Dấu của tam thức bậc hai: Lý thuyết và các bài tập vận dụng - Edu

Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ trình bày đến bạn đọc định nghĩa, tính chất và quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai. Từ đó giải quyết các bài toán liên quan như giải bất phương trình hay tìm tập xác định của đa thức có chứa tam thức bậc 2 hoặc dạng tương tự.

Xét dấu tam thức bậc hai

[content_1

Định nghĩa

Tam thức bậc hai theo biến x là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c.

Trong đó: a, b, c là những số thực cho trước, a ≠ 0.

Nghiệm của tam thức bậc hai

Nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c cũng là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0.

Xét dấu tam thức bậc hai

Xét tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c. Đặt ∆ = b² − 4ac.

– Nếu ∆ > 0, giả sử f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt là x₁ < x₂. Khi đó, trong khoảng (x₁; x₂) dấu của f(x) trái dấu với dấu hệ số a; trên các khoảng (−∞; x₁) và (x₂; +∞) dấu của f(x) cùng dấu với dấu hệ số a.

– Nếu ∆ = 0, gọi $x = - \frac{b}{{2a}}$ là nghiệm kép của phương trình f(x) = 0. Khi đó, dấu của f(x) luôn cùng dấu với dấu hệ số a với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}$

– Nếu ∆ < 0, thì dấu của f(x) luôn cùng dấu với dấu hệ số a với mọi x ∈ ℝ.

Phân dạng bài tập

[content_2]

Câu 1. Xét dấu của f(x) = x² − 5x + 6.

Hướng dẫn giải

Nghiệm của f(x) là x = 2 hoặc x = 3. Bảng xét dấu

Câu 2. Xét dấu của tam thức f(x) = −x² + 4x + 5

Hướng dẫn giải

Nghiệm của f(x) là x = −1 hoặc x = 5. Bảng xét dấu:

Câu 3. Giải bất phương trình 6x² + 11x + 4 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{4}{3} \hfill \\ x = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\left[ { - \frac{4}{3}; - \frac{1}{2}} \right]$

Câu 4. Giải bất phương trình

4x² − 4x + 1 ≤ 0 (1.1)

Hướng dẫn giải

Tam thức 4x² − 4x + 1 có ∆’ = 4 − 4 = 0 và hệ số của x² là 1, nên 4x² − 4x + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, (1) xảy ra khi và chỉ khi 4x² − 4x + 1 = 0, tức x = $\frac{1}{2}$ .

Câu 5. Giải bất phương trình

$\frac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{6{x^2} + 5x + 4}} < 1$ (1.2)

Hướng dẫn giải

Tam thức 6x² + 5x + 4 có ∆ = −71 và hệ số của x² là 6, nên dương với mọi x.

Do đó, (1.2) tương đương với:

3x² + 2x + 1 < 6x² + 5x + 4

⇔ 3x² + 3x + 3 > 0

⇔ x² + x + 1 > 0.

Điều này đúng với mọi số thực x.

Vậy tập nghiệm của (1.2) là ℝ.

Câu 6. Giải bất phương trình

$\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{4{x^2} + 5x + 6}} \geqslant \frac{2}{5}$ (1.3)

Hướng dẫn giải

Tam thức 4x² + 5x + 6 có ∆ = −71 và hệ số của x² là 4, nên 4x² + 5x + 6 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, (1.3) tương đương với:

5(x² + 2x + 3) ≥ 2(4x² + 5x + 6)

⇔ 3 − 3x² ≥ 0

⇔ −1 ≤ x ≤ 1.

Câu 7. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình trên đoạn [1; 10].

$\frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{4{x^2} - 5x + 6}} \geqslant \frac{2}{9}$ (1.4)

Hướng dẫn giải

Tam thức 4x² − 5x + 6 có ∆ = −71 và hệ số của x² là 4, nên 4x² − 5x + 6 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, (1.4) tương đương với:

9(x² − 2x + 3) > 2(4x² − 5x + 6)

⇔ x² − 8x + 15 > 0

⇔ x ≤ 3 ∨ x ≥ 5.

Từ điều kiện x ∈ [1; 10], suy ra nghiệm của bất phương trình là 1 ≤ x ≤ 3 ∨ 5 ≤ x ≤ 10.

Số nghiệm nguyên trên đoạn [1; 3] là 3 – 1 + 1 = 3 và số nghiệm nguyên trên đoạn [5; 10] là 10 – 5 + 1 = 6.

Vậy số nghiệm nguyên của (1.4) là chín.

Câu 8. Giải phương trình

|−x² + 7x − 10| = x² − 7x + 10 (1.5)

Hướng dẫn giải

(1.5) có dạng |A| = −A. Điều này xảy ra khi và chỉ khi A ≤ 0.

Do đó, (1.5) xảy ra khi và chỉ khi −x² + 7x − 10 ≤ 0 hay x ≤ 2 hoặc x ≥ 5.

Câu 9. Giải phương trình

$\frac{{\left| {{x^2} - 5x + 4} \right|}}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{\left| {x - 2} \right|}}$ (1.6)

Hướng dẫn giải

(1.6) tương đương với:

$\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 1 \leqslant x < 2 \hfill \\ x \geqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Câu 10. Tìm tập xác định của hàm số

$f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x - 15} + \sqrt {6 - x}$ (1.7)

Hướng dẫn giải

f(x) xác định khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} - 2x - 15 \geqslant 0 \hfill \\ 6 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x \leqslant - 3 \hfill \\ x \geqslant 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ x \leqslant 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x \leqslant - 3 \hfill \\ 5 \leqslant x \leqslant 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy tập xác định của (1.7) là D = (−∞; −3] ∪ [5; 6].

Câu 11. Tìm tập xác định của hàm số

$f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 5x + 4} + \frac{1}{{\sqrt { - {x^2} + 4x + 5} }}$ (1.8)

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} - 5x + 4 \geqslant 0 \hfill \\ 5 + 4x - {x^2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Giải hệ trên, ta được −1 ≤ x ≤ 1 ∨ 4 ≤ x < 5.

Vậy tập xác định cần tìm là D = (−1; 1] ∪ [4; 5).

Câu 12. Giải bất phương trình

$\frac{5}{{x + 2}} + \frac{8}{{x + 1}} \geqslant 3$

Hướng dẫn giải

Bất phương trình đã cho tương đương với:

$\frac{5}{{x + 2}} + \frac{8}{{x + 1}} - 3 \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 4x - 15}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \leqslant 0$

Đặt $f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 4x - 15}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

Ta có f(x) = 0 khi x = $- \frac{5}{3}$ ∨ x = 3; f(x) không xác định khi x = −2 và x = −1.

Bảng xét dấu

Các giá trị x thỏa bất phương trình đã cho là −2 < x ≤ $- \frac{5}{3}$ ∨ −1 < x ≤ 3.

Câu 13. Giải bất phương trình

$\frac{{2x - 7}}{{{x^2} - 8x + 15}} \leqslant - 1$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\frac{{2x - 7}}{{{x^2} - 8x + 15}} + 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{{x^2} - 8x + 15}} \leqslant - 0$

Bảng xét dấu

Các giá trị x thỏa bất phương trình đã cho là 2 ≤ x < 3 ∨ 4 ≤ x < 5.

Câu 14. Giải bất phương trình

$\frac{4}{{{x^2} + 2x - 8}} - \frac{1}{{{x^2} + 2x + 2}} + 1 \geqslant 0$ (1.9)

Hướng dẫn giải

Đặt t = x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1 ≥ 1, (1.9) trở thành:

$\frac{4}{{t - 10}} - \frac{1}{t} + 1 \geqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 7t + 10}}{{t\left( {t - 10} \right)}} \geqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 7t + 10}}{{t - 10}} \geqslant 0$ (1.10)

Nghiệm của (1.10) là 2 ≤ t ≤ 5 ∨ t > 10. Khi đó:

2 ≤ x² + 2x + 2 ≤ 5 ∨ x² + 2x + 2 > 10 (1.11)

Nghiệm của (1.11) là:

x < −4 ∨ −3 ≤ x ≤ −2 ∨ 0 ≤ x ≤ 1 ∨ x > 2.

Đó cũng là nghiệm của (1.9)

Câu 15. Tìm tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {\frac{{4x - {x^2} - 4}}{{{x^2} + x - 2}}}$

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi: $\frac{{4x - {x^2} - 4}}{{{x^2} + x - 2}} \geqslant 0$

Để ý rằng:

4x − x² − 4 = −(x² − 4x + 4) = −(x − 2)² ≤ 0.

Xét hai khả năng xảy ra như sau:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} - {\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \hfill \\ {x^2} + x - 2 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} - {\left( {x - 2} \right)^2} < 0 \hfill \\ {x^2} + x - 2 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 2 \hfill \\ - 2 < x < 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - 2 < x < 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Từ hai trường hợp trên, tập xác định của hàm số là (−2; 1) ∪ {2}.

Câu 16. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt?

x² + 2(m − 1)x + 3m + 7 = 0 (1.12)

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆’ = (m − 1)² − (3m + 7) = m² − 5m − 6.

(1.12) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

∆’ > 0 ⇔ m² − 5m − 6 > 0 ⇔ m < −1 ∨ m > 6.

Câu 17. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số sau có hai nghiệm trái dấu?

x² + x + m² + 5m + 6 = 0 (1.13)

Hướng dẫn giải

(1.13) khi và chỉ khi:

1⋅(m² + 5m + 6) < 0 ⇔ −3 < m < −2.

Câu 18. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số sau có tập xác định là ℝ?

$f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 2m + 9} }}$ (1.14)

Hướng dẫn giải

Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi:

x² + (m + 2)x + 2m + 9 > 0, ∀x ∈ ℝ.

Hay

∆ = (m + 2)² − 4(2m + 9) > 0

⇔ m² − 4m − 32 > 0

⇔ m < −4 ∨ m > 8.

Câu 19. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình sau đúng với mọi x ∈ ℝ?

(m − 1)x² + 2(m − 1)x + 2m + 1 > 0 (1.15)

Hướng dẫn giải

Ta chia làm hai trường hợp sau:

– Với m = 1, (1.15) trở thành:

0⋅x² + 0⋅x + 3 > 0.

Điều này luôn đúng x ∈ ℝ. Do đó, m = 1 là một giá trị thỏa yêu cầu.

– Với m ≠ 1, (1.15) đúng x ∈ ℝ khi và chỉ khi:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m - 1 > 0 \hfill \\ {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 1 > 0 \hfill \\ \left( {m - 1} \right)\left( { - m - 2} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow m > 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Từ hai trường hợp trên, (1.15) đúng x ∈ ℝ khi và chỉ khi m ≥ 1.

Câu 20. Tìm m sao cho phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt.

x² + (m + 3)x + m + 6 = 0 (1.16)

Hướng dẫn giải

(1.16) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} + 2m - 15 > 0 \hfill \\ - \left( {m + 3} \right) > 0 \hfill \\ m + 6 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - 6 < m < - 5$

Câu 21. Tìm m sao cho phương trình sau có hai nghiệm phân biệt là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng $\sqrt {19}$ .

x² + (m − 1)x + m + 7 = 0 (1.17)

Hướng dẫn giải

Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi (1.17) có hai nghiệm dương phân biệt x₁, x₂ thỏa $x_1^2 + x_2^2 = 19$ . Để ý rằng:

$\begin{gathered} x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = {\left( {m - 1} \right)^2} + 2\left( {m + 7} \right) \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = {m^2} - 4m - 13 \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ x_1^2 + x_2^2 = 19 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - 6m - 27 > 0 \hfill \\ - \left( {m - 1} \right) > 0 \hfill \\ m + 7 > 0 \hfill \\ {m^2} - 4m - 13 = 19 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = - 4$

Lời bình

Có thể thay $x_1^2 + x_2^2 = 19$ bởi $x_1^2 + x_2^2 = 32$ , ta được đáp số m = −5 hoặc thay bởi $x_1^2 + x_2^2 = 47$ , ta được đáp số m = −6.

eduverbalearn0313