy dãy số (un) là một dãy số tăng.
3) Ta có u1 = 2 > 1, giả sử uk > 1, khi đó uk + 1 = 2uk – 1 > 2 – 1 = 1. Vậy un > 1, ∀n ∊ ℕ*.
Khi đó
un + 1 – un = 2un – 1 – un = un – 1 > 0, ∀n ∊ ℕ*.
Vậy dãy số (un) là một dãy số tăng.
4) Ta có
un + 1 – un = 3n – 2 > 0, ∀n ≥ 1 ⇒ un + 1 > un, ∀n ≥ 1.
Vậy dãy số (un) là một dãy số tăng.
5) Từ hệ thức truy hồi đã cho, dễ thấy un > 0 với mọi n ∊ ℕ*.
Ta có 
Ta dự đoán
un + 1 < un, ∀n ∊ ℕ*. (*)
Thật vậy, ta thấy (*) đúng khi n = 1.
Giả sử (*) đúng khi n = k ≥ 1, (k ∊ ℕ), tức là ta có uk < uk – 1.
Khi đó
Vì uk < uk – 1 nên 
, suy ra 
Vậy (*) đúng với mọi n ∊ ℕ*.
Do đó, dãy số (un) là dãy số giảm.
6) Từ hệ thức truy hồi đã cho, dễ thấy un > 0 với mọi n ∊ ℕ*.
Ta có 
Ta dự đoán
un + 1 > un, ∀n ∊ ℕ*.
Thật vậy, ta thấy (*) đúng khi n = 1.
Giả sử (*) đúng khi n = k ≥ 1, (k ∊ ℕ), tức là ta có uk > uk – 1.
Khi đó
Vậy (*) đúng với mọi n ∊ ℕ*.
Do đó, dãy số (un) là dãy số tăng.
Dạng 3: Tính bị chặn của dãy số
3.1. Phương pháp giải
Sử dụng khái niệm dãy số bị chặn:
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un ≤ M, với mọi n ∊ ℕ*.
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un ≥ m, với mọi n ∊ ℕ*.
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho m ≤ un ≤ M, với mọi n ∊ ℕ*.
3.2. Bài tập vận dụng
[ads]
Bài tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau
1) Dãy số (un) với 
2) Dãy số (vn) với 
Lời giải
1) Ta có un > 0 với mọi n ≥ 1. Vậy (un) bị chặn dưới.
Lại có 
với mọi n ≥ 1. Vậy (un) bị chặn trên.
Do đó (un) bị chặn.
2) Ta có
Với mọi n ∊ ℕ* ta luôn có 0 < un < 1.
Vậy (un) bị chặn.
Bài tập 2: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) sau, với
1) 
2) 
3) 
4) 
Lời giải
1) Ta có 
. Vậy dãy số (un) bị chặn dưới.
2) Ta có 
Dễ thấy > 0, ∀n ≥ 1 nên dãy số bị chặn dưới.
Lại có
Vậy dãy số (un) là dãy số giảm nên un + 1 ≤ u1 = 1. Suy ra dãy số (un) bị chặn trên.
Vậy dãy số (un) bị chặn.
3) Ta có ≥ 0, ∀n ≥ 1 nên dãy số bị chặn dưới.
Lại có
Cho nên dãy số (un) bị chặn trên.
Vậy dãy số (un) bị chặn.
4) Rõ ràng un > 0, ∀n ∊ ℕ* nên (un) bị chặn dưới.
Ta có 
. Khi đó 
, ∀n ∊ ℕ* nên (un) bị chặn trên.
Vậy dãy số (un) bị chặn.
Bài tập 3: Xét tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số (un) với
1) un = 1 + (n – 1). 2n
2) 
3) 
4) 
Lời giải
1) Ta có un + 1 – un = (n + 1). 2n >0, ∀n ≥ 1. Từ đó suy ra dãy số (un) là dãy số tăng.
Lại có un = 1 + (n – 1). 2n ≥ 1, ∀n ≥ 1. Vậy (un) là dãy số bị chặn dưới.
2) Ta có 
Khi đó
Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
Mặt khác
Suy ra (un) là dãy số bị chặn.
3) Ta có 
Với mọi n ∊ ℕ* ta có
Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
Suy ra 
. Do đó, dãy số (un) là dãy số bị chặn dưới.
4) Ta có u1 = 2 > 1, giả sử uk > 1, khi đó 
Vậy un > 1, ∀n ∊ ℕ*.
Lại có
Vậy dãy số (un) là dãy số giảm.
Suy ra un ≤ u1 = 2. Do đó, dãy số (un) bị chặn trên. Vì vậy, dãy số (un) bị chặn.
Bài tập 4: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) sau, với
1) 
2) 
3) 
4) 
Lời giải
1) Ta có 
. Suy ra dãy số (un) bị chặn trên.
Mặt khác >0, ∀n ≥ 1 nên dãy số (un) bị chặn dưới.
Vậy dãy số (un) bị chặn.
2) Ta có > 0, ∀n ≥ 1 nên dãy số bị chặn dưới.
Lại có
Vậy dãy số (un) là dãy số giảm nên 
. Suy ra dãy số (un) bị chặn trên.
Vậy dãy số (un) bị chặn.
3) Ta có > 0, ∀n ≥ 1 nên dãy số bị chặn dưới.
Lại có 
nên dãy số bị chặn trên.
Vậy dãy số (un) bị chặn.
4) Rõ ràng un > 0, ∀n ∊ ℕ* nên (un) bị chặn dưới.
Ta có 
. Khi đó
với mọi số nguyên dương n.
Cho nên (un) bị chặn trên.
Vậy dãy số (un) bị chặn.
Bài tập 5: Xét tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số (un) với
1) 
2) 
3) 
4) 
Lời giải
1) Ta có 
Khi đó
Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
Mặt khác
Suy ra (un) là một dãy số bị chặn.
2) Ta có
(1)
Dễ thấy, với mọi n ≥ 1 ta có, 
Do đó từ (1) suy ra –2 ≤ un ≤ 1, ∀n ≥ 1.
Từ đó suy ra (un) là một dãy số bị chặn.
Lại có 
nên dãy số không tăng không giảm.
3) Ta có u1 = 1 < 15, giả sử uk < 15, khi đó 
Vậy un < 15, ∀n ∊ ℕ*.
Lại có
Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
Suy ra un ≥ u1 = 1. Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới.
4) Ta có u1 = 4 < 8, giả sử uk < 8, khi đó 
Vậy un < 8, ∀n ∊ ℕ*.
Lại có
Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
Suy ra un ≥ u1 = 4. Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới. Vì vậy, dãy số (un) bị chặn.
Bài tập 6: Cho dãy số (un) định bởi 
. Định a để dãy số (un) là dãy số tăng.
Lời giải
Ta có
Lại có
(n + 1)4 > n4, ∀n ∊ ℕ* ⇔ (n + 1)4 – n4 > 0, ∀n ∊ ℕ*.
Để dãy số (un) là dãy số tăng thì
Un + 1 – un > 0, ∀n ∊ ℕ* ⇔ 5a – 4 > 0 ⇔ 
Vậy với thì dãy số (un) là dãy số tăng.
Dạng 4. Dãy số Phi-bô-na-xi
4.1. Lý thuyết & phương pháp giải
Phi-bô-na-xi (Fibonacci) (còn có tên là Leonardo da Pisa) là một nhà Toán học nổi tiếng người Italia. Trong cuốn sách Liber Abacci, năm 1202, ông có viết bài toán sau:
“Một đôi thỏ (gồm một con thỏ đực và một con thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cùng gồm một thỏ đực và thỏ cái); mỗi đôi thỏ con, khi tròn hai tháng tuổi, lại mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ tiếp diễn. Hỏi sau một năm sẽ có tất cả bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng giêng) có một đôi thỏ sơ sinh”.
Rõ ràng ở tháng giêng, cũng như ở tháng 2, chỉ có một đôi thỏ. Sang tháng 3, đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, vì thế ở tháng 3 sẽ có 1 + 1 = 2 đôi thỏ. Sang tháng tư, vì chỉ có ban đầu sinh con nên ở tháng này có 1 + 2 = 3 đôi thỏ. Sang tháng 5, hai đôi thỏ gồm đôi thỏ ban đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng 3 cùng sinh con nên tháng này có 3 + 2 = 5 đôi thỏ,…
Khái quát, nếu kí hiệu Fn là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, thì với n ≥ 3, ta có
Fn = Fn – 1 + số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n.
Do đó các đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ (n – 1) chưa thể sinh con ở tháng thứ n và mỗi đôi thỏ ở tháng thứ (n – 2) sẽ sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ con được sinh ra ở tháng thứ n chính bằng Fn – 2 (số thỏ có ở tháng thứ (n – 2)).
Fn = Fn – 1 + Fn – 2.
Việc giải quyết bài toán của Fibonacci dẫn đến việc khảo sát dãy số (Fn) được xác định như sau
Dãy số trên sau này nhà toán học Pháp Edouard Lucas gọi là dãy số Fibonacci. [3]Wikipedia, Dãy Fibonacci, 3/04/2022
4.2. Bài tập vận dụng
Tài liệu Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Thông tin tài liệu
| Thông tin | |
| Tên tài liệu | Phân Loại Và Phương Pháp Giải Bài Tập Dãy Số – Cấp Số Cộng – Cấp Số Nhân |
| Tác giả | Th.S Trần Đình Cư |
| Số trang | 65 |
2. Mục lục
Phương pháp quy nạp toán học
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
- Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức
- Dạng 3: Chứng minh một tính chất
- Dạng 4: Một số bài toán khác
Dãy số
- Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số
- Dạng 2: Tính tăng giảm và bị chặn của dãy số
Cấp số cộng
- Dạng 1: Xác định cấp số cộng, công sai và số hạng của cấp số cộng
- Dạng 2: Tính tổng các số hạng trong một cấp số cộng
- Dạng 3: Chứng minh một hệ thức trong cấp số cộng
- Dạng 4: Giải phương trình (tìm x trong cấp số cộng)
Cấp số nhân
- Dạng 1: Xác định cấp số nhân, số hạng, công bội của cấp số nhân
- Dạng 2: Tính tổng của cấp số nhân
- Dạng 3: Các bài toán thực tế
3. Xem tài liệu
[ads]
Nguồn tham khảo
VerbaLearn chỉ sử dụng các nguồn tham khảo chất lượng cao, bao gồm các nghiên cứu được đánh giá cùng chuyên mục để hỗ trợ các dữ liệu trong bài viết. Từ đó luôn giữ cho nội dung trên website chính xác và đáng tin cậy nhất. Mang thêm nguồn thông tin hữu ích đến bạn đọc thông qua các nguồn được nghiên cứu.
Câu hỏi thường gặp
Có bao nhiêu cách cho một dãy số?
Có 2 cách cho một dãy số: Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát và dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Dãy số tăng là gì?
Dãy số (un) là dãy số tăng khi và chỉ khi với mọi n ∊ ℕ* ta luôn có un < un + 1.
Dãy số giảm là gì?
Dãy số (un) là dãy số giảm khi và chỉ khi với mọi n ∊ ℕ* ta luôn có un > un + 1.
Dãy số bị chặn là gì?
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un ≤ M, với mọi n ∊ ℕ*. Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un ≥ m, với mọi n ∊ ℕ*. Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho m ≤ un ≤ M, với mọi n ∊ ℕ*.
