Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a

a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

a^m⋅aⁿ = a^m+n

Chia hai lũy thừa cùng cơ số:

a^m : aⁿ = a^m–n (a ≠ 0, m ≥ n)

Quy ước: a⁰ = 1 (a ≠ 0)

Lũy thừa của lũy thừa

(a^m)ⁿ = a^m^⋅ⁿ

Lũy thừa một tích

(a⋅b)^m = a^m⋅b^m

Một số lũy thừa của 10.

+) Một nghìn: 1 000 = 10³

+) Một vạn: 10 000 = 10⁴

+) Một triệu: 1 000 000 = 10⁶

+) Một tỉ: 1 000 000 000 = 10⁹

Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10ⁿ = 1000. . . 00

Thứ tự thực hiện phép tính:

Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau:

+) Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

+) Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia, cuối cùng đến cộng trừ.

+) Nếu biểu thức có dấu ngoặc ( ), [ ], { } ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Thực hiện tính, viết dưới dạng lũy thừa

Phương pháp giải.

Sử dụng công thức:

1) ; a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

2) a^m⋅aⁿ = a^m+n

3) a^m : aⁿ = a^m–n (a ≠ 0, m ≥ n)

Quy ước: a⁰ = 1 (a ≠ 0)

4) (a^m)ⁿ = a^m^⋅ⁿ

5) (a⋅b)^m = a^m⋅b^m

Bài toán.

Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa 2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅3

A 2⁴⋅3⁴

B 2³⋅3²

C 4²⋅4³

D 2⁴⋅3³

Hướng dẫn giải

Chọn A

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 3⁴ : 3²

b) 2⁴⋅2²

c) (2⁴)²

Hướng dẫn giải

a) 3⁴ : 3² = 3² = 9

b) 2⁴⋅2² = 2⁶ = 64

c) (2⁴)²= 2⁸ = 256

Bài 3. Viết các tích sau đây dưới dạng một lũy thừa của một số:

a) A = 8²⋅32⁴

b) B = 27³⋅9⁴⋅243

Hướng dẫn giải

a) A = 8²⋅32⁴ = 2⁶⋅2²⁰ = 226

b) B = 27³⋅9⁴⋅243 = 3⁹⋅3⁸⋅3⁵ = 322

Bài 4. Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:

a) 64 : 2³

b) 243 : 3⁴

c) 625 : 5³

d) 7⁵ : 343

e) 100000 : 10³

f) 11⁵ : 121

g) 243 : 3² : 3

h) 4⁸ : 64 : 16

Hướng dẫn giải

a) 64 : 2³ = 2⁶ : 2³ = 2³

b) 243 : 3⁴ = = 3⁵ : 3⁴ = 3¹

c) 625 : 5³ = 5⁴ : 5³ = 5¹

d) 7⁵ : 343 = 7⁵ : 7³ = 7²

e) 100000 : 10³ = 10⁵ : 10³ = 10²

f) 11⁵ : 121 = 11⁵ : 11² = 11³

g) 243 : 3² : 3 = 3⁵ : 3³ : 3 = 3¹

h) 4⁸ : 64 : 16 = 4⁸ : 4³ : 4 = 4⁴

Bài 5. Tìm các số mũ n sao cho lũy thừa 3ⁿ thỏa mãn điều kiện: 25 < 3ⁿ < 250

Hướng dẫn giải

Ta có: 3² = 9; 3³ = 27 > 25; 3⁴ = 81; 3⁵ = 243 < 250 nhưng 2⁶ = 243⋅3 = 729 > 250

Vậy với số mũ n = 3, 4, 5 ta có 25 < 3ⁿ < 250

Bài 6. Thực hiện phép tính:

a) 5⋅2² – 18 : 3

b) 17⋅85 + 15⋅17 – 2³⋅35

c) 2³⋅17 – 2³⋅14

d) 20 – [30 – (5 – 1)²]

e) 75 – (3⋅5² – 4⋅2³)

f) 2⋅5² + 3 : 71⁰ – 54 : 3³

g) 150 + 50 : 5 – 2⋅3²

h) 5⋅3² – 32 : 4²

Hướng dẫn giải

a) 5⋅2² – 18 : 3 = 5⋅4 – 6 = 20 – 6 = 14

b) 17⋅85 + 15⋅17 – 2³⋅35

= 17⋅(85 + 15) – 120

= 17⋅100 – 120

= 1700 – 120

= 1580

c) 2³⋅17 – 2³⋅14 = 2³⋅(17 – 14) = 8⋅3 = 24

d) 20 – [30 – (5 – 1)²]

= 20 – (30 – 4²)

= 20 – (30 – 16)

= 20 – 14

= 6

e) 75 – (3⋅5² – 4⋅2³)

= 75 – (3⋅25 – 4⋅8)

= 75 – (75 – 32)

= 75 – 75 + 32

= 32

f) 2⋅5² + 3 : 71⁰ – 54 : 3³

= 2⋅25 + 3 : 1 – 54 : 27

= 50 + 3 – 2

= 51

g) 150 + 50 : 5 – 2⋅3²

= 150 + 10 – 2⋅9

= 150 + 10 – 18

= 142

h) 5⋅3² – 32 : 4² = 5⋅9 – 32 : 16 = 45 – 2 = 43

Bài 7. Thực hiện phép tính.

a) 27⋅75 + 25⋅27 – 2⋅3⋅5²

b) 12 : {400 : [500 – (125 + 25⋅7)]}

c) 13⋅17 – 256 : 16 + 14 : 7 – 2021⁰

d) 2⋅3² : 3 + 182 + 3⋅(51 : 17)

e) 15 – 5²⋅2³ : (100⋅2)

f) 5²⋅2³ – 12⋅5 + 170 : 17 – 8

Hướng dẫn giải

a) 27⋅75 + 25⋅27 – 2⋅3⋅5²

= 27⋅ (75 + 25) – 150

= 27⋅100 – 150

= 2700

b) 12 : {400 : [500 – (125 + 25⋅7)]}

= 12 : {400 : [500 – (125 + 175)]}

= 12 : [400 : (500 – 300)]

= 12 : (400 : 200)

= 12 : 2

= 6

c) 13⋅17 – 256 : 16 + 14 : 7 – 2021⁰

= 221 – 16 + 2 – 1

= 206

d) 2⋅3² : 3 + 182 + 3⋅(51 : 17)

= 6 + 182 + 3⋅3

= 6 + 182 + 9

= 197

e) 15 – 5²⋅2³ : (100⋅2)

= 15 – 25⋅8 : 200

= 15 – 200 : 200

= 15 – 1

= 14

f) 5²⋅2³ – 12⋅5 + 170 : 17 – 8

= 1000 – 60 + 10 – 8

= 942

Bài 8. Thực hiện phép tính.

a) 2³ – 5³ : 5² + 12⋅2²

b) 5⋅[(85 – 35 : 7) : 8 + 90] – 5²⋅2

c) 2⋅[(7 – 3³ : 3²) : 2² + 99] – 100

d) 2⁷ : 2² + 5⁴ : 5³⋅2⁴ – 3⋅2⁵

e) (3⁵⋅3⁷) : 3¹⁰ + 5⋅2⁴ – 7³ : 7

f) 3²⋅[(5² – 3) : 11] – 2⁴ + 2⋅10³

g) (6²⁰⁰⁷ – 6²⁰⁰⁶) : 6²⁰⁰⁶

h) (5²⁰⁰¹ – 5²⁰⁰⁰) : 5²⁰⁰⁰

i) (7²⁰⁰⁵ + 7²⁰⁰⁴) : 7²⁰⁰⁴

j) (5⁷ + 7⁵)(6⁸ + 8⁶)(2⁴ – 4²)

k) (7⁵ + 7⁹)(5⁴ + 5⁶)(3³⋅3 – 9²)

l) [(5²⋅2³ – 7²⋅2) : 2]⋅6 – 7⋅2⁵

Hướng dẫn giải

a) 2³ – 5³ : 5² + 12⋅2²

= 8 – 5 + 12⋅4

= 8 – 5 + 48

= 51

b) 5⋅[(85 – 35 : 7) : 8 + 90] – 5²⋅2

= 5⋅[(85 – 5) : 8 + 90] – 50

= 5⋅(80 : 8 + 90) – 50

= 5⋅100 – 50

= 450

c) 2⋅[(7 – 3³ : 3²) : 2² + 99] – 100

= 2⋅[(7 – 3) : 4 + 99] – 100

= 2⋅(4 : 4 + 99) – 100

= 2⋅100 – 100

= 100

d) 2⁷ : 2² + 5⁴ : 5³⋅2⁴ – 3⋅2⁵

= 2⁵ + 5⁴ : 5³⋅2⁴ – 3⋅2⁵

e) (3⁵⋅3⁷) : 3¹⁰ + 5⋅2⁴ – 7³ : 7

= 3¹² : 3¹⁰ + 5⋅2⁴ – 7²

= 3² + 5⋅16 – 7²

= 9 + 80 – 49

= 40

f) 3²⋅[(5² – 3) : 11] – 2⁴ + 2⋅10³

= 9⋅[(25 – 3) : 11] – 16 + 2⋅1000

= 9⋅(22 : 11) – 16 + 2000

= 9⋅2 – 16 + 2000

= 2 + 2000

= 2002

g) (6²⁰⁰⁷ – 6²⁰⁰⁶) : 6²⁰⁰⁶

= 6²⁰⁰⁶⋅(6 – 1) : 6²⁰⁰⁶

= 6²⁰⁰⁶⋅5 : 6²⁰⁰⁶

= 5

h) (5²⁰⁰¹ – 5²⁰⁰⁰) : 5²⁰⁰⁰

= 5²⁰⁰⁰⋅(5 – 1) : 5²⁰⁰⁰

= 5²⁰⁰⁰⋅4 : 5²⁰⁰⁰

= 4

i) (7²⁰⁰⁵ + 7²⁰⁰⁴) : 7²⁰⁰⁴

= 7²⁰⁰⁴⋅(7 + 1) : 7²⁰⁰⁴

= 7²⁰⁰⁴⋅8 : 7²⁰⁰⁴

= 8

j) (5⁷ + 7⁵)(6⁸ + 8⁶)(2⁴ – 4²)

= (5⁷ + 7⁵) (6⁸ + 8⁶)(16 – 16)

= (5⁷ + 7⁵)(6⁸ + 8⁶) ⋅ 0

= 0

k) (7⁵ + 7⁹)(5⁴ + 5⁶)(3³⋅3 – 9²)

= (7⁵ + 7⁹)(5⁴ + 5⁶)(81 – 81)

= (7⁵ + 7⁹)(5⁴ + 5⁶) ⋅ 0

= 0

l) [(5²⋅2³ – 7²⋅2) : 2]⋅6 – 7⋅2⁵

= [(25⋅8 – 49⋅2) : 2]⋅6 – 7⋅2⁵

= [(200 – 98) : 2]⋅6 – 732

= (102 : 2)⋅6 – 732

= 306 – 224

= 82

Bài 9. Thực hiện phép tính.

a) 142 – [50 – (2³⋅10 – 2³⋅5)]

b) 375 : {32 – [4 + (5⋅3² – 42)]} – 14

c) {210 : [16 + 3⋅(6 + 3⋅2²)]} – 3

d) 500 – {5⋅[409 – (2³⋅3 – 21)²] – 1724}

Hướng dẫn giải

a) 142 – [50 – (2³⋅10 – 2³⋅5)]

= 142 – (50 – 2³⋅5)

= 142 – 5⋅(10 – 8)

= 142 – 10

= 132

b) 375 : {32 – [4 + (5⋅3² – 42)]} – 14

= 375 : {32 – [4 + (45 – 42)]} – 14

= 375 : [32 – (4 + 3)] – 14

= 375 : (32 – 7) – 14

= 375 : 25 – 14

= 15 – 14

= 1

c) {210 : [16 + 3⋅(6 + 3⋅2²)]} – 3

= {210 : [16 + 3⋅(6 + 12)]} – 3

= [210 : (16 + 3⋅18)] – 3

= (210 : 70) – 3

= 3 – 3

= 0

d) 500 – {5⋅[409 – (2³⋅3 – 21)²] – 1724}

= 500 – {5⋅[409 – (8⋅3 – 21)²] – 1724}

= 500 – {5⋅[409 – (24 – 21)²] – 1724}

= 500 – [5⋅(409 – 9) – 1724]

= 500 – (5⋅400 – 1724)

= 500 – 276

= 224

Bài 10. Thực hiện phép tính.

a) 80 – (4⋅5² – 3⋅2³)

b) 5⁶ : 5⁴ + 2³⋅2² – 1²⁰¹⁷

c) 5³ – 2⋅[56 – 48 : (15 – 7)]

d) 23⋅75 + 5²⋅10 + 5²⋅13 + 180

e) 36⋅4 – 4⋅(82 – 7⋅11)² : 4 – 2016⁰

f) 303 – 3⋅{[655 – (18 : 2 + 1)⋅4³ + 5]} : 10⁰

Hướng dẫn giải

a) 80 – (4⋅5² – 3⋅2³)

= 80 – (4⋅25 – 3⋅8)

= 80 – (100 – 24)

= 80 – 76

= 4

b) 5⁶ : 5⁴ + 2³⋅2² – 1²⁰¹⁷

= 5² + 2⁵ – 1

= 25 + 32 – 1

= 56

c) 5³ – 2⋅[56 – 48 : (15 – 7)]

= 125 – 2⋅(56 – 48 : 8)

= 125 – 2⋅(56 – 6)

= 125 – 2⋅50

= 25

d) 23⋅75 + 5²⋅10 + 5²⋅13 + 180

= 23⋅75 + 25⋅(10 + 13) + 180

= 23⋅75 + 25⋅23 + 180

= 23⋅(75 + 25) +180

= 23⋅100 + 180

= 2480

e) 36⋅4 – 4⋅(82 – 7⋅11)² : 4 – 2016⁰

= 36⋅4 – 4⋅(82 – 77)² : 4 – 1

= 36⋅4 – 4⋅25 : 4 – 1

= 4⋅(36 + 25) : 4 – 1

= 61 – 1

= 60

f) 303 – 3⋅[655 – (18 : 2 + 1)⋅4³ + 5] : 10⁰

= 303 – 3⋅(655 – 10⋅4³ + 5) : 1

= 303 – 3⋅(655 – 640 + 5)

= 303 – 3⋅10

= 263

Bài 11. Tính giá trị của biểu thức:

A = 2002⋅20012001 – 2001⋅20022002

Hướng dẫn giải

A = 2002⋅20012001 – 2001⋅20022002

= 2002⋅(20010000 + 2001) – 2001⋅(20020000 + 2002)

= 2002⋅(2001⋅10⁴ + 2001) – 2001⋅(2002⋅10⁴ + 2002)

= 2002⋅2001⋅10⁴ + 2002⋅2001 – 2001⋅2002⋅10⁴ – 2001⋅2002

= 0

Bài 12. Tính:

a) A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2¹⁰⁰

b) B = 1 + 5 + 5² + 5³ + . . . + 5¹⁵⁰

c) C = 3 + 3² + 3³ + . . . + 3¹⁰⁰⁰

Hướng dẫn giải

a) A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2¹⁰⁰

2A = 2⋅2 + 2²⋅2 + 2³⋅2 + 2⁴⋅2 + . . . + 2¹⁰⁰⋅2

2A = 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + . . . + 2¹⁰¹

2A – A = (2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + . . . + 2¹⁰¹) – (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2¹⁰⁰)

A = 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + . . . + 2¹⁰¹ – 2 – 2² – 2³ – 2⁴ – . . . – 2¹⁰⁰

A = 2¹⁰¹ – 2

b) B = 1 + 5 + 5² + 5³ + . . . + 5¹⁵⁰

5B = 1⋅5 + 5⋅5 + 5²⋅5 + 5³⋅5 + . . . + 5¹⁵⁰⋅5

5B = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + . . . + 5¹⁵¹

5B – B = (5 + 5² + 5³ + 5⁴ + . . . + 5¹⁵¹) – (1 + 5 + 5² + 5³ + . . . + 5¹⁵⁰)

4B = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + . . . + 5¹⁵¹ – 1 – 5 – 5² – 5³ – . . . – 5¹⁵⁰

4B = 5¹⁵¹ – 1

B = $\frac{{{5^{151}} - 1}}{4}$

c) C = 3 + 3² + 3³ + . . . + 3¹⁰⁰⁰

3C = 3⋅3 + 3²⋅3 + 3³⋅3 + . . . + 3¹⁰⁰⁰⋅3

3C = 3² + 3³ + 3⁴ + . . . + 3¹⁰⁰¹

3C – C = (3² + 3³ + 3⁴ + . . . + 3¹⁰⁰¹) – (3 + 3² + 3³ + . . . + 3¹⁰⁰⁰)

2C = 3² + 3³ + 3⁴ + . . . + 3¹⁰⁰¹ – 3 – 3² – 3³ – . . . – 3¹⁰⁰⁰

2C = 3¹⁰⁰¹ – 3

C = $\frac{{{3^{1001}} - 3}}{2}$

Dạng 2. So sánh các lũy thừa

Phương pháp giải.

Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)

Với a, b, m, n ∈ ℕ ta có:

a > b ⇔ aⁿ > bⁿ, ∀n ∈ ℕ*

m > n ⇔ a^m > aⁿ (a > 1)

a = 0 hoặc a = 1 thì a^m = aⁿ (mn ≠ 0)

Với A, B là các biểu thức ta có:

Aⁿ > Bⁿ ⇔ A > B > 0

A^m > Aⁿ ⇒ m > n và A > 1

m < n và 0 < A < 1

Bài toán.

Bài 1. So sánh:

a) 333¹⁷ và 333²³

b) 2007¹⁰ và 2008¹⁰

c) (2008 – 2007)²⁰⁰⁹ và (1998 – 1997)¹⁹⁹⁹

Hướng dẫn giải

a) Vì 1 < 17 < 23 nên 333¹⁷ < 333²³

b) Vì 2007 < 2008 nên 2007¹⁰ < 2008¹⁰

c) Ta có: (2008 – 2007)²⁰⁰⁹ = 1²⁰⁰⁹ = 1

(1998 – 1997)¹⁹⁹⁹ = 1¹⁹⁹⁹ = 1

Vậy (2008 – 2007)²⁰⁰⁹ = (1998 – 1997)¹⁹⁹⁹

Bài 2. So sánh

a) 2³⁰⁰ và 3²⁰⁰

b) 3⁵⁰⁰ và 7³⁰⁰

c) 8⁵ và 3⋅4⁷

d) 202³⁰³ và 303²⁰²

e) 99²⁰ và 9999¹⁰

f) 11¹⁹⁷⁹ và 37¹³²⁰

g) 10¹⁰ và 48⋅50⁵

h) 1990¹⁰ + 1990⁹ và 1991¹⁰

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

Vì 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ ⇒ 2³⁰⁰ < 3²⁰⁰

b) Tương tự câu a) ta có:

3⁵⁰⁰ = (3⁵)¹⁰⁰ = 243¹⁰⁰

7³⁰⁰ = (7³)¹⁰⁰ = 343¹⁰⁰

Vì 243¹⁰⁰ < 343¹⁰⁰ nên 3⁵⁰⁰ < 7³⁰⁰

c) Ta có: 8⁵ = 2¹⁵ = 2⋅2¹⁴ < 3⋅2¹⁴ = 3⋅4⁷

⇒ 8⁵ < 3⋅4⁷

d) Ta có:

202³⁰³ = (2⋅101)³^⋅¹⁰¹ = (2³⋅101³)¹⁰¹ = (8⋅101⋅101²)¹⁰¹ = (808⋅101²)¹⁰¹

303²⁰² = (3⋅101)²^⋅¹⁰¹ = (3²⋅101²)¹⁰¹ = (9⋅101²)¹⁰¹

Vì 808⋅101² > 9⋅101² nên 202³⁰³ > 303²⁰²

e) Ta thấy: 99² < 99¹⁰¹ = 9999

⇒ (99²)¹⁰ < 9999¹⁰

⇒ 99²⁰ < 9999¹⁰

f) Ta có:

11¹⁹⁷⁹ < 11¹⁹⁸⁰ = (11³)⁶⁶⁰ = 1331⁶⁶⁰ (1)

37¹³²⁰ = (37²)⁶⁶⁰ = 1369⁶⁶⁰ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 11¹⁹⁷⁹ < 37¹³²⁰

g) Ta có:

10¹⁰ = 2¹⁰⋅5¹⁰ = 2⋅2⁹⋅5¹⁰ (*)

48⋅50⁵ = (3⋅2⁴)(2⁵⋅5¹⁰) = 3⋅2⁹⋅5¹⁰ (**)

Từ (*) và (**) ⇒ 10¹⁰ < 48⋅50⁵

h) Ta có:

1990¹⁰ + 1990⁹ = 1990⁹⋅(1990 + 1) = 1991⋅1990⁹

1991¹⁰ = 1991⋅1991⁹

Vì 1990⁹ < 1991⁹ nên 1990¹⁰ + 1990⁹ < 1991¹⁰

Bài 3. Chứng tỏ rằng:

5²⁷ < 2⁶³ < 5²⁸

Hướng dẫn giải

Ta có: 2⁶³ = 128⁹

5²⁷ = 125⁹

⇒ 2⁶³ > 5²⁷ (1)

Lại có: 2⁶³ = 512⁷

5²⁸ = 625⁷

⇒ 2⁶³ < 5²⁸ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 5²⁷ < 2⁶³ < 5²⁸

Bài 4. So sánh:

a) 107⁵⁰ và 73⁷⁵

b) 2⁹¹ và 5³⁵

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy:

107⁵⁰ < 108⁵⁰ = (4⋅27)⁵⁰ = 2¹⁰⁰⋅3¹⁵⁰ (1)

73⁷⁵ > 72⁷⁵ = (8⋅9)⁷⁵ = 2²²⁵⋅3¹⁵⁰ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 107⁵⁰ < 2¹⁰⁰⋅3¹⁵⁰ < 2²²⁵⋅3¹⁵⁰ < 73⁷⁵

b) 2⁹¹ > 2⁹⁰ = 32¹⁸

5³⁵ < 5³⁶ = 25¹⁸

2⁹¹ > 32¹⁸ > 25¹⁸ > 5³⁵

Vậy 2⁹¹ > 5³⁵

Bài 5. So sánh các cặp số sau:

a) A = 27⁵ và B = 243³

b) A = 2³⁰⁰ và B = 3²⁰⁰

Hướng dẫn giải

a) A = 27⁵ = (3³)⁵ = 3¹⁵

B = 243³ = 3¹⁵

Vậy A = B

b) A = 2³⁰⁰ = 2³^⋅¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

B = 3²⁰⁰ = 3²^⋅¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

Vì 8 < 9 nên 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ ⇒ A < B

Bài 6. So sánh các số sau:

a) 199²⁰ và 2003¹⁵

b) 3³⁹ và 11²¹

Hướng dẫn giải

a) 199²⁰ < 200²⁰ = (2³⋅5²)²⁰ = 2⁶⁰⋅5⁴⁰

2003¹⁵ > 2000¹⁵ = (2⋅10³)¹⁵ = (2⁴⋅5³)¹⁵ = 2⁶⁰⋅5⁴⁵

Vậy 2003¹⁵ > 199²⁰

b) 3³⁹ < 3⁴⁰ = (3²)²⁰ = 9²⁰ < 11²¹

Bài 7. So sánh 2 hiệu:

72⁴⁵ – 72⁴⁴ và 72⁴⁴ – 72⁴³

Hướng dẫn giải

72⁴⁵ – 72⁴⁴ = 72⁴⁴⋅(72 – 1) = 72⁴⁴⋅71

72⁴⁴ – 72⁴³ = 72⁴³⋅(72 – 1) = 72⁴³⋅71

Vậy 72⁴⁵ – 72⁴⁴ > 72⁴⁴ – 72⁴³

Bài 8. So sánh các số sau:

a) 9⁵ và 27³

b) 3²⁰⁰ và 2³⁰⁰

c) 3⁵⁰⁰ và 7³⁰⁰

d) 3⋅4⁷ và 8⁵

e) 202³⁰³ và 303²⁰²

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 9⁵ = (3²)⁵ = 3¹⁰

27³ = (3³)³ = 3⁹

Vì 3¹⁰ > 3⁹ nên 9⁵ > 27³

b) Ta có: 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

Vì 9¹⁰⁰ > 8¹⁰⁰ nên 3²⁰⁰ > 2³⁰⁰

c) Ta có: 3⁵⁰⁰ = (3⁵)¹⁰⁰ = 243¹⁰⁰

7³⁰⁰ = (7³)¹⁰⁰ = 343¹⁰⁰

Vì 243¹⁰⁰ < 343¹⁰⁰ nên 3⁵⁰⁰ < 7³⁰⁰

d) Ta có: 8⁵ = (2³)⁵ = 2¹⁵

2¹⁵ = 2⋅2¹⁴ < 3⋅2¹⁴ = 3⋅4⁷

Vậy 3⋅4⁷ > 8⁵

e) Ta có:

202³⁰³ = (2⋅101)³^⋅¹⁰¹ = (2³⋅101³)¹⁰¹ = (808⋅101²)¹⁰¹

303²⁰² = (3⋅101)²^⋅¹⁰¹ = (3²⋅101²)¹⁰¹ = (9⋅101²)¹⁰¹

Vì 808⋅101² > 9⋅101² nên 202³⁰³ > 303²⁰²

Bài 9. So sánh

a) A = 1 + 2 + 2² + … + 2⁴ và B = 2⁵ – 1

b) C = 3 + 3² + 3³ + … + 3¹⁰⁰ và D = $\frac{{{3^{101}} - 3}}{2}$

Hướng dẫn giải

a) A = 1 + 2 + 2² + … + 2⁴

2A = 1⋅2 + 2⋅2 + 2²⋅2 + … + 2⁴⋅2

2A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁵

2A – A = (2 + 2² + 2³ + … + 2⁵) – (1 + 2 + 2² + … + 2⁴)

A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁵ – 1 – 2 – 2² – … – 2⁴

A = 2⁵ – 1

Vậy A = B

b) C = 3 + 3² + 3³ + … + 3¹⁰⁰

3C = 3⋅3 + 3²⋅3 + 3³⋅3 + … + 3¹⁰⁰⋅3

3C = 3² + 3³ + 3⁴ + … + 3¹⁰¹

3C – C = (3² + 3³ + 3⁴ + … + 3¹⁰¹) – (3 + 3² + 3³ + … + 3¹⁰⁰)

2C = 3² + 3³ + 3⁴ + … + 3¹⁰¹ – 3 – 3² – 3³ – … – 3¹⁰⁰

2C = 3¹⁰¹ – 3

C = $\frac{{{3^{101}} - 3}}{2}$

Vậy C = D

Dạng 3. Tìm số chưa biết trong lũy thừa

Phương pháp giải.

Khi giải bài toán tìm x có lũy thừa phải:

Phương pháp 1. Biến đổi về các lũy thừa cùng cơ số.

Phương pháp 2. Biến đổi về các lũy thừa cùng số mũ.

Phương pháp 3. Biến đổi về dạng tích các lũy thừa.

Bài toán.

Bài 1. Tìm x, biết.

a) 2^x⋅4 = 128

b) 2^x – 26 = 6

c) 64⋅4^x = 4⁵

d) 27⋅3^x = 243

e) 49⋅7^x = 2041

f) 3^x = 81

g) 3⁴⋅3^x = 3⁷

h) 3^x + 25 = 26⋅2⁰ + 2⋅3⁰

Hướng dẫn giải

a) 2^x⋅4 = 128

⇔ 2^x = 128 : 4

⇔ 2^x = 32 = 2⁵

⇔ x = 5

b) 2^x – 26 = 6

⇔ 2^x = 6 + 26

⇔ 2^x = 32 = 2⁵

⇔ x = 5

c) 64⋅4^x = 4⁵

⇔ 4³⋅4^x = 4⁵

⇔ 4^{x + 3} = 4⁵

⇔ x + 3 = 5

⇔ x = 2

d) 27⋅3^x = 243

⇔ 3^x = 243 : 27

⇔ 3^x = 9 = 3²

⇔ x = 2

e) 49⋅7^x = 2041

⇔ 7^x = 2041 : 49

⇔ 7^x = 49 = 7²

⇔ x = 2

f) 3^x = 81

⇔ 3^x = 3⁴

⇔ x = 4

g) 3⁴⋅3^x = 3⁷

⇔ 3^{4 + x} = 3⁷

⇔ 4 + x = 7

⇔ x = 3

h) 3^x + 25 = 26⋅2⁰ + 2⋅3⁰

⇔ 3^x = 26⋅1 + 2⋅1 – 25

⇔ 3^x = 3¹

⇔ x = 1

Bài 2. Tìm x ∈ ℕ, biết.

a) 3^x⋅3 = 243

b) 2^x⋅16² = 1024

c) 64⋅4^x = 16⁸

d) 2^x = 16

Hướng dẫn giải

a) 3^x⋅3 = 243

⇔ 3^x = 243 : 3

⇔ 3^x = 81 = 3⁴

⇔ x = 4

b) 2^x⋅16² = 1024

⇔ 2x = 1024 : 256

⇔ 2x = 4 = 2²

⇔ x = 2

c) 64⋅4^x = 16⁸

⇔ 4³⋅4^x = (4²)⁸

⇔ 4^{3 + x} = 4¹⁶

⇔ 3 + x = 16

⇔ x = 13

d) 2^x = 16

⇔ 2^x = 2⁴

⇔ x = 4

Bài 3. Tìm x, biết.

a) (7x – 11)³ = 2⁵⋅5² + 200

b) $\frac{{x - 2019}}{4} = \frac{1}{{x - 2019}}$

c) (2x – 1)⁴ = 16

d) (2x + 1)⁴ = (2x + 1)⁶

e) $\left| {\frac{{39}}{2} - 3{x^2}} \right| = \frac{{15}}{2}$

f) (2x + 1)³ = 125

Hướng dẫn giải

a) (7x – 11)³ = 2⁵⋅5² + 200

⇔ (7x – 11)³ = 32⋅25 + 200

⇔ (7x – 11)³ = 1000

⇔ (7x – 11)³ = 10³

b) $\frac{{x - 2019}}{4} = \frac{1}{{x - 2019}}$

$\begin{gathered} \Rightarrow {\left( {x - 2019} \right)^2} = 4 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {x - 2019} \right)^2} = {2^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x - 2019 = 2 \hfill \\ \Rightarrow x = 2021\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

c) ${\left( {2x - 1} \right)^4} = 16 \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^4} = \pm {\left( 2 \right)^4}$

$\Rightarrow \left[ \begin{gathered} 2x - 1 = 2 \hfill \\ 2x - 1 = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 2x = 3 \hfill \\ 2x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{3}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = - \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

d) ${\left( {2x + 1} \right)^4} = {\left( {2x + 1} \right)^6}$

$\begin{gathered} \Rightarrow {\left( {2x + 1} \right)^4} - {\left( {2x + 1} \right)^6} = 0 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {2x + 1} \right)^4}\left[ {1 - {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} \right] = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} {\left( {2x + 1} \right)^4} = 0 \hfill \\ 1 - {\left( {2x + 1} \right)^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 2x + 1 = 0 \hfill \\ 2x + 1 = 1 \hfill \\ 2x + 1 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = 0 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

e) $\left| {\frac{{39}}{2} - 3{x^2}} \right| = \frac{{15}}{2}$

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{39}}{2} - 3{x^2} = \frac{{15}}{2} \hfill \\ \Rightarrow 3{x^2} = \frac{{39}}{2} - \frac{{15}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 3{x^2} = 12 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} = 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = \pm 2 \hfill \\ \end{gathered}$

f) (2x + 1)³ = 125

⇔ (2x + 1)³ = 53

⇔ 2x + 1 = 5

⇔ x = 2

Bài 4. Tìm x biết:

a) (3x – 1)¹⁰ = (3x – 1)²⁰

b) x(6 – x)²⁰⁰³ = (6 – x)²⁰⁰³

c) 5^x + 5^{x + 2} = 650

Hướng dẫn giải

a) ${\left( {3x - 1} \right)^{10}} = {\left( {3x - 1} \right)^{20}}$

$\begin{gathered} \Rightarrow {\left( {3x - 1} \right)^{20}} - {\left( {3x - 1} \right)^{10}} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {3x - 1} \right)^{10}}\left[ {{{\left( {3x - 1} \right)}^{10}} - 1} \right] = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 3x - 1 = 0 \hfill \\ {\left( {3x - 1} \right)^{10}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 3x - 1 = 1 \hfill \\ 3x - 1 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = \frac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

b) $x{\left( {6 - x} \right)^{2003}} = {\left( {6 - x} \right)^{2003}}$

$\begin{gathered} \Rightarrow x{\left( {6 - x} \right)^{2003}} - {\left( {6 - x} \right)^{2003}} = 0 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {6 - x} \right)^{2003}}\left( {x - 1} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 6 - x = 0 \hfill \\ x - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = 6 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

c) 5^x + 5^{x + 2} = 650

⇔ 5^x⋅(1 + 25) = 650

⇔ 5^x = 650 : 26

⇔ 5^x = 25 = 5²

⇔ x = 2

Bài 5. Tìm x biết:

a) 2^{x + 2} – 2^x = 96

b) 2^{x + 1}⋅3^y = 12^x

c) 10^x : 5^y = 20^y

Hướng dẫn giải

a) 2^{x + 2} – 2^x = 96

⇔ 2^x⋅4 – 2^x = 96

⇔ 2^x⋅(4 – 1) = 96

⇔ 2^x = 96 : 3

⇔ 2^x = 32 = 2⁵

⇔ x = 5

b) ${2^{x + 1}} \cdot {3^y} = {12^x}$

$\begin{gathered} \Rightarrow {2^{x + 1}} \cdot {3^y} = {2^2} \cdot {3^x}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 = 2 \hfill \\ x = y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

c) 10^x : 5^y = 20^y

⇔ 10^x = 20^y5^y

⇔ 10^x = 100^y

⇔ 10^x = 10^2y

⇔ x = 2y

Dạng 4. Một số bài tập nâng cao về lũy thừa

Phương pháp giải.

Phương pháp 1. Để so sánh hai lũy thừa ta thường đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

+) Nếu hai lũy thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.

a^m > aⁿ (a > 1) ⇔ m > n

+) Nếu hai lũy thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.

aⁿ > bⁿ (n > 0) ⇔ a > b

Phương pháp 2. Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân

A > B, B > C thì A > C

AC < BC (C > 0) ⇔ A < B

Bài toán.

Dạng 1. So sánh hai số lũy thừa.

Bài 1. So sánh các lũy thừa: 3²ⁿ và 2³ⁿ

Hướng dẫn giải

Ta có: 3²ⁿ = (3²)ⁿ = 9ⁿ

2³ⁿ = (2³)ⁿ = 8ⁿ

Vì 9ⁿ > 8ⁿ nên 3²ⁿ > 2³ⁿ

Dạng 2. So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)

+) Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật.

+) Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thừa ở phần B.

+) Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của lũy thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của lũy thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng.

Với a, m, n, K ∈ ℕ*. Ta có:

+) Nếu m > n thì $K - \frac{a}{m} > K - \frac{a}{n}$ và $K + \frac{a}{m} < K + \frac{a}{n}$

+) Nếu m < n thì $K - \frac{a}{m} < K - \frac{a}{n}$ và $K + \frac{a}{m} > K + \frac{a}{n}$ (còn gọi là phương pháp so sánh phần bù)

⋆ Với biểu thức là tổng các số có dạng $\frac{1}{{{a^2}}}\left( {a \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ ta có vận dụng so sánh sau:

$\frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}} < \frac{1}{{{a^2}}} < \frac{1}{{a - 1}} - \frac{1}{a}$

Bài 1. Cho S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹. So sánh S với 5⋅2⁸

Hướng dẫn giải

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹

2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁰

⇒ S = 2¹⁰ – 1

Mà 2¹⁰ – 1 < 2¹⁰ = 4⋅2⁸ < 5⋅2⁸

Vậy S < 5⋅2⁸

Bài 2. So sánh hai biểu thức A và B, biết:

$A = \frac{{{{10}^{15}} + 1}}{{{{10}^{16}} + 1}}$ và $B = \frac{{{{10}^{16}} + 1}}{{{{10}^{17}} + 1}}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} A = \frac{{{{10}^{15}} + 1}}{{{{10}^{16}} + 1}} \hfill \\ \Rightarrow 10A{\text{ }} = 10 \cdot \left( {\frac{{{{10}^{15}} + 1}}{{{{10}^{16}} + 1}}} \right) = \frac{{{{10}^{16}} + 10}}{{{{10}^{16}} + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = \frac{{{{10}^{16}} + 1 + 9}}{{{{10}^{16}} + 1}} = 1 + \frac{9}{{{{10}^{16}} + 1}} \hfill \\ B = \frac{{{{10}^{16}} + 1}}{{{{10}^{17}} + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 10B{\text{ }} = 10 \cdot \left( {\frac{{{{10}^{16}} + 1}}{{{{10}^{17}} + 1}}} \right) = \frac{{{{10}^{17}} + 10}}{{{{10}^{17}} + 1}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = \frac{{{{10}^{17}} + 1 + 9}}{{{{10}^{17}} + 1}} = 1 + \frac{9}{{{{10}^{17}} + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vì ${10^{16}} + 1 < {10^{17}} + 1 \Rightarrow \frac{9}{{{{10}^{16}} + 1}} > \frac{9}{{{{10}^{17}} + 1}}$

$\begin{gathered} \Rightarrow 1 + \frac{9}{{{{10}^{16}} + 1}} > 1 + \frac{9}{{{{10}^{17}} + 1}} \hfill \\ \Rightarrow 10A > 10B{\text{ }}hay{\text{ }}A > B\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Bài 3. So sánh hai biểu thức C và D, biết:

$C = \frac{{{2^{2008}} - 3}}{{{2^{2007}} - 1}}$ và $D = \frac{{{2^{2007}} - 3}}{{{2^{2006}} - 1}}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} C = \frac{{{2^{2008}} - 3}}{{{2^{2007}} - 1}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{2}C{\text{ }} = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{2^{2008}} - 3}}{{{2^{2007}} - 1}}} \right) = \frac{{{2^{2008}} - 3}}{{{2^{2008}} - 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = \frac{{{2^{2008}} - 2 - 1}}{{{2^{2008}} - 2}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2008}} - 2}} \hfill \\ D = \frac{{{2^{2007}} - 3}}{{{2^{2006}} - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{2}D{\text{ }} = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{2^{2007}} - 3}}{{{2^{2006}} - 1}}} \right) = \frac{{{2^{2007}} - 3}}{{{2^{2007}} - 2}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = \frac{{{2^{2007}} - 2 - 1}}{{{2^{2007}} - 2}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2007}} - 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vì ${2^{2008}} - 2 > {2^{2007}} - 2 \Rightarrow \frac{1}{{{2^{2008}} - 2}} > \frac{1}{{{2^{2007}} - 2}}$

$\begin{gathered} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{{2^{2008}} - 2}} > 1 - \frac{1}{{{2^{2007}} - 2}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{2}C > \frac{1}{2}D{\text{ }}hay{\text{ }}C > D\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 3. Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết.

⋆ Với các số tự nhiên m x p, , và số dương a.

+) Nếu a > 1 thì: a^m < a^x < a^p ⇒ m < x < p

⋆ Nếu a < 1 thì: a^m < a^x < a^p ⇒ m > x > p

⋆ Với các số dương a, b và số tự nhiên m, ta có: a^m < b^m ⇒ a < b .

Bài 3. Tìm các số nguyên n thỏa mãn: 3⁶⁴ < n⁴⁸ < 5⁷²

Hướng dẫn giải

Ta giải từng bất đẳng thức 3⁶⁴ < n⁴⁸ và n⁴⁸ < 5⁷²

Ta có: n⁴⁸ > 3⁶⁴

⇒ (n³)¹⁶ > (3⁴)¹⁶

⇒ (n³)¹⁶ > 81¹⁶

⇒ n³ > 81

⇒ n > 4 (n ∈ ℤ) (1)

Mặt khác: n⁴⁸ < 5⁷²

⇒ (n²)²⁴ < (5³)²⁴

⇒ (n²)²⁴ < 125²⁴

⇒ n² < 125

⇒ –11 ≤ n ≤ 11 (n ∈ ℤ) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 4 < n ≤ 11

Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11.

Bài 4. Tìm x ∈ ℕ, biết:

a) 16^x < 128⁴

b) 5^x⋅5^{x + 1}⋅5^{x + 2} ≤ 1000000000000000000 : 2¹⁸

Hướng dẫn giải

a) 16^x < 128⁴

⇒ (2⁴)^x < (2⁷)⁴

⇒ 2^4x < 2²⁸

⇒ 4x < 28

⇒ x < 7

⇒ x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

b) 5^x⋅5^{x + 1}⋅5^{x + 2} ≤ 1000000000000000000 : 2¹⁸

⇒ 5^{3x + 3} ≤ 10¹⁸ : 2¹⁸

⇒ 5^{3x + 3} ≤ 5¹⁸

⇒ 3x + 3 ≤ 18

⇒ x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}

Bài 5. Tìm số tự nhiên x, y sao cho 10^x = y² – 143

Hướng dẫn giải

Ta có: 10^x = y² – 143 ⇒ 10^x + 143 = y²

Nếu x = 0 ⇒ y = 12 thỏa mãn.

Nếu x > 0 ⇒ 10^x có chữ số tận cùng là 0.

Khi đó, 10^x có chữ số tận cùng là 3. Mà y² là số chính phương nên không thể có tận cùng bằng 3.

Do đó không tồn tại x, y thỏa mãn.

Vậy x = 0; y = 12

Bài 6.

a) Số 5⁸ có bao nhiêu chữ số?

b) Hai số 2²⁰⁰³ và 5²⁰⁰³ viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\begin{gathered} {5^8} = {\left( {{5^4}} \right)^2} = {625^2} > {600^2} = 360000 \hfill \\ {5^8} = \frac{{{{10}^8}}}{{{2^8}}} = \frac{{100000000}}{{256}} < \frac{{100000000}}{{250}} = 400000\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 360000 < {5^8} < 400000 \hfill \\ \end{gathered}$

Do đó 5⁸ có 6 chữ số.

b) Giả sử 2²⁰⁰³ có a chữ số và 5²⁰⁰³ có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được (a + b) chữ số.

Vì 10^{a – 1} < 2²⁰⁰³ < 10^a và 10^{b – 1} < 5²⁰⁰³ < 10^b

⇒ 10^{a – 1}⋅10^{b – 1} < 2²⁰⁰³⋅5²⁰⁰³ < 10^a⋅10^b

⇒ 10^{a + b – 2} < 10²⁰⁰³ < 10^{a + b}

Do đó: 2003 = a + b – 1 ⇒ a + b = 2004

Vậy số đó có 2004 chữ số.

Bài 7. Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:

a) n = 8³⋅15⁵

b) m = 4¹⁶⋅5²⁵

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

n = 8³⋅15⁵ = (2³)³⋅(35)⁵ = 2⁹⋅3⁵⋅5⁵ = 2⁴⋅3⁵⋅(25)⁵ = 16⋅243⋅10⁵ = 3888⋅10⁵

Số 3888⋅10⁵ gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.

Vậy số n có 9 chữ số.

b) Ta có:

m = 4¹⁶⋅5²⁵ = (2²)¹⁶⋅5²⁵ = 2³²⋅5²⁵ = 2⁷⋅(2²⁵⋅5²⁵) = 128⋅10²⁵

Số 128⋅10²⁵ gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số.

Vậy số m có 28 chữ số.

Dạng 4. Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết

Bài 1. Chứng minh rằng:

a) A = 1 + 3 + 3² + … + 3¹¹ chia hết cho 4

b) B = 16⁵ + 2¹⁵ chia hết cho 33

c) C = 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸ chia hết cho 30

d) D = 45 + 99 + 180 chia hết cho 9

e) E = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3¹¹⁹ chia hết cho 13

f) F = 10²⁸ + 8 chia hết cho 72

g) G = 8⁸ + 2²⁰ chia hết cho 17

h) H = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰ chia hết cho 3, 7, 15

i) I = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3¹⁹⁹¹ chia cho 13 và 41

j) J = 10ⁿ + 18n – 1 chia hết cho 27

k) K = 10ⁿ + 72n – 1 chia hết cho 81

Hướng dẫn giải

a) A = 1 + 3 + 3² + … + 3¹¹

= (1 + 3) + 3²⋅(1 + 3) + … + 3¹⁰⋅(1 + 3)

= 4 + 3²⋅4 + … + 3¹⁰⋅4

= 4⋅(1 + 3² + … + 3¹⁰) ⋮ 4 (đpcm)

b) B = 16⁵ + 2¹⁵

= (2⁴)⁵ + 2¹⁵

= 2²⁰ + 2¹⁵

= 2¹⁵⋅(1 + 25)

= 2¹⁵⋅33 ⋮ 33 (đpcm)

c) C = 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸

= (5 + 5²) + 5²⋅(5 + 5²) + … + 5⁶⋅(5 + 5²)

= 30 + 5²⋅30 + … + 5⁶⋅30

= 30⋅(1 + 5² + … + 5⁶) ⋮ 30 (đpcm)

d) D = 45 + 99 + 180

Ta có: 45 ⋮ 9; 99 ⋮ 9; 180 ⋮ 9

Nên D = 45 + 99 + 180 ⋮ 9 (đpcm) (tính chất chia hết của một tổng)

e) E = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3¹¹⁹

= (1 + 3 + 3²) + 3²⋅(1 + 3 + 3²) + … + 3¹¹⁷⋅(1 + 3 + 3²)

= 13 + 3²⋅13 + … + 3¹¹⁷⋅13

= 13⋅(1 + 3² + … + 3¹¹⁷) ⋮ 13 (đpcm)

f) F = 10²⁸ + 8 chia hết cho 72

Ta có: 10²⁸ + 8 ⋮ 9 vì tổng các chữ số bằng 9

10²⁸ + 8 ⋮ 8 vì có tận cùng là 008

Mà (8; 9) = 1 nên 10²⁸ + 8 ⋮ 8⋅9 = 72 (đpcm)

g) G = 8⁸ + 2²⁰

= (2³)⁸ + 2²⁰

= 2²⁴ + 2²⁰

= 2²⁰⋅(2⁴ + 1)

= 2²⁰⋅17 ⋮ 17 (đpcm)

h) H = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰

= 2⋅(1 + 2) + 2³⋅(1 + 2) + … + 2⁵⁹⋅(1 + 2)

= 2⋅3 + 2³⋅3 + … + 2⁵⁹⋅3

= 3(2 + 2³ + … + 2⁵⁹) ⋮ 3

Ta có: H = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰

= 2⋅(1 + 2 + 2²) + 2⁴⋅(1 + 2 + 2²) + … + 2⁵⁸⋅(1 + 2 + 2²)

= 2⋅7 + 2⁴⋅7 + … + 2⁵⁸⋅7

= 7⋅(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸) ⋮ 7

Ta có: H = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰

= 2⋅(1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁵⋅(1 + 2 + 2² + 2³) + … + 2⁵⁷⋅(1 + 2 + 2² + 2³)

= 2⋅15 + 2⁵⋅15 + … + 2⁵⁷⋅15

= 15⋅(2 + 2⁵ + … + 2⁵⁷) ⋮ 15

Vậy H chia hết cho 3; 7; 15

i) I = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3¹⁹⁹¹

= (1 + 3 + 3²) + 3³⋅(1 + 3 + 3²) + … + 3¹⁹⁸⁹⋅(1 + 3 + 3²)

= 13 + 3³⋅13 + … + 3¹⁹⁸⁹⋅13

= 13⋅(1 + 3³ + … + 3¹⁹⁸⁹) ⋮ 13 (đpcm)

Ta có: I = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3¹⁹⁹¹

= (1 + 3² + 3⁴ + 3⁶) + ( 3 + 3³ + 3⁵ + 3⁷) + … + (3¹⁹⁸⁴ + 3¹⁹⁸⁶ + 3¹⁹⁸⁸ + 3¹⁹⁹⁰) + (3¹⁹⁸⁵ + 3¹⁹⁸⁷ + 3¹⁹⁸⁹ + 3¹⁹⁹¹)

= (1 + 3² + 3⁴ + 3⁶) + 3⋅(1 + 3² + 3⁴ + 3⁶) + … + 3¹⁹⁸⁴⋅(1 + 3² + 3⁴ + 3⁶) + 3¹⁹⁸⁵⋅(1 + 3² + 3⁴ + 3⁶)

= 820⋅(1 + 3 + … + 3¹⁹⁸⁴ + 3¹⁹⁸⁵)

= 41⋅20⋅(1 + 3 + … + 3¹⁹⁸⁴ + 3¹⁹⁸⁵) ⋮ 41

Vậy I chia hết cho 13; 41

j) J = 10ⁿ + 18n – 1

= (10n – 1) + 18n

= 99…9 + 18n (số 99…9 có n chữ số 9)

= 9⋅(11…1 + 2n) (số 11…1 có n chữ số 1)

= 9L

Xét biểu thức trong ngoặc

L = 11…1 + 2n = 11…1 – n + 3n (số 11…1 có n chữ số 1)

Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3.

Số 11…1 có n chữ số 1 có tổng các chữ số là 1 + 1 + … + 1 = n (vì có n chữ số 1).

⇒ 11…1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3

⇒ 11…1 (n chữ số 1) – n ⋮ 3

⇒ L ⋮ 3

⇒ 9L ⋮ 27 hay J = 10ⁿ + 18n – 1 ⋮ 27 (đpcm)

k) K = 10ⁿ + 72n – 1

= 10ⁿ – 1 + 72n

= (10 – 1)(10^{n – 1} + 10^{n – 2} + … + 10 + 1) + 72n

= 9⋅(10^{n – 1} + 10^{n – 2} + … + 10 + 1) – 9n + 81n

= 9⋅(10^{n – 1} + 10^{n – 2} + … + 10 + 1 – n) + 81n

= 9⋅[(10^{n – 1} – 1) + (10^{n – 2} – 1) + … + (10 – 1) + (1 – 1)] + 81n

Ta có: 10^k – 1 = (10 – 1)(10^{k – 1} + … + 10 + 1) ⋮ 9

⇒ 9⋅[(10^{n – 1} – 1) + (10^{n – 2} – 1) + … + (10 – 1) + (1 – 1)] ⋮ 81

⇒ 9⋅(10^{n – 1} + 10^{n – 2} + … + 10 + 1 – n) + 81n ⋮ 81

⇒ K = 10ⁿ + 72n – 1 ⋮ 81 (đpcm)

eduverbalearn0313