Bất đẳng thức Bunhiacopxki | Các dạng biểu diễn và bài tập - Edu

Tổng hợp các dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki và 6 kỹ thuật quan trọng nhất, giúp độc giả nhanh chóng nắm vững và áp dụng vào các bài tập.

4 dạng đặc của bất đẳng thức bunhiacopxki

Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+) Cho hai dãy số tùy ý a₁; a₂; a₃; …; a_n và b₁; b₂; b₃; …; b_n. Khi đó ta có:

Dạng 1

Dạng 2

+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là:

Dạng 3

+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là:

Dạng 4

Cho hai dãy số tùy ý a₁; a₂; …; a_n và x₁; x₂; …; x_n với x₁; x₂; …; x_n > 0

Khi đó ta có:

+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là:

Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

Một số dạng đặc biệt

Kỹ thuật chọn điểm rơi

Phương pháp giải

Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xảy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số câu sau.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho a là số thực dương thỏa mãn mãn a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+) Sai lầm thường gặp

Sai lầm 1.

Sai lầm 2.

Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 2 .

+) Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 2 thì dấu đẳng thức xảy ra tại

trái với giả thiết a ≥ 2

+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức (a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)² với dấu đẳng thức xảy ra tại . Giả sử với các số α; β ta có:

Ta cần chọn hai số α; β sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải đúng

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2.

Câu 2. Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn a + b = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+) Sai lầm thường gặp:

Do đó giá trị nhỏ nhất của A là .

+) Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là thì dấu đẳng thức xảy ra tại

Khi đó a + b = 2 trái với giả thiết a + b = 4.

+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức với dấu đẳng thức xảy ra tại . Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.

Giả sử với các số α; β ta có:

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a = b = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải đúng

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Khi đó ta được:

Để ý ta thấy , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được:

Dấu đẳng thức xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2.

Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+) Sai lầm thường gặp:

Do đó giá trị nhỏ nhất của A là .

+) Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là thì dấu đẳng thức xảy ra tại:

Khi đó a + b + c = 3 không thỏa mãn giả thiết a + b + c ≥ 6

Giả sử với các số α; β ta có:

Khi đó ta được:

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a = b = c = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải đúng

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Khi đó ta được:

Để ý ta thấy , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được

Dấu đẳng thức xảy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là , khi a = b = c = 2.

Câu 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích

Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.

Giả sử với các số α; β ta có:

Ta có hệ:

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại a = b = c = 2.

Do đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là , khi a = b = c = 2.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.

Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích

Do biểu thức A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại a = b = c = 2. Do đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Do đó ta được:

Hay

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.

Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích

Trong Câu này ta xét biểu thức đại diện . Một cách tự nhiên ta tìm cách khử căn của biểu thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách bình thường:

Đẳng thức xảy ra khi a = , khi đó nếu áp dụng tương tự thì không thỏa mãn giả thiết của toán.

Dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c = . Khi đó ta cần chọn một bộ số α; β để có đánh giá

Dấu đẳng thức xảy ra tại với a = .

Từ đó dễ dàng chọn được α = 8; β = 9.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Từ đó ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích

Xét biểu thức:

Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp thì ta được:

Khi đó dấu đẳng thức không xảy ra tại a = b = c = . Từ đó ta chọn các số p, q, r để có đánh giá như sau:

Và đẳng thức xảy ra tại với a = b = c = .

Từ đó ta chọn được một bộ số thỏa mãn p = , q = r = 2.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Từ đó ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi a = b = c = .

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a² + 4b² + 9c² = 2015. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a + b + c

Phân tích và lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Để sử dụng được giả thiết a² + 4b² + 9c² = 2015 ta cần chọn một bộ số m; n; p sao cho hệ sau thỏa mãn:

Khi đó ta có lời giải như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Do đó ta được P ≤ hay giá trị nhỏ nhất của P là

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c = 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a² + b² + c²

Phân tích và lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

(m² + n² + k²)(a² + b² + c²) ≥ (ma + nb + kc)²

Để áp dụng giả thiết a + 2b + 3c = 14 ta cần chọn một bộ số m; n; k thỏa mãn hệ sau:

Khi đó ta có lời giải như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 14. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương sao thỏa mãn 4a + 9b + 16c = 49. Chứng minh rằng:

Phân tích và lời giải

Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Như vậy ta cần chọn một bộ số m; n; k sao cho hệ sau thỏa mãn:

Thử một số trường hợp ta chọn được m = 2; n = 5; k = 8, khi đó ta có lời giải như sau.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Hay

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Cách 2. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên chú ý đến giả thiết 4a + 9b + 16c = 49, ta cần nhân thêm hệ số để khi áp dụng dưới mẫu xuất hiện 4a + 9b + 16c. Do đó ta có thể chứng minh bài toán trên như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng về đại lượng hoặc ngược lại. Để rõ hơn ta xét một số câu sau:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .

Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể đưa đưa đại lượng dưới các dấu căn ở vế trái vào trong cùng một căn thức, chú ý chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Do đó ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

Phân tích

Để ý là a + b – c + b + c – a = 2b. Do đó ta nghĩ đến việc đưa hai đại lượng dưới dấu căn vào trong cùng một dấu căn. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản dạng (x + y)² ≤ 2(x² + y²), ta được:

Do đó ta được , tương tự ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.

Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Để ý nếu ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:

Bất đẳng thức trên gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ở đây ta thử áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản xem sao.

Ta cần đánh giá đại lượng a + b + c sao cho xuất hiện , do đó ta viết a + b + c thành

Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.

Lời giải

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Do đó ta có:

Suy ra ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 5. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a² + b² = 1. Chứng minh rằng:

Phân tích

Chú ý đến giả thiết có đại lượng a² + b² và trong bất đẳng thức cần chứng minh cho đại lượng . Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là . Đến đây ta chỉ cần đánh giá là xong.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy nếu đánh giá từ vế trái sang vế phải của bất đẳng thức thì rất khó khăn, do đó ta tìm cách đánh giá từ vế phải sang vế trái, tức là ta cần chứng minh được bất đẳng thức kiểu . Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c nên ta viết được , chú ý đến chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là:

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta đánh giá (a² + 3b²)² về a⁴ + 3b⁴, tuy nhiên đánh giá này hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Do đó ta được:

Hoàn toàn tương tự ta được:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 7. Cho các số thực a; b; c ∈ (0; 1). Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức ta thấy trong căn thức thứ nhất có chứa nhân tử a và trong căn thức thứ hai lại có chứa nhân tử 1 − a, để ý là a + 1 – a = 1 nên ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để triệt tiêu đi biến a.

Khi này ta được:

Không cần quan tâm đến dấu đẳng thức xảy ra nên ta có:

Đến ta đây ta lặp lại đánh giá như trên thì bài toán được hoàn tất.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Do đó ta được abc:

Dễ dàng chứng minh được . Áp dụng vào bài toán ta được:

Lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Hay

Vậy ta có:

Bất đẳng thức được chứng minh.

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

3(a + b + c)² ≤ (a² + 2)(b² + 2)(c² + 2)

Phân tích

Bất đẳng thức trên có các biến độc lập nhau, do đó nếu đánh giá làm giảm đi số biến thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Ta chú ý đến sự xuất hiện của đại lượng (a + b + c)² ở vế trái và a² + 2 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Sự xuất hiện này làm cho ta suy nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá đại lượng (a + b + c)² làm sao cho xuất hiện đại lượng a² + 2. Như vậy ta sẽ có đánh giá sau:

Ta quy bài toán về chứng minh . Bất đẳng thức này chỉ có hai biến và có thể chứng minh được bằng phép biến đổi tương đương.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng (a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)² ta được:

Bài toán đưa về chứng minh:

Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được:

Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Nhận xét

Bất đẳng thức này còn được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hơp với nguyên lý Dirichlet như sau:

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số a, b, c luôn tồn tại hai số cùng không lớn hơn 1 hoặc không nhỏ hơn 1.

Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là b và c, khi đó ta được:

(b² – 1)(c² – 1) ≥ 0

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

(a + b + c)² = (1∙a + 1∙b + 1∙c)² ≤ (a² + 2)(1 + b² + c²)

Bài toán quy về chứng minh 3(1 + b² + c²) ≤ (b² + 2)(c² + 2)

Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta thu được (b² – 1)(c² – 1) ≥ 0.

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả sử trên. Vậy bài toán được chứng minh.

Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

(ab + bc + ca – 1)² ≤ (a² + 1)(b² + 1)(c² + 1)

Phân tích

Tương tự như trên, ta chú ý đến sự xuất hiện đại lượng (ab + bc + ca – 1)² ở vế trái và a² + 1 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Ta cần đánh giá đại lượng (ab + bc + ca – 1)² làm sao cho xuất hiện đại lượng a² + 1. Để thực hiện được đánh giá đó ta để ý đến phép biến đổi

(ab + bc + ca – 1)² = [a∙(b + c) + 1∙(bc – 1)]²

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

(ab + bc + ca – 1)²

= [a∙(b + c) + 1∙(bc – 1)]²

≤ (a² + 1)[(b + c)² + (bc – 1)²]

Bài toán quy về chứng minh:

(b + c)² + (bc – 1)² ≤ (b² + 1)(c² + 1)

Đây là một đẳng thức đúng vì:

(b + c)² + (bc – 1)² = (b² + 1)(c² + 1)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a(bc – 1) = b + c ⇔ a + b + c = abc

Câu 10. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn (a² + 1)(b² + 1)(c² + 1)(d² + 1) = 16. Chứng minh rằng:

–3 ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd ≤ 5

Phân tích

Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:

(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)² ≤ 16

Quan sát giả thiết ta viết bất đẳng thức cần chứng minh được thành:

(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)² ≤ (a² + 1)(b² + 1)(c² + 1)(d² + 1)

Đến đây ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki với cách áp dụng như các Câu trên.

Lời giải

Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau:

–4 ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1 ≤ 4

Hay (ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)² ≤ 16

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)²

= [a(b + c + d – bcd) + 1∙(bc + bd + cd – 1)]²

≤ (a² + 1)[(b + c + d – bcd)² + (bc + bd + cd – 1)²]

Bài toán đưa về chứng minh

(b + c + d – bcd)² + (bc + bd + cd – 1)² ≤ (b² + 1)(c² + 1)(d² + 1)

Đây là một bất đẳng thức đúng vì

(b + c + d – bcd)² + (bc + bd + cd – 1)² = (b² + 1)(c² + 1)(d² + 1)

Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó giải quyết được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Nhận xét

Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi thì ta thu được bất đẳng thức:

Để ý ta lại thấy , khi đó ta được bất đẳng thức:

Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nhưng nếu để như thế mà áp dụng thì không được. Trước hết ta cần tạo ra các biểu thức có dạng bình phương ở tử có 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng thích hợp. Để ý là:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được:

(a + b + c)² ≥ 3(ab + bc + ca)

Tuy nhiên đánh giá trên ta một đánh giá đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Ta lại có:

Do đó ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Ở bài toán này tử số của các phân thức đã ở dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta có thể nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức:

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được:

Nhưng thực sự bất ngờ khi cách áp dụng như thế này lại không giúp ta giải quyết được bài toán vì đánh giá trên là một đánh giá không đúng. Nên buộc ta phải tìm hướng giải quyết khác.

Để ý ta thấy:

c(1 + a²b) + a(1 + b²c) + b(1 + c²a) = (1 + abc)(a + b + c)

Khi đó ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức như sau:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Khi đó ta cần chứng minh được:

Theo bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Bất đẳng thức có tử là các lũy thừa bậc hai, tuy nhiên ta không thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như các Câu trên vì ta sẽ thu được bất đẳng thức ngược chiều. Để ý ta thấy có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức kiểu:

Ta cần xác định được x và y sao cho tổng của chúng là b² + c² + a(b + c) và đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra. Xét đến vai trò đối xứng của b và c trong biểu thức ta có thể xác định được x = b² + ab; y = c² + ac, khi đó ta được:

Đến đây ta có thể giải được bài toán trên.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Áp dụng tương tự ta được:

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Phân tích

Sự xuất hiện biểu thức và chiều của bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức với cách đánh giá tương tự như Câu trên. Như vậy ta cần viết về dạng , ta cần xác định được các đại lượng A + B + C; x + y + z với x + y + z = 4a² + b² +c². Để ý đến giả thiết a + b + c = 3 khi đó (a + b + c)² = 9 do đó ta có thể định được A + B + C theo phép biến đổi:

Đến đây ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là:

Đến đây ta có thể trình bày lời giải cho bài toán như sau.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

Áp dụng tương tự ta được:

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Để ý đến biến đổi và đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

Áp dụng tương tự ta được:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Nhận xét

Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi thì ta thu được bất đẳng thức

Để ý ta lại thấy , khi đó ta được bất đẳng thức

Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Để ý ta có phép biến đổi (2a + b)(2a + c) = 2a(a + b + c) + 2a² + bc khi đó ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Hoàn toàn tương tự ta được:

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a² + b² + c² = 1. Chứng minh rằng:

Phân tích

Để ý ta có phép biến đổi a² + 1 = 2a² + b² +c² và theo bất đẳng thức Cauchy ta được . Khi đó ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:

Áp dụng tương tự ta có lời giải như sau.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Hoàn toàn tương tự ta được:

Cộng theo vế các bất đẳng thức tên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .

Kỹ thuật thêm bớt

Phương pháp giải

Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi đó ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn. Ta cùng xem xét các Câu sau để minh họa cho điều đó.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

Phân tích

Các đại lượng vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân thức nên suy nghĩ đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức một cách trực tiếp ta thu được bất đẳng thức:

Để hoàn thành phép chứng minh ta cần đánh giá được . Tuy nhiên để ý là đại lượng trội nhất nên không thể đánh giá về đại lượng trội hơn.

Do đó ta không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh được, vì vậy ta tính đến phương án đổi chiều bất đẳng thức trước. Chú ý là:

Như vậy ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau:

Đến đây ta có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để đánh giá bất đẳng thức:

Lời giải

Bất đẳng thức trên tương đương với

Hay

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng cộng mẫu kết hợp với giả thiết ta được:

Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Phân tích

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức được.

Lời giải

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:

Hay

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được:

Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Ta cần chứng minh:

Từ giả thiết của bài toán ta được abc(a + b + c) = ab + bc + ca và từ đánh giá quen thuộc (ab + bc + ca)² ≥ 3abc(a + b + c), suy ra ta được:

(ab + bc + ca)² ≥ 3(ab + bc + ca)

⇔ ab + bc + ca ≥ 3

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a² + b² + c² = 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt . Xét:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Do đó ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = .

Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Hay

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.

Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được:

Hay

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Ta cần chứng minh:

Hay

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1.

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Lời giải

Theo một đánh giá quen thuộc ta có:

Do đó ta cần chứng minh:

Bất đẳng thức trên tương đương với:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:

Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Nhận xét:

Qua các Câu trên ta nhận thấy chỉ với việc thêm bớt vào bất đẳng thức một đại lượng phù hợp ta có thể đổi được chiều bất đẳng thức và áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bài toán. Kỹ thuật này gọi là kỹ thuật thêm – bớt trong bất đẳng thức Bunhiacopxki. Vậy thì kỹ thuật thêm bớt còn được sử dụng trong các trường hợp nào nữa, ta tiếp tục tìm hiểu các Câu sau đây.

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a² + b² + c² = 3. Chứng minh rằng:

Phân tích

Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp ta được:

Trong khi đó ta có:

Nên

Như vậy đánh giá như trên không chứng minh được bài toán.

Bất đẳng thức cần chứng minh không cần phải đổi chiều như các Câu trên nhưng khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì không đem lại hiệu quả. Để có một đánh giá tốt hơn ta cần thay đổi cách phát biểu các đại lượng của bất đẳng thức xem sao? Chú ý một tí ta sẽ có biến đổi khá thú vị sau . Lúc này bất đẳng thức trở thành . Với bất đẳng thức này hy vọng ta sẽ chứng minh được.

Lời giải

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Ta cần chứng minh được:

Hay (a + b + c)² ≥ 6(a + b + c) – 9

Hay (a + b + c)² – 6(a + b + c) + 9 ≥0

⇔ (a + b + c – 3)² ≥ 0

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Nhận xét

Như vậy bằng việc thêm – bớt một đại lượng ta đã biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng khác và khi đó có thể dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách thuận lợi hơn. Vậy thì làm thế nào để ta có thể chọn được đại lượng phù hợp?

Xét ý tưởng sau đây: Ta sẽ tìm một số m dương sao cho có tử số 1 – m(1 – a) là một đại lượng dương và đánh giá mày càng chặt càng tốt. Do đó ta chọn được m = , khi đó thì

Để chứng minh bất đẳng thức ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức theo cách khác sau.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Ta cần chứng minh được:

3 ≥ 2(a³ + b³ + c³) – (a⁴ + b⁴ + c⁴)

⇔ (a⁴ + b⁴ + c⁴) + (a² + b² + c²) ≥ 2(a³ + b³ + c³)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

a⁴ + a² ≥ 2a³; b⁴ + b² ≥ 2b³; c⁴ + c² ≥ 2c³

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cuối cùng.

Vậy bài toán được chứng minh xong.

Câu 9. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

Phân tích

Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cần tìm số m dương sao cho có tử số là a(1 – 3m) + mb – mc là một số dương và đánh giá trên càng chặt càng tốt. Để ý giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta nghĩ đến chọn m sao cho tử số trên có dạng a + b – c. Từ những nhận định đó ta chọn được m = . Khi đó ta có lời giải như sau.

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Hay bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 10. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ đầu tiên là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được:

Hay

Tuy nhiên đánh giá trên là sai. Do đó ta không thể áp dụng được trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki mà cần biến đổi bất đẳng thức về một dạng khác. Với ý tưởng đó ta cần tìm số m dương sao cho:

Và đánh giá trên càng chặt càng tốt. Từ những nhận định đó ta chọn được m = 1. Khi đó ta có lời giải như sau.

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Hay

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Ta cần chứng minh được:

Hay

Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki

Phương pháp giải

Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát hiện ra cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quan thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể áp dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như:

Với một số bất đẳng thức có giả thiết là abc = 1 ta có thể đổi biến:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

Phân tích

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

Để ý ta thấy bất đẳng thức có sự lặp lại của các đại lượng ab; bc; ca và chú ý ta nhận thấy abc(a + b + c) = ab∙bc + bc∙ca + ca∙ab. Do vậy một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến là x = ab; y = bc; z = ca.

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Đặt x = ab; y = bc; z = ca, khi đó ta được x + y + z = 3, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Ta cần chứng minh:

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:

9(x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx)[2(x² + y² + z²) + xy + yz + zx]

⇔ (x + y + z)⁴ ≥ 3(xy + yz + zx)[2(x² + y² + z²) + xy + yz + zx]

Đặt A = x² + y² + z²; B = xy + yz + zx

Suy ra A + 2B = (x + y + z)² = 9

Khi đó ta cần chứng minh:

(A + 2B)² ≥ 3B(2A + B) ⇔ A² +B² ≥ 2AB

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Bất đẳng thức được viết lại thành

Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến phép đổi biến x = a²; y = b²; z = c², khi đó bất đẳng thức trở thành:

Đây là bất đẳng thức được chứng minh trong mục 2 với phép đối xứng hóa.

Lời giải

Đặt x = a²; y = b²; z = c², khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Ta cần chứng minh:

Hay 8(x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ 9(x + y)(y + z)(z + x)

Hay 8xyz ≤ (x + y)(y + z)(z + x)

Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.

Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát giả thiết ta thấy có thể viết lại giả thiết thành . Đến đây ta đặt và khi này ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh thành:

Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

Lời giải

Từ giả thiết ab + bc + ca = abc suy ra .

Đặt , từ giả thiết suy ra x + y + z = 1.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Theo Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Ta cần chứng minh:

Hay x² + y² + z² ≥ 3(x²z + y²x + z²y)

Vì x + y + z = 1, nên bất đẳng thức trên trở thành:

(x + y + z)( x² + y² + z²) ≥ 3(x²z + y²x + z²y)

Hay x³ + y³ + z³ + xz² + yx² + zy² ≥ 2(x²z + y²x + z²y)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

x³ + xz² ≥ 2x²z; y³ + yx² ≥ 2 y²x; z³ + zy² ≥ 2 z²y

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

x³ + y³ + z³ + xz² + yx² + zy² ≥ 2(x²z + y²x + z²y)

Phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3.

Nhận xét

Bất đẳng thức trên còn được chứng minh theo cách sau

Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được:

Vì x + y + z = 1 nên . Do đó bất đẳng thức cuối cùng đúng.

Phép chứng minh hoàn tất.

Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức nghĩ đến đổi biến . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành:

Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng kỹ thuật thêm – bớt.

Lời giải

Đặt . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và một đánh giá quen thuộc ta được:

Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:

Phân tích

Trước hết ta viết lại giả thiết thành , khi đó ta nghĩ đến phép đổi biến . Bất đẳng thức được viết lại thành:

Để ý đến giả thiết x + y + z = 1, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Áp dụng tương tự ta có lời giải như sau.

Lời giải

Từ giả thiết ab + bc + ca = abc suy ra

Đặt , khi đó ta được x + y + z = 1.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Chứng minh tương tự ta được:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = hay a = b = c = 3.

Câu 6. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ giả thiết ta được . Đặt , khi đó ta có x + y + z = 1.

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Do đó ta được:

Tương tự ta có:

Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = hay a = b = c = 3.

Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải có đại lượng , để ý đến phép biến đổi . Từ đó rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến.

Lời giải

Đặt , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Câu 8. Cho các số thực a, b, c > 1 thỏa mãn . Chứng minh rằng:

Phân tích

Chính sự xuất hiện giải thiết làm cho ta suy nghĩ đến việc sử dụng phép đổi biến .

Lời giải

Đặt , khi đó x; y; z ∈ (0;1) và x + y + z = 2

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .

Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + 2 = abc. Chứng minh rằng:

Phân tích

Để ý ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:

Trước hết ta biến đổi giả thiết thành:

Khi đó ta nghĩ đến phép đổi biến:

Để ý là từ cách đổi biến đó ta được:

Bất đẳng thức được viết lại thành:

Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bài toán.

Lời giải

Ta có:

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Giả thiết được viết lại thành:

Đặt , suy ra x+ y + z = 1.

Khi đó ta được:

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.

Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng:

Phân tích

Từ giả thiết ta được , khi đó rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến , suy ra xy + yz + zx = 1. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: