Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Kiến thức cần nhớ
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của phương trình khác 0). Viết tắt: ĐKXĐ.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
⊗ Chú ý: Nếu A(x) = 0 tại x = x1 hoặc x = x2 thì A(x) ≠ 0 khi x ≠ x1 và x ≠ x2
Phân dạng bài tập
Phương Pháp
Vận dụng phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, đưa về phương trình bậc nhất đã biết.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a) ![\[\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-1.svg)
b) ![\[\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{4}{{{x^2} - 1}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-2.svg)
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ: ![\[x \ne \left\{ { - 7;\frac{3}{2}} \right\}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-3.svg)
MSC của PT là (x + 7)(2x – 3). Khi đó:
![\[\begin{gathered} \frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7 \hfill \\ \Leftrightarrow 56x = - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - \frac{1}{{56}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-4.svg)
So với ĐKXĐ ta thấy ![\[x = - \frac{1}{{56}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-5.svg)
thỏa mãn.
Vậy là nghiệm của phương trình đã cho.
b) ĐKXĐ: x ≠ ±1
Mẫu số chung của PT là (x – 1)(x + 1). Khi đó:
![\[\begin{gathered} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{4}{{{x^2} - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 = 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 4x = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-6.svg)
So với ĐKXĐ ta thấy x = 1 không thỏa mãn nên bị loại.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a) ![\[\frac{6}{{x - 5}} + \frac{2}{{x - 8}} = \frac{{18}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {8 - x} \right)}} - 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-7.svg)
b) ![\[\frac{3}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{9}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-8.svg)
c) ![\[\frac{{{x^2} - x}}{{x + 3}} - \frac{{{x^2}}}{{x - 3}} = \frac{{7{x^2} - 3x}}{{9 - {x^2}}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-9.svg)
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ: x ≠ {5; 8}
MSC: (x – 5)(x – 8). Khi đó:
6(x – 8) + 2(x – 5) + 18 + (x – 5)(x – 8) = 0
⇔ 6(x – 8 + 3) + (x – 5)(2 + x – 8) = 0
⇔ 6(x – 5) + (x – 5)(x – 6) = 0
⇔ x(x – 5) = 0
⇔ x = 0 (TM) ∨ x = 5 (loại)
Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình.
b) ĐKXĐ: x ≠ {–1; 2}
MSC: (x + 1)(x – 2). Khi đó phương trình trở thành:
3(x – 2) – x – 1 = 9 ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8 (TM)
Vậy x = 8 là nghiệm của phương trình.
c) ĐKXĐ: x ≠ ±3
MSC: (x – 3)(x + 3) = x2 – 9. Khi đó phương trình trở thành:
(x2 – x)(x – 3) – x2(x + 3) + 7x2 – 3x = 0
⇔ x3 – 4x2 + 3x – x3 – 3x2 + 7x2 – 3x = 0
⇔ 0 = 0 (luôn đúng)
Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x ≠ ±3.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a) ![\[\frac{1}{{2x - 3}} - \frac{3}{{x\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{5}{x}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-10.svg)
b) ![\[\frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-11.svg)
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ: ![\[x \ne \left\{ {0;\frac{3}{2}} \right\}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-12.svg)
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là x(2x – 3).
Với điều kiện đó phương trình trở thành x – 3 – 5(2x – 3) = 0 hay 9x = 12.
Phương trình có nghiệm ![\[x = \frac{4}{3}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-13.svg)
, giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình đã cho.
b) ĐKXĐ: x ≠ {1; 2; 3}
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là (x – 1)(x – 2)(x – 3).
Với điều kiện có phương trình trở thành 3(x – 3) – 2(x – 2) = x – 1 hay 0x = 4.
Phương trình cuối vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
a) ![\[2 + \frac{1}{x} = \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-14.svg)
b) ![\[{\left( {x + 1 + \frac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - \frac{1}{x}} \right)^2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-15.svg)
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 0.
Với điều kiện đó phương trình trở thành ![\[{x^2}\left( {\frac{1}{x} + 2} \right) = 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-16.svg)
hay x(1 + 2x) = 0
Phương trình có nghiệm x = 0 và x = ![\[ - \frac{1}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-17.svg)
Chỉ có giá trị x = thỏa mãn điều kiện nên nó là nghiệm của phương trình đã cho.
b) ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 0.
Với điều kiện đó phương trình trở thành
![\[{\left( {x + 1 + \frac{1}{x}} \right)^2} - {\left( {x - 1 - \frac{1}{x}} \right)^2} = 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-18.svg)
Biến đổi phương trình trở thành ![\[2x\left( {2 + \frac{2}{x}} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-19.svg)
hay x + 1 = 0
Phương trình có nghiệm x = –1, giá trị đó thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a) ![\[\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-20.svg)
b) ![\[\frac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{1}{{2x + 7}} = \frac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-21.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[{x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-22.svg)
![\[{x^2} + x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-23.svg)
⇒ ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 1.
MSC: x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1). Quy đồng mẫu số, ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x + 1 - 3{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {4x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = - \frac{1}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-24.svg)
So với ĐKXĐ giá trị x = 1 bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ![\[ - \frac{1}{4}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-25.svg)
b) ĐKXĐ: ![\[x \ne \left\{ { - \frac{2}{7}; \pm 3} \right\}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-26.svg)
. Với điều kiện này, ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{1}{{2x + 7}} = \frac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\left( {2x + 7} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-27.svg)
So với ĐKXĐ giá trị x = 3 bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm x = –4.
Ví dụ 6. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.
a) ![\[A = \frac{{3x - 1}}{{3x + 1}} + \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-28.svg)
b) ![\[B = \frac{{10}}{3} - \frac{{3x - 1}}{{4x + 12}} - \frac{{7x + 2}}{{6x + 18}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-29.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy ĐKXĐ của biểu thức A là ![\[x \ne \left\{ { - 3; - \frac{1}{3}} \right\}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-30.svg)
Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức A trở thành:
![\[\begin{gathered} A = \frac{{3x - 1}}{{3x + 1}} + \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} \hfill \\ = \frac{{\left( {3{x^2} + 8x - 3} \right) + \left( {3{x^2} - 8x - 3} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{6{x^2} - 6}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-31.svg)
Để biểu thức có giá trị bằng 2, ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{{6{x^2} - 6}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 6 = 2\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 6 = 6{x^2} + 20x + 6 \hfill \\ \Leftrightarrow 20x = - 12\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - \frac{3}{5}{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-32.svg)
Vậy với ![\[x = - \frac{3}{5}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-33.svg)
thì biểu thức A có giá trị bằng 2.
b) ĐKXĐ: x ≠ –3.
Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức B trở thành:
![\[\begin{gathered} B = \frac{{10}}{3} - \frac{{3x - 1}}{{4x + 12}} - \frac{{7x + 2}}{{6x + 18}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{40\left( {x + 3} \right) - 3\left( {3x - 1} \right) - 2\left( {7x + 2} \right)}}{{12\left( {x + 3} \right)}} \hfill \\ = \frac{{40x + 120 - 9x + 3 - 14x - 4}}{{12\left( {x + 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{17\left( {x + 7} \right)}}{{12\left( {x + 3} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-34.svg)
Để biểu thức có giá trị bằng 2, ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{{17\left( {x + 7} \right)}}{{12\left( {x + 3} \right)}} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 17\left( {x + 7} \right) = 24\left( {x + 3} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow 7x = 47\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{{47}}{7} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-35.svg)
Giá trị này của x thỏa mãn điều kiện đặt ra.
Vậy với ![\[x = \frac{{47}}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-36.svg)
thì biểu thức B có giá trị bằng 2.
Bài tập nân cao
Ví dụ 1. Cho ![\[A\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-37.svg)
và ![\[B\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{3{x^3} + 6{x^2} + 6x}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-38.svg)
a) Tìm x để giá trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau
b) Tìm x để ![\[\frac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} = 5\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-39.svg)
Hướng dẫn giải
Để A(x) = B(x) thì
![\[\frac{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{3x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-40.svg)
ĐKXĐ: x(x2 + 2x + 2) ≠ 0 và 3x(x2 + 2x + 2) ≠ 0
Do x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 ≠ 0, ∀x nên ĐKXĐ là x ≠ 0
Từ phương trình trên suy ra:
3(x2 – x – 6)(x – 5) = (x2 – x – 6)(x – 4)
⇔ (x2 – x – 6)(3x – 15) – (x2 – x – 6)(x – 4) = 0
⇔ (x2 – x – 6)(3x – 15 – x + 4) = 0
⇔ (x – 3)(x + 2)(2x – 11) = 0
⇔ x = 3 ∨ x = –2 ∨ x = 5,5
Cả ba giá trị này đều thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy với x = –2, x = 3, x = 5,5 thì A(x) = B(x).
b) Ta có:
nghĩa là
![\[\begin{gathered} \frac{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}:\frac{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{3{x^3} + 6{x^2} + 6x}} = 5 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}} \cdot \frac{{3x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {x - 4} \right)}} = 5\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \left( {{\text{do }}{x^2} + 2x + 2 = {{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1 \ne 0,\forall x} \right) \hfill \\ \Rightarrow \frac{{3x\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {x - 4} \right)}} = 5\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{3x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} = 5 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-43.svg)
ĐKXĐ: x ≠ {–2; 0; 3; 4}
Từ ĐKXĐ và phương trình trên suy ra:
![\[\begin{gathered} 3\left( {x - 5} \right) = 5\left( {x - 4} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3x - 15 - 5x + 20 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 2x + 5 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-44.svg)
Nhận xét:
Từ ![\[\frac{{3x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} = 5\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-45.svg)
suy ra 3(x – 5) – 5(x – 4) = 0
Ta có thể hiểu như sau: Do x ≠ {0; 2; 3} nên x(x – 2)(x – 3) ≠ 0.
Do đó chia cả tử và mẫu cho số khác 0 ta có ![\[\frac{{3\left( {x - 5} \right)}}{{x - 4}} = 5\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-46.svg)
và với x ≠ 4 ta được phương trình tương đương
3(x – 5) – 5(x – 4) = 0
Hoặc có thể hiểu như sau:
Từ với x ≠ {–2; 0; 3; 4} ta có:
3x(x + 2)(x – 3)(x – 5) = 5x(x + 2)(x – 3)(x – 4)
⇔ x(x + 2)(x – 3)[3(x – 5) – 5(x – 4)] = 0
⇔ 3(x – 5) – 5(x – 4) = 0 do x(x + 2)(x – 3) ≠ 0
Ví dụ 2. Cho phương trình ẩn x:
![\[\frac{{x + 2m}}{{x - 5}} - 1 = \frac{{x + 5}}{{2m - x}} + 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-47.svg)
(với m là hằng số).
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 10
c) Giải phương trình với tham số m
Hướng dẫn giải
![\[\frac{{x + 2m}}{{x - 5}} - 1 = \frac{{x + 5}}{{2m - x}} + 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 2m}}{{x - 5}} + \frac{{x + 5}}{{x - 2m}} = 2\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-48.svg)
a) Khi m = 5 ta có: ![\[\frac{{x + 10}}{{x - 5}} + \frac{{x + 5}}{{x - 10}} = 2{\text{ }}\left( 1 \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-49.svg)
ĐKXĐ: x ≠ {5; 10}
Từ (1) ⇒ x2 – 100 + x2 – 25 = 2x2 – 30x + 100
⇔ 30x = 225
⇔ x = 7,5 (TMĐK)
b) Với x = 10 ta có:
![\[\frac{{10 + 2m}}{{x - 5}} + \frac{{15}}{{10 - 2m}} = 2{\text{ }}\left( 2 \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-50.svg)
ĐKXĐ: x ≠ 5
(2) ⇒ 100 – 4m2 + 75 = 100 – 20m
⇔ 4m2 – 20m – 75 = 0
⇔ (2m – 15)(2m + 5) = 0
⇔ m = 7,5 ∨ m = –2,5
c) ĐKXĐ: x ≠ 5 và x ≠ 2m
Biến đổi phương trình ![\[\frac{{x + 2m}}{{x - 5}} + \frac{{x + 5}}{{x - 2m}} = 2\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-51.svg)
thành:
(x + 2m)(x – 2m) + (x + 5)(x – 5) = 2(x – 5)(x – 2m)
⇔ x2 – 4m2 + x2 – 25 = 2x2 – 4mx – 10x + 20m
⇔ 4mx + 10x = 4m2 + 20m + 25
⇔ 2x(2m + 5) = (2m + 5)2 (*)
Nếu m ≠ –2,5 thì ![\[x = \frac{{2m + 5}}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-52.svg)
. Giá trị này là nghiệm của phương trình nếu
![\[\frac{{2m + 5}}{2} \ne 2m \Rightarrow 2m + 5 \ne 4m \Leftrightarrow m \ne \frac{5}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-53.svg)
Và ![\[\frac{{2m + 5}}{2} \ne 5 \Rightarrow 2m + 5 \ne 10 \Leftrightarrow m \ne \frac{5}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-54.svg)
Nếu m = –2,5 thì (*) có dạng 0x = 0. Phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ ±5
Kết luận:
+) Nếu m ≠ ±2,5 phương trình có nghiệm duy nhất là ![\[x = \frac{{2m + 5}}{2}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-55.svg)
+) Nếu m = 2,5 phương trình vô nghiệm
+) Nếu m = –2,5 phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ ±5
Nhận xét: câu b) có cách giải khác như sau:
![\[\begin{gathered} \frac{{10 + 2m}}{{x - 5}} + \frac{{15}}{{10 - 2m}} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 100 - 4{m^2} + 75 = 100 - 20m \hfill \\ \Leftrightarrow 100 = 4{m^2} - 20m + 25\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {10^2} = {\left( {2m - 5} \right)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2m - 5 = 10 \hfill \\ 2m - 5 = - 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{{15}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ m = - \frac{5}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-56.svg)
Ví dụ 3. Giải các phương trình:
a) ![\[\left( {2{x^2} + 9x - 4} \right)\left( {\frac{{3x - 2}}{{8 - 9x}} + 1} \right) = \left( {{x^2} + 11x + 20} \right)\left( {\frac{{3x - 2}}{{8 - 9x}} + 1} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-57.svg)
b) ![\[\frac{x}{{2{x^2} - 5x + 3}} - \frac{{2x + 2}}{{2{x^2} - 9x + 7}} = \frac{5}{{2{x^2} - 5x + 3}} - \frac{{x + 7}}{{2{x^2} - 9x + 7}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-58.svg)
Hướng dẫn giải
a) Hai vế có nhân tử chung. Ta chuyển vế rồi đưa về dạng A(x)⋅B(x) = 0
ĐKXĐ: ![\[x \ne \frac{8}{9}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-59.svg)
. Biến đổi phương trình thành
![\[\begin{gathered} \left( {{x^2} - 2x - 24} \right)\left( {\frac{{3x - 2}}{{8 - 9x}} + 1} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x^2} - 2x - 24 = 0 \hfill \\ \frac{{3x - 2}}{{8 - 9x}} + 1 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \hfill \\ 3x - 2 + 8 - 9x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 4 \hfill \\ x = - 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-60.svg)
Tập nghiệm của phương trình là S = {–4; 1; 6}
b) Các mẫu số khá phức tạp nên không dễ tìm ĐKXĐ.
Nếu ta chuyển vế rồi cộng, trừ các phân thức cùng mẫu ta thấy xuất hiện nhân tử chung là (x – 5)
Từ đó có cách giải sau: Biến đổi phương trình về dạng:
![\[\begin{gathered} \frac{{x - 5}}{{2{x^2} - 5x + 3}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} - 9x + 7}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {\frac{1}{{2{x^2} - 5x + 3}} - \frac{1}{{2{x^2} - 9x + 7}}} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {4 - 4x} \right)}}{{\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right)\left( {2{x^2} - 9x + 7} \right)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-63.svg)
Xét tử số (x – 5)(4 – 4x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 5
+) Với x = 1 thì 2x2 – 9x + 7 = 0 phương trình không xác định.
+) Với x = 5 thì (2x2 – 5x + 3)(2x2 – 9x + 7) = 28⋅12 ≠ 0
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 5.
Ví dụ 4. Cho phương trình sau với a là hằng số.
![\[x\left( {\frac{1}{{x + a}} + \frac{1}{{x - a}}} \right) = \frac{{5a\left( {a + 3x} \right)}}{{4\left( {{x^2} - {a^2}} \right)}} - \frac{x}{{x - a}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-64.svg)
a) Tìm a để phương trình trên có nghiệm là nghiệm của phương trình:
![\[\frac{3}{{x - 5}} - \frac{2}{{x + 5}} = \frac{{ - 29}}{{25 - {x^2}}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-65.svg)
b) Giải phương trình với a = 6.
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ: x ≠ ±a
![\[\begin{gathered} x\left( {\frac{1}{{x + a}} + \frac{1}{{x - a}}} \right) = \frac{{5a\left( {a + 3x} \right)}}{{4\left( {{x^2} - {a^2}} \right)}} - \frac{x}{{x - a}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{x}{{x + a}} + \frac{{2x}}{{x - a}} = \frac{{5{a^2} + 15ax}}{{4\left( {{x^2} - {a^2}} \right)}} \hfill \\ \Leftrightarrow 4x\left( {x - a} \right) + 8x\left( {x + a} \right) = 5{a^2} - 15ax\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 12{x^2} - 11ax - 5{a^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 12{x^2} + 14ax - 15ax - 5{a^2} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {3x + a} \right)\left( {4x - 5a} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-66.svg)
Giải phương trình với x ≠ ±5 ta có nghiệm x = 4
Với x = 4 ta có: (12 + a)(16 – 5a) = 0
⇔ a = –1,2 ∨ a = 3,2
b) Khi a = 6 thì (3x + 6)(4x – 30) = 0
⇔ x = –2 ∨ x = 7,5 (TMĐK)
Ví dụ 5. Giải phương trình
a) ![\[{x^3} + \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-67.svg)
b) ![\[\frac{1}{{{x^2} - 5x + 6}} + \frac{1}{{{x^2} - 7x + 12}} + \frac{1}{{{x^2} - 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} - 11x + 30}} = \frac{1}{8}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-68.svg)
Hướng dẫn giải
a) Từ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
⇒ a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Áp dụng để giải phương trình. ĐKXĐ: x ≠ 1
![\[\begin{gathered} {x^3} + \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{x}{{x - 1}}} \right)^3} - 3x \cdot \frac{x}{{x - 1}}\left( {x + \frac{x}{{x - 1}}} \right) + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right)^3} - 3{\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right)^2} + 3\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right) - 1 - 1 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-69.svg)
Đặt ![\[t = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-70.svg)
ta có:
![\[\begin{gathered} {t^3} - 3{t^2} + 3t - 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow t = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = 2 \Rightarrow {x^2} = 2x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-71.svg)
Mà ![\[{x^2} - 2x + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 1 > 0,\forall x\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-72.svg)
⇒ Phương trình vô nghiệm
b) ĐKXĐ: x ≠ {2; 3; 4; 5; 6}
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{{x^2} - 5x + 6}} + \frac{1}{{{x^2} - 7x + 12}} + \frac{1}{{{x^2} - 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} - 11x + 30}} = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 6} \right)}} = \frac{1}{8} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 4}} - \frac{1}{{x - 3}} + \frac{1}{{x - 5}} - \frac{1}{{x - 4}} + \frac{1}{{x - 6}} - \frac{1}{{x - 5}} = \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 6}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{1}{8} \hfill \\ \Leftrightarrow 8x - 16 - 8x + 48 = {x^2} - 8x + 12\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x - 20 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 10} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ x = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-73.svg)
Ví dụ 7. Giải phương trình
a) ![\[\frac{{x\left( {{x^2} - 56} \right)}}{{4 - 7x}} - \frac{{21x + 22}}{{{x^3} + 2}} = 4\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-74.svg)
b) ![\[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 2\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-75.svg)
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ: x ≠ ![\[\frac{4}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-76.svg)
và x3 ≠ –2
![\[\begin{gathered} \frac{{x\left( {{x^2} - 56} \right)}}{{4 - 7x}} - \frac{{21x + 22}}{{{x^3} + 2}} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x\left( {{x^2} - 56} \right)}}{{4 - 7x}} - 5 + 1\frac{{21x + 22}}{{{x^3} + 2}} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{{x^3} - 56x - 20 + 35x}}{{4 - 7x}} + \frac{{{x^3} + 2 - 21x - 22}}{{{x^3} + 2}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 21x - 20} \right)\left( {\frac{1}{{4 - 7x}} + \frac{1}{{{x^3} + 2}}} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x^3} - 21x - 20 = 0 \hfill \\ \frac{1}{{4 - 7x}} + \frac{1}{{{x^3} + 2}} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x^3} - 16x - 5x - 20 = 0 \hfill \\ {x^3} - 4x - 3x + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right) - 5\left( {x + 4} \right) = 0 \hfill \\ x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 4} \right) = 0 \hfill \\ \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ x = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ x = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-77.svg)
Vậy PT có tập nghiệm S = {–4; –3; –1; 1; 2; 5}
b) ĐKXĐ: x ≠ 0 và x ≠ –1
![79. \[\begin{gathered} \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{x^2}}} - 1 = 1 - \frac{3}{{x + 1}} + \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - x} \right)\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^3} + {x^3}} \right]}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^3} + {x^3}} \right] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 1 - x = 0 \hfill \\ {\left( {1 + x} \right)^3} = - {x^3} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ 1 + x = - x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = - \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {TM\rlap{--} DK} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-79.svg)
Tập nghiệm là ![\[S = \left\{ { - \frac{1}{2};1} \right\}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-80.svg)
Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) ![\[\frac{3}{{1 - 4x}} = \frac{2}{{4x + 1}} - \frac{{8 + 6x}}{{16{x^2} - 1}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-81.svg)
b) ![\[\frac{3}{{5x - 1}} + \frac{2}{{3 - 5x}} = \frac{4}{{\left( {1 - 5x} \right)\left( {5x - 3} \right)}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-82.svg)
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ: ![\[x \ne \pm \frac{1}{4}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-83.svg)
![\[\begin{gathered} \frac{3}{{1 - 4x}} = \frac{2}{{4x + 1}} - \frac{{8 + 6x}}{{16{x^2} - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3\left( {4x + 1} \right) = 2\left( {1 - 4x} \right) - 8 - 6x \hfill \\ \Leftrightarrow 14x = 7\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-84.svg)
b) ĐKXĐ: ![\[x \ne \left\{ {\frac{1}{5};\frac{3}{5}} \right\}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-85.svg)
![\[\begin{gathered} \frac{3}{{5x - 1}} + \frac{2}{{3 - 5x}} = \frac{4}{{\left( {1 - 5x} \right)\left( {5x - 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3\left( {3 - 5x} \right) + 2\left( {5x - 1} \right) = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 5x = 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{3}{5}{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-86.svg)
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) ![\[\frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x - 2}} = \frac{3}{{{x^2} - x - 2}} + 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-87.svg)
b) ![\[\frac{{5 - x}}{{4{x^2} - 8x}} + \frac{7}{8} = \frac{{x - 1}}{{2x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{1}{{8x - 16}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-88.svg)
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ: x ≠ {–1; 2}
![\[\begin{gathered} \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x - 2}} = \frac{3}{{{x^2} - x - 2}} + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x + 1} \right) = 3 + \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 3x + 3 = 3 + {x^2} - x - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 4x = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-89.svg)
b) ĐKXĐ: x ≠ {0; 2}
![\[\begin{gathered} \frac{{5 - x}}{{4{x^2} - 8x}} + \frac{7}{8} = \frac{{x - 1}}{{2x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{1}{{8x - 16}} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{5 - x}}{{4x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{7}{8} = \frac{{x - 1}}{{2x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{1}{{8\left( {x - 2} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 2\left( {5 - x} \right) + 7x\left( {x - 2} \right) = 4\left( {x - 1} \right) + x \hfill \\ \Leftrightarrow 10 - 2x + 7{x^2} - 14x - 5x + 4 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 7\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 7\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1{\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\ x = 2{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-90.svg)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) ![\[\frac{{x + 6}}{{x - 5}} + \frac{{x - 5}}{{x + 6}} = \frac{{2{x^2} + 23x + 61}}{{{x^2} + x - 30}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-91.svg)
b) ![\[\frac{{{x^2} - x}}{{x + 3}} - \frac{{{x^2}}}{{x - 3}} = \frac{{7{x^2} - 3x}}{{9 - {x^2}}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-92.svg)
c) ![\[\frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x - 2}} = \frac{3}{{{x^2} - x - 2}} + 1\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-95.svg)
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ: x ≠ {–6; 5}
![\[\begin{gathered} \frac{{x + 6}}{{x - 5}} + \frac{{x - 5}}{{x + 6}} = \frac{{2{x^2} + 23x + 61}}{{{x^2} + x - 30}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x + 6}}{{x - 5}} + \frac{{x - 5}}{{x + 6}} = \frac{{2{x^2} + 23x + 61}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 6} \right)}} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 2{x^2} + 23x + 61\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + 12x + 36 + {x^2} - 10x + 25 = 2{x^2} + 23x + 61 \hfill \\ \Leftrightarrow 21x = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 0{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-93.svg)
b) ĐKXĐ: x ≠ ±3
![\[\begin{gathered} \frac{{{x^2} - x}}{{x + 3}} - \frac{{{x^2}}}{{x - 3}} = \frac{{7{x^2} - 3x}}{{9 - {x^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x}}{{x + 3}} + \frac{{{x^2}}}{{3 - x}} = \frac{{7{x^2} - 3x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x} \right)\left( {3 - x} \right) + {x^2}\left( {x + 3} \right) = 7{x^2} - 3x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow - {x^3} + 4{x^2} - 3x + {x^3} + 3{x^2} - 7{x^2} + 3x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-94.svg)
Ta thấy phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ≠ ±3.
c) ĐKXĐ: x ≠ {–1; 2}
![\[\begin{gathered} \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x - 2}} = \frac{3}{{{x^2} - x - 2}} + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4 + 3\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - x - 2}} = \frac{{3 + {x^2} - x - 2}}{{{x^2} - x - 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 1 = {x^2} - x + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 4x = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-96.svg)
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) ![\[1 + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{12}}{{8 + {x^3}}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-99.svg)
b) ![\[\left( {2x + 3} \right)\left( {\frac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {\frac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-100.svg)
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ: x ≠ –2
![\[\begin{gathered} 1 + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{12}}{{8 + {x^3}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 8 + {x^3} + {x^2} - 2x + 4 = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ x = - 2{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-101.svg)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1
b) ĐKXĐ: x ≠ ![\[\frac{2}{7}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-102.svg)
![\[\begin{gathered} \left( {2x + 3} \right)\left( {\frac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {\frac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {\frac{{10 - 4x}}{{2 - 7x}}} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {\frac{{10 - 4x}}{{2 - 7x}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {10 - 4x} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {10 - 4x} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow 2\left( {5 - 2x} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{5}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-103.svg)
Bài 5. Giải các phương trình sau với a là tham số:
a) ![\[\frac{{1 + a}}{{1 - x}} = 1 - a\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-104.svg)
b) ![\[\frac{x}{{2a + x}} + \frac{{2a + x}}{{2a - x}} = \frac{{8{a^2}}}{{{x^2} - 4{a^2}}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-105.svg)
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ: x ≠ 1
![\[\begin{gathered} \frac{{1 + a}}{{1 - x}} = 1 - a \hfill \\ \Leftrightarrow 1 + a = \left( {1 - a} \right)\left( {1 - x} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 1 + a = 1 - x - a + ax \hfill \\ \Leftrightarrow x\left( {a - 1} \right) = 2a\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-106.svg)
+) Nếu a = 1 phương trình có dạng 0x = 2 ⇒ Phương trình vô nghiệm.
+) Nếu a ≠ 1 phương trình đã cho có nghiệm ![\[x = \frac{{2a}}{{a - 1}}\]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-107.svg)
b) ĐKXĐ: x ≠ ±2a
![\[\begin{gathered} \frac{x}{{2a + x}} + \frac{{2a + x}}{{2a - x}} = \frac{{8{a^2}}}{{{x^2} - 4{a^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 2a}} - \frac{{2a + x}}{{x - 2a}} = \frac{{8{a^2}}}{{\left( {x + 2a} \right)\left( {x - 2a} \right)}} \hfill \\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2a} \right) - {\left( {x + 2a} \right)^2} = 8{a^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2ax - {x^2} - 4ax - 4{a^2} = 8{a^2} \hfill \\ \Leftrightarrow 6ax = - 12{a^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow ax = - 2{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://edu.verbalearn.org/wp-content/uploads/2025/03/phuong-trinh-chua-an-o-mau-108.svg)
+) Nếu a = 0 PT có dạng 0x = 0 ⇒ Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ≠ 0.
Vậy a = 0 phương trình đã cho có nghiệm là mọi x ≠ 0.
+) Nếu a ≠ 0 PT có nghiệm x = –2a, giá trị này không TMĐK x ≠ ±2a với a ≠ ±1.
Vậy a ≠ 0 phương trình đã cho vô nghiệm.
