Bất phương trình chứa căn: Các dạng đặc trưng và cách giải - Edu

Để giải được bất phương trình chứa căn thức chúng ta cần vận dụng nhiều kỹ năng như biến đổi căn thức, xét dấu đa thức, … Và đây là một trong những dạng toán có khá nhiều biến thể mà các bạn học sinh cần lưu ý.

Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu chi tiết một số dạng bất phương trình căn thức thường gặp và cách giải có logic nhất. Từ đó bạn sẽ không cảm thấy khó khăn ở phần này nữa và việc giải quyết các bài toán cũng nhanh chóng và chính xác hơn.

Tóm tắt kiến thức bất phương trình chứa căn thức

Biến đổi phương trình và bất phương trình chứa căn

[content_1]

$\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right){\text{ }}\left( 1 \right)$ . Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ g\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} g\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\sqrt {f\left( x \right)} < g\left( x \right){\text{ }}\left( 2 \right)$ . Ta có: $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ g\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ f\left( x \right) < {g^2}\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ g\left( x \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} g\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ f\left( x \right) > {g^2}\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Ta có: $\\[\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ g\left( x \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} g\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ f\left( x \right) > {g^2}\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản

[content_2]

Câu 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt {6 - 4x + {x^2}} = x + 4$

b) $\sqrt {x + 5} - \sqrt {x - 3} = 2$

c) $\sqrt {3x + 4} + \sqrt {x + 4} = 2\sqrt x$

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình:

$\begin{gathered} \sqrt {6 - 4x + {x^2}} = x + 4 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 6 - 4x + {x^2} \geqslant 0 \hfill \\ x + 4 \geqslant 0 \hfill \\ 6 - 4x + {x^2} = {\left( {x + 4} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 4 \hfill \\ 6 - 4x + {x^2} = {x^2} + 8x + 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 4 \hfill \\ x = - \frac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Xét phương trình:

$\begin{gathered} \sqrt {x + 5} - \sqrt {x - 3} = 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 5} = 2 + \sqrt {x - 3} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 5 \geqslant 0 \hfill \\ x - 3 \geqslant 0 \hfill \\ x + 5 = 4 + x - 3 + 4\sqrt {x - 3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 3 \hfill \\ 1 = \sqrt {x - 3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 3 \hfill \\ x - 3 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 4 \hfill \\ \end{gathered}$

c) Xét phương trình:

$\begin{gathered} \sqrt {3x + 4} + \sqrt {x + 4} = 2\sqrt x \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x + 4 \geqslant 0 \hfill \\ x + 4 \geqslant 0 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ 3x + 4 + x + 4 + 2\sqrt {\left( {3x + 4} \right)\left( {x + 4} \right)} = 4x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 4 + \sqrt {\left( {3x + 4} \right)\left( {x + 4} \right)} = 0{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Rõ ràng VT (2) > 0, ∀x ≥ 0. Vậy hệ (1) (2) vô nghiệm.

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 2. Giải các phương trình sau:

a) $3{x^2} + 15x + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2$

b) $\sqrt {{x^2} + x + 4} + \sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 9}$

c) $\frac{4}{{x + \sqrt {{x^2} + x} }} - \frac{1}{{x - \sqrt {{x^2} + x} }} = \frac{3}{x}$

d) $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = 2$

e) $\sqrt {x + 3 - 4\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x + 8 - 6\sqrt {x - 1} } = 1$

f) $\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[6]{{{x^2} - 1}}$

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình:

$3{x^2} + 15x + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2$ (1)

Đặt y = x² + 5x, khi đó (1) có dạng:

$\begin{gathered} 3y + 2\sqrt {y + 1} = 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {y + 1} = 2 - 3y \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y + 1 \geqslant 0 \hfill \\ 2 - 3y \geqslant 0 \hfill \\ 4\left( {y + 1} \right) = {\left( {2 - 3y} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \leqslant \frac{2}{3} \hfill \\ 4y + 4 = 4 - 12y + 9{y^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \leqslant \frac{2}{3} \hfill \\ 9{y^2} - 16y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \leqslant \frac{2}{3} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} y = 0 \hfill \\ y = \frac{{16}}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow y = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Từ đó trở về biến cũ ta có:

${x^2} + 5x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

b) Xét phương trình:

$\sqrt {{x^2} + x + 4} + \sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 9}$ (1)

Đặt y = x² + x + 1, khi đó (1) có dạng:

$\begin{gathered} \sqrt {y + 3} + \sqrt y = \sqrt {2y + 7} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \geqslant 0 \hfill \\ y + 3 + y + 2\sqrt {y\left( {y + 3} \right)} = 2y + 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \geqslant 0 \hfill \\ \sqrt {y\left( {y + 3} \right)} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \geqslant 0 \hfill \\ {y^2} + 3y - 4 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \geqslant 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} y = 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow y = 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Từ đó trở về biến cũ ta có:

${x^2} + x + 1 = 1 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

c) Xét phương trình:

$\frac{4}{{x + \sqrt {{x^2} + x} }} - \frac{1}{{x - \sqrt {{x^2} + x} }} = \frac{3}{x}$ (1)

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{4\left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right)}}{x} - \frac{{\sqrt {{x^2} + x} + x}}{x} = \frac{3}{x} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ 5\sqrt {{x^2} + x} - 3x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ 5\sqrt {{x^2} + x} = 3 + 3x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ 3x + 3 \geqslant 0 \hfill \\ 25\left( {{x^2} + x} \right) = 9{x^2} + 18x + 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ x \geqslant - 1 \hfill \\ 16{x^2} + 7x - 9 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ x \geqslant - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = \frac{9}{{16}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = –1 và x = $\frac{9}{{16}}$

d) Xét phương trình:

$\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = 2$ (1)

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} = 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} + 1 + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| = 2{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

+) Nếu x ≥ 2, khi đó $\sqrt {x - 1} - 1 \geqslant 0$ . Vậy:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} + 1 + \sqrt {x - 1} - 1 = 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 1 \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{gathered}$

+) Nếu 1 ≤ x < 2, khi đó $\sqrt {x - 1} - 1 < 0$ . Vậy:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} = 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2 = 2 \Leftrightarrow 1 \leqslant x < 2 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 1 ≤ x ≤ 2

e) Xét phương trình:

$\sqrt {x + 3 - 4\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x + 8 - 6\sqrt {x - 1} } = 1$ (1)

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 3} \right)}^2}} = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1} - 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 3} \right| = 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

+) Nếu x ≥ 10, khi đó $\sqrt {x - 1} - 3 \geqslant 0$ . Vậy:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} - 2 + \sqrt {x - 1} - 3 = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 3 \Leftrightarrow x = 10 \hfill \\ \end{gathered}$

+) Nếu x ≤ 5, khi đó $\sqrt {x - 1} - 2 \leqslant 0$ . Vậy:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow 2 - \sqrt {x - 1} + 3 - \sqrt {x - 1} = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow x = 5 \hfill \\ \end{gathered}$

+) Nếu 5 < x < 9, khi đó $2 < \sqrt {x - 1} < 3$ . Vậy:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} - 2 + 3 - \sqrt {x - 1} = 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 1 = 1 \Leftrightarrow 5 < x < 9 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 5 ≤ x ≤ 10

f) Xét phương trình:

$\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[6]{{{x^2} - 1}}$ (1)

Điều kiện là: ${x^2} - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x \geqslant 1 \hfill \\ x \leqslant - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do nếu x₀ ≥ 1 là nghiệm của (1) thì –x₀ cũng là nghiệm của (1)

Vì thế tạm xét (1) với x ≥ 1

Khi x = 1, thì VP (1) = 0; VT (1) ≠ 0 ⇒ x = 1 không phải là nghiệm

Khi x > 1, thì $\sqrt[6]{{{x^2} - 1}} > 0$

Vậy $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt[6]{{\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - 1}}}} - \sqrt[6]{{\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - 1}}}} = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt[6]{{\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - 1}}}} - \sqrt[6]{{\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - 1}}}} - 1 = 0\left( 2 \right)$

Đặt $y = \sqrt[6]{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}} > 0$ , thì (2) có dạng:

$\begin{gathered} y - \frac{1}{y} - 1 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {y^2} - y - 1 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow y = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {{\text{do }}y > 0} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt[6]{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = {k^6}{\text{ }}\left( {k = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 1 + \frac{2}{{x - 1}} = {k^6} \Leftrightarrow \frac{2}{{x - 1}} = {k^6} - 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{{{k^6} + 1}}{{{k^6} - 1}} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \pm \frac{{{k^6} + 1}}{{{k^6} - 1}}$ với $k = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$

Câu 3. Giải các bất phương trình sau:

a) $\sqrt {{x^2} + 3x + 3} < 2x + 1$

b) $\sqrt {8 + 2x - {x^2}} < 6 - 3x$

c) $\sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 2} - \sqrt {2x + 4} > 0$

d) $\sqrt {3{x^2} + 5x + 7} - \sqrt {3{x^2} + 5x + 2} > 1$

Hướng dẫn giải

a) Xét bất phương trình:

$\begin{gathered} \sqrt {{x^2} + 3x + 3} < 2x + 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + 3x + 3 \geqslant 0{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 2x + 1 \geqslant 0{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ {x^2} + 3x + 3 < {\left( {2x + 1} \right)^2}{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Do x² + 3x + 3 > 0, ∀x (vì ∆ = 9 – 12 < 0) nên

$\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\left\{ \begin{gathered} x \geqslant - \frac{1}{2} \hfill \\ 3{x^2} + x - 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}$

b) Xét bất phương trình:

$\sqrt {8 + 2x - {x^2}} < 6 - 3x$ (1)

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 8 + 2x - {x^2} \geqslant 0 \hfill \\ 6 - 3x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 8 + 2x - {x^2} \geqslant 0 \hfill \\ 6 - 3x \geqslant 0 \hfill \\ 8 + 2x - {x^2} > {\left( {6 - 3x} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} - 2 \leqslant x \leqslant 4 \hfill \\ x > 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \leqslant 2 \hfill \\ 5{x^2} - 19x + 14 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2 < x \leqslant 4 \hfill \\ 1 < x \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 1 < x \leqslant 4 \hfill \\ \end{gathered}$

c) Xét bất phương trình:

$\begin{gathered} \sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 2} - \sqrt {2x + 4} > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 2} > \sqrt {2x + 4} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 2 \hfill \\ x + 3 + x + 2 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)} > 2x + 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 2 \hfill \\ 1 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x \geqslant - 2 \hfill \\ \end{gathered}$

d) Xét bất phương trình:

$\sqrt {3{x^2} + 5x + 7} - \sqrt {3{x^2} + 5x + 2} > 1$ (1)

Đặt y = 3x² + 5x + 2, khi đó từ (1) có:

$\begin{gathered} \sqrt {y + 2} - \sqrt y > 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {y + 2} > 1 + \sqrt y \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \geqslant 0 \hfill \\ y + 2 > 1 + y + 2\sqrt y \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \geqslant 0 \hfill \\ 1 > 2\sqrt y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered}$

Trở về biến cũ, ta có hệ sau:

$\left\{ \begin{gathered} 3{x^2} + 5x + 2 \geqslant 0 \hfill \\ 3{x^2} + 5x + 2 \leqslant \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3{x^2} + 5x + 2 \geqslant 0 \hfill \\ 12{x^2} + 20x + 7 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Biểu diễn trên trục số ta có:

Từ đó suy ra nghiệm cần tìm là: $- \frac{7}{6} \leqslant x \leqslant - 1$

Câu 4. Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{{1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} }}{x} < 3$

b) $\frac{{1 - \sqrt {21 - 4x + {x^2}} }}{{x + 1}} \geqslant 0$

c) $\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} > \frac{{12x - 8}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}$

Hướng dẫn giải

a) Xét bất phương trình:

$\frac{{1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} }}{x} < 3$ (1)

Chú ý x ≠ 0 và dùng phép nhân liên hợp ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ \frac{{\left( {1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} } \right)\left( {1 + \sqrt {1 - 4{x^2}} } \right)}}{{x\left( {1 + \sqrt {1 - 4{x^2}} } \right)}} < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ \frac{{4{x^2}}}{{x\left( {1 + \sqrt {1 - 4{x^2}} } \right)}} < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ \frac{{4x}}{{1 + \sqrt {1 - 4{x^2}} }} < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ 4x < 3\left( {1 + \sqrt {1 - 4{x^2}} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( {{\text{do }}1 + \sqrt {1 - 4{x^2}} > 0} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ 4x - 3 < 3\sqrt {1 - 4{x^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ 1 - 4{x^2} \geqslant 0 \hfill \\ 4x - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ 4x - 3 \geqslant 0 \hfill \\ 9\left( {1 - 4{x^2}} \right) > {\left( {4x - 3} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \frac{3}{4} \hfill \\ 13{x^2} - 6x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \frac{3}{4} \hfill \\ 0 < x < \frac{6}{{13}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vì hệ $\left\{ \begin{gathered} x \geqslant \frac{3}{4} \hfill \\ 0 < x < \frac{6}{{13}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ vô nghiệm, nên suy ra nghiệm của (1) là $- \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$ và x ≠ 0

b) Xét bất phương trình:

$\frac{{1 - \sqrt {21 - 4x + {x^2}} }}{{x + 1}} \geqslant 0$ (1)

$\Leftrightarrow \frac{{1 - 21 + 4x - {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {21 - 4x + {x^2}} + 1} \right)}} \geqslant 0$ (2)

Chú ý rằng x² – 4x + 21 > 0, ∀x ∈ ℝ (do ∆’ = 4 – 21 < 0)

Vì lẽ đó và do $1 + \sqrt {21 - 4x + {x^2}} > 0{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}$ , ta có:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 4x - 20}}{{x + 1}} \geqslant 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x + 20}}{{x + 1}} \leqslant 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Lại do: x² – 4x + 20 > 0, ∀x ∈ ℝ (do ∆’ = 4 – 20 < 0), nên (3) ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < –1

c) Xét bất phương trình:

$\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} > \frac{{12x - 8}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}$ (1)

Thực hiện phép nhân liên hợp ta có:

$\begin{gathered} \frac{{\left( {2x + 4} \right) - 4\left( {2 - x} \right)}}{{\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} }} > \frac{{2\left( {6x - 4} \right)}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{6x - 4}}{{\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} }} > \frac{{2\left( {6x - 4} \right)}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left[ {\sqrt {9{x^2} + 16} - 2\left( {\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} } \right)} \right] > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {9{x^2} + 8x - 32 - 16\sqrt {8 - 2{x^2}} } \right) > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {x - 2\sqrt {8 - 2{x^2}} } \right)\left( {8 + x + 2\sqrt {8 - 2{x^2}} } \right) > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {x - 2\sqrt {8 - 2{x^2}} } \right) > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 3x - 2 > 0 \hfill \\ x - 2\sqrt {8 - 2{x^2}} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 3x - 2 < 0 \hfill \\ x - 2\sqrt {8 - 2{x^2}} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Giải hệ trên ta có:

$\left[ \begin{gathered} x > \frac{{\sqrt {32} }}{3} \hfill \\ 2 \leqslant x < \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Nhận xét:

Trong 3 Câu trên chúng ta đều sử dụng phương pháp nhân liên hợp để đơn giản quá trình giải.

Câu 5. Giải các bất phương trình sau:

a) $\sqrt {5 + x} - \sqrt { - x - 3} < - 1 + \sqrt {\left( {5 + x} \right)\left( { - x - 3} \right)}$

b) $\sqrt[3]{{2 - x}} + \sqrt {x - 1} > 1$

c) $\sqrt {{x^2} - 8x + 15} + \sqrt {{x^2} + 2x - 15} > \sqrt {4{x^2} - 18x + 18}$

Hướng dẫn giải

a) Xét bất phương trình:

$\begin{gathered} \sqrt {5 + x} - \sqrt { - x - 3} < - 1 + \sqrt {\left( {5 + x} \right)\left( { - x - 3} \right)} {\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {5 + x} - \sqrt { - x - 3} + 1 - \sqrt {\left( {5 + x} \right)\left( { - x - 3} \right)} < 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {5 + x} + 1} \right)\left( {1 - \sqrt { - x - 3} } \right) < 0{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Do 5 + x ≥ 0 khi x ≥ –5 (lúc đó $1 + \sqrt {5 + x} > 0$ ), nên

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 5 \hfill \\ 1 - \sqrt { - 3 - x} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 5 \hfill \\ \sqrt { - 3 - x} > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 5 \hfill \\ - 3 - x > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - 5 \leqslant x < - 4 \hfill \\ \end{gathered}$

Đó là nghiệm của (1).

b) Xét bất phương trình:

$\sqrt[3]{{2 - x}} + \sqrt {x - 1} > 1$ (1)

Điều kiện x ≥ 1. Đặt:

$y = \sqrt[3]{{2 - x}} \Leftrightarrow {y^3} = 2 - x \Leftrightarrow x = 2 - {y^3}$

Khi đó (1) có dạng:

$y + \sqrt {1 - {y^3}} > 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {y^3}} > 1 - y{\text{ }}\left( 2 \right)$

Do x ≥ 1, nên $y = \sqrt[3]{{2 - x}} \leqslant 1$ . Vì thế:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \leqslant 1 \hfill \\ 1 - {y^3} > 1 - 2y + {y^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \leqslant 1 \hfill \\ {y^3} + {y^2} - 2y < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y \leqslant 1 \hfill \\ y\left( {{y^2} + y - 2} \right) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant y \leqslant 1 \hfill \\ y \leqslant - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Trở về biến cũ ta có:

$\left[ \begin{gathered} 0 \leqslant \sqrt[3]{{2 - x}} \leqslant 1 \hfill \\ \sqrt[3]{{2 - x}} \leqslant - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 \leqslant 2 - x \leqslant 1 \hfill \\ 2 - x \leqslant - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 1 \leqslant x \leqslant 2 \hfill \\ x \geqslant 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy nghiệm của (1) là 1 ≤ x ≤ 2 và x ≥ 10.

c) Xét bất phương trình:

$\sqrt {{x^2} - 8x + 15} + \sqrt {{x^2} + 2x - 15} > \sqrt {4{x^2} - 18x + 18} {\text{ }}\left( 1 \right)$

Ta có:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)} + \sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}$ $> \sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {4x - 6} \right)} {\text{ }}\left( 2 \right)$

Miền xác định của (1) là $\left\{ \begin{gathered} \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \left( {x - 3} \right)\left( {4x - 6} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x \leqslant - 5 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ x \geqslant 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

+) Nếu x = 3 thì VT (2) = VP (2) = 0 ⇒ x = 3 loại

+) Nếu x > 5, khi đó $x - 3 > 0 \Rightarrow \sqrt {x - 3} > 0$ và

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} + \sqrt {x + 5} > \sqrt {4x - 6} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 5 \hfill \\ 2x + 2\sqrt {{x^2} - 25} > 4x - 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 5 \hfill \\ \sqrt {{x^2} - 25} > x - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \left( {{\text{do }}x \geqslant 5 \Rightarrow x - 3 > 0} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ đó ta có:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 5 \hfill \\ {x^2} - 25 > {x^2} - 6x + 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 5 \hfill \\ 6x > 34 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{17}}{3} \hfill \\ \end{gathered}$

+) Nếu x < –5, khi đó viết lại (2) dưới dạng:

$\sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)} + \sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)} > \sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {4x - 6} \right)} {\text{ }}\left( 3 \right)$

Vì $x < - 5 \Rightarrow 3 - x > 0 \Rightarrow \sqrt {3 - x} > 0$ và

$\begin{gathered} \left( 3 \right) \Leftrightarrow \sqrt {5 - x} + \sqrt { - x - 5} > \sqrt {6 - 4x} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 5 \hfill \\ \sqrt {{x^2} - 25} > 3 - x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - 5 \hfill \\ x > \frac{{17}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( {{\text{VN}}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $x > \frac{{17}}{3}$

Dạng 2. Quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức

[content_3]

Câu 1. Giải phương trình sau:

$\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = \sqrt[3]{{2x + 1}}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Đặt $u = \sqrt[3]{{x - 2}};{\text{ }}v = \sqrt[3]{{x + 3}}$ , khi đó (1) có hệ sau:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} u + v = \sqrt[3]{{{u^3} + {v^3}}}{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ {u^3} - {v^3} = - 5{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {u^3} + 3uv\left( {u + v} \right) + {v^3} = {u^3} + {v^3} \hfill \\ {u^3} - {v^3} = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} uv\left( {u + v} \right) = 0 \hfill \\ {u^3} - {v^3} = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} u = 0 \hfill \\ v = \sqrt[3]{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} u = 0 \hfill \\ v = - \sqrt[3]{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} u + v = 0 \hfill \\ {u^3} - {v^3} = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x - 2 = 0 \hfill \\ x + 3 = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x + 3 = 0 \hfill \\ x - 2 = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ {u^3} = - {v^3} = - \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = - 3 \hfill \\ x - 2 = - \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = - 3 \hfill \\ x = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy (1) có các nghiệm x = 2; x = –3; x = $- \frac{1}{2}$

Câu 2. Giải phương trình sau:

$2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {{x^3} + 1} {\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Viết lại (1) dưới dạng tương đương sau:

$2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {x + 1} \cdot \sqrt {{x^2} - x + 1} {\text{ }}\left( 2 \right)$

Đặt $u = \sqrt {x + 1} ;{\text{ }}v = \sqrt {{x^2} - x + 1}$ , với điều kiện x ≥ –1

Khi đó ta có: x² + 2 = u² + v²

Vậy từ (2) có:

$\begin{gathered} 2\left( {{u^2} + {v^2}} \right) = 5uv \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2{u^2} + 2{v^2} - 5uv = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {2u - v} \right)\left( {2v - u} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} u = 2v \hfill \\ v = 2u \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {{x^2} - x + 1} = 2\sqrt {x + 1} \hfill \\ \sqrt {x + 1} = 2\sqrt {{x^2} - x + 1} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 5x - 3 = 0 \hfill \\ x \geqslant - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 4{x^2} - 5x + 3 = 0 \hfill \\ x \geqslant - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2} \hfill \\ {\text{VN}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của (1) là $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}$

Chú ý:

Tương tự ta có bài toán giải phương trình:

$2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8}$

Bằng cách đặt $u = \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \geqslant 0$ ; $v = \sqrt {x + 2} \geqslant 0$

Khi đó x² – 3x + 2 = u² – v²

Vậy ta dẫn đến:

$\begin{gathered} 2\left( {{u^2} - {v^2}} \right) = 3uv \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {u - 2v} \right)\left( {v + 2u} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow u = 2v\left( {{\text{do }}2u + v > 0} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 4} = 2\sqrt {x + 2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 + \sqrt {13} \hfill \\ x = 3 - \sqrt {13} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 3. Giải phương trình sau:

${\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^5} + {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)^5} = 123{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1} - x;{\text{ }}v = \sqrt {{x^2} + 1} + x$

Từ (1) suy ra hệ: $\left\{ \begin{gathered} {u^5} + {v^5} = 123{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ uv = 1{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ta có: u⁵ + v⁵

= (u³ + v³)(u² + v²) – u²v²(u + v) (do uv = 1)

= (u³ + v³)(u² + v²) – (u + v)

= [(u + v)³ – 3uv(u + v)][(u + v)² – 2uv] – (u + v)

Vì thế

$\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {u + v} \right)^5} - 5{\left( {u + v} \right)^3} + 5\left( {u + v} \right) - 123 = 0{\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ uv = 1{\text{ }}\left( 5 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đặt t = u + v, khi đó:

(4) ⇔ t⁵ – 5t³ + 5t – 123 = 0

⇔ (t – 3)(t⁴ + 3t³ + 4t² +12t + 41) = 0 (6)

Mặt khác $t = u + v = 2\sqrt {{x^2} + 1} > 0$ , do đó từ (6) có

(4) ⇔ t – 3 = 0 ⇔ t = 3

Vậy $\left( 4 \right)\left( 5 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u + v = 3 \hfill \\ uv = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 1} = 3 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}$

Đó chính là nghiệm của (1).

Dạng 3. Sử dụng phương trình tương đương hoặc hệ quả để giải phương trình chứa căn thức

[content_4]

Câu 1. Giải phương trình sau:

$\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = \sqrt[3]{{2x + 1}}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right) + \left( {x + 3} \right) \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ + {\text{ }}3\left( {\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}}} \right)\sqrt[3]{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 2x + 1} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}}} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 2 = 0 \hfill \\ x + 3 = 0 \hfill \\ \sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = - 3 \hfill \\ x - 2 = - \left( {x + 3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = - 3 \hfill \\ x = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy (1) có 3 nghiệm x = 2; x = –3; x = $- \frac{1}{2}$

Chú ý: Trong Câu này ta đã sử dụng phép biến đổi tương đương để giải (1).

Câu 2. Giải phương trình sau:

$\sqrt[3]{{2x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[3]{{3x + 1}}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ + {\text{ }}3\sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 1}}} \right) = 3x + 1} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 1}}} \right) = 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Thay (1) vào (2), ta được phương trình hệ quả sau đây:

$\sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \sqrt[3]{{3x + 1}} = 1{\text{ }}\left( 3 \right)$

Bây giờ (3) ⇔ (2x − 1)(x − 1)(3x + 1) = 1

(4) ⇔ 6x³ − 7x² = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = $\frac{7}{6}$

Do (3) là hệ quả của (1), nên thay x = 0 vào (1), ta có:

$\left\{ \begin{gathered} {\text{VT}}\left( 1 \right) = \sqrt[3]{{ - 1}} + \sqrt[3]{{ - 1}} = - 2 \hfill \\ {\text{VP}}\left( 1 \right) = \sqrt[3]{1} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy x = 0 bị loại.

Thay x = $\frac{7}{6}$ vào (1), ta có:

$\left\{ \begin{gathered} {\text{VT}}\left( 1 \right) = \sqrt[3]{{\frac{8}{6}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{6}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{6}}} \hfill \\ \hfill \\ {\text{VP}}\left( 1 \right) = \sqrt[3]{{\frac{{27}}{6}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{6}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy x = $\frac{7}{6}$ là nghiệm duy nhất của (1)

Chú ý: Trong Câu này:

(1) ⇔ (2)

(2) ⇒ (3)

(3) ⇔ (4)

Vậy (1) ⇒ (4). Do (4) là hệ quả của (1), nên sau khi có nghiệm x = 0; x = $\frac{7}{6}$ của (4), ta cần có phép thử lại.

Đây cũng là Câu chứng tỏ rằng, nếu sử dụng phương trình hệ quả mà không có phép thử lại, thì sẽ có thể dẫn đến việc thừa nghiệm.

Câu 3. Giải phương trình sau:

$\sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 1} = 3x + 2\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} - 16{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Đặt $u = \sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 1} \geqslant 1$

Ta có: ${u^2} = 3x + 4 + 2\sqrt {2{x^2} + 5x + 3}$ với u ≥ 0 (2)

Thay (1) vào (2) và dẫn đến phương trình hệ quả sau:

u² – 20 = u

⇔ u² – u – 20 = 0

⇔ u = 5 ∨ u = –4

⇔ u = 5 (do u ≥ 0)

Vậy (1) dẫn đến phương trình hệ quả sau:

$\begin{gathered} \sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 1} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 1 \hfill \\ 3x + 4 + 2\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = 25 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 1 \hfill \\ \sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = 21 - 3x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 \leqslant x \leqslant 7 \hfill \\ {x^2} - 146x + 429 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 \leqslant x \leqslant 7 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = 143 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Thử lại x = 3 vào (1) thấy đúng, vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 3.

Dạng 4. Hệ phương trình chứa căn thức

[content_5]

Câu 1. Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{gathered} \sqrt {x + y} + \sqrt {2x + y + 2} = 7 \hfill \\ 3x + 2y = 23 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

b) $\left\{ \begin{gathered} x + y + \sqrt {x + y} = 20 \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 136 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Từ $\left\{ \begin{gathered} \sqrt {x + y} + \sqrt {2x + y + 2} = 7{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 3x + 2y = 23{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ta có $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {x + y} + \sqrt {2x + y + 2} = 7{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \left( {x + y} \right) + \left( {2x + y + 2} \right) = 25{\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đặt $u = \sqrt {x + y} \geqslant 0;{\text{ }}v\sqrt {2x + y + 2} \geqslant 0$

Khi đó từ (3) (4) có hệ:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} u + v = 7 \hfill \\ {\left( {u + v} \right)^2} - 2uv = 25 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u + v = 7 \hfill \\ uv = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} u = 4 \hfill \\ v = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} u = 3 \hfill \\ v = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x + y = 16 \hfill \\ 2x + y + 2 = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x + y = 9 \hfill \\ 2x + y + 2 = 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 9;y = 25 \hfill \\ x = 5;y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy (1) (2) có hai nghiệm (–9, 25); (5, 4)

b) Từ $\left\{ \begin{gathered} x + y + \sqrt {x + y} = 20{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 136{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + y} } \right)^2} + \sqrt {x + y} - 20 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + y} = 4{\text{ }}\left( {{\text{do }}\sqrt {x + y} \geqslant 0} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x + y = 16 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = 16 \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 136 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = 16 \hfill \\ {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 136 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = 16 \hfill \\ xy = 60 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy hệ (1) (2) có hai nghiệm (10, 6) và (6, 10).

Câu 2. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{gathered} \sqrt {\frac{{20y}}{x}} = \sqrt {x + y} + \sqrt {x - y} {\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \hfill \\ \sqrt {\frac{{16x}}{{5y}}} = \sqrt {x + y} + \sqrt {x - y} {\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered} x + y \geqslant 0 \hfill \\ x - y \geqslant 0 \hfill \\ x + y \geqslant x - y \hfill \\ xy > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \geqslant y > 0$ . Khi đó:

$\begin{gathered} \left( 1 \right)\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {\frac{{20y}}{x}} = \sqrt {x + y} + \sqrt {x - y} \hfill \\ \hfill \\ 8 = \left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {\frac{{80}}{x}} = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 4} \hfill \\ \hfill \\ y = 4;{\text{ }}x \geqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{80}}{x} = 2x + 2\sqrt {{x^2} - 16} \hfill \\ \hfill \\ y = 4;{\text{ }}x \geqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{40}}{x} - x = \sqrt {{x^2} - 16} \hfill \\ \hfill \\ y = 4;{\text{ }}x \geqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 4 \hfill \\ 4 \leqslant x \leqslant \sqrt {40} \hfill \\ \frac{{1600}}{{{x^2}}} + {x^2} - 80 = {x^2} - 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 4 \hfill \\ 4 \leqslant x \leqslant \sqrt {40} \hfill \\ {x^2} = 25 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 4 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của hệ (1) (2) là (5, 4)

Câu 3. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{gathered} \sqrt {x + y} + \sqrt {x - y} = 4{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 128{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

Đặt $u = \sqrt {x + y} \geqslant 0;{\text{ }}v = \sqrt {x - y} \geqslant 0$

Ta có:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x + y = {u^2} \hfill \\ x - y = {v^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{2}\left( {{u^2} + {v^2}} \right) \hfill \\ y = \frac{1}{2}\left( {{u^2} - {v^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{{{u^4} + {v^4}}}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy từ (1) (2) ta có: $\left\{ \begin{gathered} u + v = 4{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ {u^4} + {v^4} = 256{\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Dễ thấy

$\begin{gathered} \left( 3 \right)\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} u = 4;v = 0 \hfill \\ u = 0;v = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x + y = 16 \hfill \\ x - y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x + y = 0 \hfill \\ x - y = 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 8;y = 8 \hfill \\ x = 8;y = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy hệ (1) (2) có các nghiệm (8, 8); (8, –8)

Câu 4. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{gathered} \sqrt {{x^2} + x + y + 1} + x + \sqrt {{y^2} + x + y + 1} + y = 18{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \sqrt {{x^2} + x + y + 1} - x + \sqrt {{y^2} + x + y + 1} - y = 18{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {{x^2} + x + y + 1} + \sqrt {{y^2} + x + y + 1} = 10 \hfill \\ x + y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {{x^2} + 9} + \sqrt {{y^2} + 9} = 10 \hfill \\ x + y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} + 2xy = 64{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ {x^2} + {y^2} + 18 + 2\sqrt {{{\left( {xy} \right)}^2} + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 81} = 100{\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (3) (4) suy ra:

$\begin{gathered} 2\sqrt {{{\left( {xy} \right)}^2} + 9\left( {64 - 2xy} \right) + 81} = 82 - 64 + 2xy \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{{\left( {xy} \right)}^2} + 9\left( {64 - 2xy} \right) + 81} = 18 + 2xy{\text{ }}\left( 5 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Đặt xy = t, từ (5) có:

$\begin{gathered} \sqrt {{t^2} - 18t + 657} = 9 + t \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} t \geqslant - 9 \hfill \\ {t^2} - 18t + 657 = 81 + 18t + {t^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} t \geqslant - 9 \hfill \\ t = 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy đi đến hệ $\left\{ \begin{gathered} x + y = 8 \hfill \\ xy = 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = 4$

Vì thế nghiệm của (1) (2) là (4, 4)

Câu 5. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{gathered} \sqrt x + \sqrt y = 5{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \sqrt {x + 5} + \sqrt {y + 5} = 8{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0. Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right)\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {\sqrt {x + 5} + \sqrt x } \right) + \left( {\sqrt {y + 5} + \sqrt y } \right) = 13 \hfill \\ \left( {\sqrt {x + 5} - \sqrt x } \right) + \left( {\sqrt {y + 5} - \sqrt y } \right) = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {\sqrt {x + 5} + \sqrt x } \right) + \left( {\sqrt {y + 5} + \sqrt y } \right) = 13 \hfill \\ \frac{5}{{\sqrt {x + 5} + \sqrt x }} + \frac{5}{{\sqrt {y + 5} + \sqrt y }} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Đặt $u = \sqrt {x + 5} + \sqrt x ;{\text{ }}v = \sqrt {y + 5} + \sqrt y$ ta có hệ:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} u + v = 13 \hfill \\ \frac{5}{u} + \frac{5}{v} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u + v = 13 \hfill \\ uv = \frac{{65}}{{13}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ 13 + \sqrt {\frac{{247}}{3}} \hfill \\ \end{gathered} }{2};v = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ 13 - \sqrt {\frac{{247}}{3}} \hfill \\ \end{gathered} }{2} \hfill \\ u = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ 13 - \sqrt {\frac{{247}}{3}} \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} 2 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} };v = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ 13 + \sqrt {\frac{{247}}{3}} \hfill \\ \end{gathered} }{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Chú ý: Ta phải có $u \geqslant \sqrt 5 ,v \geqslant \sqrt 5$ , nhưng $\frac{\begin{gathered} \hfill \\ 13 - \sqrt {\frac{{247}}{3}} \hfill \\ \end{gathered} }{2} < \sqrt 5$

Vậy hệ (1) (2) vô nghiệm

Câu 6. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{gathered} \sqrt {x + 1} + \sqrt {2 - y} = \sqrt 3 {\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \sqrt {2 - x} + \sqrt {y - 1} = \sqrt 3 {\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện −1 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2

Viết lại hệ (1) (2) dưới dạng tương đương sau:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \sqrt {x + 1} + \sqrt {2 - y} = \sqrt 3 \hfill \\ \left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt {y + 1} } \right) - \left( {\sqrt {2 - x} - \sqrt {2 - y} } \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {x + 1} + \sqrt {2 - y} = \sqrt 3 \hfill \\ \frac{{x - y}}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {y + 1} }} + \frac{{x - y}}{{\sqrt {2 - x} - \sqrt {2 - y} }} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {x + 1} + \sqrt {2 - y} = \sqrt 3 \hfill \\ \left( {x - y} \right)\left[ {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {y + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {2 - x} - \sqrt {2 - y} }}} \right] = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 \leqslant x \leqslant 2;{\text{ }} - 1 \leqslant y \leqslant 2 \hfill \\ x = y \hfill \\ \sqrt {x + 1} + \sqrt {2 - y} = \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 \leqslant x \leqslant 2;{\text{ }} - 1 \leqslant y \leqslant 2 \hfill \\ x = y \hfill \\ 3 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = x;{\text{ }} - 1 \leqslant x \leqslant 2 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy (1) (2) có hai nghiệm (–1, –1); (2, 2)

Dạng 5. Sử dụng phương pháp chiêu biến thiên hàm số để giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức

[content_6]

Câu 1. Giải phương trình sau:

${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + 4 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Đặt $f\left( x \right) = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + 4$ , với $x \leqslant \frac{1}{3}$

Khi đó (1) có dạng f(x) = 0, với miền xác định $x \leqslant \frac{1}{3}$

Ta có: $f'\left( x \right) = 5{x^4} + 3{x^2} + \frac{3}{{2\sqrt {1 - 3x} }} > 0,{\text{ }}\forall x < \frac{1}{3}$

Vậy f(x) là hàm số đồng biến khi $x < \frac{1}{3}$

Ta có f(–1) = 0. Vậy x = –1 là nghiệm duy nhất của (1).

Câu 2. Giải phương trình sau:

$\sqrt {{x^2} + 15} = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8} {\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Viết lại (1) dưới dạng

$f\left( x \right) = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8} - \sqrt {{x^2} + 15} {\text{ }}\left( 2 \right)$

Hàm số f(x) xác định với mọi x thuộc ℝ. Xét hai khả năng sau:

+) Nếu $x \leqslant \frac{2}{3} \Rightarrow 3x - 2 \leqslant 0$ . Mặt khác:

$\sqrt {{x^2} + 8} - \sqrt {{x^2} + 15} < 0$

Vậy f(x) < 0 khi $x \leqslant \frac{2}{3} \Rightarrow x \leqslant \frac{2}{3}$ sẽ không thể là nghiệm của (2)

+) Nếu $x > \frac{2}{3}$ . Khi đó ta có:

$\begin{gathered} f'\left( x \right) = 3 + x\left[ {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 8} }} - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}} \right] > 0 \hfill \\ \hfill \\ \left( {{\text{do }}x > \frac{2}{3}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy f(x) là hàm đồng biến khi $x > \frac{2}{3}$ . Mặt khác f(1) = 0

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của (1)

Câu 3. Giải bất phương trình sau:

$\sqrt {x + 9} > 5 - \sqrt {2x + 4} {\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Viết lại (1) dưới dạng

$f\left( x \right) = \sqrt {x + 9} + \sqrt {2x + 4} > 5{\text{ }}\left( 2 \right)$

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 9} }} + \frac{1}{{\sqrt {2x + 4} }} > 0,{\text{ }}\forall x > - 2$

Vậy f(x) là hàm đồng biến khi x ≥ −2, mặt khác ta có f(0) = 5.

Từ đó suy ra nghiệm của (2) là x > 0.

Câu 4. Giải phương trình sau:

$\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)} - 3\sqrt {x + 6} = 4 - \sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {2x - 1} \right)} - 3\sqrt {x + 2} {\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Viết lại (1) dưới dạng tương đương:

$f\left( x \right) = \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)} - 3\sqrt {x + 6}$ $+ \sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {2x - 1} \right)} - 3\sqrt {x + 2} = 4$

với miền xác định x ≥ $\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt {2x - 1} - 3} \right) = 4{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (2) suy ra $\sqrt {2x - 1} - 3 \geqslant 0$

Vậy mọi nghiệm (nếu có) của (1) đều lớn hơn hoặc bằng 5. Vì thế xét f(x) với x ≥ 5

Ta có $\sqrt {x + 6} + \sqrt {x + 2}$ và $\sqrt {2x - 1} - 3$ là các hàm đồng biến > 0 khi x ≥ 5

Vậy f(x) là hàm đồng biến khi x ≥ 5, mặt khác:

$f\left( 7 \right) = \left( {\sqrt {13} + 3} \right)\left( {\sqrt {13} - 3} \right) = 4$

Do đó x = 7 là nghiệm duy nhất của (1)

Câu 5. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{gathered} \sqrt x + \sqrt {2 - y} = \sqrt 2 {\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \sqrt y + \sqrt {2 - x} = \sqrt 2 {\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt x + \sqrt {2 - y} = \sqrt 2 {\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \sqrt x - \sqrt {2 - x} = \sqrt y - \sqrt {2 - y} {\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Rõ ràng (4) ⇔ f(x) = f(y), ở đây $f\left( t \right) = \sqrt t + \sqrt {2 - t}$ , với 0 ≤ t ≤ 2

Ta có: $f'\left( t \right) = \frac{1}{{2\sqrt t }} + \frac{1}{{2\sqrt {2 - t} }} > 0$

Vậy f(t) là hàm đồng biến khi 0 ≤ t ≤ 2. Từ đó f(x) = f(y) ⇔ x = y

Vậy $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = y;{\text{ }}0 \leqslant x \leqslant 2 \hfill \\ \sqrt x + \sqrt {2 - x} = \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Dễ thấy từ đây suy ra x = y = 0 hoặc x = y = 2

Đó là hai nghiệm của hệ (1), (2)

Dạng 6. Phương pháp đánh giá hai về để giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức

[content_7]

Phương pháp giải

Với phương trình f(x) = g(x), x ∈ D có tính chất sau:

$\left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) \geqslant A,\forall x \in D \hfill \\ g\left( x \right) \leqslant A,\forall x \in D \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Khi đó: $f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) = A \hfill \\ g\left( x \right) = A \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Để phát hiện ra các bất đẳng thức f(x) ≥ A; g(x) ≤ A ∀x ∈ A, ta sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải phương trình sau:

$\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = {x^2} - 6x + 11{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta thấy miền xác định của (1) là D = {x : 2 ≤ x ≤ 4}

Ta có: x² – 6x + 11 = (x – 3)² + 2 ≥ 2 ∀x ∈ D

Mặt khác nếu đặt $f\left( x \right) = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}$ với x ∈ D, thì

$\begin{gathered} {f^2}\left( x \right) = 2 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {4 - x} \right)} \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{ \leqslant 2 + \left[ {\left( {x - 2} \right) + \left( {4 - x} \right)} \right] = 4} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Do f(x) ≥ 0 khi x ∈ D ⇒ f(x) ≤ 2 ∀x ∈ D

Từ đó suy ra:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 6x + 11 = 2 \hfill \\ \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x - 2 = 4 - x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của (1)

Câu 2. Giải phương trình sau:

$\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} - \sqrt {{x^2} - 2} = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} {\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - 7x + 3} - \sqrt {3{x^2} - 5x - 1}$ $= \sqrt {{x^2} - 2} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} {\text{ }}\left( 2 \right)$

Ta thấy miền xác định của (2) là

$D = \left\{ {x:\begin{array}{*{20}{c}} {3{x^2} - 7x + 3 \geqslant 0} \\ {3{x^2} - 5x - 1 \geqslant 0} \\ {{x^2} - 2 \geqslant 0} \\ {{x^2} - 3x + 4 \geqslant 0} \end{array}} \right\}$

Bằng phép nhân liên hợp, ta có:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{\left( {3{x^2} - 7x + 3} \right) - \left( {3{x^2} - 7x + 3} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} + \sqrt {3{x^2} - 7x + 3} }} \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{{\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 4} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 4} }} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2x + 4}}{{\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} + \sqrt {3{x^2} - 7x + 3} }} \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{{3x - 6}}{{\sqrt {{x^2} - 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 4} }}{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

(2)

+) Nếu x > 2 và x ∈ D, thì VP(3) > 0, VT(3) < 0, do đó loại khả năng này.

+) Nếu x < 2 và x ∈ D, thì VP(3) < 0, VT(3) > 0, do đó loại khả năng này.

+) Với x = 2, thì x ∈ D và thỏa mãn (3), do VP = VT = 0.

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của (1)

Câu 3. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + \sqrt {5{x^2} + 10x + 14} = 4 - 2x - {x^2}$

b) $\frac{{{x^2} - 6x + 15}}{{{x^2} - 6x + 11}} = \sqrt {{x^2} - 6x + 18}$

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình:

$\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + \sqrt {5{x^2} + 10x + 14} = 4 - 2x - {x^2}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Ta có:

$\begin{gathered} {\text{VT}}\left( 1 \right) = \sqrt {3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {5{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ \geqslant 2 + 3 = 5{\text{ }}\left( 2 \right)} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ {\text{VP}}\left( 1 \right) = 5 - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 5 - {\left( {x + 1} \right)^2} \leqslant 5{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (2) (3) suy ra:

$\left\{ \begin{gathered} {\text{VT}}\left( 1 \right) = 5 \hfill \\ {\text{VP}}\left( 1 \right) = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 = 0 \hfill \\ x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = - 1$

Vậy x = –1 là nghiệm duy nhất của (1)

b) Xét phương trình:

$\frac{{{x^2} - 6x + 15}}{{{x^2} - 6x + 11}} = \sqrt {{x^2} - 6x + 18} {\text{ }}\left( 1 \right)$

Ta có:

$\begin{gathered} {\text{VT}}\left( 1 \right) = 1 + \frac{4}{{{x^2} - 6x + 11}} = 1 + \frac{4}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 2}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \leqslant 1 + \frac{4}{2} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ {\text{VP}}\left( 1 \right) = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 9} \geqslant 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Từ đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\text{VT}}\left( 1 \right) = 3 \hfill \\ {\text{VP}}\left( 1 \right) = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3$

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của (1)

Câu 4. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt {5{x^3} + 3{x^2} + 3x - 2} = \frac{{{x^2}}}{2} + 3x - \frac{1}{2}$

b) $\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {2x - 1} = \sqrt {3{x^2} + 4x + 1}$

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình:

$\sqrt {5{x^3} + 3{x^2} + 3x - 2} = \frac{{{x^2}}}{2} + 3x - \frac{1}{2}$ (1)

Ta thấy:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {5x - 2} \right)} \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {5x - 2} \right)}}{2}{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Chú ý điều kiện để (1) có nghĩa là 5x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{2}{5}$

Từ (2) và theo bất đẳng thức Côsi suy ra:

(2) ⇔ x² + x + 1 = 5x – 2

⇔ x² – 4x + 3 = 0

⇔ x = 1 ∨ x = 3

b) Xét phương trình:

$\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {2x - 1} = \sqrt {3{x^2} + 4x + 1}$ (1)

Điều kiện là $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + 2x \geqslant 0 \hfill \\ 2x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ 3{x^2} + 4x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \geqslant \frac{1}{2}$

Do x ≥ $\frac{1}{2}$ , nên có thể viết lại (1) dưới dạng tương đương sau:

$\sqrt x \cdot \sqrt {x + 2} + 1 \cdot \sqrt {2x - 1} = \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)} {\text{ }}\left( 2 \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

${\left( {\sqrt x \cdot \sqrt {x + 2} + 1 \cdot \sqrt {2x - 1} } \right)^2} \leqslant \left( {x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right){\text{ }}\left( 3 \right)$

Từ (2) (3) suy ra ta có:

$\begin{gathered} \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} }} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} - x} = \sqrt {x + 2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ 2{x^2} - x = x + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ {x^2} - x - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy (1) có nghiệm duy nhất $x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$

Dạng 7. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức có tham số

[content_8]

Loại 1. Giải và biện luận phương trình và bất phương trình căn thức có tham số

Câu 1. Giải và biện luận theo a phương trình sau:

$\sqrt {x - 4a + 16} - 2\sqrt {x - 2a + 4} + \sqrt x = 0{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Viết lại (1) dưới dạng tương đương sau:

$\begin{gathered} \sqrt {x - 4a + 16} + \sqrt x = 2\sqrt {x - 2a + 4} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 4a - 16 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ x \geqslant 2a - 4 \hfill \\ 2x - 4a + 16 + 2\sqrt {{x^2} - 4ax + 16x} = 4x - 8a + 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 4a - 16 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ x \geqslant 2a - 4 \hfill \\ \sqrt {{x^2} - 4ax + 16x} = x - 2a \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 4a - 16 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ x \geqslant 2a - 4 \hfill \\ x \geqslant 2a \hfill \\ {x^2} - 4ax + 16x = {x^2} - 4ax + 4{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 4a - 16{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ x \geqslant 0{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ x \geqslant 2a{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ x = \frac{{{a^2}}}{4}{\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Thấy khi $x = \frac{{{a^2}}}{4}$ thì x ≥ 0 và x ≥ 4a – 16

Do $\frac{{{a^2}}}{4} \geqslant 4a - 16 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a - 8} \right)}^2}}}{4} \geqslant 0$

Vì thế $\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ x \geqslant 2a \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ta có $\frac{{{a^2}}}{4} - 2a = \frac{{{a^2} - 8a}}{4}$

Vì a² – 8a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0 ∨ a ≥ 8

a² – 8a < 0 ⇔ 0 < a < 8

Tóm lại:

+) Nếu 0 < a < 8: Phương trình (1) vô nghiệm

+) Nếu a ≤ 0 ∨ a ≥ 8: Phương trình (1) có nghiệm $x = \frac{{{a^2}}}{4}$

Câu 2. Giải và biện luận theo m phương trình sau:

$\sqrt {{x^2} + x + \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} = x - \frac{m}{{x - 1}}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 1 \hfill \\ x - \frac{m}{{x - 1}} \geqslant 0 \hfill \\ {x^2} + x + \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {x^2} + \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{{2mx}}{{x - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 1 \hfill \\ x - \frac{m}{{x - 1}} \geqslant 0 \hfill \\ x\left( {x - 1 + 2m} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ x - \frac{m}{{x - 1}} \geqslant 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 1 - 2m \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Để x = 0 thỏa mãn (2) và (3), ta cần có $0 - \frac{m}{{ - 1}} \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 0$

Để x = 1 – 2m thỏa mãn (2) và (3), ta cần có

$\left\{ \begin{gathered} 1 - 2m \ne 1 \hfill \\ 1 - 2m - \frac{m}{{1 - 2m - 1}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 0 \hfill \\ m \leqslant \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Từ đó suy ra:

+) Nếu m < 0: Phương trình có nghiệm x = 1 – 2m

+) Nếu m = 0: Phương trình có nghiệm x=0

+) Nếu 0 < m ≤ $\frac{3}{4}$ : Phương trình có nghiệm x = 0 và x = 1 – 2m

+) Nếu m > $\frac{3}{4}$ : Phương trình có nghiệm x = 0

Câu 3. Giải và biện luận theo m phương trình sau:

$\sqrt x - \sqrt {x - m} > m{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Xét các khả năng sau:

+) Nếu m = 0 thì (1) có dạng $\sqrt x - \sqrt x > 0{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ đó suy ra (2) tức là (1) vô nghiệm.

+) Nếu m > 0, ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt x > m + \sqrt {x - m} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant m \hfill \\ x > {m^2} + x - m + 2m\sqrt {x - m} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant m \hfill \\ m - {m^2} > 2m\sqrt {x - m} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant m{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ 1 - m > 2\sqrt {x - m} {\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (3) (4) ta thấy:

– Nếu m ≥ 1 thì 1 – m ≤ 0 ⇒ (4) vô nghiệm ⇒ Hệ (3) (4) vô nghiệm.

– Nếu 0 < m < 1 thì

$\begin{gathered} \left( 3 \right)\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant m \hfill \\ {\left( {1 - m} \right)^2} > 4\left( {x - m} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant m \hfill \\ x < {\left( {\frac{{m + 1}}{2}} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Chú ý là do ${\left( {\frac{{m + 1}}{2}} \right)^2} > m$ vì m ≠ 1 nên ${\left( {\frac{{m - 1}}{2}} \right)^2} > 0$

Vì thế $\left( 3 \right)\left( 4 \right) \Leftrightarrow m \leqslant x < {\left( {\frac{{m + 1}}{2}} \right)^2}$

+) Nếu m < 0, ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt x - m > \sqrt {x - m} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x + {m^2} - 2m\sqrt x > x - m \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ 2m\sqrt x > {m^2} + m \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Do m < 0, nên $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0{\text{ }}\left( 5 \right) \hfill \\ 2\sqrt x > m + 1{\text{ }}\left( 6 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

– Nếu m + 1 < 0 (tức m < –1), thì (5) (6) ⇔ x ≥ 0

– Nếu –1 ≤ m < 0 (khi đó m + 1 ≥ 0 ) lúc này

$\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x > \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4}$

Vậy ta có kết luận sau:

+) Nếu m < –1: x ≥ 0

+) Nếu –1 ≤ m < 0: $x > \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4}$

+) Nếu m = 0 hoặc m ≥ 1: bất phương trình vô nghiệm

+) Nếu 0 < m < 1: $m \leqslant x < \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4}$

Câu 4. Giải và biện luận theo a bất phương trình sau:

$2x + \sqrt {{a^2} - {x^2}} > 0{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Xét các khả năng sau:

+) Nếu a = 0, bất phương trình (1) có dạng $2x + \sqrt { - {x^2}} > 0{\text{ }}\left( 2 \right)$ , rõ ràng (2) vô nghiệm.

+) Nếu a > 0, bất phương trình (1) có dạng $\sqrt {{a^2} - {x^2}} > - 2x{\text{ }}\left( 3 \right)$

Ta thấy:

$\begin{gathered} \left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {a^2} - {x^2} \geqslant 0 \hfill \\ - 2x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {a^2} - {x^2} \geqslant 0 \hfill \\ - 2x \geqslant 0 \hfill \\ {a^2} - {x^2} > 4{x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} - a \leqslant x \leqslant a \hfill \\ x > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} - a \leqslant x \leqslant a \hfill \\ x \leqslant 0 \hfill \\ {x^2} < \frac{{{a^2}}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 < x \leqslant a \hfill \\ - \frac{{a\sqrt 5 }}{5} < x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - \frac{{a\sqrt 5 }}{5} < x \leqslant a \hfill \\ \end{gathered}$

+) Nếu a < 0, khi đó (3) tương đương với hệ sau:

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {a^2} - {x^2} \geqslant 0 \hfill \\ - 2x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {a^2} - {x^2} \geqslant 0 \hfill \\ - 2x \geqslant 0 \hfill \\ {a^2} - {x^2} > 4{x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 < x \leqslant - a \hfill \\ \frac{{a\sqrt 5 }}{5} < x \leqslant - a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt 5 }}{5} < x \leqslant - a \hfill \\ \end{gathered}$

Tóm lại ta có kết luận sau:

+) Nếu a = 0: Phương trình (1) vô nghiệm.

+) Nếu a ≠ 0 : Phương trình (1) có nghiệm là $- \frac{{\left| a \right|\sqrt 5 }}{5} \leqslant x \leqslant \left| a \right|$

Loại 2. Các bài toán định tính về phương trình và bất phương trình chứa tham số

[content_9]

Câu 1. Cho phương trình: $\sqrt {4 - x} + \sqrt {x + 5} = m$ . Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x₀. Vì x₀ là nghiệm nên ta có:

$\sqrt {4 - {x_0}} + \sqrt {{x_0} + 5} = m{\text{ }}\left( 1 \right)$

Từ (1) có $\sqrt {4 - \left( { - 1 - {x_0}} \right)} + \sqrt {\left( { - 1 - {x_0}} \right) + 5} = m{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (2) suy ra (−1 − x₀) cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

Do tính duy nhất nên có x₀= –1 – x₀ ⇒ x₀ = $- \frac{1}{2}$

Thay lại vào (1) có $\sqrt {\frac{9}{2}} + \sqrt {\frac{9}{2}} = m$ hay $m = \sqrt {18} = 3\sqrt 2$

Vậy điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là m = $3\sqrt 2$

Đảo lại: khi m = $3\sqrt 2$ , ta có phương trình:

$\begin{gathered} \sqrt {4 - x} + \sqrt {x + 5} = 3\sqrt 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 5 \leqslant x \leqslant 4 \hfill \\ 9 + 2\sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {x + 5} \right)} = 18 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 5 \leqslant x \leqslant 4 \hfill \\ 2\sqrt { - {x^2} - x + 20} = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 5 \leqslant x \leqslant 4 \hfill \\ - 4{x^2} - 4x + 80 = 81 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 5 \leqslant x \leqslant 4 \hfill \\ {\left( {2x + 1} \right)^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất m = $3\sqrt 2$

Nhận xét:

+) Ta xét cách giải thứ hai như sau:

Đặt $f\left( x \right) = \sqrt {4 - x} + \sqrt {x + 5}$ với –5 ≤ x ≤ 4

Khi đó phương trình đã cho có dạng f(x) = m (*)

Ta có:

$f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 5} }} - \frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} = \frac{{\sqrt {4 - x} - \sqrt {x + 5} }}{{2\sqrt {x + 5} \cdot \sqrt {4 - x} }}$

Lập bảng biến thiên sau:

Từ đó suy ra (*) có nghiệm duy nhất (tức là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi:

$m = f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3\sqrt 2$

+) Ta xét cách giải thứ ba như sau:

Đặt $u = \sqrt {4 - x} \geqslant 0,{\text{ }}v = \sqrt {x + 5} \geqslant 0$

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất tương đương với hệ sau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u + v = m \hfill \\ {u^2} + {v^2} = 9 \hfill \\ u,v \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm duy nhất.

Từ đó suy ra hệ trên có nghiệm duy nhất khi và chi khi đường thẳng u + v = m là tiếp tuyến với cung tròn (cung ở góc phần tư thứ nhất), tức là khi và chỉ khi m = $3\sqrt 2$

Câu 2. Cho phương trình: $\sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} = m$ . Tìm m để phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đặt $u = \sqrt {x + 3} \geqslant 0,{\text{ }}v = \sqrt {6 - x} \geqslant 0$

Từ (1) có $\left\{ \begin{gathered} u + v - uv = m{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ {u^2} + {v^2} = 9{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(3) ⇔ (u + v)² − 2uv = 9

⇔ (u + v)² – 2[(u + v) – m] = 9

⇔ (u + v)² − 2(u + v) + 2m = 9

⇔ (u + v)² − 2(u + v) + 2m – 9 = 0 (4)

Ta nhận thấy để (4) có nghiệm cần có:

∆’ = 1 – (2m – 9) > 0 ⇔ 10 – 2m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5 (5)

Để ý rằng:

$\begin{gathered} \Leftrightarrow u + v = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} \geqslant 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {u + v} \right)^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \geqslant 9 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow u + v \geqslant 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Mặt khác: $1 - \sqrt {10 - 2m} \leqslant 1$

Vì thế khi m ≤ 5, thì từ (4) có $u + v = 1 + \sqrt {10 - 2m}$ (nghĩa là chắc chắn loại $u + v = 1 - \sqrt {10 - 2m}$ ).

Do vậy suy ra $\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u + v = 1 + \sqrt {10 - 2m} \hfill \\ {u^2} + {v^2} = 9 \hfill \\ u \geqslant 0,v \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Dễ thấy (1) có nghiệm ⇔ (2) (3) có nghiệm.

Cũng thấy ngay điều đó xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng $u + v = 1 + \sqrt { - 10 + 2m}$ nằm giữa hai đường thẳng u + v = 3 và u + v = $3\sqrt 2$ , tức là khi và chỉ khi:

$\begin{gathered} 3 \leqslant 1 + \sqrt {10 - 2m} \leqslant 3\sqrt 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2 \leqslant \sqrt {10 - 2m} \leqslant 3\sqrt 2 - 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 4 \leqslant 10 - 2m \leqslant 19 - 6\sqrt 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt 2 - 9}}{2} \leqslant x \leqslant 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Đó là các giá trị cần tìm của m để cho (1) có nghiệm.

Bài tập tổng hợp

[content_10]

Câu 1. (Đại học, Cao đẳng khối B – 2002)

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{gathered} \sqrt[3]{{x - y}} = \sqrt {x - y} {\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ x + y = \sqrt {x + y + 2} {\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered} x - y \geqslant 0 \hfill \\ x + y \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đặt $u = \sqrt[6]{{x - y}} \geqslant 0$ , khi đó:

(1) ⇔ u² = u³ ⇔ u²(1 – u) = 0 ⇔ u = 0 ∨ u = 1

Đặt v = x + y ≥ 0, khi đó từ (2) có:

$v = \sqrt {v + 2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} v \geqslant 0 \hfill \\ {v^2} - v - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow v = 2$

Vậy $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} u = 0 \hfill \\ v = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} u = 1 \hfill \\ v = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x - y = 0 \hfill \\ x + y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x - y = 1 \hfill \\ x + y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = y = 1 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = \frac{3}{2} \hfill \\ y = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy hệ (1) (2) có hai nghiệm $\left( {1,1} \right);\left( {\frac{3}{2},\frac{1}{2}} \right)$

Câu 2. (Đại học Cao, đẳng khối D – 2002)

Giải bất phương trình:

$\left( {{x^2} - 3x} \right)\sqrt {2{x^2} - 3x - 2} \geqslant 0{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 2{x^2} - 3x - 2 > 0 \hfill \\ {x^2} - 3x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \vee x = - \frac{1}{2} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \left( {x < - \frac{1}{2}} \right) \vee \left( {x > 2} \right) \hfill \\ \left( {x \leqslant 0} \right) \vee \left( {x \geqslant 3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \vee x = - \frac{1}{2} \hfill \\ \left( {x < - \frac{1}{2}} \right) \vee \left( {x \geqslant 3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x \leqslant - \frac{1}{2} \hfill \\ x = 2 \hfill \\ x \geqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của (1) là $\left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right] \cup \left\{ 2 \right\} \cup \left[ {3, + \infty } \right)$

Câu 3. (Đại học, Cao đẳng khối A – 2004)

Giải bất phương trình:

$\frac{{\sqrt {2\left( {{x^2} - 16} \right)} }}{{\sqrt {x - 3} }} + \sqrt {x - 3} > \frac{{7 - x}}{{\sqrt {x - 3} }}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} - 16 \geqslant 0 \hfill \\ x - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \geqslant 4$

Với x ≥ 4, viết lại (1) dưới dạng tương đương sau:

$\begin{gathered} \sqrt {2\left( {{x^2} - 16} \right)} + x - 3 > 7 - x \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {{x^2} - 16} \right)} > 10 - 2x{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 4 \hfill \\ 10 - 2x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 4 \hfill \\ 10 - 2x \geqslant 0 \hfill \\ 2\left( {{x^2} - 16} \right) > {\left( {10 - 2x} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x > 5 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 4 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\ {x^2} - 20x + 66 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x > 5 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 4 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\ 10 - \sqrt {34} < x < 10 + \sqrt {34} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x > 5 \hfill \\ 10 - \sqrt {34} < x \leqslant 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > 10 - \sqrt {34} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của (1) là $x > 10 - \sqrt {34}$

Câu 4. (Đại học, Cao đẳng khối D – 2004)

Cho hệ phương trình:

$\left\{ \begin{gathered} \sqrt x + \sqrt y = 1{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ x\sqrt x + y\sqrt y = 1 - 3m{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Tìm m để hệ có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đặt $u = \sqrt x ,{\text{ }}v = \sqrt y$ . Khi đó hệ (1) (2) có nghiệm khi và chi khi hệ sau có nghiệm:

$\left\{ \begin{gathered} u + v = 1{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ {u^3} + {v^3} = 1 - 3m{\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ u \geqslant 0,{\text{ }}v \geqslant 0{\text{ }}\left( 5 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ta có: u³ + v³ = 1 – 3m

⇔ (u + v)³ – 3uv(u + v) = 1 – 3m

Khi u + v = 1, ta có: uv = m

Vậy $\left( 3 \right)\left( 4 \right)\left( 5 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u + v = 1{\text{ }}\left( 6 \right) \hfill \\ uv = m{\text{ }}\left( 7 \right) \hfill \\ u \geqslant 0,{\text{ }}v \geqslant 0{\text{ }}\left( 8 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hệ (6) (7) (8) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình: t² – t + m = 0 chỉ có nghiệm t ≥ 0

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \Delta \geqslant 0 \hfill \\ P \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( {{\text{do }}S = 1 > 0} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - 4m \geqslant 0 \hfill \\ m \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy 0 ≤ m ≤ $\frac{1}{4}$ là tất cả các giá trị cần tìm của tham số m.

Câu 5. (Đại học, Cao đẳng khối A – 2005)

Giải bất phương trình:

$\sqrt {5x - 1} - \sqrt {x - 1} > \sqrt {2x - 4} {\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {5x - 1} > \sqrt {x - 1} + \sqrt {2x - 4} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ 2x - 4 \geqslant 0 \hfill \\ 5x - 1 > x - 1 + 2x - 4 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 4} \right)} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ 5x - 1 > 3x - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 4} \right)} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ x + 2 > \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 4} \right)} {\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Khi x ≥ 2, thì x + 2 > 0, nên

$\begin{gathered} \left( 2 \right)\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ {x^2} + 4x + 4 > 2{x^2} - 6x + 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ {x^2} - 10x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ 0 < x < 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 2 \leqslant x < 10 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của (1) là 2 ≤ x < 10

Câu 6. (Đại học, Cao đẳng khối D – 2005)

Giải phương trình:

$2\sqrt {x + 2 + 2\sqrt {x + 1} } - \sqrt {x + 1} = 4{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow 2\sqrt {{{\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}^2}} - \sqrt {x + 1} = 4 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2\left| {\sqrt {x + 1} + 1} \right| - \sqrt {x + 1} = 4 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right) - \sqrt {x + 1} - 4 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x + 1 = 4 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của (1)

Câu 7. (Đại học, Cao đẳng khối A – 2006)

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{gathered} x + y - \sqrt {xy} = 3{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \sqrt {x + y} + \sqrt {y + 1} = 4{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 2 \right) \Leftrightarrow x + 1 + y + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} = 16 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2 + x + y + 2\sqrt {xy + x + y + 1} = 16{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Đặt $t = \sqrt {xy}$ , thì từ (1) có x + y = 3 + t, rồi thay vào (3) và có

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 2 + t + 2\sqrt {{t^2} + 3 + t + 1} = 14 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{t^2} + t + 4} = 11 - t \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant t \leqslant 11 \hfill \\ 4{t^2} + 4t + 16 = 121 - 22t + {t^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant t \leqslant 11 \hfill \\ 3{t^2} + 26t - 105 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant t \leqslant 11 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} t = 3 \hfill \\ t = - \frac{{105}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow t = 3 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {xy} = 3 \Leftrightarrow xy = 9 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = 6 \hfill \\ xy = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = 3$

Vậy (3, 3) là nghiệm duy nhất của (1) (2)

Chú ý:

Ta có thể giải hệ (1) (2) bằng phương pháp “đánh giá hai vế” như sau:

Từ (1) và theo bất đẳng thức Côsi ta có:

$x + y = 3 + \sqrt {xy} \leqslant 3 + \frac{{x + y}}{2} \Rightarrow x + y \leqslant 6{\text{ }}\left( 4 \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

$\begin{gathered} {\left( {\sqrt {x + 1} \cdot 1 + \sqrt {y + 1} \cdot 1} \right)^2} \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ \leqslant \left[ {{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {y + 1} } \right)}^2}} \right]\left( {{1^2} + {1^2}} \right)} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} \leqslant \sqrt {2\left( {x + y + 2} \right)} {\text{ }}\left( 5 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Thay (4) vào (5) và có: $4 = \sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} \leqslant 4$

Điều đó chứng tỏ rằng trong bất đẳng thức Bunhiacopski có dấu bằng.

$\Rightarrow \frac{{\sqrt {x + 1} }}{1} = \frac{{\sqrt {y + 1} }}{1} \Leftrightarrow x = y$

Vậy đi đến hệ $\left\{ \begin{gathered} x = y \hfill \\ \sqrt {x + 1} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = 3$

Câu 8. (Đại học, Cao đẳng khối D – 2006)

Giải phương trình:

$\sqrt {2x - 1} + {x^2} - 3x + 1 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \geqslant \frac{1}{2}$ , đặt $t = \sqrt {2x - 1} \geqslant 0$

$\Rightarrow {t^2} = 2x - 1 \Rightarrow x = \frac{{{t^2} + 1}}{2}$

Khi đó (1) có dạng:

$\begin{gathered} t + {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} \right)^2} - 3\frac{{{t^2} + 1}}{2} + 1 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {t^4} - 4{t^2} + 4t - 1 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right) - 4t\left( {t - 1} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left[ {\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right) - 4t} \right] = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} + {t^2} - 3t + 1} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + 2t - 1} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Do t ≥ 0, nên suy ra $\left[ \begin{gathered} t = 1 \hfill \\ t = - 1 + \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Trở về biến cũ, ta có

$\left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2} + 1}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 2 - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy (1) có hai nghiệm ${x_1} = 1,{\text{ }}{x_2} = 2 - \sqrt 2$

Chú ý:

Ta có thể giải hệ (1) (2) bằng phương pháp “trực tiếp” như sau:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1} = - {x^2} + 3x - 1 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - {x^2} + 3x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ 2x - 1 = {\left( { - {x^2} + 3x - 1} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \leqslant x \leqslant \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ 2x - 1 = {x^4} + 9{x^2} + 1 - 6{x^3} + 2{x^2} - 6x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \leqslant x \leqslant \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ {x^4} - 6{x^3} + 11{x^2} - 8x + 2 = 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có: $\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 5{x^2} + 6x - 2} \right) = 0$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 2} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 2 - \sqrt 2 \hfill \\ x = 2 + \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vì $x = 2 + \sqrt 2 \notin \left[ {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2},\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right]$ $\left( {{\text{do }}2 + \sqrt 2 > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$

Vậy $\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 2 - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Bình luận:

(1) thử trí “kiên nhẫn” của người giải!

Câu 9. (Đại học, Cao đẳng khối B – 2006)

Cho phương trình:

$\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1{\text{ }}\left( 1 \right)$

Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x - 1 \geqslant 1 \hfill \\ {x^2} + mx + 2 = 4{x^2} + 4x + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - \frac{1}{2}{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ f\left( x \right) = 3{x^2} + x\left( {4 - m} \right) - 1 = 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Bài toán trở thành: Tìm m để hệ (2) (3) có hai nghiệm phân biệt. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho x₂ > x₁ ≥ $- \frac{1}{2}$

Theo định lí đảo về dấu tam thức bậc hai, ta cần có:

$\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0{\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ \hfill \\ af\left( { - \frac{1}{2}} \right) \geqslant 0{\text{ }}\left( 5 \right) \hfill \\ \hfill \\ \frac{S}{2} > - \frac{1}{2}{\text{ }}\left( 6 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do a = 3 > 0, và chú ý $\frac{c}{a}$ < 0 (a = 3; c = −1), nên ∆ > 0 vì thế

$\begin{gathered} \left( 4 \right)\left( 5 \right)\left( 6 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f\left( { - \frac{1}{2}} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \hfill \\ \frac{S}{2} > - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m - 9 \geqslant 0 \hfill \\ \hfill \\ \frac{{m - 4}}{6} > - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \geqslant \frac{9}{2} \hfill \\ \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m \geqslant \frac{9}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $m \geqslant \frac{9}{2}$ là tập hợp các giá trị cần tìm của tham số m.

Bài tập tự giải

[content_1]

Câu 1. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{{2 + \sqrt {19 - 2x} }}{x} = 1$

Đáp số: x = 5

b) $\sqrt {x + \sqrt {x + 11} } + \sqrt {x - \sqrt {x + 11} } = 4$

Đáp số: x = 5

c) $\sqrt {\frac{{20 + x}}{x}} \cdot \sqrt {\frac{{20 - x}}{x}} = \sqrt 6$

Đáp số: vô nghiệm

d) $\frac{{2 + x}}{{\sqrt 2 + \sqrt {2 + x} }} + \frac{{2 - x}}{{\sqrt 2 - \sqrt {2 + x} }} = 2\sqrt 2$

Đáp số: x = –2; x = $1 + \sqrt 5$

e) $\frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt {2 - {x^2}} }} = 2$

Đáp số: x = 1; x = $- \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}$

f) $\sqrt {5x - 5} + \sqrt {10x - 5} = \sqrt {15x - 10}$

Đáp số: x = 1

Câu 2. Giải các phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{gathered} x + y + \sqrt {x + y} = 20 \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 136 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đáp số: (–3, 4); (4; –3)

b) $\left\{ \begin{gathered} x\sqrt y + y\sqrt x = 6 \hfill \\ {x^2}y + {y^2}x = 20 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đáp số: (1, 4); (4, 1)

Câu 3. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 4} = 2x - 12 + 2\sqrt {{x^2} - 16}$

Đáp số: x = 5

b) $\sqrt {3x - 3} - \sqrt {5 - x} = \sqrt {2x - 4}$

Đáp số: x = 2 ∨ x = 4

c) $x + 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x - 1} + \sqrt { - {x^2} + 8x - 7} + 1$

Đáp số: x = 5 ∨ x = 4

d) $\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} = 4x - 9 + 2\sqrt {3{x^2} - 5x + 2}$

Đáp số: x = 2

e) $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = \frac{{x + 3}}{2}$

Đáp số: x = 5 ∨ x = 1

f) $\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} - 4x + 8} = 4x - {x^2} - 1$

Đáp số: x = 2

Câu 4. Giải các phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{gathered} \sqrt {2x + y + 1} - \sqrt {x + y} = 1 \hfill \\ 3x + 2y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đáp số: (2, –1)

b) $\left\{ \begin{gathered} 3\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = 4\sqrt x \cdot \sqrt y \hfill \\ xy = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đáp số: (1, 9); (9, 1)

c) $\left\{ \begin{gathered} \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {2xy} = 8\sqrt 2 \hfill \\ \sqrt x + \sqrt y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đáp số: (4, 4)

d) $\left\{ \begin{gathered} \sqrt {\frac{x}{y}} + \sqrt {\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \hfill \\ \hfill \\ {x^2} + {y^2} + xy = 21 \hfill \\ \end{gathered} \right.$