Phân tích đa thức thành nhân tử: Phương pháp & cách giải

Phân tích đa thức thành nhân tử giúp biểu diễn đa thức dưới dạng nhân tử. Giúp cho việc giải và hiểu đa thức dễ dàng hơn. Trong bài viết này, hãy cùng Dân Chuyên Toán tìm hiểu chi tiết các quy trình các bước phân tích, tổng quan phương pháp và phân dạng bài tập.

Tổng quan

Có các phương pháp phổ biến như sau:

– Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức

– Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

– Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

– Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2x³ + 6x² – 4x

b) 3x²y – 9xy² + 12x²y²

c) 2xy (x – y) – x (y – x)

d) x² – 4y²– x – 2y

Hướng dẫn giải

a) 2x³ + 6x² – 4x = 2x(x² + 3x – 2)

b) 3x²y – 9xy² + 12x²y² = 3xy(x – 3y + 4xy)

c) 2xy (x – y) – x (y – x)

= 2xy (x – y) + x (x – y)

= x(x – y)(2y + x)

d) x² – 4y²– x – 2y

= x² – (2y)^{2 –}(x + 2y)

= (x – 2y)(x + 2y) – (x + 2y)

= (x + 2y)(x – 2y – 1)

Câu 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x – 2)³ + 2 – x

b) 3xy – 4y – 3x + 4

c) x² – 4xy + 3y²

d) x² – y²+ 5x – 5y

Hướng dẫn giải

a) (x – 2)³ + 2 – x

= (x – 2)³ – (x – 2)

= (x – 2)[(x – 2)² – 1]

= (x – 2)(x – 2 – 1)(x – 2 + 1)

= (x – 2)(x – 3)(x – 1)

b) 3xy – 4y – 3x + 4

= 3xy – 3x + 4 – 4y

= 3x(y – 1) – 4(y – 1)

= (y – 1)(3x – 4)

c) x² – 4xy + 3y²

= x²– xy – 3xy + 3y²

= x(x – y) – 3y(x – y)

= (x – y)(x – 3y)

d) x² – y²+ 5x – 5y

= (x – y)(x + y) + 5(x – y)

= (x – y)(x + y + 5)

Câu 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x + 2)²+ 2(x² – 4) + (x – 2)²

b) 2x² – 2xy – 4y²

c) x² – 2x – 4y² – 4y

d) 4x (x – 2y) – 8y (x – 2y)

Hướng dẫn giải

a) (x + 2)²+ 2(x² – 4) + (x – 2)²

= (x + 2)² + (x²– 4) + (x²– 4) + (x – 2)²

= (x + 2)² + (x – 2)(x + 2) + (x – 2)(x + 2) + (x – 2)²

= (x + 2)(x + 2 + x – 2) + (x – 2)(x + 2 + x – 2)

= 2x (x + 2) + 2x(x – 2)

= 2x (x + 2 + x – 2) = 4x²

b) 2x² – 2xy – 4y²

= 2x² – 2y² – 2xy – 2y²

= 2(x² – y²) – 2y(x + y)

= 2(x – y)(x + y) – 2y(x + y)

= 2(x + y)(x – y – 2y)

= 2(x + y)(x – 3y)

c) x² – 2x – 4y² – 4y

= x² – 4y² – 2x – 4y

= (x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y)

= (x + 2y)(x – 2y – 2)

d) 4x (x – 2y) – 8y (x – 2y)

= (x – 2y)(4x – 8y)

= 4(x – 2y)(x – 2y) = 4(x – 2y)²

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp

Với một số bài toán chưa tường minh để áp dụng hằng đẳng thức thì ta phải thực hiện “thêm, bớt” một số hạng tử để xuất hiện dạng áp dụng hằng đẳng thức.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) ${x^2} - x + \frac{1}{4}$

b) 2x³ – 12x² + 24x – 16

c) (x + y)³ – (x – y)³

d) 2x⁴+ 2x²+ 2

Hướng dẫn giải

a) ${x^2} - x + \frac{1}{4} = {x^2} - 2 \cdot \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}$

b) 2x³ – 12x² + 24x – 16

= 2(x³– 6x² + 12x – 8)

= 2(x³ – 3⋅x²⋅2 + 3⋅4⋅x – 2³)

= 2(x – 2)³

c) (x + y)³ – (x – y)³

= (x³ + 3x²y + 3xy² + y³) – (x³ – 3x²y + 3xy² – y³)

= 6x²y + 2y³

= 2y(3x² + y²)

d) 2x⁴+ 2x²+ 2 = 2(x⁴ + x² + 1)

= 2(x⁴+ 2x² + 1 – x²)

= 2[(x² + 1)² – x²]

= 2(x² + 1 – x)(x² + 1 + x)

Câu 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x⁴ + 4

b) x³ + 6x² – 16

c) $\frac{1}{{36}}{a^2} - \frac{1}{4}{b^2}$

d) x²+ 2x – y² + 2y

Hướng dẫn giải

a) x⁴ + 4

= x⁴ + 4x²+ 4 – 4x²

= (x² + 4)² – 4x²

= (x² + 4 – 2x)(x⁴ + 4 + 2x)

= (x² – 2x + 4)(x² + 2x + 4)

b) x³ + 6x² – 16

= x³ + 6x² + 12x + 8 – 12x – 24

= (x + 2)³ – 12(x + 2)

= (x + 2)[(x + 2)² – 12]

= (x + 2)(x² + 4x – 8)

c) $\frac{1}{{36}}{a^2} - \frac{1}{4}{b^2}$

$\begin{gathered} = {\left( {\frac{1}{6}a} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{2}b} \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\frac{1}{6}a + \frac{1}{2}b} \right)\left( {\frac{1}{6}a - \frac{1}{2}b} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

d) x²+ 2x – y² + 2y

= x² + 2x + 1 – y² + 2y – 1

= (x² + 2x + 1) – (y² – 2y + 1)

= (x + 1)² – (y – 1)²

= (x + 1 + y – 1)(x + 1 – y + 1)

= (x + y)(x – y + 2)

Câu 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x + a)² – 25

b) –125a³ + 75a² – 15a + 1

c) x⁸ – x⁴ + 1

d) x⁷ – x² – 2x – 1

Hướng dẫn giải

a) (x + a)² – 25

= (x + a)² – 5²

= (x + a + 5)(x + a – 5)

b) –125a³ + 75a² – 15a + 1

= –(5a)³ + 3⋅(5a)² – 3⋅5a + 1

= (1 – 5a)³

c) x⁸ – x⁴ + 1

= x⁸ + 2x⁴ + 1 – x⁴

= (x⁴ + 1) – x⁴

= (x⁴ + 1 – x²)(x⁴ + 1 + x²)

= (x⁴ – x² + 1)(x⁴ + x² + 1)

d) x⁷ – x² – 2x – 1

= x⁷ – x – x² – x – 1

= x(x⁶ – 1) – (x² + x + 1)

= x(x³ – 1)(x³ + 1) – (x² + x + 1)

= x(x – 1)(x² + x + 1)(x³ + 1) – (x² + x + 1)

= (x²+ x + 1)[x(x – 1)(x³ + 1) – 1]

= (x²+ x + 1)[(x⁴ + x)(x – 1) – 1]

= (x²+ x + 1)(x⁵ – x⁴ + x² – x – 1)

Câu 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x⁴ + 81

b) x⁸+ 98x⁴ + 1

c) x⁷+ x²+ 1

d) x⁷ + x⁵ + 1

Hướng dẫn giải

a) 4x⁴ + 81

= 4x⁴ + 36x² + 81 – 36x²

= (2x² + 9)² – 36x²

= (2x² + 9)² – (6x)²

= (2x² + 9 + 6x)(2x² + 9 – 6x)

= (2x² + 6x + 9)(2x² – 6x + 9)

b) x⁸+ 98x⁴ + 1

= (x⁸ + 2x⁴ + 1) + 96x⁴

= (x⁴ + 1)² + 16x² (x⁴ + 1) + 64x⁴ – 16x² (x⁴ + 1) + 32x⁴

= (x⁴ + 1 + 8x²)² – 16x² (x⁴ + 1 – 2x²)

= (x⁴ + 8x² + 1)² – 16x² (x² – 1)²

= (x⁴ + 8x² + 1)² – (4x³ – 4x)²

= (4x⁴ + 4x³ + 8x² – 4x + 1)(x⁴ – 4x³ + 8x² + 4x + 1)

c) x⁷+ x²+ 1

= (x⁷ – x) + (x² + x + 1)

= x(x⁶ – 1) + (x² + x + 1)

= x(x³ – 1)(x³ + 1) + (x² + x + 1)

= x(x – 1)(x² + x + 1)(x³ + 1) + (x² + x + 1)

= (x²+ x + 1)[x(x – 1)(x³ + 1) + 1]

= (x²+ x + 1)(x⁵ – x⁴ + x² – x + 1)

d) x⁷ + x⁵ + 1

= (x⁷ – x) + (x⁵ – x²) + (x² + x + 1)

= x(x³ – 1)(x³ + 1) + x²(x³ – 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)(x – 1)(x⁴ – x) + x²(x – 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)[(x⁵ – x⁴ + x² – x) + (x³ – x²) + 1]

= (x²+ x + 1)(x⁵ – x⁴ + x³ – x + 1)

Lưu ý: Các đa thức có dạng x^{3m + 1} + x^{3n + 2}+ 1

Ví dụ như: x⁷ + x² + 1; x⁷ + x⁵ + 1; x⁸ + x⁴ + 1; x⁵ + x + 1; x⁸ + x + 1;… đều có nhân tử chung là x² + x + 1

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x² – 2x + 2y – y²

b) 3x³ + xy – 12xy² – 2y²

c) x³ + x² + xy – y³ + y²

d) 16x⁴ – 8x² – y² + 1

Hướng dẫn giải

a) x² – 2x + 2y – y²

= x² – y² – 2(x – y)

= (x – y)(x + y) – 2(x – y)

= (x – y)(x + y – 2)

b) 3x³ + xy – 12xy² – 2y²

= 3x³ – 12xy² – 2y² + xy

= 3x(x² – 4y²) + y(x – 2y)

= 3x(x – 2y)(x + 2y) + y(x – 2y)

= (x – 2y)(3x³ + 6xy + y)

c) x³ + x² + xy – y³ + y²

= x³ – y³ + x²+ xy + y²

= (x – y)(x² + xy + y²) + (x² + xy + y²)

= (x² + xy + y²)(x – y + 1)

d) 16x⁴ – 8x² – y² + 1

= (2x)⁴ – 2(2x)² + 1 – y²

= [(2x)² – 1]² – y²

= [(2x)² – 1 – y][(2x)² – 1 + y]

= (4x² – 1 – y)(4x² – 1 + y)

Câu 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) ax² – 2bxy + 2bx² – axy

b) 8 – x² + 2x

c) x² + 2x – 4y⁴ + 8y – 3

d) x⁴ – 5x³ + 20x – 16

Hướng dẫn giải

a) ax² – 2bxy + 2bx² – axy

= ax² + 2bx² – axy – 2bxy

= (a + 2b)x² – xy(a + 2b)

= (a + 2b)(x² – xy)

= x(a + 2b)(x – y)

b) 8 – x² + 2x

= 9 – x² + 2x – 1

= 9 – (x – 1)²

= (3 – x + 1)(3 + x + 1)

= (4 – x)(2 + x)

c) x² + 2x – 4y⁴ + 8y – 3

= x² + 2x + 1 – 4y⁴ + 8y – 4

= (x + 1)² – 4(y – 1)²

= (x + 1 + 2y – 2)(x + 1 – 2y + 2)

= (x + 2y – 1)(x – 2y + 3)

d) x⁴ – 5x³ + 20x – 16

= x⁴ – 16 – 5x³ + 20x

= (x⁴ – 2⁴) – (5x³ – 20x)

= (x² – 4)(x² + 4) – 5x(x² – 4)

= (x² – 4)(x² + 4 – 5x)

= (x² – 4)(x – 1)(x – 4)

Câu 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x²– 9y² + 4x – 6y

b) x³ + y(1 – 3x²) + x(3y² – 1) – y³

c) a²x + a²y – 7x – 7y

d) x(x + 1)² + x(x – 5) – 5(x + 1)²

Hướng dẫn giải

a) 4x²– 9y² + 4x – 6y

= (4x² – 9y²) + (4x – 6y)

= (2x + 3y)(2x – 3y) + 2(2x – 3y)

= (2x – 3y)(2x + 3y + 2)

b) x³ + y(1 – 3x²) + x(3y² – 1) – y³

= x³ + y – 3x²y + 3xy² – x – y³

= (x³ – 3x²y + 3xy² – y³) – (x – y)

= (x – y)³ – (x – y)

= (x – y)[(x – y)² – 1]

= (x – y)(x – y + 1)(x – y – 1)

c) a²x + a²y – 7x – 7y

= (a²x + a²y) – (7x + 7y)

= a²(x + y) – 7(x + y)

= (x + y)(a² – 7)

d) x(x + 1)² + x(x – 5) – 5(x + 1)²

= [x(x + 1)² – 5(x + 1)²] + x(x – 5)

= (x + 1)²(x – 5) + x(x – 5)

= (x – 5)[(x + 1)² + x]

= (x – 5)(x² + 3x + 1)

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

b) x⁴ + 6x³ + 7x² – 6x + 1

Hướng dẫn giải

a) x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

= [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128

= (x² + 10x) + (x² + 10x +24) + 128 (*)

Đặt x² + 10x + 12 = t, khi đó phương trình (*) trở thành:

(t – 12)(t + 12) + 128

= t² – 144 + 128

= t² – 16 = (t – 4)(t + 4)

= (x²+ 10x + 8)(x² + 10x + 16)

= (x + 2)(x + 8)(x² + 10x + 8)

b) Giả sử x ≠ 0 ta có:

$\begin{gathered} {x^4} + 6{x^3} + 7{x^2} - 6x + 1 \hfill \\ = {x^2}\left( {{x^2} + 6x + 7 - \frac{6}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = {x^2}\left[ {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {6x - \frac{6}{x}} \right) + 7} \right]{\text{ }}\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Đặt $t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} + 2$ , khi đó phương trình (*) trở thành:

$\begin{gathered} {x^2}\left[ {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {6x - \frac{6}{x}} \right) + 7} \right]\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = {x^2}\left( {{t^2} + 2 + 6t + 7} \right) = {x^2}{\left( {t + 3} \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = {\left( {xt + 3x} \right)^2} = {\left[ {x\left( {x - \frac{1}{x}} \right) + 3x} \right]^2} \hfill \\ = {\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

x⁴ + 6x³ + 7x² – 6x + 1

= x⁴ + (6x³ – 2x²) + (9x² – 6x + 1)

= x⁴ + 2x²(3x – 1) + (3x – 1)²

= (x² + 3x – 1)²

Câu 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x² + y² + z²)(x + y + z)² + (xy + yz + zx)²

b) 2(x⁴ + y⁴ + z⁴) – (x² + y² + z²)² – 2(x² + y² + z²)(x + y + z)² + (x + y + z)⁴

Hướng dẫn giải

a) (x² + y² + z²)(x + y + z)² + (xy + yz + zx)²

= (x² + y² + z²)[(x² + y² + z²) + 2(xy + yz + zx)] + (xy + yz + zx)² (*)

Đặt a = x² + y² + z², b = xy + yz + zx. Khi đó phương trình (*) trở thành:

a(a + 2b) + b² = a² + 2ab + b² = (a + b)²

= [(x² + y² + z²) + xy + yz + zx]²

b) Đặt a = x⁴ + y⁴ + z⁴, b = x² + y² + z², c = x + y + z. Khi đó ta có:

2a – b² – 2bc² + c⁴

= 2a – 2b² + b² – 2bc² + c⁴

= 2(a – b²) + (b – c²)² (1)

Mặt khác ta có:

⋄ a – b² = x⁴ + y⁴ + z⁴ – (x² + y² + z²)²

= x⁴ + y⁴ + z⁴ – (x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2x²y² + 2y²z² + 2z²x²)

= –2(x²y² + y²z² + z²x²)

⋄ b – c² = x² + y² + z² – (x + y + z)²

= x² + y² + z² – (x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx)

= –2(xy + yz + zx)

Do đó: (1) ⇔ 2(a – b²) + (b – c²)²

= –4(x²y² + y²z² + z²x²) +[(– 2(xy + yz + zx)]²

= –4x²y² – 4y²z² – 4z²x² + 4x²y² + 4y²z² + 4z²x² + 8x²yz + 8xy²z + 8xyz²

= 8xyz (x + y + z)

Câu 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³

b) (a + b + c)² + (a + b – c)²– 4c²

Hướng dẫn giải

a) Đặt x – y = a, y – z = b, z – x = c ⇒ a + b + c = 0. Khi đó ta có:

(x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³

= a³ + b³ + c³

= (a + b)³ – 3a²b – 3ab² + c³

= (a + b + c)[(a + b)² – (a + b)c + c²] – 3a²b – 3ab²

= –3ab(a + b)

= –3(x – y)(y – z)(x – y + y – z)

= – 3(x – y)(y – z)(x – z)

b) (a + b + c)² + (a + b – c)²– 4c²

= (a + b + c)² + (a + b – c – 2c)(a + b – c +2c)

= (a + b + c)² + (a + b – 3c)(a + b + c)

= (a + b + c)(a + b + c + a + b – 3c)

= (a + b + c)(2a + 2b – 2c)

= 2(a + b + c)(a + b – c)

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x² – 4x + 3

b) 6x² – 11x + 3

c) x³ – 2x² + 5x – 4

d) x² + 4y² + 2x – 4xy – 4y

Hướng dẫn giải

a) x² – 4x + 3

= x² – x – 3x + 3

= x(x – 1) – 3(x – 1)

= (x – 1)(x – 3)

b) 6x² – 11x + 3

= 6x² – 2x – 9x + 3

= 2x(3x – 1) – 3(3x – 1)

= (3x – 1)(2x – 3)

c) x³ – 2x² + 5x – 4

= x³ – x² – x²+ x + 4x – 4

= x²(x – 1) – x(x – 1) + 4(x – 1)

= (x – 1)(x² – x + 4)

d) x² + 4y² + 2x – 4xy – 4y

= x² – 4xy + 4y² + 2x – 4y

= (x – 2y)² + 2(x – 2y)

= (x – 2y)(x – 2y + 2)

Câu 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 3x² – 4x + 1

b) 2x³ – 5x + 3

c) 2x³ + x² – 6x

d) 2x³ – x² – 13x – 6

Hướng dẫn giải

a) 3x² – 4x + 1

= 3x² – 3x – x + 1

= 3x(x – 1) – (x – 1)

= (x – 1)(3x – 1)

b) 2x³ – 5x + 3

= 2x³ – 2x² + 2x² – 2x – 3x + 3

= 2x²(x – 1) + 2x(x – 1) – 3(x – 1)

= (x – 1)(2x² + 2x – 3)

c) 2x³ + x² – 6x

= x(2x² + x – 6)

= x(2x² + 4x – 3x – 6)

= x[2x(x + 2) – 3(x + 2)]

= x(2x – 3)(x + 2)

d) 2x³ – x² – 13x – 6

= 2x³ + 4x² – 5x² – 10x – 3x – 6

= (x + 2)(2x² – 5x – 3)

= (x + 2)(2x² + x – 6x – 3)

= (x + 2)[x(2x + 1) – 3(2x + 1)]

= (x + 2)(2x + 1)(x – 3)

Lưu ý: Khi thực hiện tách đa thức để nhóm thành các nhân tử chung ta có thể thực hiện các bước như sau:

Bước 1. Thực hiện nhẩm nghiệm của đa thức (thường các nghiệm x = ±1; x = ±2 thỏa mãn)

Ví dụ: 3x² – 4x + 1, với x = 1 thay vào ta được 3 – 4 + 1 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm của đa thức.

Bước 2. Thực hiện tách đa thức để có nhân tử chung là nghiệm của đa thức.

Ví dụ: Thực hiện tách đa thức để có x – 1 là nhân tử chung

3x² – 4x + 1 = 3x² – 3x – x + 1 = 3x(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(3x – 1)

Câu 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x³ + 4x² + 11x + 8

b) 2x³ – 5x² + 4

c) 6a² – 6ab – 11a + 11b

d) m³ + 7m² + 6m

Hướng dẫn giải

a) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy x = –1 là nghiệm của phương trình, do đó nhân tử chung là (x + 1)

Ta có: x³ + 4x² + 11x + 8

= x³ + x² + 3x² + 3x + 8x + 8

= x²(x + 1) + 3x(x + 1) + 8(x + 1)

= (x + 1)(x² + 3x + 8)

b) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy x = 2 là nghiệm của phương trình, do đó nhân tử chung là (x – 2)

Ta có: 2x³ – 5x² + 4

= 2x³ – 4x² – x² + 2x – 2x + 4

= 2x²(x – 2) – x(x – 2) – 2(x – 2)

= (x – 2)(2x² – x – 2)

c) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy a = b là nghiệm của phương trình, do đó nhân tử chung là (a – b)

Ta có: 6a² – 6ab – 11a + 11b

= 6a(a – b) – 11(a – b)

= (6a – 11)(a – b)

d) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy m = –6 hoặc m = –1 là nghiệm của phương trình, do đó nhân tử chung là (m – 6)

Ta có: m³ + 7m² + 6m

= m³ + 6m²+ m²+ 6m

= m²(m + 6) + m(m + 6)

= (m + 6)(m²+ m)

= m(m + 1)(m + 6)

Câu 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 8

b) x⁴ + 4x³ + 2x² – 4x + 1

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 8

= (x – 1)(x + 4)(x – 2)(x + 5) + 8

= (x² + 3x – 4)(x² + 3x – 10) + 8 (*)

Đặt t = x² + 3x – 7, khi đó phương trình (*) trở thành:

(t – 3)(t + 3) + 8 = t² – 9 + 8

= t² – 1 = (t + 1)(t – 1)

= (x² + 3x – 7 – 1)(x²+ 3x – 7 + 1)

= (x² + 3x – 8)(x² + 3x – 6)

b) Ta có:

$\begin{gathered} {x^4} + 4{x^3} + 2{x^2} - 4x + 1 \hfill \\ = {x^2}\left( {{x^2} + 4x + 2 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = {x^2}\left[ {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 4\left( {x - \frac{1}{x}} \right) + 2} \right]{\text{ }}\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Đặt $t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} + 2$ , khi đó phương trình (*) trở thành:

$\begin{gathered} {x^2}\left[ {\left( {{t^2} + 2} \right) + 4t + 2} \right]\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = {x^2}\left( {{t^2} + 4t + 4} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = {x^2}{\left( {t + 2} \right)^2} = {x^2}{\left( {x - \frac{1}{x} + 2} \right)^2} \hfill \\ = {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Lưu ý: Khi thực hiện phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ như ví dụ trên, thường gặp ở các dạng sau:

– Dạng: (x ± a)(x ± b)(x ± c)(x ± d) + t

– Dạng: ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm x với điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Áp dụng cách phân tích đa thức thành nhân tử chung, ta đưa biểu thức về dạng A⋅B = 0, khi đó xảy ra các trường hợp:

TH1: $\left[ \begin{gathered} A = 0 \hfill \\ B = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ giải ra ta được giá trị x.

TH2: $\left\{ \begin{gathered} A > 0 \hfill \\ B = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ giải ra ta được giá trị x.

TH3: $\left\{ \begin{gathered} B > 0 \hfill \\ A = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ giải ra ta được giá trị x.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm x, biết:

a) x(x + 1) – 2(2x – 1) = 2

b) 4x² – (x – 1)² = 0

c) 2x³ + 2x – 3x² – 3 = 0

d) x²(3x – 4) – 8 + 6x = 0

Hướng dẫn giải

a) x(x + 1) – 2(2x – 1) = 2

⇔ x² + x – 4x + 2 = 0

⇔ x² – 3x = 0

⇔ x(x – 3) = 0

⇔ x = 0 ∨ x = 3

Vậy x = 0 và x = 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.

b) 4x² – (x – 1)² = 0

⇔ [2x – (x – 1)][2x + (x – 1)] = 0

⇔ (x + 1)(3x – 1) = 0

⇔ x = –1 ∨ x = $\frac{1}{3}$

Vậy x = –1 và x = $\frac{1}{3}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

c) 2x³ + 2x – 3x² – 3 = 0

⇔ 2x(x² + 1) – 3(x² + 1) = 0

⇔ (x² + 1)(2x – 3) = 0

⇔ 2x – 3 = 0 (do x² + 1 > 0 với mọi x)

⇔ x = $\frac{3}{2}$

Vậy x = $\frac{3}{2}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

d) x²(3x – 4) – 8 + 6x = 0

⇔ x²(3x – 4) + 2(3x – 4) = 0

⇔ (x² + 2)(3x – 4) = 0

⇔ 3x – 4 = 0 (do x² + 2 > 0 với mọi x)

⇔ x = $\frac{4}{3}$

Vậy x = $\frac{4}{3}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 2. Tìm x biết:

a) x² – 2018x + 2017 = 0

b) x³ – 8x² = 8 – x

Hướng dẫn giải

a) x² – 2018x + 2017 = 0

⇔ x² – x – 2017x + 2017 = 0

⇔ x(x – 1) – 2017(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x – 2017) = 0

⇔ x = 1 ∨ x = 2017

Vậy x = 1 và x = 2017 thỏa mãn điều kiện bài toán.

b) x³ – 8x² = 8 – x

⇔ x³ + x – 8x² – 8 = 0

⇔ x(x² + 1) – 8(x² + 1) = 0

⇔ (x² + 1)(x – 8) = 0

⇔ x – 8 = 0 (do x² + 1 > 0 với mọi x)

⇔ x = 8

Vậy x = 8 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Lưu ý: Đối với bài b học sinh thường mắc sai lầm cách giải như sau:

Ta có: x³ – 8x² = 8 – x ⇔ x²(x – 8) = –(x – 8) ⇔ x² = –1

⇒ Phương trình vô nghiệm.

Vì vậy: Đối với những bài toán tương tự ta chỉ được phép rút gọn khi giá trị đó luôn khác 0. Còn các trường hợp còn lại chúng ta phải nhóm thành nhân tử chung.

Câu 3. Tìm x, biết:

a) (x – 1)(x² + x + 1) – x(x + 2)(x – 2) = 5

b) (x + 1)³ – (x – 1)³ – 6(x – 1)² = –10

c) (x – 3)(x² + 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 1

d) (x – 1)³ – (x + 3)(x² – 3x + 9) + 3(x² – 4) = 2

Hướng dẫn giải

a) (x – 1)(x² + x + 1) – x(x + 2)(x – 2) = 5

⇔ x³ – 1 – x(x² – 4) = 5

⇔ x³ – 1 – x³ + 4x = 5

⇔ 4x = 6 ⇔ x = $\frac{3}{2}$

b) (x + 1)³ – (x – 1)³ – 6(x – 1)² = –10

⇔ x³ + 3x² + 3x + 1 – (x³ – 3x² + 3x – 1) – 6(x² – 2x + 1) = –10

⇔ x³ + 3x² + 3x + 1 – x³ + 3x² – 3x + 1 – 6x² + 12x – 6 = –10

⇔ 12x = –6 ⇔ x = $- \frac{1}{2}$

c) (x – 3)(x² + 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 1

⇔ x³ – 3³+ x(2² – x²) = 1

⇔ x³ – 27 + 4x – x³ = 1

⇔ 4x = 28 ⇔ x = 7

d) (x – 1)³ – (x + 3)(x² – 3x + 9) + 3(x² – 4) = 2

⇔ x³ – 3x² + 3x – 1 – (x³ + 3³) + 3x² – 12 = 2

⇔ x³– 3x² + 3x – 1 – x³ – 3³ + 3x² – 12 = 2

⇔ 3x = 42 ⇔ x = 14

Câu 4. Tìm x, biết:

a) (x + 2)(x² – 2x + 4) – x(x² + 2) = 15

b) (x – 2)³ – (x – 4)(x² + 4x + 16) + 6(x + 1)² = 49

c) (x – 1)³ + (2 – x)(4 + 2x + x²) + 3x(x + 2) = 16

d) (x – 3)³ – (x – 3)(x² + 3x + 9) + 9(x + 1)² = 15

Hướng dẫn giải

a) (x + 2)(x² – 2x + 4) – x(x² + 2) = 15

⇔ x³ + 2³ – x³ – 2x = 15

⇔ 2x = –7 ⇔ x = $- \frac{7}{2}$

b) (x – 2)³ – (x – 4)(x² + 4x + 16) + 6(x + 1)² = 49

⇔ x³ – 3⋅x²⋅2 + 3⋅x⋅2² – 2³ – (x³ – 4³) + 6(x² + 2x + 1) = 49

⇔ x³ – 6x² + 12x – 8 – x³ + 64 – 6x² + 12x + 6 = 49

⇔ 24x = –13 ⇔ x = $- \frac{{13}}{{24}}$

c) (x – 1)³ + (2 – x)(4 + 2x + x²) + 3x(x + 2) = 16

⇔ x³ – 3x² + 3x – 1 + 2³ – x³ + 3x² + 6x = 16

⇔ x³ – 3x² + 3x – 2 + 8 – x³ + 3x² + 6x = 16

⇔ 9x = 9 ⇔ x = 1

d) (x – 3)³ – (x – 3)(x² + 3x + 9) + 9(x + 1)² = 15

⇔ x³ – 3⋅x²⋅3 + 3⋅x⋅3² – 3³ – (x³ – 3³) + 9(x² + 2x + 1) = 15

⇔ x³ – 9x² + 27x – 27 – x³ + 27 + 9x² + 18x + 9 = 15

⇔ 45x = 6 ⇔ x = $\frac{2}{{15}}$

Dạng 2. Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích thành tích hoặc rút gọn biểu thức cho trước

Câu 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) x³ + 8y³

b) a⁶ – b³

c) 64y³ – 125x³

d) $27{x^3} - \frac{1}{8}$

Hướng dẫn giải

a) x³ + 8y³ = x³ + (2y)³

= (x + 2y)[x² – 2xy + (2y)²]

= (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y²)

b) a⁶ – b³ = (a²)³ – b³

= (a² – b)[(a²)² + a²b + b²]

= (a² – b)(a⁴ + a²b + b²)

c) 64y³ – 125x³ = (4y)³ – (5x)³

= (4y – 5x)[(4y)² + 4y5x + (5x)²]

= (4y – 5x)(16y² + 20xy + 25x²)

d) $27{x^3} - \frac{1}{8} = {\left( {3x} \right)^3} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$

$\begin{gathered} = \left( {3x - \frac{1}{2}} \right)\left[ {{{\left( {3x} \right)}^2} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {3x - \frac{1}{2}} \right)\left( {9{x^2} + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( {\frac{1}{3}x + 2y} \right)\left( {\frac{1}{9}{x^2} - \frac{2}{3}xy + 4{y^2}} \right)$

b) $\left( {{x^2} - \frac{1}{3}} \right)\left( {{x^4} + \frac{1}{3}{x^2} + \frac{1}{9}} \right)$

c) (x – 2)(x² – 2x + 4)(x + 2)(x² + 2x + 4)

d) (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

Hướng dẫn giải

a) $\left( {\frac{1}{3}x + 2y} \right)\left( {\frac{1}{9}{x^2} - \frac{2}{3}xy + 4{y^2}} \right)$

$= {\left( {\frac{1}{3}x} \right)^3} + {\left( {2y} \right)^3} = \frac{1}{{27}}{x^3} + 8{y^3}$

b) $\left( {{x^2} - \frac{1}{3}} \right)\left( {{x^4} + \frac{1}{3}{x^2} + \frac{1}{9}} \right)$

$= {\left( {{x^2}} \right)^3} - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = {x^6} - \frac{1}{{27}}$

c) (x – 2)(x² – 2x + 4)(x + 2)(x² + 2x + 4)

= [(x – 2)(x² + 2x + 4)][(x + 2)(x² – 2x + 4)]

= (x³ – 2³)(x³ + 2³)

= (x³)² – (2³)² = x⁶ – 64

d) (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

= (2x)³ + y³ – [(2x)³ – y³]

= 8x³ + y³ – 8x³ + y³ = 2y³

Câu 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x – 1)³ – (x – 1)(x² + x + 1)

b) (x – 3)³ – (x – 3)(x² + 3x + 9) + 6(x + 1)²

c) (x + 5)(x² – 5x + 25) – (x + 3)³ + (x – 2)(x² + 2x + 4) – (x – 1)³

d) (3x – 2y)³ – (4x – 5y)(16x² + 20xy + 25y²) + (y + 2x)³

Hướng dẫn giải

a) (x – 1)³ – (x – 1)(x² + x + 1)

= x³ – 3x² + 3x – 1 – (x³ – 1³)

= x³ – 3x² + 3x – 1 – x³ + 1

= –3x² + 3x

b) (x – 3)³ – (x – 3)(x² + 3x + 9) + 6(x + 1)²

= x³ – 3⋅x²⋅3 + 3⋅x⋅3² – 3² – (x³ – 3³) + 6(x² + 2x + 1)

= x³ – 9x² + 27x – 27 – x³ + 27 + 6x² + 12x + 6

= –3x² + 39x + 6

c) (x + 5)(x² – 5x + 25) – (x + 3)³ + (x – 2)(x² + 2x + 4) – (x – 1)³

= x³ + 5³ – (x³ + 3⋅x²⋅3 + 3⋅x⋅3² + 3³) + x³ – 2³ – (x³ – 3x² + 3x – 1)

= x³ + 125 – x³ – 9x² – 27x – 27 + x³ – 8 – x³ + 3x² – 3x + 1

= –6x² – 30x + 91

d) (3x – 2y)³ – (4x – 5y)(16x² + 20xy + 25y²) + (y + 2x)³

= (3x)³ – 3⋅(3x)²⋅2y + 3⋅3x⋅(2y)² – (2y)³ – [(4x)³ – (5y)³] + y³ + 3⋅y²⋅2x + 3⋅y⋅(2x)² + (2x)³

= 27x³ – 54x²y + 36xy² – 8y³ – 64x³ + 125y³ + y³ + 6xy² + 12x²y + 8x³

= –29x³ – 42x²y + 42xy² + 118y³

Dạng 3. Tính nhanh.

Câu 1. Tính nhanh.

a) 29³

b) 101³

Hướng dẫn giải

Áp dụng kiến thức: (A – B)³ = A³ – B³ – 3AB(A – B) và (A + B)³ = A³ + B³ + 3AB(A + B)

a) 29³ = (30 – 1)³

= 30³ – 1³ – 3⋅30⋅1⋅(30 – 1)

= 27000 – 1 – 90⋅29

= 27000 – 1 – 2610 = 24389

b) 101³= (100 + 1)³

= 100³ + 1³ + 3⋅100⋅1⋅(100 + 1)

= 1000000 + 1 + 300⋅101

= 1000000 + 1 + 30300 = 1030301

Câu 2. Tính nhanh.

a) 17³ + 3³

b) 24³ – 64

Hướng dẫn giải

a) 17³ + 3³

= (17 + 3)³ – 3⋅17⋅3⋅(17 + 3)

= 20³ – 153⋅20 = 8000 – 3060 = 4940

b) 24³ – 64 = 24³ – 4³

= (24 – 4)³ + 3⋅24⋅4⋅(24 – 4)

= 20³ + 288⋅20 = 8000 + 5760 = 13760

Dạng 4. Tính giá trị của biểu thức.

Câu 1.

a) Tính giá trị của phân thức $I = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}$ tại x = –1

b) Tính giá trị của phân thức $M = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 2x + 4}}$ tại x = –2

c) Tính giá trị của biểu thức K = 27 + (x – 3)(x² + 3x + 9) tại x = –3

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$I = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}$

Thay x = –1 vào $I = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}$ ta được:

$I = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} + \left( { - 1} \right) + 1}}{{\left( { - 1} \right) - 1}} = - \frac{1}{2}$

b) Ta có:

$M = \frac{{{x^3} + {2^3}}}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{{x^2} - 2x + 4}} = x + 2$

Thay x = –2 vào M = x + 2 ta được: M = –2 + 2 = 0

c) Ta có: K = 27 + (x – 3)(x² + 3x + 9) = 27 + x³ – 27 = x³

Thay x = –3 vào K = x³ ta được K = (–3)³ = –27

Câu 2.

a) Cho x + y = 3 và x² + y² = 5. Tính x³+ y³.

b) Cho x – y = 3 và x² + y² = 15. Tính x³ – y³.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 2xy = (x + y)² – (x² + y²) = 3² – 5 = 4 ⇒ xy = 2

Ta lại có: x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y) = 3³ – 3⋅2⋅3 = 27 – 18 = 9

b) Ta có: 2xy = (x² + y²) – (x – y)² = 15 – 3² = 6 ⇒ xy = 3

Ta lại có: x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y) = 3³ + 3⋅3⋅3 = 27 + 27 = 54

Dạng 5. Chứng minh đẳng thức.

Câu 1. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

a) A = (2x + 3)(4x² – 6x + 9) – 2(4x³ – 1)

b) B = (x + 3)(x² – 3x + 9) –(20 + x³)

c) C = 3y(–3y – 2)² – (3y – 1)(9y² + 3y + 1) – (–6y – 1)²

Hướng dẫn giải

a) A = (2x + 3)(4x² – 6x + 9) – 2(4x³ – 1)

= (2x)³ + 3³ – 8x³ + 2

= 8x³ + 27 – 8x³ + 2 = 29

b) B = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (20 + x³)

= x³ + 2³ – 20 – x³

= 27 – 20 = 7

c) C = 3y(–3y – 2)² – (3y – 1)(9y² + 3y + 1) – (–6y – 1)²

= 3y(9y² + 12y + 4) – (27y³ – 1) – (36y² + 12y + 1)

= 27y³ + 36y² + 12y – 27y³ + 1 – 36y² – 12y – 1

= 0

Câu 2.

a) Cho a, b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: nếu a³ + b³ chia hết cho 3 thì a + b chia hết cho 3.

b) Cho A = 1³ + 2³ + 3³ + … + 10³. Chứng minh rằng: A ⋮ 11

Hướng dẫn giải

a) Ta có: a³+ b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

Vì a³ + b³ chia hết cho 3 và 3ab(a + b) chia hết cho 3 nên (a + b)³ chia hết cho 3

Do đó a + b chia hết cho 3 (đpcm)

b) Ta có: A = 1³ + 2³ + 3³ + … + 10³

= (1³ + 10³) + (2³ + 9³) + … + (5³ + 6³)

= (1 + 10)(1² + 101 + 10²) + (2 + 9)(2² +29 + 9²) + … + (5 + 6)(5² + 56 + 6²)

= 11⋅111 + 11⋅103 + … + 11⋅91

= 11⋅(111 + 103 + … + 91)

Phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao

Câu 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (xy + 1)² – (x + y)²

b) (a + b + c)² + (a + b – c)² – 4c²

c) (a² + 9)² – 36a²

Hướng dẫn giải

a) (xy + 1)² – (x + y)²

= (xy + 1 – x – y)(xy + 1 + x + y)

= [x(y – 1) + 1 – y][x(y + 1) + y + 1]

= (x – 1)(y – 1)(x + 1)(y + 1)

b) (a + b + c)² + (a + b – c)² – 4c²

= (a + b + c)² + (a + b – c + 2c)(a + b – c – 2c)

= (a + b + c)² + (a + b + c)(a + b – 3c)

= (a + b + c)(a + b + c + a + b – 3c)

= (a + b + c)(2a + 2b – 2c)

= 2(a + b + c)(a + b – c)

c) (a² + 9)² – 36a²

= (a² + 9 – 6a)(a²+ 9 + 6a)

= (a – 3)²(a + 3)²

Câu 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 3a – 3b + a² – 2ab + b²

b) a² + 2ab + b² – 2a – 2b + 1

c) 4b²c² – (b² + c² – a²)²

Hướng dẫn giải

a) 3a – 3b + a² – 2ab + b²

= 3(a – b) + (a – b)²

= (a – b)(3 + a – b)

b) a² + 2ab + b² – 2a – 2b + 1

= (a + b)² – 2(a + b) + 1

= (a + b – 1)²

c) 4b²c² – (b² + c² – a²)²

= (2bc + b² + c² – a²)(2bc – b²– c²+ a²)

= [(b + c)² – a²][a² – (b – c)²]

= (b + c + a)(b + c – a)(a + b – c)(a – b + c)

Câu 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 4xy + 4y² – 9a²

b) xy(a² + b²) – ab(x² + y²)

c) x²(a – b) – 2xy(a – b) + ay² – by²

d) 8xy³ – x(x – y)³

Hướng dẫn giải

a) x² – 4xy + 4y² – 9a²

= (x – 2)² – (3a)²

= (x – 2 – 3a)(x – 2 + 3a)

b) xy(a² + b²) – ab(x² + y²)

= xya² + xyb² – abx² – aby²

= (xya² – abx²) + (xyb² – aby²)

= ax(ay – bx) + by(bx – ay)

= (ax – by)(ay – bx)

c) x²(a – b) – 2xy(a – b) + ay² – by²

= x²(a – b) – 2xy(a – b) + y²(a – b)

= (a – b)(x² – 2xy + y²)

= (a – b)(x – y)²

d) 8xy³ – x(x – y)³

= x[(2y)³ – (x – y)³]

= x(2y – x + y)[4y² + 2y(x – y) + (x – y)²]

= x(3y – x)(x² + 3y²)

Câu 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) A = x² – 4x²y² + y² + 2xy

b) B = x⁶ – y⁶

c) C = 4xy(x² + y²) – 6(x³ + y³ + x²y + xy²) + 9(x² + y²)

d) D = 25 – a² + 2ab – b²

Hướng dẫn giải

a) A = x² – 4x²y² + y² + 2xy

= (x + y)² – 4x²y²

= (x + y – 2xy)(x + y + 2xy)

b) B = x⁶ – y⁶

= (x³ – y³)(x³ + y³)

= (x – y)(x² + xy + y²)(x + y)(x² – xy + y²)

c) C = 4xy(x² + y²) – 6(x³ + y³ + x²y + xy²) + 9(x² + y²)

= 4xy(x² + y²) – 6(x² + y²)(x + y) + 9(x² + y²)

= (x² + y²)(4xy – 6x – 6y + 9)

= (x² + y²)[2x(2y – 3) – 3(2y – 3)]

= (x² + y²)(2x – 3)(2y – 3)

d) D = 25 – a² + 2ab – b²

= 25 – (a² – 2ab + b²)

= 25 – (a – b)²

= (5 + a – b)(5 – a + b)

Câu 5. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x³ + 3x²y – 4xy² – 12y³

b) x³ + 4y² – 2xy + x² + 8y³

c) 3x²(a – b + c) + 36xy(a – b + c) + 108y²(a – b + c)

d) a(x² + 1) – x(a² + 1)

Hướng dẫn giải

a) x³ + 3x²y – 4xy² – 12y³

= x²(x + 3y) – 4y²(x + 3y)

= (x + 3y)(x² – 4y²)

= (x + 3y)(x – 2y)(x + 2y)

b) x³ + 4y² – 2xy + x² + 8y³

= (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²) + (x²– 2xy + 4y²)

= (x² – 2xy + 4y²)(x + 2y + 1)

c) 3x²(a – b + c) + 36xy(a – b + c) + 108y²(a – b + c)

= 3(a – b + c)(x² + 12xy + 36y²)

= 3(a – b + c)(x + 6y)²

d) a(x² + 1) – x(a² + 1)

= ax² + a – xa² – x

= ax(x – a) – (x – a)

= (x – a)(ax – 1)

Câu 6. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x³ – 1 + 5x² – 5 + x – 3

b) a⁵ + a⁴ + a³+ a² + a + 1

c) x³ – 3x² + 3x – 1 – y³

d) 5x³ – 3x²y – 45xy² + 27y³

Hướng dẫn giải

a) x³ – 1 + 5x² – 5 + x – 3

= (x – 1)(x² + x + 1) + 5(x – 1)(x + 1) + 3(x – 1)

= (x – 1)(x² + x + 1 + 5x + 5 + 3)

= (x – 1)(x² + 6x + 9)

= (x – 1)(x + 3)²

b) a⁵ + a⁴ + a³+ a² + a + 1

= a³(a² + a + 1) + (a² + a + 1)

= (a² + a + 1)(a³ + 1)

= (a² + a + 1)(a + 1)(a² – a + 1)

c) x³ – 3x² + 3x – 1 – y³

= (x – 1)³ – y³

= (x – 1 – y)[(x – 1)² + (x – 1)y + y²]

= (x – 1 – y)(x² – 2x + 1 + xy – y + y²)

d) 5x³ – 3x²y – 45xy² + 27y³

= x²(5x – 3y) – 9y²(5x – 3y)

= (5x – 3y)(x² – 9y²)

= (5x – 3y)(x – 3y)(x + 3y)

Câu 7. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x³ – x² – x + 1

b) x⁴ – x² + 2x – 1

c) 4a²b² – (a² + b² – 1)²

Hướng dẫn giải

a) x³ – x² – x + 1

= x²(x – 1) – (x – 1)

= (x – 1)(x² – 1)

= (x – 1)²(x + 1)

b) x⁴ – x² + 2x – 1

= x⁴ – (x – 1)²

= (x² – x + 1)(x² + x – 1)

c) 4a²b² – (a² + b² – 1)²

= (2ab + a² + b² – 1)(2ab – a² – b² + 1)

= [(a + b)² – 1][1 – (a – b)²]

= (a + b – 1)(a + b – 1)(1 + a – b)(1 – a + b)

Câu 8. Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Đặt A = 4x²y² – (x² + y² – z²)². Chứng minh rằng A > 0.

Hướng dẫn giải

Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích A thành nhân tử, ta được:

A = 4x²y² – (x² + y² – z²)

= (2xy + x² + y² – z²)(2xy – x² – y² + z²)

= [(x + y)² – z²][z² – (x – y)²]

= (x + y – z)(x + y + z)(z + x – y)(z – x + y)

Do x, y, z là 3 cạnh của 1 tam giác, suy ra:

x + y + z > 0, x + y – z > 0, z + x – y > 0, y + z – x > 0 ⇒ A > 0

Câu 9. Cho các số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức: $\left\{ \begin{gathered} {a^3} - 3{a^2} + 5a - 17 = 0 \hfill \\ {b^3} - 3{b^2} + 5b + 11 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Tính a + b.

Hướng dẫn giải

Cộng vế theo vế của hai hẳng đẳng thức ta được:

a³ – 3a² + 5a – 17 + b³ – 3b² + 5b + 11 = 0

⇔ a³ – 3a² + 3a – 1 + b³ – 3b² + 3b – 1 + 2(a + b – 2) = 0

⇔ (a – 1)³ + (b – 1)³ + 2(a – 1 + b – 1) = 0

⇔ (a + b – 2)(a² + a + 1 + b² + b + 1 + 2) = 0

Vì ${a^2} + a + 1 + {b^2} + b + 1 + 2$

$= {\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{2} > 0 \Rightarrow a + b = 2$

Câu 10. Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng:

a(b² – 1)(c² – 1) + b(a² – 1)(c² – 1) + c(a² – 1)(b² – 1) = 4abc

Hướng dẫn giải

Xét vế trái, ta có:

a(b² – 1)(c² – 1) + b(a² – 1)(c² – 1) + c(a² – 1)(b² – 1)

= a(b²c² – b² – c² + 1) + b(a²c² – a² – c² + 1) + c(a²b² – a² – b² + 1)

= ab²c² – ab² – ac² + a + ba²c² – ba² – bc² + b + ca²b² – ca² – cb² + c

= (a + b + c) – (a²b + ab² – a²b²c) – (ac² + a²c – a²bc²) – (bc² + b²c – ab²c²)

= abc – ab(a + b – abc) – ac(c + a – abc) – bc(c + b – abc)

= abc + abc + abc + abc = 4abc

Bài tập tự luyện

Câu 1. Khai triển các hằng đẳng thức sau:

a) (2x + 3)²

b) ${\left( {3x - \frac{1}{2}y} \right)^2}$

c) (x² + 2y²)²

d) (x² – y²x)²

Hướng dẫn giải

a) (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9

b) ${\left( {3x - \frac{1}{2}y} \right)^2} = 9{x^2} - 3xy + \frac{1}{4}{y^2}$

c) (x² + 2y²)² = x⁴ + 4x²y² + 4y⁴

d) (x² – y²x)² = x⁴ – 2x³y² + y⁴x²

Câu 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng hằng đẳng thức:

a) x² + 4x + 4

b) x² – 8x + 16

c) 9x² – 12x + 4

d) $\left( {x - \frac{1}{2}y} \right)\left( {x + \frac{1}{2}y} \right)$

e) (xy² + 1)(1 – xy²)

f) (3x + 2y)² – 4(3x + 2y) + 4

Hướng dẫn giải

a) x² + 4x + 4 = (x + 2)²

b) x² – 8x + 16 = (x – 4)²

c) 9x² – 12x + 4 = (3x – 2)²

d) $\left( {x - \frac{1}{2}y} \right)\left( {x + \frac{1}{2}y} \right) = {x^2} - \frac{1}{4}{y^2}$

e) (xy² + 1)(1 – xy²) = 1 – x²y⁴

f) (3x + 2y)² – 4(3x + 2y) + 4 = (3x + 2y + 2)²

Câu 3. Điền vào chỗ trống để được những hằng đẳng thức đúng:

a) 9a² + 6a + … = …

b) … – 8xy + y² = …

c) 25x² – … + 16y² = …

Hướng dẫn giải

a) 9a² + 6a + 1 = (3a + 1)²

b) 16x² – 8xy + y² = (4x – y)²

c) 25x² – 40xy + 16y² = (5x – 4y)²

Câu 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (x + y)² – (x – y)²

b) B = 3(x – y)² – 2(x + y)² – (x – y)(x + y)

c) C = (2x – 1)² – 2(2x – 3)² + 9

d) D = (2x – 3)² – 2(2x – 3)(2x – 6) + (x – 3)²

Hướng dẫn giải

a) A = (x + y)² – (x – y)²

= x² + 2xy + y² – x² + 2xy – y² = 4xy

b) B = 3(x – y)² – 2(x + y)² – (x – y)(x + y)

= 3x² – 6xy + 3y² – 2x² – 4xy – 2y² – x² + y²

= 2y² – 10xy

c) C = (2x – 1)² – 2(2x – 3)² + 9

= 9x² – 6x + 1 – 8x² + 12x – 18 + 9

= x² + 6x – 8

d) D = (2x – 3)² – (2x – 3)(2x – 6) + (3 – x)²

= (2x – 3)² – 2(2x – 3)(x – 3) + (x – 3)²

= (2x – 3 – x + 3)² = x²

Câu 5. Tính giá trị của biểu thức:

a) A = (x + 2)(2x – 4) – (2x + 1)² + 2x(x – 3) với x = $- \frac{1}{5}$

b) B = (2x + 1)² – (x – 1)² – 3(x – 2)(x + 2) với x = $\frac{1}{6}$

c) C = (x – y)² + 2(x² – y²) + (x + y)² với x = 0,75

Hướng dẫn giải

a) A = (x + 2)(2x – 4) – (2x + 1)² + 2x(x – 3)

= 2(x² – 4) – 4x² – 4x – 1 + 2x² – 6x

= –10x – 9

Thay x = $- \frac{1}{5}$ vào biểu thức A ta được:

A = –10 ⋅ $- \frac{1}{5}$ – 9 = –7

Vậy A = –7 tại x = $- \frac{1}{5}$

b) B = (2x + 1)² – (x – 1)² – 3(x – 2)(x + 2)

= 4x² + 4x + 1 – x² + 2x – 1 – 3(x² – 4)

= 6x + 12

Thay x = $\frac{1}{6}$ vào biểu thức B ta được:

B = 6 ⋅ $\frac{1}{6}$ + 12 = 13

Vậy B = 13 tại x = $\frac{1}{6}$

c) C = (x – y)² + 2(x² – y²) + (x + y)²

= (x – y)² + 2(x – y)(x + y) + (x + y)²

= (x – y + x + y)² = 4x²

Thay x = 0,75 vào biểu thức C ta được:

C = 4 ⋅ (0,75)² = 2,25

Vậy C = 2,25 tại x = 0,75

Câu 6.

a) Cho 2x – y = –2. Tính giá trị của biểu thức:

A = 4x² – 4xy + y² – 4x + 2y – 6

b) Cho x + y = Tính giá trị của biểu thức:

B = 3x² – 2x + 3y² – 2y + 6xy – 100

Hướng dẫn giải

a) A = 4x² – 4xy + y² – 4x + 2y – 6

= (2x – y)² – 2(2x – y) – 6

Thay 2x – y = –2 vào biểu thức A ta được:

A = (–2)² – 2(–2) – 6 = 2

b) B = 3x² – 2x + 3y² – 2y + 6xy – 100

= 3(x² + 2xy + y²) – 2(x + y) – 100

= 3(x + y)² – 2(x + y) – 100

Thay x + y = 5 vào biểu thức B ta được:

B = 3⋅5² – 2⋅5 – 100 = –35

Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a) A = x² + 4x + 5

b) B = 2x(x – 3)

c) C = x² + y² – x + 6y + 10

Hướng dẫn giải

a) A = x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1

Vì (x + 2)² ≥ 0, ∀x ⇒ (x + 2)² + 1, ∀x

Dấu “=” xảy ra khi x = –2

Vậy min A = 1 khi x = –2

b) $B = 2x\left( {x - 3} \right)$

$\begin{gathered} = 2{x^2} - 6x \hfill \\ = 2\left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot x + \frac{9}{4}} \right) - \frac{9}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 2{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{9}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

Vì ${\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} \geqslant 0,\forall x$

$\Rightarrow 2{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{9}{2} \geqslant - \frac{9}{2},\forall x$

Dấu “=” xảy ra khi $x = \frac{3}{2}$

Vậy $\min A = - \frac{9}{2}$ khi $x = \frac{3}{2}$

c) $C = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10$

$= {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + \frac{3}{4}$

Vì ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0;{\left( {y + 3} \right)^2} \geqslant 0,\forall x,y$

$\Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + \frac{3}{4} \geqslant \frac{3}{4},\forall x,y$

Dấu “=” xảy ra khi $x = \frac{1}{2};y = - 3$

Vậy $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = \frac{1}{2};y = - 3$

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) A = 4x – x² + 3

b) B = –2x² – 3x + 7

c) C = 12x – 8y – 4x² – y² + 1

Hướng dẫn giải

a) A = 4x – x² + 3 = –(x – 2)² + 7

Vì –(x – 2)² ≤ 0, ∀x ⇒ –(x – 2)² + 7 ≤ 7, ∀x

Dấu “=” xảy ra khi x = 2

Vậy max A = 7 khi x = 2

b) $B = - 2{x^2} - 3x + 7$

$\begin{gathered} = - 2\left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot x + \frac{9}{{16}}} \right) + \frac{{65}}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = - 2{\left( {x - \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{{65}}{8} \hfill \\ \end{gathered}$